第31章 实物期权
到现在为止，我们一直在考虑金融资产的估值方法。本章中我们对前面章节中讲述过的一些理念进行扩展，评估实物资产（如土地、建筑物、厂房和设备等）的资本投资机会。通常这些投资机会中都嵌入了选择权（如扩张投资的选择权、放弃投资的选择权、延迟投资的选择权等）。这些选择权很难用传统资本投资评估方法来估值。所谓的实物期权方法，就是以期权定价理论处理这些问题。
本章刚开始讲述传统的实物资产投资评估方法，并说明它很难正确地估值内嵌选择权。我们解释如何把风险中性估值方法扩展到实物资产情形，并举很多例子来说明在一系列不同情形下如何应用这个方法。
31.1 资本投资评估
估值潜在资本投资方案的传统方法是所渭的净现值（NPV）方法。一个方案的NPV是预期未来现金流变动的现值。用来计算现值的贴现率是“风险调整贴现率”，它的选择依据是要反映方案的风险。随着方案的风险程度提高，贴现率也会上升。
举一个例子，考虑一笔投资，成本为1亿美元，持续5年。每年的预期现金流估计值为2500万美元。如果风险调整贴现率为12%（连续复利），则投资的净现值为（百万美元）。
计算出的负NPV表示执行该方案会减少公司对于股东的价值，因此不应该执行该方案。正NPV表明应该执行这一方案，它会增加股东权益。
风险调整贴现率应该是公司、公司股东或投资本身要求的收益率。可以用很多方法计算该值。一种经常使用的方法是利用资本资产定价模型。计算步骤如下：
1.取一系列公司样本，它们的主要业务和我们的方案类似
2.计算这些公司的beta，取平均值，得到该方案的代用beta
3.设定要求收益率等于无风险利率加上代用beta乘以市场证券组合超过无风险利率的超额收益率
运用传统NPV方法时，碰到的难点是很多方案都包含内嵌选择权。例如，一家公司考虑建设一个新的厂房来制造一种新产品。通常，这家公司有这样的选择权，如果事情不顺利，它可以放弃这一方案。公司同样也具有选择权，如果对产品的需求超过预期，它可以扩展厂房。这些选择权的风险性质通常和初级方案非常不一样，应该使用不同的贴现率。
为了解释这个问题，我们回顾第11章开始部分的例子。一个股票的当前价格为$20。3个月后价格会变成$22或$18。根据风险中性估值方法，执行价格为21、基于该股票的3个月期看涨期权的价格为0.633。第11章的注释1说明，如果现实世界中，投资者关于股票的要求预期收益率为16%，那么该看涨期权的要求收益率为42.6%。类似的分析说明，如果期权是看跌而不是看涨.那么期权的要求预期收益率为-52.5%。这些分析说明，如果用传统NPV方法估值看涨期权，正确的贴现率应该是42.6%，用来估值看跌期权，正确的贴现率应该是-52.5%。但是不太容易确定这些贴现率（我们知道这是因为我们有其他估值期权的方法）。类似地，估计扩张、放弃以及其他选择权相关现金流的风险调整贴现率也是非常困难的事情。这就是定价金融资产期权的风险中性估值原理被扩展到实物资产期权情形的原因。
传统NPV方法中存在的另一个问题是如何估计初级方案（即没有内嵌选择权的方案）适用的风险调整贴现率。之前用上述三步过程估计代用beta的公司本身都有扩张或放弃选择权。它们的beta反映这些选择权，因此并不适用于初级方案的heta估计。
31.2 风险中性估值框架的扩展
25.1节中我们定义了一个变量Θ的风险的市场价格：
其中，r是无风险利率，μ是只依附于Θ的可交易证券的收益率，σ是其波动率。如25.1节所述，不管选择哪个可交易证券，我们得到的风险的市场价格λ是相同的。
假设一-个实物资产取决于多个变量Θi（i=1，2…）。令mi和si为Θi的预期增长率和波动率，那么
其中，zi是维纳过程。定义λi为Θi的风险的市场价格。我们可以扩展风险中性估值方法，依附于Θi的任何资产可以按以下步骤估值：
[例31.1] 某个城市中，商业房地产的租借费用以5年期租借协议中每平方英尺的支付金额来报价。当前的费用是每平方英尺$30。费用的预期增长率是12%p.a.，波动率为20%p.a.，风险的市场价值为0.3。当前，一家公司可以以100万美元购买种期权，2年后开始的5年期间内可以按每平方英尺$35租借10万平方英尺。无风险利率为5%p.a.（假设为常数）。定义V为2年后办公场所每平方英尺的报价。我们简单地假设，租金每年预先支付。因此，该期权的损益为：
31.3 风险的市场价格估计
以实物期权方法评估一个投资时，不需要以31.1节中讲述的方式估计风险调整贴现率，但是确实需要估计所有随机变量的风险的市场价格参数。如果我们能得到某个变量的市场数据，就能使用资本资产定价模型估计该变量的风险的市场价格。为了解释这一过程，我们考虑只依附于这个变量的投资资产。定义：
μ：投资资产的预期收益率
因为投资资产只依附于这个市场变量，投资资产收益和股票市场价格指数收益之间的瞬态相关系数也是ρ。根据资本资产定价模型的连续时间形式，我们得到
该方程可用来估计λ。
[例31.2] 逐季度分析公司的销售额得到的历史数据说明，销售额变化百分比和S&P500指数收益之间的相关系数为0.3。S&P500的波动率为20%p.a.。根据历史数据，S&P500指数的超过无风险利率的预期超额收益为5%。根据方程（31.2），公司销售额的风险的市场价格为
如果我们考虑的特定变量不存在相应的历史数据，可以代用其他类似的变量。例如，建造一个厂房生产新商品，此时可以收集类似产品的销售额数据。并且，假设新产品和市场指数之间的相关系数等于其他类似产品和市场指数之间的相关系数。某些情形中，需要主观判断方程（31.2）中的ρ估计值。如果一位分析师确信某个变量和市场指数的表现没有任何关联，那么该变量的风险市场价格应该等于0。
对于某些变量，我们并不需要计算风险的市场价格，因为我们可以直接估计变量在风险中性世界中遵循的过程。例如，如果变量是某个投资资产的价格，风险中性世界中该变量的总收益率等于无风险利率。如果变量是短期利率r，第28章中说明了如何从初始利率期限结构估计风险中性过程。本章的后面部分中，我们将说明如何从期货价格估计一个商品的风险中性过程。
31.4 企业估值的应用
传统企业估值方法，如将市盈率乘数应用于当前收益，往往不适用于新企业的估值。一般地，一家公司在前几年中会有负的损益，因为公司企图获得市场份额以及建立客户关系。估值这样的公司时，我们应该估计多种情形下的公司未来损益和现金流。
公司的未来现金流通常依附于一系列的变量，如销售额、和销售额成正比的可变成本、固定成本等等。对于一些变量，单个估计值就足够了。对于关键变量，我们应该如前两节中讲述的一样，估计风险中性随机过程。随后，可以用蒙特卡罗方法模拟不同情形下的风险中性世界中每年的净现金流。在某些情形下，公司可能表现良好，而在某些情形下，公司可能破产并终止经营（模拟过程应该构建一种决定破产发生条件的规则）。以无风险利率贴现每年的预期现金流，得到公司的价值心商业剪影31.1中利用了这种方法估计了Amazon.com的价值。
31.5 商品价格
很多投资涉及未来商品价格相关的不确定性。通常可以直接利用期货价格估计某个商品价格的风险中性随机过程。那么，我们不必直接计算该商品的风险市场价格。
14.7节中我们看到，在传统风险中性世界，一个商品的未来预期价格就是它的期货价格。如果我们假设商品价格的预期增长率只依附于时间，且商品价格的波动率是常数，那么商品价格S的风险中性过程为：
[例31.3] 假设2005年7月末的活牛期货价格（美分/磅）如下：
商业剪影31.1 估值Amazon.com
早期的一篇关于实物期权方法估值公司的论文是由施瓦茨和穆思（Schwartz & Moon，2000）发表的，其中他们考虑的是1999年末的Amazon.com。他们假设了公司的销售收入R和收入增长率μ遵循如下的随机过程：
他们假设了销售商品成本等于销售额的75%，其他支付等于销售额的19%，固定支出为每季度7500万美元。初始销售水平为3.56亿美元，初始赋税亏损结转为5.59亿美元，假设的税率是35%。用前一节中描述的历史数据法，估计风险市场价格R。假设μ的风险市场价格为零。
分析的时间范围是25年，假设了公司最终价值等于10乘以税前经营利润。初始现金头寸是9.06亿美元，如果现金余额变成负值，那么认为公司破产了。
使用蒙特卡罗模拟在风险中性世界中创建了不同的未来情形。评估各种情形时也考虑了可能发生的可转换债券的执行和可能发生的雇员股票期权的执行。以无风险利率贴现净现金流，得到的现值被认为是公司对股东的价值。
根据这些假设，施瓦茨和穆恩估计的1999年末Amazon.com股份的价值为$12.42。那一时刻的市价为$76.125（市价在2000年急剧下降了）。实物期权方法的主要优点是，它和一些重要假设相互一致。施瓦茨和穆恩发现股份价值估计值对增长率的波动率η（t）非常敏感。而这正是一个重要的选择性的来源。η（t）的一个小幅度增长可以带来更多的选择性机会，也使得Amazon.com股份的价值大幅度上升。
这些数据可以用来估计活牛价格在风险中性世界上的预期增长率。例如，使用方程（31.3）的模型，在风险中性世界中，活牛价格在2005年10月到12月期间的预期增长率为
即连续复利的3.4%。如果按年计算，就是20.4%p.a.。
[例31.4] 假设活牛的期货价格如例31.3。某个饲养计划中，现在要投资10万美元，3个月、6个月、9个月后都要支出2万美元。我们希望到年末有额外的活牛可以出售。主要存在两种不确定性：可供销售的额外活牛的磅数和每磅价格。预期磅数为30万。根据例31.3，风险中性世界中，1年后的预期活牛价格为每磅64.40美分，.假设无风险利率是10%p.a.，那么投资价值为（千美元）：
其中假设了可供销售的额外活牛数量不确定性的系统风险为0，并且可供销售的活牛数量和活牛价格不相关。
均值回复过程
有些人可能认为方程（31.3）中的商品价格过程过于简单。现实中，绝大多数商品价格遵循均值回复过程。它们倾向于被拉回到某个中心值。比方程（31.3）更为实际的商品价格S的风险中性过程是
我们通过构建石油价格的三个时间步的树图来解释上述行为过程。假设石油的即期价格为每桶$20，1年期、2年期和3年期期货价格分别为$22、$23和$24。假设方程（31.4）中a=0.1，σ=0.2。我们首先定义变量X，它的初始值为0，它的过程如下：
利用28.7节的方法，可以构建X的三叉树图。图31.1中给出了X的树图。
第2年，我们首先根据节点B、C和D的“到达”概率计算节点E、F、G、H和I的“到达”概率。到达节点F的概率等于节点B的“到达”概率乘以从B到达F的概率，加上到达节点C概率乘以从C到达F的概率。这也就是
0.1667x0.6566+0.6666x0.1667=0.2206
类似地计算出，“到达”节点E、G、H和I的概率分别为0.0203、0.5183、0.2206和0.0203。第2年节点上的替换量α2应该满足：
解方程，得到α2=3.099。那么，第2年的S值分别为44.35、31.37、22.18、15.69和11.10。
对于第3年节点，也可以做类似的计算。图31.2显示了最终得到的S的树图。下一节中，我们要讲述实物期权的估值中如何利用树图。
31.6 评估投资机会中的选择权价值
前面已经提过，很多投资方案包含选择权。这些选择权可以使方案价值大幅增加，但经常被人们忽略或被错误地估值。下面给出一些嵌入方案的选择权的例子：
1.放弃选择权（abandonment option）。该选择权赋予这样的权利：可以出售或停止一个方案。这是一种关于方案价值的美式看跌期权。期权的执行价格等于方案的清算（或转售）价值减去停止成本。当清算价值较低时，执行价格可以是负值。放弃的选择权可以缓解不好的投资结果带来的影响，就能增加方案的初始估价了。
2.扩张选择权（expansion option）。该选择权赋予这样的权利：在环境有利时，可以做进一步的投资并增加产量。这是关于额外产量价值的美式看涨期权。看涨期权的执行价格等于创造额外生产能力的成本贴现到期权执行时刻的值。执行价格通常取决于初始投资。如果管理层起初已经选择对超过预期水平的产量建立相关的生产能力，执行价格相对会非常小。
3.缩减选择权（contraction option）。该选择权赋予这样的权利：可以选择缩减方案经营规模。这是关于损失的生产能力价值的美式看跌期权。执行价格等于节省的未来支出在期权执行时刻的现值。
4.延迟选择权（option to defer）。对于管理者这是最重要的一种期权。管理者可以选择延迟投资方案。这是关于方案价值的一种美式看涨期权。
5.展期选择权（option to extend）。有时，通过支付一个固定数额，可以延长某个资产的寿命。这是关于资产未来价值的欧式看涨期权。
举一个例子说明如何评估内嵌选择权的投资方案。一家公司需要决定是否投资1500万美元，在未来3年内以每年200万桶的速率从某个源区获得600万桶石油。运转设备的固定成本是每年600万美元，可变成本是每桶$17。我们假设所有期限的无风险利率是10%p.a.，石油的即期价格为每桶$20，1年期、2年期和3年期期货价格分别为每桶$22、$23和$24。我们假设已经估计到石油价格的随机过程和方程（31.4）一样，a=0.1且σ=0.2。这说明，图31.2中的树图描述了风险中性世界中的石油价格的行为。
首先假设方案没有内嵌选择权。风险中性世界中，1年、2年和3年后的预期石油价格分别为$22、$23和$24。根据成本数据，风险中性世界中的第1、2和第3年的方案的预期损益（百万美元）分别为4.0、6.0和8.0。因此，方案价值为：
上述分析表明，不应该执行方案，因为执行方案会使得股东权益减少54万美元。
图31.3给出了图31.2中的每个节点上的方案价值。这些数据是从图31.2计算的。例如，考虑节点H。第3年末石油价格为22.85的概率为0.2217，对应的第3年内的收益为2x22.58-2x17-6=5.70。类似地，第3年末石油价格为16.16的概率为0.6566，对应收益为-7.68；第3年末的石油价格为11.43的概率有0.1217，对应收益为-17.14。因此，图31.3中，节点H上方案价值为：
作为另一个例子，考虑节点C。移到石油价格为31.37的节点F上的概率为0.1667。对应的第2年的现金流为2x31.37-2x17-6=22.74。随后的现金流在节点F上的价值为21.42。如果移动到节点F，方案的总价值为21.42+22.74=44.16类似地，如果移到节点G和H，方案的总收益分别为10.35和-13.93。因此，节点C上的方案价值为：
图31.3显示初始节点A上的方案价值为14.46如果考虑初始投资，方案价值变成-0.54。这就和我们之前计算的结果相一致。
假设，现在公司具有选择权，可以在任意时刻放弃这项方案。我们假设，一旦方案被放弃，则不存在残余价值.也不需要额外的支付。这种情况下，放弃选择权是一种执行价格为零的美式看跌期权，可用图31.4估值。在节点E、F和G上，该看跌期权不应该被执行，因为这些节点上的方案价值是正的。在节点H和I上，期权应该被执行。节点H和I上的看跌期权价值分别为5.31和13.49。对树图进行倒推计算，在节点D上，如果不执行期权，则放弃看跌期权的价值为：
如果执行看跌期权，则节点D上的价值为9.65。这大于4.64，所以我们应该在节点D上执行看跌期权。节点C上的看跌期权的价值为：
因此，放弃选择权的价值为194万美元。它使方案价值从-54万美元增加到+140万美元。因此，之前并不具有吸引力的方案现在对股东来说变成了正值。
接下来，假设公司不具有放弃选择权。但它具有另外的选择权，在任意时刻可以把方案的规模增加20%。增加规模的成本是200万美元。石油产量从200万桶上升到240万桶。可变成本还是每桶$17，固定成本上升20%，从600万美元变成720万美元。这是一种美式看涨期权，可以以2Q0万美元买入图31.3中初级方案的20%。图31.5对这个期权进行了估值。在节点E，期权应该被执行，损益为0.2x42.24-2=6.45。在节点F，期权应该被执行，损益为0.2X21.42-2=2.28。在节点G、H和I，不应该执行期权。节点B上，执行期权比继续等待要好，对应的期权价值为0.2x38.32-2=5.66。节点C上，如果不执行期权，期权价值为：
如果执行期权，期权价值为0.2x10.80-2=0.16。因此，在节点C，不应该执行期权。在节点A，如果不执行期权，期权价值为：
如果执行期权，期权价值为0.2x14.46-2=0.893因此，在节点A，提前执行不是最优的选择。这种情况下，期权将方案价值从-0.54增加到+0.52。我们再次发现，之前价值为负的方案的价值变成了正值。
图31.5中的扩张选择权的估值非常容易，因为一旦执行了期权，所有随后现金流入和现金流出上升20%。在固定成本保持不变或上升幅度小于20%时，我们需要从图31.3中的节点获取更多的信息。我们需要明确记录以下几个量：
1.后续固定成本的现值
2.后续收入（扣减可变成本）的现值
那么，可以计算执行期权所得损益。
当一个方案中有两个或更多个选择权时，这些选择权之间一般相互关联。一般来说，同时具有选择权A和选择权B的价值不等于两个选择权的价值之和。为了解释其中原因，假设我们在上面考虑的公司现在同时具有放弃和扩张选择权。如果方案已经被放弃，则不能再选择扩张。此外，放弃看跌期权的价值也取决于方案是否被扩张。
为了处理我们例子中选择权之间的相互作用，在每个节点上定义以下4种状态：
1.还没放弃；还没扩张
2.还没放弃；已经扩张
3.已经放弃；还没扩张
4.已经放弃；已经扩张
沿着树图进行倒推计算时，在每个节点上，我们计算4种状态下的选择权的联合价值。24.4节中详细讲述过这种估值路径依赖型期权的方法。
当存在多个随机变量时，通常用蒙特卡罗模拟初级方案的价值。此时，内嵌选择权的方案的估值变得非常困难，因为蒙特卡罗模拟的运作方向是从方案开始到结束。当我们到达某个点时，我们就不知道关于方案未来现金流的现值的信息。但是，有些时候可以利用24.7节中提过的使用蒙特卡罗模拟方法估值美式期权的技术。
施瓦茨和穆恩（2000）解释了商业剪影31.1中，他们关于Amazon.com的分析可以扩展到存在放弃选择权的情形。当未来现金流的价值为负时，公司可以宣布破产。在每个时间步，设定一种多项式关系式，建立不放弃的价值和一些变量（如当前收入、收入增长率、波动率、现金余额以及亏损结转等）之间的关系。每次模拟运算提供的观测值，可用来计算每个时刻的关系式的最小二乘估计结果。这就是25.12 节中的Lonstaff和Schwartz方法。
小 结
本章中，我们研究了如何将本书前面章节中的理念应用到实物资产和实物期权的估值过程。我们已经说明了如何用风险中性估值原理来估值一个依附于任意变量集合的资产。为了反映变量的风险市场价格，我们对每个变量的预期增长率进行调整。那么，资产价值等于以无风险利率贴现预期现金流所得到的现值。
风险中性估值为资本投资评估提供了内部一致性方法。同时，我们可以利用这一方法为实际中常见的、在许多方案中的内嵌选择权进行估值。我们举了1999年末Amazon.com的估值例子和一个石油方案的估值例子，说明了执行上述方法的过程。
参考读物
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