第29章 利率衍生品：HJM和LMM
当第26章中的简单模型不适于做定价工具时，第28章中的利率期限结构模型就得到广泛应用。这些模型很容易使用，而且通过谨慎应用，可以保证大多数的不标准利率衍生品的定价与活跃交易的金融工具（如利率上限、欧式互换期权和欧式债券期权）的定价保持一致.这些模型有如下两个局限性：
1.他们只包含一个因子（也就是只有一个不确定性因素）
2.这些模型不允许用户完全自由地选择波动率结构
令参数a和σ为时间的函数，一个分析师利用这些模型可以很好地拟合在当前市场上所观察到的波动率，但是如28.8甘所述，此时的波动率期限结构是不稳定的未来的波动率结构很可能跟今天市场上观察到的大不相同。
本章将讨论一些通用方法，在指定的波动率环境下，用户能够更加灵活地构建期限结构模型，并允许使用多个因子。这些模型比第28章中的模型需要更多计算时间。因此，它们通常用来研究或开发，而不是常规定价。
本章还包括美国MBS市场的内容，并介绍如何用本章的方法来对市场中的金融工具定价。
29.1 Heath、Jarrow和Morton模型
1990年，David Heath、Bob Jarrow和Andy Morton（HJM）发表了一篇重要的论文，其中提出了收益率曲线模型应该满足的无套利条件。为了解释他们的模型，我们定义以下符号：
dz：驱使期限结构变动的维纳过程
零息票债券价格和远期利率遵循的过程
首先，我们假设只有一个因子，并考虑传统风险中性世界。一个零息票债券是不支付任何收益的可交易证券。因此，它在传统风险中性世界的收益率为厂。这意味着该零息票债券价格的随机过程有如下形式：
正如自变量Ωt所反映的，在这个模型的大多数一般形式下，零息票债券的波动率v可以是过去和现在的利率和债券价格的任何表现良好的函数形式。因为债券价格波动率在到期日趋近于零，我们即有：
等式（29.3）说明f的风险中性过程仅仅依赖于v序列的过程。只有当v序列的过程本身取决于r和P序列时，f过程才会取决于r和P序列的过程。
其中v的下标代表偏导数。有如下等式成立：
一旦指定了函数u（t，T，Ωt），就知道了F（t，T）序列的风险中性过程。
等式（29.4）表示瞬态远期利率的漂移率和标准差之间有一定的联系。这是HJM模型的关键结论。从τ=t到τ=T我们对vτ（t，τ，Ωt）进行积分，得到：
这就是HJM结论。
普通HJM模型中短期利率r的过程是非马尔可夫过程。为了解释其中含义，假设现在是零时刻，我们要计算未来T时刻的r的过程。我们会发现这一过程很可能依附于方程（29.1）中的维纳过程z（t）在零时刻到t时刻之间的某一行为路径。
上述讨论给出了执行一般HJM模型时需要解决的关键问题。我们需要使用蒙特卡罗模拟。树图不太好用。当我们构建树图来表示期限结构移动时，通常很难重新组合。假设模型只有一个因子，二叉树如图29.1所示。n个时间步后，有2n个节点。如果模型有两个因子，那么应该使用三维树图，几个时间步后，有4n个节点。因此，比如当n=30时，单因子模型中的最终节点个数为109；双因子模型中，这一个数为1018。
扩展到多因子模型
HJM模型的结果可以扩展到多个独立因子的情况。假设：
和之前一样进行类似的分析，得到：
29.2 LIBOR市场模型
HJM模型的一个不足在于它的表现形式为瞬态远期利率，而这些利率不能直接从市场中观测到。另一个不足之处是很难用市场上活跃交易的金融工具的价格来校准模型。这促使Brace、Gatarek、Musiela（BGM）和Jamshidian，还有Miltersen、Sandmann和Sondermann提出一种新的方法。4这就是LIBOR市场模型（LMM）或者也称为BGM模型，它以交易员工作中习惯的远期利率形式来表述。
模 型
其中，dz是一个维纳过程。
在实际中，“关于在下一个重设日到期的债券的远期风险中性世界”中，对利率衍生品定价是最为方便的。我们把它称作“滚动远期风险中性世界（rolling forward risk-neutral world）”。在这样的世界中，我们可以利用在tk时刻观察到的、tk+1时刻到期的零息率来对tk+1至tk之间的期限贴现。我们不用考虑在tk至tk+1期间利率会发生怎样的变化。
在t时刻，滚动远期风险中性世界是“关于债券价格P[t，tm（t）］的远期风险中性世界”。等式（29.7）给出了“关于P（t，tk+1）的远期风险中性世界”中的Fk（t）的过程。根据25.7节，在滚动远期风险中性世界，Fk（t）遵循的过程为：
利用伊藤定理，我们可以计算等式左边和右边的行为过程。令dz的系数相等，我们得到：
方程（29.4）中的HJM结果是上式中的δi趋近于零时的极限情况。
远期利率波动率
可以通过（至少理论上可以）Black模型中用来给利率看涨期权元定价的波动率（就是在图26.3中的即期波动率），来估计Λi。假设σk是对应在时间tk到tk+1的利率看涨期权元的Black波动率。构建方差的等式，我们得到：
利用这个方程反复迭代，就可以得到Λ的值。
[例29.1] 假设所有的σi都相等，而且前三个Black利率看涨期权元的即期波动率分别为24%、22%、20%。这说明Λ0=24%。因为
[例29.2] 考虑表29.1中关于利率看涨期权元波动率σk的数据。这些数据展现了在26.3节中所讨论的“隆起”。Λ的值在第二行显示。注意，Λ序列的“隆起”形状比σ“隆起”更显著。
模型的实现
LIBOR市场模型可以通过蒙特长罗模拟来实现。使用Λi序列，方程（29.10）可以表示为
扩展到多因子模型
LIBOR市场模型可以扩展到包含几个独立的因子。假设有p个因素并且ζk,q是可以归因于第q个因子的Fk（t）波动率的组成部分。方程（29.10）变为
当在下一个重设日到远期合约的到期日之间还有i个付息期间时，定义λi,q，是波动率的第q个成分。方程（29.14）变为：
其中∈q是从均值为0、标准差为1的正态分布中抽取的随机样本。
近似地可以认为，在每个付息期间，远期利率的漂移率保持不变。那么，我们可以在模拟时从一个重设日跳到下一个。前面已经提过，这样很方便，因为滚动远期风险中性世界允许我们从一个重设日跳到下一个进行贴现。假设我们要模拟N个付息期间内的一个零息率曲线。每一次模拟运算中，我们从零时刻的远期利率开始。从初始零息率曲线，我们计算出F0（0），F1（0），…，FN-1（0）。然后我们用等式（29.16）来计算F1（t1），F2（t1），…，FN-1（t1）；然后再次运用等式（29.16）来计算F2（t2），F3（t2），…，FN-1（t2）。如此反复，直到我们得到FN-1（tN-1）。注意，随着时间移动，零息率曲线变得越来越短。例如，假设每个付息期间长度为3个月，并且N=40。我们从一个10年期零息率曲线开始。在6年期的点上（t24时刻），模拟告诉我们4年期零息率曲线的信息。
利用方程（29.16）估值利率看涨期权元，把得到的价格与Black模型给出的价格相比较，就能检验漂移率的近似程度。Fk（tk）为tk至tk+1期间的实现利率，利用它可以计算如时刻的利率看涨期权元的损益。把该损益贴现到零时刻，每次一个付息期间，利率看涨期权元的价值是该损益现值的平均值。这种类型的分析结果说明，蒙特卡罗模拟给出利率上限值与Black模型给出的没有显著的不同。当付息期间长度为1年，并且进行了大量的模拟运算时，结果仍然成立。'这表明我们的漂移率假设在大多数情况下是成立的。
Ratchet利率上限、Sticky利率上限和变通利率上限
表29.2和29.3中给出了利用单因子、双因子以及三因子LIBOR市场模型对Ratchet利率上限和Sticky利率上限进行估值的结果。本金为$100，期限结构被假设为是平坦的，年利率5%。利率看涨期权元的波动率如表29.1中的数据。利率每年被重新设定。价差为25个基点。表29.4与表29.5中给出了利用双因子或三因子模型时，相应的波动率如何分解为几个分量。这些结果都是基于10万次蒙特卡罗模拟以及17.7节中提过的对偶变量方法得到的。每个价格的标准误差为0.001。
第三种非标准利率上限是变通利率上限（flexi cap）。它类似于普通的利率上限，但是可以执行的利率看涨期权元的总个数受到限制。考虑每年支付的一个变通利率上限，本金为$100。期限结构被假设为是平坦的，年利率5%。利率上限波动率如表29.1、29.4和表29.5中的数据。假设所有处于实值利率看涨期权元被执行的个数达到了最大限制个数5。单因子、双因子和三因子LIBOR市场模型给出的该金融工具的价格分别为3.43、3.58和3.61（关于其他种类的变通利率上限）。
标准型利率上限的定价只依附于总波动率，并且独立于因子个数。这是因为一个标准型利率看涨期权元的价格依附于单个远期利率的行为过程。我们刚讨论过的非标准金融工具中的利率看涨期权元的价格则有些不同，它们依附于几个不同远期利率的联合概率分布。因此，这些价格依附于因子个数。
欧式互换期权的估值
其中，Gj（t）是I时刻的Tj至Tj+1期限之间的远期利率。上述两个方程联合确定了s（t）和Gj（t）之间的关系式。使用伊藤定理，互换率s（t）的方差V（t）为：
互换期权的标的互换的付息期间长度等于利率上限的付息期间的长度时，βk,q（t）是剩余期限为Tk-t的上限远期利率波动率的第q个分量。表29.5中可以看到这些情况。
经纪人报出的欧式互换期权的标的互换的付息期间长度并不总是等于经纪人报出的利率E限/利率下限的付息期间的长度。例如在美国，标准的利率上限和利率下限，每季度重新设定，而标准欧式互换期权的标的互换的固定利率方每半年重新设定。幸运的是，欧式互换期权的估值结果可以扩展到这样的情况：每个互换付息期间包含M个子期间，而这些子期间是典型利率上限的付息期间。定义写为第τj,m个付息期间中的第m个子期间的长度。那么
我们可以对推导方程（29.18）的分析过程进行调整，使得s（t）的波动率可以从Gj,m（t）的波动率得出，而不是从Gj（t）的波动率得出。以标准市场模型估值互换期权时需要代进去的互换波动率为：
假设Gj（t）=Gj（0）和Gj,m（0）=Gj（0），方程（29.18）和（29.19）中互换波动率的表达式确实包含某种近似。Hull和White比较了从方程（29.18）和（29.19）中计算的欧式互换期权的价格和从蒙特卡罗模拟中计算的价格，他们发现两个价格非常接近。一旦LIBOR市场模型被校准后，利用方程（29.18）和（29.19）可以快速估值欧式互换期权。分析师可以决定相比利率上限，欧式互换期权价格是被低估了还是被高估了。我们马上将看到，分析师们也利用这些结果对互换期权的市场价格模型进行校准。
校准模型
为了校准LIBOR市场模型，我们需要决定Λj以及如何将它分解为Λj,q。护第一步通常是利用18.9节中的主成分分析来决定Λ分解为λ的方式。该主成分模型为：
其中，M是因子的总个数，△Fj是第j个付息期间到期的远期合约隐含的远期利率的变化，αj,q小是关于第j个远期利率和第q个因子的因子载荷，xq是第q个因子的因子得分。并且
方程（29.11）给出了决定Λ序列的一种方式，使它们和利率看涨期权元价格相一致。而实际应用中并不使用这一方法，因为这一方法中经常会出现Λ序列的强烈摆动。9同样地，虽然LIBOR市场模型被设计为与利率看涨期权元的价格相一致，但是分析师们常常根据欧式互换期权校准该模型。
最广泛使用的LIBOR市场模型的校准过程，类似于28.8中校准单因子模型的过程。假设Ui是第i个校准金融工具的市场价格，Vi是对应的模型价格。我们选择Λ序列来最小化如下的表达式：
当一些校准金融工具是欧式互换期权时，利用方程（29.18）和（29.19）以及Levenberg-Marquardt过程就能执行最小化过程。利用方程（29.20）可以从Λ序列决定λ序列。
波动率偏斜
经纪人提供利率上限的报价，其中有处于平价状态的，也有不处于平价状态的，在某些市场中可以观察到这样的波动率偏斜：利率上限或下限的（Black）波动率报价是执行价格的减函数。可以用CEV模型处理这种情况（参照24.1节中关于股本的CEV模型的应用）。该模型为：
其中，α是常数（o<α<i）。该模型的处理类似于对数正态分布模型。利用累计非中心卡方χ2分布，可以用解析方式估值利率上限和下限。其中的解析近似过程和我们在上面给出的欧式互换期权的情形类似。
百慕大互换期权
一种受欢迎的利率衍生证券是百慕大互换期权。这种互换期权中，可以在某些或全部的标的互换的支付日上执行期权。很难用LIBOR市场模型估值百慕大互换期权，因为LIBOR市场模型要依靠于蒙特卡罗模拟，而利用蒙特卡罗模拟时，很难处理该期权的提前执行情况。幸运的是，我们叮以利用24.7节中描述的过程。当存在很多因子时，Longstaff和Schwartz应用T最小二乘法。在某个支付日不提前执行时的价值被假定为是这些因子值的一种多项式函数。Andersen提出可以使用最优提前执行边界方法。他对提前执行边界的参数化方式进行了很多试验，发现假设提前执行只依赖于期权的内在价值时，能给出很好的结果。绝大多数交易者以一个单因子无套利模型（第28章中讨论过）来估值百慕大互换期权。但是，单因子模型定价百慕大互换期权价格的精确度，存在很多争论。
29.3 住房抵押贷款证券
美国的住房抵押贷款证券（mortgage-backed security，MBS）市场是运用本章讲述模型的一个应用。当金融机构决定向投资者出售部分住房抵押组合时，创造了这种住房抵押贷款证券。把被出售的抵押都合并到资产池中，投资者通过购买其中-些份额单位，从抵押组合池中得到利益。这些份额单位就是所谓的住房抵押贷款证券。通常为这些份额单位建立二级市场，以使投资者能够根据意愿将它们出售给其他投资者。拥有代表某个组合池中的X%的份额单位的投资者，有权从抵押组合池中得到本金和利息现金流的X%。
组合池中的抵押物通常由诸如政府国民抵押协会或联邦国民抵押协会（FNMA）这些与政府密切相关的机构来担保，以使投资者免受违约的损失。这使得MBS好像一个由政府发行的常规的固定收入证券。实际上，MBS与常规的固定收入证券之间有个很大的不同。这就是MBS组合中的抵押具有某种提前偿付特权。对持有者来说，这些提前偿付特性可能是很有价值的。例如在美国，抵押通常持续25年，并可以在任意时刻提前偿付。换句话说，这意味着MBS的持有者具有25年期的美式期权，按其面值将抵押提前退还给贷款人。
实际上，有各种理由提前偿付抵押贷款。有时利率已经下跌了，房屋的主人决定以更低的利率再融资。在另外一些情况下，提前偿付抵押贷款的简单原因是房屋已经出售了。对MBS进行估值的关键在于确定所谓的提前偿付函数。这个函数描述了在，时刻某个抵押组合依据t时刻收益率曲线和其他相关变量的预期提前支付情况。
用提前偿付函数预测单个抵押提前偿付的实际情况，将是很不可靠的。当许多类似的抵押贷款合并在同样的某个组合池中时，有一个“大数法则”在起作用，通过分析历史数据，可以更精确地预测提前偿付情况。我们已经说过，纯粹从利率考虑，提前偿付并不总是有益的。然而，利率较低时提前偿付的趋势远强于利率较高时提前偿付的趋势。这意味着，投资者要求MBS比其他固定收入证券更高的利率以补偿这些已经出售了的提前偿付选择权。
商业剪影29.1 IO和PO
在所谓的剥离MBS（Stripped MBS）中，本金和利息分开支付。所有的本金支付对应于一类证券，称之为只有本金证券（PO）。所有的利息支付对应于另一类证券，称之为只有利息证券（IO）。PO和IO都是有风险的投资。随着提前偿付比率的上升，PO的价值增加而IO的价值减少。随着提前偿付比率的减少，情况则相反。在PO证券中，投资者收到固定数额的本金作为回报，但时刻是不确定的。在一组抵押的组合中，较高的提前偿付的比率，将提前收到本金（当然，对PO的持有者来说，这是好消息）。在一组抵押的组合中，较低的提前偿付的比率，将延迟收到本金，并减少了由PO提供的收益。在IO证券中，投资者收取的总现金流是不确定的。提前偿付比率越高，由投资者收取的总现金流越低。反之亦然。
抵押担保证券
至今我们一直描述的MBS有时看作是贯彻始终的。所有的投资者获得同样的收益并承受同样的提前偿付风险。并不是所有的住房抵押贷款证券都是以这种方式运作的。在抵押担保证券（collateralized mortgage obligations，CMO）中，将投资者分成不同的类别，并开发出一套规则以决定不同种类的投资者是如何支付本金的。
我们看看如下CM0的例子。考虑某个MBS，投资者被分为三类：A类、B类和C类。所有的本金支付（不但包括那些按计划支付的，而且包括那些提前支付的）先分配给A类投资者，直到该类的投资者全部支付完毕。然后，本金支付分配给B类投资者，直到该类的投资者全部支付完毕。最后，本金支付分配给C类投资者。在这种情况下，A类投资者承受的提前偿付风险最大。可以预计到A类证券持续时间比B类证券持续时间短，同样，可以预计到B类证券持续时间比C类证券持续时间短。
这种结构类型的目的是产生各种类型的证券，对机构投资者而言，这些证券比那些由更简单的贯彻始终的MBS所产生的证券更有吸引力。不同类型证券所假设的提前偿付风险取决于每一类中的平价值。例如，如果A类、B类和C类的平价价值分别为400、300和100时，C类承受很小的提前偿付风险。当各类的平价价值分别为100、200和500时，C类承受更大的提前偿付风险。
住房抵押贷款证券MBS的创造者们还创造了更多的比我们刚才描述的更新型结构的证券。商业剪影29.1中给出了其中一个例子。
估值MBS
通常使用蒙特卡罗模拟来估值MBS。在一个MBS的有效期内，我们可以用HJM或LIBOR市场模型来逐月模拟利率行为。我们考虑一次模拟运算的过程。每个月，根据当前的收益率曲线和收益率曲线的历史移动，计算预期提前偿付额。这些提前偿付额决定MBS持有者的预期现金流，这些现金流再被贴现到零时刻。由此得到MBS的一个样本价值。经过多次模拟运算，取很多样本平均值，就能得到MBS价值的估计值。
期权调整利差
除了要计算嵌入期权和MBS的理论价格之外，交易员也可能需要计算所谓的期权调整利差（option-adjusted spread，OAS）。考虑所有的期权之后，OAS度量以上金融工具收益超过政府长期债券收益的差值。
任何期限结构模型的一个输入量是初始零息票收益率曲线，通常是LIBOR零息率曲线。但是，计算某个金融工具的OAS时，首先利用政府长期零息票收益率曲线进行估值。把模型给出的该金融工具的价格与它在市场中的价格进行比较。运用一系列迭代过程以确定加在输入的国债收益率曲线上的平行漂移量，该平行漂移量将使得模型的价格等于市场的价格这个平行漂移量就是OAS。
为说明这种计算的特性，假设市场价格是$102.00，利用国债收益曲线计算出的价格为$103.27。作为第一步试算，我们可以选择加在到国债零息票曲线上的平行漂移量为60个基点。假设这个漂移量给出该金融工具价格为$101.20。这低于$102.00的市场价格，意味着在0〜60点之间的某个平行漂移量将使模型所计算的价格等于市场价格我们可以利用线性插值计算得：
即36.81点，将它作为下一次试算的漂移量。假设这个漂移量给出的价格为$101.95。这说明OAS比36.81点要稍微小一些。线性插值给出的下一次试算的漂移量为：
小 结
以HJM模型和LMM模型估值利率衍生证券时，我们可以自由选择波动率期限结构。LMM模型比HJM模型有两个重要优点。第一，它以决定利率上限定价的远期利率表示，而不是瞬态远期利率。第二，很容易根据利率上限价格或欧式互换期权价格来校准这一模型。HJM模型和LMM模型共同的缺点是，它们都不能以重新组合的树图表述。这说明实际应用中，我们必须用蒙特卡罗方法模拟这些模型。
美国的MBS市场中产生很多新型的利率衍生证券：CM0、IO、PO等等。这些金融工具给持有者提供的现金流依附于一个抵押组合池中的提前偿付情况。这些提前偿付情况取决于利率水平以及其他一些变量。因为它们是路径依赖的，一般只能用蒙特卡罗模拟方法估值MBS，其中就要使用HJM模型或LMM模型。
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