第29章 如何获得更强大的力量
齐普夫的发现
这里有一种你可以用来打发时间的游戏。随便找一篇文章，比如说詹姆斯· 乔伊斯的《尤利西斯》 ，按文章中所有字的使用次数(从最经常使用的字到最不常用的字)和频率(每个字出现在文章中的频率)标在坐标系中。如果用对数比例尺表示这种宇频的分布规律，我们就会得到一条从左上角延伸到右下脚的直线。
20 世纪30 年代中，哈佛大学的语言学家乔治. K. 齐普夫(George K. Zipf) 在很多系统中都注意到这种关系的存在，并在他的传世之作《人类行为和最小付出原则》 (Human Behavior and the Principle of Least句扣的一书中，对这些系统进行了总结，并被科学家们称之为"齐普夫定律"。实际上，它只是"指数定理"的众多示例中的一个。以语言中的文字为例，幂律意味着，我们会在一篇文章中看到大量经常出现的字和少数很少出现的字。
但齐普夫却错误地指出，他的定律对社会科学和自然科学进行了区分。自从齐普夫发表其研究结果之后，科学家们陆续发现，众多领域都存在着军律规律，其中包括物理系统和生物系统。例如，科学家采用幕律解释动物体重与新陈代谢率、地震的频率和振幅( GutenbergRichter 定律)以及雪崩频率与程度之间的关系。在社会系统中，幂律分布也发挥着举足轻重的作用，比如说收入分配(帕累托定律)、城市规模、互联网流量、公司规模以及股票价格的变动。很多人通过耳熟能详的80/20 规则，认识到了幂律规律的存在。
为什么说投资者也有必要了解幂律呢?首先，幂律分布的存在可以帮助我们重新认识风险。包括风险模型在内的大多数金融理论均以股价变动的正态分布为基础。按照幂律分布，不经常出现的周期性股价波动幅度远远大于传统金融理论的预测。这种肥尾现象对于确定投资组合结构和杠杆率是非常重要的。
其次，幂律分布的存在揭示了自组织系统的某些基本规则。虽然科学界人士尚不能全面解释造成社会系统中幂律现象的机理，但是，足够的证据可以说明，我们确实可以通过幂律分布对某些系统的未来状况作出结构性的预测。
最后，标准的规范化经济理论并不能很好地解释这些幂律。例如，新古典经济学强调均衡结果(Equi1ibrium Outcome) ，井假设所有个人均为理性人，具有完全的信息，且所有个体之间的相互作用均为间接的(以市场为媒介)。但是在现实的世界中，人是具有适应性的，也不可能掌握所有的相关信息，而且个体之间的交往也是直接的。因此，以最适合于真实行为模式的方法去解读实证结果，才是最理想的做法。
幂律分布的力量
齐普夫用如下公式描述了他所倡导的定律:
次序x 规模=常数
该公式表明，被研究对象的量度与次序成反比。按照齐昔夫的这个故事，我们可以用1 、1/2 、1/3 、1/4……等一系列数字乘以常数，得到一个序列。不妨以西班牙的城市人口规模为例。如果最大城市马德里有300 万居民的话，那么，第二大城市巴塞罗那的人口就应该是马德里人口的一半，第三大城市瓦伦西亚的人口为马德里人口的1/3 ，以此类推。但这显然是不符合现实的。尽管齐普夫能很好地描述某些系统，但其适用范围却是非常有限的，很多具有幕律特征的系统并不适用于这个公式。
著名学者伯努瓦· 曼德布罗特指出，只要对齐普夫定律进行两个修正，就可以得到更具有普遍性的幕律分布。(第一个修正是为排序增加一个常数，于是，我们得到的序列数将变为: 1/ (1+常数)、1/ (2+常数)、1/3+ 常数)等。
第二个修正是为分母的罪数增加一个常数。于是，我们可以得到1/ (1+常数)1+常数、1 / (2+常数) 1+常数、1/3+ 常数) 1+常数等。经过修正的事数既可以是整数，也可以是中间值[例如1/ (1+ 常数)3/4]。齐普夫定律则是两个常数同时修正为零的特例。
尽管公式中引入了两个参数，但是要把齐普夫定律推广到更多的事律分布却并不困难。用这样一个基本的公式去描述如此多样性的现象肯定会招致我们的疑问，尤其是在无泣对暮律分布的形成方式作出统一解释的前提下，更是如此。
在社会系统中，幕律分布最有趣的特征之一就是有效性。例如，图29.1 显示了1790 - 1990 年，美国城市人口的排序和规模之间的关系。尽管人口增长率和城市边界一直处于不断变化的状态中，但排序和规模之间的关系却在2000 年内始终显示出良好的一致性。
另一个直接适用于投资者的例子是企业规模。在图29.2 中，我们根据齐普夫定律说明了1997 年美国企业销售额和频率之间的关系。经济学家罗伯· 阿克斯泰尔(Rob Axtell) 根据美国普查局2001 年年初之后的数据绘制了这张图表，研究样本为550 万家美国公司和1 亿多名劳动力。
阿克斯泰尔指出，公司规模的分布对政治与法规环境、并购活动的起伏、新公司成立和老公司破产的变动趋势乃至劳动力的大规模转换(例如劳动力中女性人口的增加)等因素井不敏感。这就意味着，是某种重要的机制创造了我们所看到的秩序。
尽管没有人能完全理解产生幕数的机理，但很多模型或过程都可以产生幕数。其中最典型的事例就是理论物理学家伯· 巴克(Per Bak)提出的"自组织临界性"。巴克通过沙堆效应向我们描述了他的理论:
一个孩子在沙滩上用散沙堆出一个沙堆。开始的时候，抄堆较为平稳，沙子基本保持在落地的位置，随着沙堆逐渐增高，坡角逐渐加大，沙堆就会出现明塌， 沙子出现滑落，持续的时间越长，沙堆越高，抄子的滑落现象越严重。这就是一个处于"临界状态"的系统一一也就是说，从稳定状态到进入随机状态的临界点。一旦沙堆进入临界状态，增加的沙子就会产生不同程度的崩塌现象，此时，我们就可以认为， 沙子滑落的规模符合幂律分布。
在沙堆这个例子中，很多特征都可以让我们联想到社会系统。一方面，经济系统本身具有明显的自组织性。也就是说，大多数企业、城市和国家都是由众多个人相互作用的结果，而不是集中规划的产物。此外，经济系统也存在着自己的临界状态。在一个物理系统中，临界点是小规模变化向阶段性转换的变更点，例如，当气温降至零度以下的时候，掖态的水就会凝结。当然，经济学家不可能对经济系统的临界点作出如此清晰的定义，但有一点却是我们可以肯定的，任何人都不可能永远待在同一家公司(稳定状态) ，也不可能频繁地跳来跳去(随机状态)。阿克斯泰尔通过一个基于介质的模型(Agent-based Model)阐述了这些特征，并对企业和城市规模问题进行了解释。他的模型得到了和实证数据完全一致的结论。
幂律分布在股市的具体应用
认识和理解幂律分布，可以从诸多方面对投资者有所启发。首先，由于阿克斯泰尔的研究成果本身就是以企业规模为基础的，因此，它可以为我们研究企业规模提供一个契机。大量的实证证据已经表明，幂律分布的效力随时间的延续而增强，因此，尽管我们不知道哪家公司可能会破产，但是我们有足够的理由对未来的状态作出预测。只要对经济增段和通货膨胀作出合理估计，我们应该能对特定规模企业在市场所占的比例作出准确预测。
例如，我们可以预见到，超大规模的企业比例将是非常微小的(例如销售额大于2000 亿美元)。我们可以看一下大型企业的推算增长率，然后根据预期增长率判断它们当中将有多少会演化为超大规模企业。如果按照这个预测，预计成为超大规模企业的比例远远超过成为大规模企业的比例，我们就可以作出判断:可能需要对预期进行大幅度的反向修正。
投资者利用幂律分布的另一种方式是认识互联网的布局，作为自组织性网络的一个经典范例，互联网几乎已经成为幂律分布关系的载体一一包括各站点之间的链接数量、每个网站的页面数量以及各网站的访问量，都符合幂律分布。通过幕律分布，我们可以看到，同样是大量应用网站的企业，其利润分布却是不均匀的。互联网的发展也许可以对未来网络的组织提供一些参考。
幂律分布以令人称叹的精确度反映着社会、生物和物理体系。更重要的是，很多体现幕律分布规律的领域都与投资者的利益有着千丝万缕的关联。因此，正确认识和理解幕律分布，也许可以为投资者从诸多角度认识投资过程提供有益的启发。