5.2 模型与方法

5.2.1 ARMA 模型

ARMA 模型建模的基本原理是某些时间序列数据是依赖时间t 的一组随机变量，虽然构成该时间序列的单个序列值具有不确定性，但是整个序列的变化却有一定的数学规律性，因此，可以采用相应的数学模型来近似描述。通过对所建立的数学模型的分析研究，能够更本质地认识该时间序列的结构和特征。

如果时间序列r_t是它的当期和前期的随机误差项以及前期值的线性函数，即可表示为:

则称该时间序列r_t是自回归移动平均序列，该式为(p ， q) 阶的自回归移动平均模型，记为ARMA ( p ， q) 。对于ARMA(p ， q) ， 若阶数q =0 ， 则是自回归模型AR(p); 若阶数p =0 ， 则是移动平均模型MA(q) 。在需要对一个时间序列采用础MA 模型建模时，应该先使用时间序列的向相关函数和偏自相关函数对时间序列进行识别，以确定适宜的阶数。如果时间序列的自相关、偏自相关函数均存在拖尾，并且是平稳的时间序列，就可以采用础MA(p ， q) 建模。

5.2.2 ARMA - GARCH 族模型

在对时间序列进行ARMA 建模之后，需要判断残差序列是否存在ARCH 效应。最常用的检验判断方法是拉格朗日乘数法，即ARCH - LM 检验。如果存在ARCH 效应，当采用ARCH 模型描述的时候，如果阶数q 需要一个较大的数值时，就可以考虑建立GARCH(p ， q) 模型。与ARCH 模型一样， GARCH(p , q) 模型通常也用于对回归或自回归模型的随机扰动项进行建模。GARCH(p ， q) 模型的条件方差如下所示。

为保证GARCH(p ， q) 是宽平稳的，存在参数约束条1。

实际应用中， GARCH 模型中的阶数远比ARCH 模型中的阶数小。GARCH(1 , 1) 一般就能够描述大量的金融时间序列数据，因此本节以ARMA(p , q) -GARCH(1 , 1) 为例进行阐述。ARMA(p ， q) - GARCH(1, 1) 模型通常由两部分构成，分别是条件均值方程和条件方差方程，其一般形式为

其中， ω 为常数项， α 为ARCH 项的系数， β 为GARCH 项的系数。如果α+β 小于1 ，那么就满足参数约束条件。当误差分布为正态分布、t分布、GED 分布时，可以分别建立ARMA(p ， q) - GARCH(1, 1) - n 模型、ARMA(p ， q) - GARCH( 1 , 1) - t 模型、ARMA(p ， q) - GARCH(1, 1)-GED 模型。

5.2.3 GARCH-M 模型

金融理论认为具有较高可观测风险的资产可以获得更高的平均收益，为验证这一点，可以将资产收益的条件方差引入条件均值方程中。这种利用条件方差表示预期风险的模型称为GARCH - M 模型。ARMA ( p , q) -GARCH( 1, 1) - M 模型的条件均值方程和条件方差方程为

资产收益率条件均值方程包括σ² 是为了在收益率的生成过程中融入风险测量的因素。参数γ 是用条件方差σ² 衡量的可观测到的预期风险波动对r_t的影响程度，它代表了风险和收益之间的一种权衡。如果σ²的系数γ 是正数，则表明高风险与高收益相联系。

5.2.4 TARCH 模型

TARCH 模型具有如下的条件方差

由于引入d_t-1价格上涨信息(ε_t > 0) 和价格下跌信息(ε_t < 0) 对条件方差的作用效果不同。价格上涨时，其影响可以用系数代表，价格下跌时，其影响可以用系数为，就可以说明信息作用是非对称的，存在非对称效应。

5.2.5 EGARCH 模型

在金融市场中，负的冲击比与之相同强度的正冲击往往会引起金融产品价格更大的波动，即存在明显的杠杆效应，可以采用EGARCH 模型来检验数据的杠杆效应。EGARCH 模型的方差方程如下

若ψ 不等于零，即说明冲击的影响存在非对称性，好消息(ε， _1 >0)会带来一个(α+ψ) 倍的冲击，坏消息(ε_t-1 <0) 会带来一个(α 一ψ)倍的冲击。而当ψ<0 时，就可以验证存在杠杆效应，即坏消息比好消息对条件方差的冲击会更大。

5.2.6 协整和读差修正模型

如果时间序列Y_1t，Y_2t…，几都是d 阶单整，即I(d) ， 存在-个向量α= (α1 ，α2，…， αn) ，使αy'_t ~I (d-b) ， 这里yt= (Y_1t, Y_2t …,Y_nt), d≥b ≥0 ，则称序列Y_1t, Y_2t…， Y_nt是(d ， b) 阶协整，记为y₁~CI(d ，b）， α 为协整向量。对于两个时间序列x_t，和y_t，只有在它们是同阶单整即I(d) 时，才可能有协整关系。为了检验两变量x_t和y_t是否协整，可以采用EG 检验。对同是d 阶单整的序列x_t和y_t用一个变量对另外一个变量回归，即y_t= α+βX_t+ε_t，如果模型的残差ε~I (0) ，则x_t和y_t 具有协整关系。 检验两个时间序列单整的检验方法可以采用平稳性检验。迪基(Dicky) 和富勒( Fuller) 提出了一个被称为增广迪基-富勒检验(Augmented Dicky - Fuller Test) 的方法。

ADF 检验是通过以下三个模型完成的

模型(1)

模型(2)

模型(3)

原假设都是H₀: δ=0 ，即存在一个单位根。模型(1) 与另外两个模型的差别在于是否包含有常数项和趋势项。模型(3) 中的t 是时间变量，代表了时间序列随时间变量的某种趋势。实际检验时从模型(3) 开始，然后模型(2) ，模型(1) 。何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根，为平稳序列，何时停止检验。否则，就继续检验，直到检验完模型(1)为止。

假设两变量z 与y 的长期均衡关系如y₁ =b₀+b₁X₁ + U_t 所表示，由于现实经济中z 与y 很少存在均衡点上，实际观测到的只是z 与y 间的短期的或非均衡的关系，假设具有一阶自回归分布滞后模型形式: Yt = α₀+α₁X_t +α₂X_t-1 + yy_t-1+u_t， t = 1 , 2 , … , T。式中， U_t~ i. i. d. ( 0 ，σ²) ，记y* =E(Yt) ，X*= E( x_t) 。上式两边取期望得y*= β₀+β₁y*+ β₂X* + β₃X^*，进而有

其中， k₁是y_t 关于X_t的长期乘数度量了Y_t 与X_t的长期均衡关系。

在上式两端减去Y_t-1 ， 在右边加减β₂X_{t- 1} 得到

该式称为误差修正模型。当长期均衡关系是y*= k₀ + k₁x*时，误差修正项是(y_t-1-k₀ -k₁X_t-1) 的形式，它反映了Y_t-1关于X_t-1在t 时点的短期偏离。由于|β₁| <1 ，所以误差修正项的系数α=(β₁-1) <0 ，通常称为调整系数，表示t-1 期Y_t-1 关于(K₀+k₁ xt-1) 之间的偏差的调整速度。

5.2.7 向量自回归模型

向量自回归( VAR) 模型通常用于相关时间序列系统的预测和随机扰动对变量系统的动态冲击，从而解释各种经济冲击对经济变量形成的影响。

一般的向量自回归模型的数学表达式为

其中， y， 是m 维内生变量向量， x_t 是r 维外生变量向量， A₀ , A1,A₂，...,A_p 和B₁ ,…, B_q 是待估计的参数矩阵，内生变量和外生变量分别有p 和q阶滞后期。U_t 是随机误差项。在实际应用中，通常希望滞后期p 和q 足够大，从而能够完整地反映所构造模型的动态特征。但是另外，滞后期越长，模型中待估计的参数就越多，自由度就越少。因此，应该在滞后期和自由度之间寻求一种均衡状态，一般根据AIC 和SC 信息量取值最小的准则确定模型阶数。如果VAR 模型的全部特征根的倒数值都在单位圆之内，表明VAR 模型是稳定的。稳定的VAR 模型可以做脉冲函数分析和方差分析。VAR 模型可以通过脉冲响应函数描述每个内生变量的变动或者冲击对它自己及所有其他内生变量产生的影响作用。VAR 模型可以通过方差分解把系统中的每个内生变量的波动按其成因分解为与各方程新息相关联的组成部分，从而了解各新息对模型内生变量的相对重要性。