第26章  圣彼得堡悖论与成长股投资

伯努利的挑战

那些资深投资者引以为豪的是，他们总能以适当的价值去评判金融性权益。这种能力恰恰是投资的核心:事实上，市场不过是针对未来权益进行现金交易的载体而已，反之亦然(未来权益也是市场进行现金交易的载体)。

那么，这里就有一个评定现金流价值的问题，即抛掷一个均匀的硬币，按照获得正面和反面的情况计算收益( 亏损)。如果落地时正面向上，你可以得到2 美元，游戏就此结束。如果背面向上，重新抛掷。

如果第二次抛掷的结果是正面向上，你得到4 美元，游戏结束自如果背面向上，再次抛掷。每增加一次抛掷，只要正面向上，你的回报翻一番(即$2 、$4 、$8 、$16 ……) ，然后进入下一轮，直到正面向上时结束。那么，你参加这个游戏愿意支付的费用是多少呢(也就是你最终可能得到的回报) ?

1738 年，数学大师伯努利家族的成员之一，丹尼尔·伯努利(Daniel Bemoulli) 第一次在俄罗斯皇家科学院上提出这个问题。这个被称为"圣彼得堡悖论" (St. Petersburg Paradox) 的伯努利游戏对古典理论提出了挑战，该悖论认为，参与者参与游戏愿意支付的费用应该是他能得到的期望值。显然，这个游戏的期望值是无限的，每一轮的收益期望值应是1美元(获得收益的概率为1/2" ，则每一轮的收益为2" 美元，或者说: 1/2x$2 , 1/4x$4 , 1/8x$8，以此类推)。因此，总的收益期望值为:

期望值=1+ 1+ 1+1 ……=∞

显而易见，哪怕只是花20 美元，也不会有几个人愿意参与这样的游戏。伯努矛IJ试图用货币的边际效应理论解释这个悖论。他认为，我们愿意支付的数额是现有资源数量的函数:你的资源数量越多，愿意支付的费用也就越多。但是，伯努利的解释并不非常完美。在超过两个半世纪的时间里，圣彼得堡悖论一直让哲学家、数学家和经济学家们倍感困惑。

除了哲学上的内涵之外，其他研究也无一例外地为投资者揭示了两个极为具体的观点。第一个观点认为:股票市场收益率的分布并不符合传统金融理论的假设前提。这一有悖常理的观点对风险管理、市场有效性理论以及个股选股都有着非常重要的意义。

第二个观点与成长股估价有关。对于拥有超额小概率收益的企业，你愿意支付多少成本去购买它的股票呢?在价值迁徙瞬息万变、收益不断增长的市场形势下，这个问题似乎更具有紧迫性和现实性。

正态分布捉襟见肘

资产价格分布对基金经理来说有着重要的现实意义。传统金融理论假设，股票价格变动服从正态分布，也就是著名的钟形曲线。由于该假设在大多数条件下都具有足够的精确度，因此，投资者可以利用这一假设进行基本的概率统计。例如，对于一个符合正态分布的样本，我们可以确定总体平均值，并利用特征值表达偏离该平均值的可能性。

包括人为的股市在内的大多数自然状态并不符合正态分布概念。

很多自然系统都具有两个特征:小规模构成要素在数量上日渐增加，且外形相同的构成要素以不同的规模分布于系统之中。比如说，一棵树有一个大树干以及很多小树技、更小的树枝…..小树枝在外形上与相对较大的树枝基本相同。这些系统具有分形性(Fractal) ^①（①分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征土和整体相似，只仅仅是在规模上逐渐减小而已。） 。和正态分布不同的是，任何平均值都无能恰当地表述一个分形系统的实际特征。图26.1 从形式上对正态分布系统和分形系统的差异进行了对比，并说明了代表相关数据的概率函数。

使用正态分布表述金融市场之类分形系统的特征很可能是非常危险的。但理论家和实务者依然在乐此不疲地使用着这个工具。正态系统和分形系统之间的差别最终归结为概率和回报。分形系统具有不符合正态分布的少量大幅观测值。最经典的事例就是1987 年的股市大跌。市场收益率在一天内下跌幅度超过20% 的概率微乎其微(假设收益率的分布符合正态分布) ，在实践中更是几乎为零。同时，股票市值也达到了令人窒息的2 万亿美元。

对比正常情况下的抛硬币游戏和圣彼得堡游戏，同样也可以说明这一点。假设硬币落地时正面向上，你可以得到2美元，如果背面向上，你什么也得不到。游戏的期望值为1 美元，这也是你为参加这个公平赌博而愿意支付的费用。笔者对100 万轮掷硬币试验进行了模拟，每轮掷100 次，井把回报额绘制在图26.2 上。正如你所期望的一样，我们得到了一个近乎完美的正态分布。

之后，笔者对100 万次圣彼得堡游戏的结果进行了模拟，并绘制了该游戏的分布图(见图26.3 )。在该分布图上，我们可以看到，尽管基本过程是随机的，但结果的分布却符合幕率居则。例如，在一次游戏中，得到2 美元的概率为50% ，得到4 美元以下回报的概率为75% 。按照这个概率， 30 轮试验可以实现的最大回报为11 亿(2³⁰ ) 美元，但我们在11 亿次试验中才有可能有一次实现如此回报的机会。因此，分形系统的特征体现为大量的小规模事件和极少的大规模事件。此外，在圣彼得堡游戏中，每次游戏的收益额也是不稳定的，因此，任何平均值都无法准确描述游戏的长期结果。

那么，股票市场的收益是否也具有分形特征呢?伯努瓦· 曼德布罗特指出，只要延长或缩短代表价格序列的水平坐标轴:相当于加快或减慢价格的变化速度，价格序列就会表现出显著的分形特征。罕见的大幅度价格变动分散在众多小幅度的价格变动之间，与此同时，价格变动曲线的形状也极为相似，只是在比例上有所不同而已(例如每日收益、每周收益或每月收益)。曼德布罗特把这种财务收益对应的时间序列称为"多重分形" (Multifractal) ，他之所以在"分形" (Fractal)增加一个前缀"多重" (Multi) ，主要是为了反映按时间进行调整这一思想。

在影响深远、百读不庆的《股市何以崩横》 (Why Stock Markets Crash) 一书中，地球地理学家迪迪尔·索尼特(Didier Sornette) 指出，股票市场的价格分布包括两个不同的样本总体:主体(能用标准理论模型化的部分)和尾部(依赖于完全不同的分布机制)。索尼特对市场下跌趋势的分析极有说服力地推翻了股票收益相互独立的假设，这也是传统金融理论的基石。他的研究为我们认识古典金融理论的缺陷提供了一个全新而深刻的视角。

如何抓住小概率的暴富点?

圣彼得堡悖论还为我们认识成长股估价提供了一种工具。对于这样一种小概率事件-一一企业永久性地实现现金流高速增长，你愿意支付的费用上限是多少呢?

在1957 年发表的经典论文《成长股与圣彼得堡悖论》中，戴维·杜兰德探讨了这个问题。他主张对这个问题应采取极为谨慎的态度，井特别强调了均值回归的思想和建模方式。但是，如果说有什么不同的话，那就是如何在当前的市场条件下对小概率的巨额价值做出评判，所面对的挑战根本就不是50 年前的杜兰德所能想象的。

例如，我们不妨探究一下1980 - 2004 年完成首次公开上市(IPO)的近2000 家技术类企业:在它们所创造的2 万多亿美元的财富中， 5%的企业拥有其中的绝大部分财产。即使是在这些真正实现财富创造的少数企业中，也只有为数不多的几家公司能创造出可观的回报。在很多以"胜者为王、败者为寇"为特征的成长股市场中，对于未来的财富创造里程，我们几乎没有什么理由认为还有比这更规范的正态分布。

此外，相关数据还表明，在当今的美国企业中，投资回报率的分布范围比以往更宽。因此，对于这些真正的财务创造者，他们所能期待的收益上限数额是以往任何时候都无桂比拟的。和圣彼得堡游戏一样，虽然未来交易的绝大部分收益较为稳定适中，但的确有某些收益是非常巨大的。那么，期望值到底是多少呢?你为此愿意付出的代价应该是多少呢?

尽管圣彼得堡悖论已经有几个世纪的历史，但它所带给我们的启示却一如既往。在投资中，最大的挑战在于如何把握小概率的大规模事件。遗憾的是，标准的规范型金融理论在这个问题上一筹莫展。