附录
绘图：简单的复习
经济学家研究的许多概念可以用数字来表示——香蕉的价格、香蕉的销售量和种植香蕉的成本等。这些经济变量通常是相互关联的。当香蕉价格上升时，人们买的香蕉少了。表述变量之间关系的一种方法是使用图形。
使用图形有两个目的：第一，当建立经济理论时，用方程式或文字可能表述得不够清楚，而图形提供了一种直观地表述思想的方法。第二，当分析经济数据时，图形提供了一种发现和解释数据的变动模式的有效方法。无论我们是构建理论还是分析数据，图形都提供了一个可以从大量树木中辨认出森林的透镜。
用图形表示数字信息有多种方法，正如用文字来表述思想也有很多方法一样。一位好的作家会选择可以使其观点清晰、描述生动，或情节具有戏剧性的文字。一个有效率的经济学家会选择最适于表述其目的的图形类型。
在本附录中，我们讨论经济学家如何用图形来研究变量之间的数学关系。我们还要讨论运用图形方法时容易出现的一些错误。
单变量的图形
图2A-1表示了三种常见的图形：(a)幅中的饼形图表示美国的总收入的各种来源，包括雇员薪酬、公司利润等。每一块扇形代表每种来源在总收入中的份额。(b)幅中的柱形图比较了四个国家的收入。柱形的高度代表每个国家的平均收入。(c)幅的时间序列图描述了随着时间推移，美国经济部门生产率的提高。线的高度代表各年中每小时的产量。也许你已经在报纸和杂志上见过类似的图形。
两个变量的图形：坐标系
尽管图2A-1的三个图形在表明变量如何随时间推移或在个体之间变动上是有用的，但这种图形能告诉我们的内容毕竟有限，它们只能表示一个变量的信息。经济学家通常更关注变量之间的关系。因此，他们需要能在一个图形上表示两个变量。坐标系使这种需要成为可能。
假设你想考察学习时间和平均绩点(GPA)之间的关系。你可以对你们班每个学生记录一对数字：每周用在学习上的小时数和平均绩点。可以把这些数字作为一种有序数对(ordered pair)放在括号中，并用图形上的一点来表示。例如，用有序数对(每周25小时，3. 5GPA)来代表AlbertE.，而他的同班同学Alfred E.用有序数对(每周5小时,2.0 CPA)来代表。
我们可以把这些有序数对画在一个二维坐标方格图上。每个有序数对的第一个数字称为学坐标，它告诉我们该点的横向位置；第二个数字称为y坐标，它告诉我们该点的纵向位置。x坐标和y坐标为零的点称为原点。有序数对的两个坐标告诉我们该点相对于原点的位置：x点在原点右边的单位，以及y点在原点上方的单位。
图2A-2标出了Albert E.、Alfred E.和他们同班同学的平均绩点与学习时间。这种类型的图称为离散图，因为它描述了不连续的各点。在看这个图时，我们马上会注意到，越是向右的点(表示学习时间更多)，位置越高(表示平均绩点越高)。由于学习时间与平均绩点一般是同方向变动的，因此我们说这两个变量有一种正相关关系。与此相比，如果画出参加舞会的时间与学习成绩之间关系的图形，我们很可能发现，参加舞会时间多与成绩低相关。由于这些变量一般是反方向变动的，我们把这种情况称为负相关关系。在这两种情况下，坐标系都使我们可以轻而易举地看出两个变量之间的相关性。
纵轴代表平均成绩，横轴代表学习时间。各点代表Albert E.、Alfred E.和他们的同班同学。从图中我们可以看出，学习努力的学生往往成绩更好。
坐标系中的曲线
那些学习时间多的学生往往取得好成绩，但其他因索也会影响一个学生的成绩。例如，事先准备是一个重要因素，其他因素如天赋、老师的关注程度，甚至早餐吃得好坏等都有影响。像图2A-2这样的离散图并不想把学习努力程度对成绩的影响与其他变量的影响分开。但是，经济学家通常更喜欢在其他条件不变的情况下，观察一个变量对另一个变量的影响。
为说明如何做到这一点，我们来看经济学中最重要的图形之一——需求曲线。需求曲线描绘出一种物品价格对消费者想购买的物品量的影响。但是，在说明需求曲线之前，先看一下表2A-1，该表说明了Emma购买的小说数量取决于她的收入和小说的价格。当小说便宜时，Emma就大量购买。随着小说的价格变得越来越昂贵，她就从图书馆借书而不是买书，或者选择去看电影而不是读小说。同样，在任何一种既定价格水平下，Emma收入越高，买书越多。这就是说，当她的收入增加时，她把部分增加的收入用于买小说，部分用于买其他物品。
我们现在有三个变量——小说的价格、收入和购买的小说数量——大于我们能用二维空间表示的数量。为了把表2A-1中的信息描绘成图形，我们需要使三个变量中的一个不变，并描述其他两个变量之间的关系。由于需求曲线代表价格和需求量之间的关系，所以我们使Emma的收入不变，并说明她所购买的小说数量如何随小说的价格变动而变动。
假设Emma的年收入为3万美元。如果我们用x轴表示Emma购买的小说数量，y轴表示小说的价格，我们就可以用图形来表示表2A-1的中间一栏。当把代表表中各项的点——(5本小说，10美元)、(9本小说，9美元)等等一连接起来时，它们就成为一条直线。图2A-3中，出的这条直线被称为Emma的小说需求曲线；它告诉我们在任何一种既定价格下，Emma买多少本小说。需求曲线向右下方倾斜，表示较高的价格减少了小说的需求量。由于小说的需求量与价格呈反方向变动，我们说这两个变量是负相关的(相反，当两个变量同方向变动时，把它们联系起来的曲线向右上方倾斜，我们说这两个变量是正相关的)
现在假设Emma的收入增加到每年4万美元。在任何一种既定价格水平下，Emma购买的小说数量比她在以前的收入水平时多了。正如我们以前用表2A-1中间一栏的全部数据画出了Emma的小说需求曲线一样，现在我们可以用该表右边一栏的全部数据画出一条新需求曲线。图2A-4中所画出的这条新需求曲线(D2)与旧需求曲线(D1)平行；新需求线是向右移动画出的一条类似的线。因此我们说，当Emma收入增加时，她的小说需求曲线向右移动。同样，如果Emma的收入减少为每年2万美元，在任何一种既定价格水平下，她购买的小说数量少了，她的需求曲线向左移动(到D3)。
在经济学中，区分沿着一条曲线的变动与曲线的移动是很重要的。正如我们从图2A-3中所能看到的，如果Emma的收入为每年3万美元，而小说价格为每本8美元，她每年将购买13本小说。如果小说的价格下降到7美元，Emma每年购买的小说将增加到17本。但需求曲线仍在同一位置上。在同一种价格下，Emma仍购买相同数量的小说。但随着价格下降，她购买小说的数量沿着该需求曲线从左向右变动。与此相比，如果小说的价格固定在8美元没变，但Emma的收入增加到4万美元，她每年购买的小说就会从13本增加到16本。由于Emma在同一种价格下买了更多本小说，正如图2A4所示，她的需求曲线向外移动。
可以用一种简单的方法来判断什么时候必须移动曲线。当一个未用任何坐标轴表示的变量发生变动时，曲线就会移动。收入既不用该图的x轴表示，也不用y轴表示，所以，当Emma的收入变动时，她的需求曲线必须移动。除了小说价格的变动之外，任何一种影响Emma购买习惯的其他变动，也同样会使她的需求曲线移动。例如，如果公共图书馆关闭了，Emma必须购买她想阅读的所有书，那么，Emma在每种价格时就需要更多的书，她的需求曲线将向右移动。或者，如果电影票价下降，Emma把更多的时间用于看电影，并减少了读书时间，那么，她在每种价格时需要的小说少了，她的需求曲线将向左移动。与此相比，当图形某个坐标轴上的某个变量变动时，曲线并不移动。我们把这种变动称为沿着曲线的变动。
斜率
关于Emma，我们想问的一个问题是，她的购买习惯对价格的反应有大。我们来看图2A-5中画出的需求曲线。如果这条曲线非常陡峭，无论小说便宜还是昂贵，Emma购买的小说的数量几乎相同。如果这条曲线相当平坦，当价格上升时，Emma购买的小说数量要减少很多。为了回答一个变量对另一个变量变动的反应有多大这个问题，我们使用斜率的概念。
一条直线的斜率是当我们沿着这条线变动时，纵轴变动距离与横轴变动距离的比率。通常可以用数学符号把这个定义写为：
在这里，希腊字母△( delta)代表一个变量的变动。换句话说，一条直线的斜率等于“上升量”(y的变动)除以“向前量”(x的变动)。对于一条平缓地向右上方倾斜的直线，斜率将是一个小的正数；对于一条陡峭地向右上方倾斜的直线，斜率将是一个大的正数；对于一条向右下方倾斜的直线，斜率则将是一个负数。水平线的斜率为零，因为在这种情况下，y轴的变量是固定不变的；垂直线被定义为有无限斜率，因为y轴的变量可以取任何值，而x轴的变量固定不变。
Emma的小说需求曲线的斜率是多少？首先，由于该曲线向右下方倾斜，我们知道，斜率将是负数。为了计算斜率的数值，我们必须在这条直线上选择两个点。当Emma的年收入为3万美元时，她在价格为6美元时购买21本小说，或在价格为8美元时购买13本小说。在使用斜率的公式时，我们关心的是两点之间的变动，换句话说，我们关心的是它们之间的差别；这就使我们知道，我们必须从一组变量中减去另一组变量，如下所示：
图2A-5用图形表明了如何进行这种计算。试着用另外两个不同的点来计算Emma需求曲线的斜率。你应该得出完全相同的结果，-1/4。直线的性质之一是同一条线上任何一点的斜率都相同。这一点对于其某些部分比其他部分更陡峭的其他类型的曲线并不适用。
Emma需求曲线的斜率告诉我们，她的购买量会对价格变动做出多大反应。斜率小(数值接近于零)意味着Emma的需求曲线较为平坦；在这种情况下，价格变动时，她购买的小说的数量会有大幅度调整。斜率大(数值离零较远)意味着Emma的需求曲线较为陡峭；在这种情况下，价格变动时，她购买的小说的数量只有很小的调整。
原因和结果
经济学家经常用图形来说明关于经济如何运行的观点。换句话说，他们用图形来说明，一组事件如何引起了另一组事件的发生。用需求曲线这样的图形，不会混淆原因与结果。由于我们变动价格而使所有其他变量不变，我们就知道，小说价格的变动引起了Emma需求量的变动。但是，应该记住，我们的需求曲线来自一个假设的例子。当用现实世界的数据来画图时，要确定一种变量如何影响另一种变量往往是较为困难的。
第一个问题是，在研究两种变量之间的关系时要使其他条件不变是很困难的。如果不能使其他变量保持不变，我们可能会认为图形中的一个变量引起了另一个变量变动，而实际上这一变动是由在图上没有画出的第三个被忽略的变量所引起的。即使确定了所要观察的两个正确的变量，我们仍会遇到第二个问题——反向因果关系。换句话说，我们可能确定是A引起B，而事实上却是B引起A。忽略的变量和反向因果关系陷阱提醒我们，在用图形得出关于原因与结果的结论时要谨慎。
忽略的变量 为了说明忽略一个变量会如何导致一个容易使人误解的图形，我们来看一个例子。假设由于公众对许多人死于癌症这一问题的关注，政府委托大兄弟统计服务公司进行一项全面的研究。大兄弟公司仔细检查了在人们房间里找到的许多东西，以查明其中的哪一种东西与患癌症的风险相关。大兄弟公司在报告中指出，在两个变量之间存在密切的关系：家庭拥有的打火机数量和家庭成员得癌症的概率。
面对这一结果,我们应该做些什么？大兄弟公司建议在政策上迅速做出反应。它建议政府通过对打火机征收销售税来限制人们持有打火机的数量。它还建议政府在打火机上加上警示性标语:“大兄弟公司已经确人，打火机有害健康。”
在判断大兄弟公司分析的正确性时，一个首要的问题是：大兄弟公司在考虑一个变量时，是否令其他相关变量都保持不变？如果回答是否定的，这个结论就值得怀疑。对图2A-6的一个简单解释是，拥有打火机多的人往往吸烟也多，引发癌症的是吸烟而不是打火机。如果图2A-6没有使吸烟数量不变,它就没有告诉我们持有打火机的真正后果。
这个故事说明了一个重要的原理：当你看到一幅图被用于支持一种关于原因与结果的观点时，应当问一下，有没有一种被忽略的变量变动能解释你观察到的结果，这一点是很重要的。
反向因果关系 经济学家也会由于弄错了因果关系的方向而犯错误。为了说明这种可能性，假设美国无政府主义者联盟研究美国的犯罪情况，并做出图2A-7，该图画出了大城市中每千人暴力犯罪案件数量与每千人警察人数之间的对应关系。无政府主义者注意到这条曲线向右上方倾斜，并认为，由于只见警察增加而不见城市暴力事件减少，所以，应该废除法律的实施。
图2A-6 表示反向因果关系的图形
如果我们可以进行可控性试验，就可以避免反向因果关系的危险。为了进行这个试验，我们应该随机地设定不同城市的警察数量，然后考察警察和犯罪之间的相关性。但是，图2A-7并没有建立在这种试验的基础上。我们只看到，越是危险的城市，警察越多。对这种情况的解释可能是，越危险的城市雇用的警察越多。换句话说，不是警察引起了犯罪，而是犯罪引来了警察。这个图形本身并不能使我们确定因果关系的方向。
一种确定因果关系的简单方法看来是考察哪一个变量先变动。如果我们看到犯罪增加，然后是警力扩大，那么，我们得出一个结论；如果我们看到警力扩大，然后犯罪增加，那么，我们就得出另一个结论。但这种方法也有一个缺陷：人们通常并不是根据他们当前状况的变动来改变自己的行为，而是根据他们对未来状况预期的变动来改变自己的行为。例如，一个预期未来有一次大的犯罪高潮的城市现在就会更多地雇用警察。用儿童与旅行车的例子可以更容易地说明这个问题。夫妇通常在预期到孩子出生时购买家用旅行车。家用旅行车的购买先于小孩的出生，但我们千万不要试图得出家用旅行车销售引起人口增长的结论！
还没有一套全面的规则可以说明什么时候从图形中得出因果关系结论是适当的。但只要记住打火机没有引起癌症（忽略的变量）和旅行车没有引起家庭人口增长（反向因果关系），你就会避免陷入许多荒谬的经济学推论之中。