第三节 外汇期权定价影响因素及定价模型
一、外汇期权价格影晌因素
影响外汇期权价格的因素主要包括汇率、执行价格、汇率波动率、本外币的利率水平、到期期限、远期汇率等。
第一，汇率对外汇期权价格的影响。由于外汇期权的标的资产为外汇，因此外汇的价格(汇率)是影响外汇期权价格最直接的因素。以看涨期权为例，在外汇期权执行价格不变的情况下，外汇期权的内在价值等于外汇期权的执行价格减去即期外汇汇率，也就是说外汇期权的内在价值直接由即期汇率影响。因此，汇率是影响外汇期权价格的重要因素。
第二，执行价格也是影响外汇期权价格的重要因素。外汇期权的执行价格通过影响外汇期权的内在价值影响外汇期权的价格。比较两份只有执行价格不同、其他条件相同的外汇看涨期权.执行价格高的外汇看涨期权的价格将小于执行价格低的外汇看涨期权。
第三，汇率波动率同样影响外汇期权价格。汇率波动率是通过影响外汇期权的时间价值来影响外汇期权价格。当外汇披动率增加时，增加了外来汇率的不确定性，使得外汇期权投资者的风险更大，期权持有人获利的可能性更高，因此期权价格也相应增加。相反，如果外汇波动率较小，那么外汇期权价格也相应较低。
第四，本外币利率水平影响外汇期权价格。本外币利率水平是通过影响融资戚本和收益来影响外汇期权价格。在外汇期权交易中，期权费用一般采用现金支付，那么短期利率水平就反映了融资戚本。而外汇期权卖方为了避免外汇期权带来的损失，往往对潜在头寸进行保值.这也将涉及货币的利率差异。因此，本外币利率差别影响着卖方的融资成本，成为影响外汇期权价格的重要因素。
第五，到期期限。在外汇期权价值中，我们已经介绍了到期期限如何通过外汇期权的时间价值来影响外汇期权的价值。因此，在其他条件相同的情况下.到期期限不同的两个外汇期权合约的价格也不同。到期期限越长，外汇期权的价格越高;到期期限越短，外汇期权价格越低。
第六，远期外汇汇率。远期外汇汇率水平也是影响外汇期权价格的重要因素。一般远期外汇汇率较高将会使得人们看涨未来的外汇汇率，那么外汇看涨期权价格必然上涨，而外汇看跌期板的价格必然出现下降趋势。反之亦然。
二、外汇期权定价基本原则
为了更清楚地理解外汇期权定价基本原则，这里我们给出以下符号和定义。C(t) 为单位外币的美式买入期权的本币价格， P(t) 为单位外币的美式卖出期权的本币价格。c(t) 为单位外币的欧式买入期权的本币价格， P(t) 为单位外币的欧式卖出期权的本币价格。X 为
期权执行价格， τ 为到期期限， S(t) 为t 时刻即期外汇汇率，到期日为T。B (t， r) 为t 时刻贴现债券现值，其在T 时刻支付1 单位本币。B* (t ， r) 为t 时刻贴现债券现值，其在T 时刻支付1 单位外币。
接下来来看，外汇期权定价的基本原则。第一，期权的价格不可能小于零。所以可以得到
第二，到期时，外汇期权的价值等于其内在价值，可以表示为
第三，由于美式外汇期权在执行期权的时间上更自由，因此美式期权的价值不小于欧式期权价值。那么，当t < T 时，有
第四，对于美式期权，在其他条件相同的情形下，到期期限较长的外汇期权的价值大于到期期限较短的外汇期权价值。对欧式期权，该结论不成立。因此，当r2 < r1时，我们可以得到
第五，当其他条件相同时，执行价格不同，外汇期权价格不同。对于看涨期权来说，执行价格高的看涨外汇期权的价值小于或等于执行价格低的看涨期权。对于看跌外汇期权来说，其他条件相同的情况下，执行价格高的外汇看跌期权的价值大于执行价格低的外汇看跌期权。因此，当X 2 < X 1 时，
第六，
接下来我们证明式(9 . 19) 成立。首先，构建两个投资组合。第一个投资组合为买入一单位欧式现汇看涨期权，期权费为c〔S(t) ,r;X〕，同时买入X 张本币贴现债券，时刻T 到
期，现价为B(t，r) ， 该投资组合的总投资为本币c+X• B(t , r) 。 第二个投资组合为买入一张期限为T 的外国贴现债券，本币价格为S(t) • B" (t，r) 。第二个投资组合的总价值为本币S(t)• B*(t,r) 。
考虑T 时刻两个投资组合的价值，我们可以得到表9-1 。
从表9 . 1 可以看出无论什么时候第一种投资组合的价值都大于或者等于第二种投资组合的价值。根据金融学中无套利原理，第一种投资组合的价值必须大于第二种投资组合的价值，否则就存在套利空间。因此，
由于美式看涨外汇期权的价值必须大子或者等于条件相同的欧式看涨外汇期权的价值，所以命题得证。
第七，由抛补利率平价理论可以得到
,进一步可以得到
因为债券的贴现值与利率成反比。
将上式代入第六条原则中可以得到
第八，
证明: 我们同样构造两个投资组合，投资组合A 为购买一单位的看跌期权，本币价格为p[S(t) ,r; X] ， 投资组合B 为购买单位外币的欧式看涨外汇期权c[SCt) ,r;X] ，卖出外币债券，本币表示的价格为S(t) • B* (t , r) ， 再买人X 张国内的贴现债券，其价值为X . B(t. r) 。因此投资组合B 的总价值为c[S(t),r; X] + X • B(t，r) - S(t) • B* (t，r) 。
同样，我们来看T = t+r 时刻两个投资组合的价值，如表9-2 所示。
比较两个投资组合的价值，可以发现T 时刻两个投资组合的价值总是相等，因此我们得到了
成立。
三、外汇期权定价模型介绍
在介绍外汇期权定价模型之前，我们首先简单介绍传统期权的定价模型(包括维纳过程、伊藤定理和布莱克一舒尔斯期权定价模型) ，再进一步阐述外汇期权定价模型。
(一)传统期权定价模型
1.维纳过程
首先，我们介绍维纳过程(Wiener Process) 。假设变量z(t) 满足维纳过程，则具有以下性质:第一，△ z 为服从正态分布的随机变量;第二，△ z 的均值为零;第三，△ z 的值相互独立。因此，△ z 可以表示成
其中，ε为服从标准正态分布的随机变量。
当△t → 0 时，我们可以利用微积分的性质来计算
，即
我们称dz 为标准维纳过程。
对于任何变量S 服从一般维纳过程，那么可以表示为
其中， a 为瞬时期望漂移率， b 为瞬时搅动率，且α 和b 均为常数。dS 具有的性质有: E(dS) = adt , Var(dS)=b2dt。
2. 伊藤(Ito) 定理
首先，我们介绍Ito 过程，该过程也是一般维纳过程。其公式为
其中， α (S，t) 和b(S，t) 均为时间t 的函数。
接下来继续来看伊藤定理。根据伊藤定理，如果变量S 服从lto 过程，则函数f= f(S.t) 遵循过程:
证明:首先我们写出函数f= f(S，t)的泰勒展开式:
因为变量S 遵循伊藤过程，所以，
将上式离散化处理，我们得到
由此进一步得到:
有ε 服从标准正态分布，可以得到
当△t → 0 时，有
代入泰勒展开式，得到
联立
,有
3. 布莱克一舒尔斯期权定价模型
布莱克一舒尔斯期权定价模型是由布莱克和舒尔斯(1 973 年)提出的。该模型的假设条件主要有:第一，交易成本为零，且所有资产可以无限分割;第二，不存在买卖交易限制;第三，在期权有效期限内，股票不支付红利或者其他收益;第四，存贷款利率相同，且均以复利计息;第五，基础资产价格是连续的，价格没有跳跃性或非连续性等;第六，期权为欧式期权，只能在期权到期日才可以执行期权;第七，股票价格运动遵循伊藤过程。
接下来将介绍布莱克舒尔斯期权定价模型的推导过程。我们构建一个投资组合，持有1 单位的衍生品和
单位的股票，那么在t 时刻该投资组合的价格为
对上式求微分可以得到
根据伊藤引理得
以及基础资产遵从几何布朗运动，因此有
联立上面三个式子可以得到
整理得
该式为布莱克——舒尔斯微分方程。基于布莱克一舒尔斯微分方程，根据衍生品的类型一般决定了微分方程满足的边界条件，当为欧式看涨期权时边界条件为:
解得标准欧式期权的价格为
其中， φ( • )为累积正态分布函数。
(二)外汇期权定价模型
这里主要根据布莱克一舒尔斯期权定价模型扩展来得到外汇期权定价模型。在推导外汇期权定价模型之前，首先我们给出一些定义和字母含义。t 时刻的即期汇率为S(t) ，本国的无风险利率为r ，国外的无风险利率为ri。由于本币和外币支付利息类似于股票的红利，因此可以利用股票期权定价公式来定义外汇期权定价公式。
外汇看涨期权定价公式:
外汇看跌期权定价公式为
其中，
四、外汇波动率估计
从外汇期权定价模型中可以看出，汇率波动率这一变量σ 无法通过直接观测得出。在外汇期权定价时， 一个重要因素就是确定汇率波动率。汇率的波动率分为两种:历史波动率和隐含波动率。历史波动率是基于汇率的历史数据估计出来的，隐含波动率是指基于某个定价模型计算出来的汇率的波动率。
(一)汇率历史波动率估计
外汇历史波动率是根据汇率的历史数据估计出来的。但是，外汇历史波动率并不具有前瞻性，无法对未来汇率的波动进行预测。我们假设观测次数为n 十1 ，S(i) 为第i个时间间隔末的汇率水平，U(i) == In〔5(i) - 5(i 一1)〕 (i= 1， 2 ， …，的。由于S(i) =S(i - 1) eu(i) ，故u( i) 为第1 个时间间隔后的连续复利利率。
可以得到u(i)标准差的估计值:
其中，u为u (i) 的均值。
因为
,'所以可以得到
(二)汇率隐含波动率估计
隐含波动率是指基于某个定价模型计算出来的汇率的披动率，主要是根据目前外汇期权的价格代入B-S 公式来计算汇率的波动率。隐含波动率的一个重要用途是确定期权的定价是否合理。如果隐含波动率低于汇率实际波动率，那么外汇期权价格被低估，存在套利空间;如果隐含波动率高于汇率实际波动率，那么外汇期权价格被高估，应该看跌外汇期权。