第二节 收益与风险

一、收益

收益率可用多种指标进行衡量，具体如下:

1. 单利和复利

单利是指，仅对原本金进行利息计算。设: I为利息，i为利率， P 为本金， t 为投资时间，单利可用2.4 式表示:

复利是指，将投资或借贷期的一定期间划分为一期，当每期终了时，将该期的本金和利息作为新的本金重新计息。设:S为到期的本利和， i 为利率， P 为本金， n为期数，复利可用2. 5 式表示:

2. 名义利率和实际利率

名义利率度量的是借取一单位当期货币于下期偿还的货币量，实际利率度量的是借取一单位当期商品可以得到的下期商品的数量。两种利率间存在一定关系，被称为费雪定理，即期货币与未来货币的交换比率必须同当期商品与未来商品之间比率相同，可表达成2.6 式:

其中， r 为真实利率， i为名义利率， ρ 为通货膨胀率。ì×ρ 很小，若假定将其忽略不计， 2.6 式可简化成2.7 式:

3. 本币利率和外币利率

本币利率是指本币资金借贷的利率，或以本币表示的证券的收益率。外币利率是指外币资金借贷的利率，或以外币表示的证券的收益率。根据利率平价理论，在资本自由流动等前提下，某一期限的本币利率(假定为1 年期)与同期限的外币利率之间的差额，等于汇率的变化值。而本外币利差往往是影响资本跨境套利动机和资金流向的重要因素。

4. 税前收益率和税后收益率

税后收益率=税前收益率(1一边际税率)

5. 内在收益率

内在收益率是使净现值等于零时的折现率，可由2. 8 式求得:

其中，r 为内在收益率.CF_t 为t 期末的现金流，n 为总期数。r 往往是评估项目可行性的一个重要指标。

6. 证券组合的收益率

假定:V1 = 期末证券组合的市场价值，V₀ = 期初证券组合的,市场价值，D= 期间投资者得到的现金分配。投资者持有证券组合的收益率(Rp ) 可表示为:

由若干个时间单位组成的相关期间内的收益率可通过对各时间单位内的收益率求平均值获得。

一是算术平均收益率，对一系列计量期间内得到的收益率不经加权而求得平均数。假定: Ra = 算术平均收益率;Rp_K = K 期间的证券组合的收益率.K= 1，2. … ，N;N= 期间数目。Ra 可由2. 10 式得出:

二是时间加权收益率，它依据所有的现金分配都被再投资到证券组合的假定而计算出来的期初证券组合在业绩评价期间的复利增长率，也叫几何收益率。设:R_t 代表时间加权收益率， Rp_K 、N定义同前， R_t 可由2.11 式得出:

算术平均收益率和时间加权收益率一般来说不相等，因为计算算术平均收益率时，假定期初投资额保持在证券组合期初价值时的水平，而在计算时间加权收益率时，假定所有收入都用于再投资，所以证券组合的投资额在不断变化。

7. 利率的期限结构、即期理论利率和远期利率两种债券间的收益差异被称为收益差额。影响利差的因素有:发行人的类型和信誉度、金融工具的期限或到期日、债券的内含选择权(如赎回权、转换条款)、税收待遇的差异和证券的流动性等。

收益与到期时间的关系被称为利率的期限结构。对期限不同、其他条件相同的债券收益关系的图形表述，即为收益率曲线。由于国库券几乎没有违约风险，且流动性最强，所以收益率曲线的建立一般来自对国库券市场价格与收益的观察，国库券收益曲线的主要功能是可当作债券定价和确定债券收益率的基准。

任何债券都可看作是一揽子零息债券的组合体，为求得每张零息债券的价值，必须知道与其到期时间相同的零息国库券的收益率，该收益率被称为即期利率。对债券即期利率与其期限关系的图形描述，便为即期利率曲线。由于所有零息国库券的到期时间都不超过1 年，所以只依靠市场观察无法构造出该曲线，但可以由理论推导，由此得到的曲线被称为理论上的即期利率曲线。假定:0.5 年期的零息国库券利率为i_t到期现金流为C₁ ; 1 年期的零息国库券利率为i₂，到期现金流为C₂ ; 1. 5 年期国库券的市场价格为P ，到期现金流为C₃，那么，1. 5 年期的即期理论利率i₃可由2. 12 式求得。依次类推，还可分别推导出2 年期、2.5 年期等档次的即期理论利率:

从国债收益率曲线不仅可以推出即期理论利率，还可以推出远期利率。假定投资者有两种选择:一是购买一份1 年期的债券，1 年期的即期利率为i₂。二是先购买1 份相同金额的6 个月期的债券， 6 个月期的即期利率为i₁，到期后再购买1 份6 个月期的相同债券，对应的6 个月后的半年期远期利率为f。两种投资方式应该带来相同的投资收入，这样便可由2. 13 式求得f:

市场会把对未来利率的预期融入到各种期限投资的利率中，由即期利率曲线求得的未来利率被称为远期利率或隐含的远期利率。实际上可拓展上述例子，从而推出未来任何期限的远期利率。假定: 投资者购买一份6 个月期的债券， 6 个月期的即期利率为i₁，然后用到期的所有收入再投资于6 个月的短期债券，对应的利率为f₁，如此循环，直到n 年结束。投资者的另一种选择是:直接购买n 年期的债券，对应的即期年利率为i_n。 两种方式的投资收入应相同。这样， n 期的即期利率、6 个月期的即期利率以及各期的6 个月远期利率的关系便如2.14 式所示:

二、风险

风险来源于收益的波动性，可定义为收益偏离期望值或平均值的可能性，并借助于方差或标准差来度量。

对于单一资产，其收益率是个随机变量，不妨用X 表示，可能共有N 种不同结果，分别为X₁， X₂ ， …，X_n，相应的概率为P₁ ，P₂ ， …，P_n，那么该风险资产的期望收益为:

根据期望收益率的概率分布，可用标准差来描述风险，如2. 16 式所示。它反映了该概率分布相对于期望值的集中度。在期望收益一定的前提下，标准差越大，表明风险越大:

投资者将所有财产集中投资于一种资产，风险较大，为降低风险和提高收益，需要形成合理的投资组合。假定市场上有i 种风险资产，相应的收益和风险分别为r_i 和投资者期初财富为W₀ ， 全部投资于这些资产，相应的份额为Wi，i=1, 2 ，…，n; W₁ +W₂+ …+W_n=1 。该技资组合的收益和风险用期望和方差表示如下:

ρ_ij是i 和j 的相关系数，表征两资产的相关程度。是由投资组合中各项资产收益间的相关性所带来的风险，为系统性风险。由单个资产的方差组成，称为非系统性风险，当n 趋于无穷大时，该值收敛于零。随着投资组合中资产种类的增加，这两种风险表现出明显不同的性质。只要资产收益不完全相关，投资组合的分散化便可在不减少平均收益的前提下降低组合的方差，所以投资分散化被称为"经济学中唯一可以白吃的午餐"。

投资者一般都厌恶风险。对于给定的收益率，提供最小方差的投资组合的收益与风险的轨迹，构成了投资组合的有效集;使投资者效用最大化的投资组合则为最优投资组合。考虑市场存在一种无风险资产，某证券所要求的收益率(r_x) 可看成是证券的系统风险、市场投资组合的预期收益率(r_m) 和无风险资产收益率(r_f)的函数：

β_x是对系统性风险的衡量，等于该证券收益率与整个市场收益率之间的协方差同整个市场收益率的方差之比: