9.3 风险测度
9.3.1 VaR 和后验测试
VaR 是Value at Risk 的简称， 一般称为风险价值或在险价值。Jorion (1997) 提出， VaR 是资产在某一置信水平和时间段下预期的最大损失或最坏情况下的损失: prob (△p > VaR) = 1 - c ，其中，△p 为资产持有期内的损失， VaR 为置信水平c 下处于风险中的价值。Artzner 等(1999 )给出了VaR 的严格数学定义:
，其中， inf 表示集合的下确界。VαR 的计算公式可以表示为：
其中，W0是资产的初始价值，Zα是置信度对应的分位数， Zα 的数值根据资产收益率的概率分布函数情况和置信度的取值计算得出。σ 为资产收益的标准差， k为测度期限。当的标准化为1 元，测度期限为1 日时， VaR 可以表示为VαR(r) =zασ 。
VaR 是一个统计估计值，其准确程度受到估计误差的影响，为了准确理解VaR 估计结果的有效性和改进模型，需要进行检验和评估。后验测试可以检验VaR 模型的测量结果对实际损失的覆盖程度。该方法通过评价样本中实际的投资组合损失值大于VaR的次数，然后计算超过VaR 的次数比例是否大于设定的置信度，就可以得出该VaR模型预测其真实风险值的好坏。为检验风险计量模型的有效性，采用的后验测试法计算步骤为: 选取样本期内所有交易日内的VaR 与同期实际收益率进行对比，计算失败的天数
其中， rt为第t日的实际收益率，然后计算失败频率P =N/ T , T 为样本数，并将p 值与显著水平1 - c 进行比较判断模型的准确性。在置信水平为c时，若p>1-c ， 说明模型对实际损失的覆盖程度较低，有可能低估了风险;若p<1-c ， 说明模型的预测结果较高地覆盖了实际损失，但是较小的p 值则表明模型的估计过于保守。
根据以上分析可以得出VaR 关注的是资产损益的尾部特征，其计算方法与置信水平的选择、资产收益的概率分布以及资产收益的波动性有关，而资产收益波动常具有条件异方差性，因此，为了较好地测算VaR 值，要根据验证的需要恰当选择置信水平，以及全面考虑收益的概率分布及其波动性。为此，研究的思路是先对黄金期货价格收益率序列的统计特征进行建模分析，在此基础上计算VaR的值，并对模型进行后验测试以提出风险管理对策。
9.3.2 VaR 的计算和后验测试
根据参数估计值，通过GARCH 或EGARCH 模型来计算条件方差，从而得到时变的标准差即波动率，然后按照VaR(r) 的计算方法，分别计算GARCH 模型和EGARCH 模型的三种分布在置信水平为95% 和99% 的VaR (r) 值，其中， ω0标准化为1元，测度期限为1 日。95% 和99% 置信水平下的分位数计算结果如表9.11 所示，其中， t 分布和GED 的分位数可以由Eviews 程序计算得到。
为了将计算得到的VaR(r) 与实际的收益率进行对比，将VaR( r) 计算结果取相反数，然后将VaR (r) 值与实际收益绘制到同一个图中以便于比较，结果如图9.2~图9.5 所示(见附录4) 。图9.2 和图9.3 分别为95% 、99% 的置信水平下基于三种不同分布的ARMA(2 ， 2) - GARCH(1,1 )模型的VaR(r) 计算结果与实际收益率的变化'情况;图9.4 和图9. 5 分别为95% 、99% 的置信水平下基于三种不同分布的ARMA(2 ， 2) - EGARCH(1, 1) 模型的VaR(r) 计算结果与实际收益率的变化情况。
根据后验测试公式计算失败天数得到失败频率，上述模型的后验测试结果如表9.12 所示。
根据图9.2- 图9.5 和表9.12 后验测试结果，可以得出在95% 和99%的置信水平下，在GARCH 族模型中，基于ARMA (2 , 2) - GARCH ( 1 ,1) - t 模型计算的VaR 比基于GARCH - n 和GARCH - GED 模型得出的VaR 更多地覆盖了实际损失;在EGARCH 族模型中，基于ARMA(2 ， 2) -EGARCH (1, 1) - t 模型计算的VaR 也是更多地覆盖了实际损失，这说明在95% 和99% 的置信水平下，基于t 分布的模型所刻画的风险价值失败次数最少。因此，在95% 与99% 的置信水平下，可以选取ARMA(2 ， 2) -GARCH (1, 1) - t 模型与ARMA (2 , 2) - EGARCH ( 1, 1) - t 模型度量VaR 。当然，根据投资者不同的风险偏好，也可选择其他的模型。