黄金比率

在数列中的头几个数字之后，任何一个数字与下一个数字的比率大约是0.618：1，而与前一个数字之比大约是1.618：1。数字在数列中越靠后，比率就越接近于甲，甲是无理数0.618 034……数列中间隔的数字之间的比率是0.382，其倒数是2.618。参考图3-2，看看链接所有1~144的斐波纳契数字的比率表。

φ是唯一一个与1相加得到其倒数的数字：0.618+1=1÷0.618。这种相加和相乘的结合，产生了以下等式序列：

0.6182=1-0.618

0.6183=0.618-0.6182

0.618^4=0.6182-0.6183

0.618^5=0.6183-0.618^4，等等

或另一种，

1.6182=1+1.618

1.6183=1.618+1.6182

1.6184=1.6182+1.6183

1.6185=1.6183+1.6184，等等

这四种主要比率的某些关联性质可以如下列举：

1.618-0.618=1

1.618×0.618=1

1-0.618=0.382

0.618×0.618=0.382

2.618-1.618=1

2.618×0.382=1

2.618×0.618=1.618

1.618x1.618=2.618

除了1和2之外，任何斐波纳契数字乘以4，如果加到一个经挑选的斐波纳契数字上，就给出了另一个斐波纳契数字，因此：

3×4=12；+1=13

5×4=20；+1=21

8×4=32；+2=34

13×4=52；+3=55

21×4=84；+5=89，依此类推。

在新数列前进时，第三个数列从与4倍的乘积相加的数字开始。这种关系是可能的，因为隔两个数字的斐波纳契数字之间的比率是4.236，这里0.236不仅是4.236的倒数，也是4.236与4的差。其他乘积产生了不同的数列，它们都基于斐波纳契乘积。

以下，我们列举了部分与斐波纳契数列有关的现象：

1）两个连续的斐波纳契数字没有公约数。

2）我们发现，如果把斐波纳契数列标上1，2，3，4，5，6，7，等等，除了第一、第二和第四个斐波纳契数字以外，每次遇到素数（仅能被1和自身整除的数）的斐波纳契数字时，它的序列号也是素数。相似地，从斐波纳契数列的第六项开始，所有合数（除了1和自身以外，还能被其他整数整除的数）的序列数都标示着合数的斐波纳契数字，如下表。这些现象反过来就并不总是成立了。

3）数列中的任何十个数字之和，均可被11整除。

4）数列中发展至任何一点的所有斐波纳契数字之和加上1，等于与最后一个加数向后相隔一项的斐波纳契数字。

5）从第一个1开始的任何相连的斐波纳契数列的平方和，总是等于所选数列的最后一个数字乘以下一个更大的数字。

6）一个斐波纳契数字的平方，减去数列中比这个数字小两项的数字的平方，总是一个斐波纳契数字。

7）任何斐波纳契数字的平方，等于数列中这个数字的前一项与后一项的乘积再加上1或减去1。在整个数列中加上1或减去1相互交替。

8）一个斐波纳契数字Fn的平方加上下一个斐波纳契数字F（n+1）的平方等于斐波纳契数字F（2n+1）。公式Fn2+F（n+1）2= F（2n+1）适用于直角三角形，它的两条短边的平方和等于最长边的平方。右边是一个例子，它使用F5，F6和√F11。

9）一个公式解释了数学中两个无处不在的无理数而闲之间的关系：

Fn≈100×π2×φ^（15-n），其中φ=0.618……n代表斐波纳契数列中各项的数学位置，而Fn代表这个项本身。在这种情形中，数字“1”仅被代表了一次，因此F1≈1，F2≈2，F3≈3，F4≈5，等等。

例如，令n=7，则：

F7≈100×3.14162×0.618 033 9^（15-7）

≈986.97×0.618 033 9^8

≈986.97×0.021 29

≈21.01

≈21

10）一个思维延伸现象，据我们所知以前未提过，是斐波纳契数字间的比率得出的数字非常接近于其他斐波纳契数字的千分之一，其差值是第三个斐彼纳契数字的千分之一，所有都成数列（见比率表，图3-2）。因此，在比率上升的方向上，相同的斐波纳契数字以1.00，或称0.987加上0.013相关；相邻的斐波纳契数字以1.618，或称1.597加上0.021相关，相隔一项的斐波纳契数字以2.618，或称2.584加上0.034相关；依此类推。在比率下降的方向上，相邻的斐波纳契数字以0.618，或称0.610加上0.008相关；相隔一项的斐波纳契数字以0.382，或称0.377加上0.005相关；相隔二项的斐波纳契数字以0.236，或称0.233加上0.003相关；相隔三项的以0.146，或称0.144加上0.002相关；相隔四项的以0.090，或称0.089加上0.001相关；相隔5项的以0.056，或称0.055加上0.001相关，相隔6项至相隔12项的以比率本身就是从0.034开始的一个斐波纳契数字的千分之几相关。有趣的是，根据这种分析，相隔13项的两个斐波纳契数字之间的比率又回到了0.001，它开始时的千分之一！在所有的计数中，我们像斐波纳契数列的崇拜者定性的那样，真的创造了“在一个无穷级数中繁衍”的“特征传递”，这揭示了“所有数学关系中最紧密的”特性。

最后，我们注意到，（√5+1）/2=1.618和（√5-1）/2=0.618，其中√5=2.236。5是波浪理论中最重要的数字，而它的平方根是φ的数学解。

1.618（或0.618）被认为是黄金比率（golden ratio）或称黄金平衡（golden mean）。它的比例对眼睛和耳朵来说很舒服。它在生物、音乐、绘画和建筑中出现。威廉·霍法（William Hoffer）曾在为1975年12月号的《史密森人》（Smithsonian Magazine）撰写的文章中说：

……0.618 034与1之比是纸牌与巴台农神庙（Parthenon）、向日葵与蜗牛壳、希腊花瓶与外宇宙的螺旋星系的形状的数学基础。希腊人将他们的绘画和建筑大量基于这个比例。他们称其为“黄金平衡”。

斐波纳契的魔术兔子在许多意外的地方出现。这些数字无疑是一种神秘的自然和谐，这种和谐宜人、悦目，甚至动听。例如，音乐的一度有8个音符，在钢琴上它用8个白键，5个黑键表示，共13个键。看起来给耳朵最动听的音乐和声是大六庭绝不是巧合。音符E的振动是音符C的0.625 00倍，音符A仅仅与确切的黄金平衡相差0.006 966，大六度的比例引起内耳耳蜗——正好也是对数螺线形的器官——的和谐振动。

斐波纳契数字与自然界中的黄金螺线不断出现，精确地解释了为什么0.618 034与1之比在绘画中让人感觉如此舒服。人们可以在绘画中发现基于黄金平衡的生命图像。

小到原子结构、大脑中的微细管以及DNA分子（见图3-9），大到行星的距离和周期，大自然在其最本质的积木和最高级的模式中采用黄金比率。它包含在非常广泛的现象中，如准晶体排列，光束在玻璃表面上的反射，大脑和神经系统，乐曲改编，植物的结构和动物的结构。科学正在迅速地证明，实际上有一种基本的自然比例原理。顺便说一下，你用你的五个附肢中的两个拿着这本书，每个附肢有三个相结合的部位，终端有五个手指或脚趾，而每个手指或脚趾有三个相结合的部分，这或许说明了波浪理论的5-3-5-3前进。