第21章    信用衍生品

自20世纪90年代末以来，衍生品市场中最激动人心的是信用衍生品领域的发展2000年，流通在外的信用衍生品合约的总名义本金达到8000亿美元。2003年这一数值又涨到3万亿美元。信用衍生品的损益依附于一个或多个公司或国家的信用状况本章中，我们解释信用衍生品的作用，并讨论一些估值相关的问题。

信用衍生品允许公司交易信用风险，如同它们交易市场风险一样。以前，银行和其他一些金融机构总是面临这样的情况，一旦认为有了信用风险，除了等待（并希望好的情况发生）没有什么其他办法现在，它们可以更积极地管理它们的信用风险组合，保留其中-些并签订信用衍生品合约来抵消其他的信用风险保护它们自己。如商业剪影21.1所述，银行成为信用保险的最大购买方，而保险公司成为最大出卖方。

21.1    信用违约互换

最流行的信用衍生品是信用违约互换（CDS）。这是一份合约，对某一特定公司违约的风险提供保险。这一公司就被称为参考实体（reference entity），这家公司的违约行为被称为信用事件（credit event）c保险的购买者获得这样的权利：在信用事件发生时，保险的购买者可以按账面价值卖掉这家公司发行的债券，而保险的出售者同意按账面价值购买这些债券。1可售卖的债券的总账面价值就是所谓的信用违约互换的名义本金（notional principal）。

CDS的购买者给出售者进行定期支付，直到CDS到期或者信用事件发生。这些付款一般在每季度、每半年或每年的后端支付。违约发生的时候，以实际交割债券或现金支付的方式来进行结算。

举例说明一个典型的交易是如何构建的。假设交易双方在2004年3月1日签订5年期信用违约互换。假设名义本金为1亿美元，购买者同意每年支付90个基点，以便参考实体违约时能受到保护。

图21.1中描述了这个CDS。如果参考实体不违约（即不发生信用事件），购买者不发生任何损益，但在2005、2006、2007、2008和2009年的3月1日都要支付90万美元。如果发生信用事件，实质的损益会发生。假设购买者发现信用事件的出售者在2007年6月1日违约（即4年零3个月后）。如果合约指定了实际交割，购买者可以按1亿美元价格卖出参考实体发行的账面价值为1亿美元的债券。如果合约指定了现金交割，信用事件发生几天（事先设定的）后，一个独立计算机构会组织交易商决定最便宜交割债券的中间市场价值。假设这样的债券每100美元账面价值的市场价值为35美元。这种情况下，现金损益为6500万美元。

商业剪影21.1    谁在承担信用风险

传统上，银行贷出资金，因此他们承担了借款者违约相关的信用风险。但是这种局面在发生变化。一段时间内，银行的确很不情愿地在资产负债表上记录贷款。这是因为，监管机构要求银行持有一定资本，考虑这个因素之后，贷款的平均收益率通常比其他资产要低。20世纪90年代期间，银行创造了资产支持证券（与第29章中的住房抵押贷款证券相似），把贷款（以及贷款的信用风险）传递给了投资者们。20世纪90年代末和21世纪初，银行广泛使用信用衍生品，把贷款的信用风险转移给了金融体系中的其他部门。

如果银行是信用保护的纯粹购买者，那么谁是纯粹的出售者呢？答案是保险公司。保险公司和银行的监管方式不一样，因此保险公司有时比银行更愿意承担信用风险。

所有这些情况的结果是承担贷款的信用风险的金融机构常常与原先对贷款进行过信用分析的金融机构不一样。这种现象对金融体系的总体健康会产生什么影响.还要继续观察。

信用事件发生的时候，信用保护的购买者对信用保护的出售者的每季度、每半年或每年的定期支付会终止。但是，因为这些支付是后端延迟支付的，通常需要购买者支付一个最终累计应计额。我们的例子中，购买者会被要求支付2007年3月1日至2007年6月1日之间的累计应计额（大约为225000美元）给出售方，但是不会再被要求继续支付其他款额。

购买保护的时候，每年的总支付款额占名义本金的比例被称为CDS价差。儿个大银行是信用违约互换市场的做市商。当报价基于福特汽车信用的5年期CDS的时候，一位做市商给出的买价为250个基点，卖价为260个基点。这说明该做市商准备以每年250个基点（即每年本金的2.5%）买入关于福特信用的保护，并准备以每年260个基点（即每年本金的2.6%）卖出关于福特信用的保护。

信用违约互换和债券收益率

CDS可用来对冲一个公司债券的头寸。假设一位投资者以账面价值购买了一个图21.1信用违约互换收益率为7%的5年期公司债券，同时签订了一个5年期CDS，购买了债券发行者违约相关的保护。假设该CDS的价差为2%p.a.o该CDS的效果是把公司债券转换成了无风险债券（至少近似）。如果该债券的发行者不违约，投资者可以每年赚取5%（公司债券收益率减去CDS价差）。如果债券发行者违约，则到违约时刻之前投资者赚取5%。在CDS条款下，投资者可以把这些债券以账面价值卖出。5年期中剩下的期限内，获得的账面价值可以以无风险利率投资。

n年期CDS价差应该近似等于，n年期公司债券的票面收益率超过n年期无风险债券的票面收益率部分。如果价差显著小于后面的值，投资者可以通过买入公司债券和CDS保护，赚取的收益率比无风险利率要大。如果价差显著大于后面的值，投资者可以通过卖空公司债券和CDS保护，那么，投资者的借款利率比无风险利率要小。这些虽然不是完美的套利，但可以帮助我们理解CDS价差和债券收益率之间的联系。CDS价差隐含着市场参与者所使用的无风险利率。如20.4节所述，平均隐含无风险利率近似等于LIBOR/E换率减去10个基点。

最便宜交割债券

如20.3节所述，一个债券的回收率定义为违约刚刚发生之后债券价值对于其账面价值的比例。这说明CDS提供的损益为L（1-R），其中，L是名义本金，R是回收率。

通常，CDS条款指定违约发生之时可以交割的几种不同债券。这些债券的优先级通常相同，但违约刚刚发生之后，它们的卖价和账面价值之间的比例并不一定相同。因此，CDS持有者具有最便宜交割债券选择权。违约发生时，保护的购买者（现金结算的情况下是计算代理机构）会评估几个可以交割的债券，并会选择购买最便宜债券去交割。

21.2    信用指数

信用衍生品市场的参与者们开发了可以跟踪信用违约互换价差的一些指数。2004年，指数开发者们进行了协商，统一了一些指数。现在使用的指数中有：

1.5年期和10年期的跟踪125家投资级北美公司的信用价差CDX NA IG指数

2.5年期和10年期的跟踪125家投资级的欧洲公司的信用价差iTraxx Europe指数

除了监测信用价差，指数还可以让市场参与者们更容易购买或出售信用违约互换的组合。例如，号家投资银行作为做市商报出了CDXNAIG5年期指数的买价为65个基点，卖价为66个基点。那么，一位投资者可以按每年66万美元购买针对125家标的公司每个公司80万美元的5年期CDS保护。一位投资者可以按每年65万美元出售针对125家标的公司，每个公司80万美元的5年期CDS。当一家公司违约的时候，每年的支付减少$660000/125=$5280。

21.3    信用违约互换的估值

单个参考实体的中间市场CDS价差（即经纪人报出的竞买CDS价差和竞卖CDS价差的均值）可从违约概率估计值计算得出。我们举一个简单的例子说明这一过程。

假设一个参考实体，基于不会提前违约的条件下的年违约概率为2%。表21.1中给出了存活概率和无条件违约概率（即0时刻观察的违约概率）。第1年内违约的概率为0.02，到第1年结束之时，参考实体存活的概率为0.98。第2年内违约的概率为0.02x0.98=0.0196，到第2年结束之时，参考实体存活的概率为0.98x0.98=0.9604。第3年内违约的概率为0.02x0.9604=0.0192，如此等等。

我们假设违约可在每年的年中发生，而信用违约互换的支付在每年年末发生一次。我们也假设无风险利率（LIBOR）为连续复利的5%p.a.，回收率为40%。计算过程可分为3个部分，分别表示在表21.2、21.3和表21.4。

表21.2中计算了CDS相关预期支付的现值，其中假设了每年以比率s付款，名义本金为$1。例如，第3次支付s发生的概率为0.9412。因此，预期支付为0.9412s，它的现值为0.9412se^-0.05x3=0.8101s。预期支付的总现值为4.0704sa

表21.3中计算了预期损益的现值，其中假设了名义本金为$1。我们假设违约可在每年的年中发生，例如，第3年内发生违约的概率是0.0192。因为回收率为40%，这一时刻的预期损益为0.0192x0.6x1=0.0115。预期损益的现值为0.0115e-^0.05x3=0.0102。预期损益的总现值为$0.051。

作为最后一步，表21.4评估了违约发生时的累计应计支付。例如，最后的应计支付发生在第3年年中的概率是0.0192。应计支付额等于0.5s。这一时刻的预期应计支付为0.0192x0.5s=0.0096s。它的现值为0.0096se^-0.05x2.5=0.0085s。预期应计支付的总现值为0.0426s。

根据表21.1和表21.3，预期支付的现值为

4.0704s+0.0426s=4.1130s

根据表21.2，预期损益的总现值为0.0511。令两个值相同，我们可以得到这一新CDS的CDS价差：

4.1130s=0.0511

即s=0.0124。中间市场价差应该等于0.0124乘以本金，即每年124个基点。通过上述例子，我们解释了计算方法。实际应用中，我们很可能发现计算过程会比表21.2~表21.4要复杂很多，因为（a）支付发生频率多于每年一次，并且（b）我们可能要假设一年之中违约频率多于每年一次。

CDS的盯市操作

合约签订时刻，CDS和其他互换一样，合约的价值接近于0。随着时间变化，价值可能会变成正值或负值。假设考虑例子中的信用违约互换，它是不久前签订的，价差为150个基点。这种情况下，购买者的支付额的现值为4.1130x0.0150=0.0617，损益的现值与上面一样还是0.0511。那么，对于卖方，该互换的价值为0.0617-0.0511，即0.0106乘以本金。类似地，对于保护的购买者，该互换的盯市价值为-0.0106乘以本金。

估计违约概率

用来估值CDS的违约概率应该是风险中性违约概率，而不是现实世界违约概率（关于两者之间的区别，参见20.5节）。如第20章如述，风险中性违约概率可从债券价格或资产互换中计算出来。另一种方法是从CDS报价中找出隐含的违约概率。这个方法类似于在实际期权市场中，根据交易活跃的期权的价格找出隐含波动率的方法。

假设我们改变表21.2、21.3和表21.4中的例子，我们并不知道违约概率。但是，我们知道一个新发行的5年期CDS的中间市场CDS价差为每年100个基点。我们可以用反向工程的方法计算，得到每年的隐含违约概率（基于不会提前违约的条件下）为每年1.61%。

两值信用违约互换

构造一个两值信用违约互换和普通信用违约互换类似，不过其损益是固定的美元数额。假设我们在表21.1~表21.4中考虑的例子中，损益为$1，而不是（1-R）美元，互换价差为s。这种情况下，表21.1、21.2和表21.4保持不变，表21.3变成表21.5。这一新的两值CDS的CDS价差满足

4.1130s=0.0852

因此，CDS价差s为0.0207，即207个基点。

回收率有多么重要

无论我们利用CDS价差还是利用债券价格来估计违约概率，我们需要知道回收率的估计值。但是，如果我们在（a）估计风险中性违约概率以及（b）估值CDS的时候，使用同样的回收率，那么CDS的价值（或者是CDS价差的估计值）对回收率不是非常敏感。这是因为隐含违约概率近似与1/（1-R）成正比，CDS的损益与1-R成正比。

上述的分析在两值CDS的估值中并不成立。隐含违约概率还是与1/（1-R）成正比。但是对于两值CDS，CDS的损益和R相互独立。如果我们知道标准型CDS和两值CDS的CDS价差，就能估计回收率和违约概率。

CDS市场的未来

从20世纪90年代末期到21世纪初期，信用违约互换的市场增长得非常快。信用违约互换占所有信用衍生品的70%。它们已经成为管理信用风险的重要工具。金融机构通过购买保护，可以减少它对于特定公司的信用风险暴露。金融机构同样可以用CDS来分散信用风险。例如，如果一家金融机构对于某一特定业务部门的信用暴露过大，那么它可以购买针对这一部门的公司违约的保护，同时卖出其他不相关部门的公司违约的保护。

一些市场参与者认为CDS市场将会继续增长，到2010年可能会达到和利率互换市场相同的规模。而其他一些人没有这么乐观。在CDS市场中存在信息不对称的问题，而其他OTC衍生品市场不是这样的（参见商业剪影21.2）。

21.4    CDS远期和期权

商业剪影21.2    CDS市场中的竞争是否公平

信用违约互换和我们在这本书上考虑的其他OTC衍生证券之间存在一个重要区别。其他OTC衍生证券依附于利率、汇率、权益指数、商品价格等。因此没有理由认为，有一个市场参与者比其他的市场参与者对这些变量掌握着更多的信息。

信用违约互换价差依附于某一特定公司在某一特定时间段内违约的概率。可以确信，一些市场参与者比其他人掌握着更多估值违约概率相关的信息。一家金融机构和某一特定公司接触非常频繁，如提供建议、贷款和处理新证券的发行等，那么，相比其他与这家公司没有接触的金融机构，这家金融机构更了解这家公司的信用状况。经济学家们把这种现象称为“信息不对称”。

信息不对称问题是否会影响信用违约互换市场的发展，我们还得继续观察。金融机构强调，购买某一公司的违约风险相关保护的决策，正常情况下是由风险经理做出，而不是基于金融机构对于这个公司的特殊信息。

CDS市场完整成形之后，衍生证券交易者们很自然地开始交易基于信用违约互换价差的远期和期权合约。

一个远期信用违约互换是一项义务，在某一未来时刻必须按事先规定购买或出售基于某一特定参考实体的某一特定的信用违约互换。如果参考实体在T时刻之前违约，则远期合约失效。一家银行签订了一个远期合约，1年后开始的以280个基点出售基于福特汽车信用的5年期保护。如果福特在下一年中违约，远期合约中这家银行的义务不再存在。

一个信用违约互换期权是一项选择权利，在某一未来时刻可以选择购买或出售基于某一特定参考实体的某一特定的信用违约互换。例如，一位投资者可能签下了一个选择权，1年后可以按280个基点购买基于福特汽车信用的5年期保护，这是一种看涨期权。如果1年后，福特的5年期CDS价差大于280个基点，该看涨期权会被执行；其他情况下，该期权不会被执行。需要预先支付期权成本。类似地，一位投资者可能签下了一个选择权，1年后可以按280个基点出售基于福特汽车信用的5年期保护。这是一种看跌期权。如果1年后，福特的5年期CDS价差小于280个基点，该看跌期权会被执行；其他情况下，该期权不会被执行。同样地，需要预先支付期权成本。与CDS远期类似的，如果参考实体在期权到期之前违约，CDS期权会失效。

在信用衍生品市场越来越流行的一种期权合约是基于一篮子参考实体的看涨期权。如果篮子中有m个参考实体，期权有效期内没有发生违约，那么该期权赋予持有者选择权利，持有者有权利可以按mK个基点买入一个基于这些参考实体的CDS组合。其中K是执行价格。此外，如果合约有效期内有任一参考实体违约，持有者就获得标准型CDS的损益。

21.5    总收益互换

总收益互换（total return swap）是一种信用衍生品。其中以一个债券（或资产组合）的总收益交换LIBOR加上价差。总收益中包括息票、利息以及互换有效期内资产的收益或损失。

一个总收益互换的例子是名义本金为1亿美元的5年期协议，以一个公司债券的总收益交换LIBOR+25个基点。图21.2中解释了这样的协议。在息票支付H，支付方支付1亿美元债券投资所对应的息票。接受方支付本金1亿美元乘以LIBOR+25个基点的利息（如标准型利率互换，一个支付日支付的LIBOR是在前一个支付日设定的）。互换到期之时，还有一笔支付反映债券价值变化额。例如，如果互换有效期内债券价值上升10%，支付方需要在第5年末支付1000万美元（1亿美元的10%）。类似地，如果互换有效期内债券价值下降15%，接受方需要在第5年末支付1500万美元。如果债券发生违约，互换通常终止，接受方最后支付等于1亿美元超过债券市场价值的那个部分。

如果互换到期之时，我们给两方添加名义本金，总收益互换可以描述如下：支付方支付1亿美元的债券投资相关的现金流。接受方支付1亿美元债券的LIBOR+25个基点的相关的现金流。如果支付方持有该公司债券，总收益互换允许支付方把债券的信用风险转移给接受方。如果支付方并不持有该公司债券，总收益互换允许支付方持有公司债券的空头。

总收益互换经常被用作为一种融资工具。图21.2中的互换描述了以下情景。接受方想融资1亿美元，并把它投资到参考债券。接受者联系支付方（可能是一家金融机构），签订互换合约。随后，支付方在该债券投资1亿美元。因此，接受方的头寸与上面相同，仿佛是以LIBOR+25个基点借款来购买这一债券。支付方在互换有效期内保持着这一债券的所有权，相比它给接受方贷款，接受方购买债券并把债券作为贷款的担保品，支付方可以承担较小的信用风险。如果接受方违约，支付方也并不存在没收担保品相关的法律问题。总收益互换类似于回购（参见4.1节），它们都设计成使得证券融资时的信用风险最小化。

支付方收取的超过LIBOR的价差，是为了补偿支付方承担的接受方违约的风险如果在参考债券的价格下降的时候，接受方违约了，支付方将遭受损失。因此，价差大小依赖于接受方的信用状况、债券发行者的信用状况以及两方之间的违约相关性。

除了我们描述的标准化交易以外，还存在很多非标准化交易。有些交易中，债券价值变化时并不进行现金支付，而进行实际交割，即互换到期之时，支付方以标的资产直接交换名义本金。有些交易中，定期进行价值变化相关的支付，而不是到期之时一次性支付。

21.6    篮子信用违约互换

篮子信用违约互换（basket credit default swap）中存在很多参考实体。add-upbasket CDS中，当任意参考实体违约的时候，提供损益。first=to-default CDS中，只在第一次违约发生时，提供损益。second-to-dejbult CDS中，只在第二次违约发生时，提供损益。更为一般地，nth-to-default CDS中，只在第n次违约发生时，提供损益。损益的计算方法和标准型CDS相同。当相应的违约发生之后，进行结算。随后，互换合约终止，任何一方都不再进行其他支付。

21.7    债务抵押债券

债务抵押债券（CDO）创造出与债务工具组合具有广泛不同风险性质的证券。图21.3中给出了一个例子。其中，从债券组合中创造了四种证券（或分券）。第一个分券包含5%的总债券本金，并在CDO有效期内吸收组合的所有信用损失，直到损失达到5%的总债券本金为止。第二个分券包含10%的总债券本金，并在CDO有效期内吸收组合的所有超过本金5%、小于本金15%的信用损失。第三个分券包含10%的总债券本金，并在CDO有效期内吸收组合的所有超过本金15%、小于本金25%的损失。第四个分券包含75%的总债券本金，并在CDO有效期内吸收组合的所有超过本金25%的信用损失。图21.3中的收益率等于支付分券持有者的利率。利息支付是基于分券中补偿了损失之后的剩余本金。考虑第一个分券。刚开始的时候，针对分券1持有者的投资金额，以35%收益率进行支付，但是过了一段时间，损失达到总债券本金的1%之后，分券1持有者损失20%的投资金额，得到的收益只是按初始投资金额计算的80%。分券1被称为权益分券（equity trache）。债券组合的违约损失达到2.5%，则分券本金会损失50%。相反地，分券4的等级通常为Aaa。如果债券组合的违约损失不超过25%，该分券的持有者不需要承担任何信用风险。

CDO的创造者通常保留权益分券并把剩下的分券卖到市场，CDO是一种从一般等级（或低等级）的债券中创造高等级债券的方法。

合成债务抵押债券

图21.3中的CDO被称为现金CDO。另一种越来越大众化的结构是合成债务抵押债券（synthetic CDO），CDO的创建者将信用违约互换的组合出售给第三方。那么违约风险就可以转移给合成债务抵押债券的分券持有者了。与图21.3中的情况类似，第一个分券需要支付信用违约互换的损益，直到它们达到5%的总名义本金；第二个分券需要支付大于5%、小于15%的总名义本金的信用违约互换的损益。如此等等。从信用违约互换得到的收益分配到分券的方式，取决于该分券所承担的风险。例如，第一个分券可能会得到3000个基点；第二个分券得到1000个基点，如此等等。和现金CDO一样，随着分券承担的违约的发生，支付相关分券的本金将减小。

单分券交易

21.2节中我们讨论过，CDX和iTraxx指数包含了125家公司的组合。市场中也利用这些组合来定义标准CDO分券。这些标准分券的交易被称为单分券交易（single trache trading）。—个单分券交易是这样的一种协议：一方承诺出售基于一个分券损失的保护，另一方同意购买该保护。该分券不是合成债务抵押债券的一部分，但它的现金流计算与合成债务抵押债券分券的计算方法相同。这些分券被称为“未融资的”，因为他们并没有通过出售信用违约互换或购买债券来创造。

CDX NA IG指数中，权益分券覆盖相当于0~3%的本金的损失。第二个分券，即所谓的中间分券（mezzanine trache）覆盖3%~7%之间的本金的损失。剩下的分券覆盖7%~10%、10%~15%，15%~30%之间的本金的损失。iTraxx Europe指数中，权益分券覆盖相当于0~3%的本金的损失。中间分券覆盖3%~6%之间的本金的损失。剩下的分券覆盖6%~9%、9%~12%、12%~22%之间的损失。

表26.1给出了2004年8月4日的5年期CDX和iTraxx分券的中间市场报价。这一天，CDX指数水平为63.25个基点，iTraxx指数水平为42个基点。例如，CDX指数和iTraxxEurope指数的中间保护的中间市场价格分别为每年347个基点和168个基点。注意，权益分券的报价方式不同于其他分券。CDX的市场报价41.75%说明，保护的出售者收取等于41.75%的本金的初始支付加上每年500个基点的价差。类似地，iTraxx的市场报价27.6%说明保护出售者收取等于27.6%的本金的初始支付加上每年500个基点的价差。

21.8    一篮子CDS和CDO的估值

一个第n期违约CDS或CDO分券的价差取决于违约相关性。假设用一个包含100个参考实体的篮子来定义5年期第n期违约CDS，其中的每个参考实体在5年期间违约的风险中性概率为2%。参考实体之间的违约相关性为零的时候，双峰分布说明5年期间发生1次或更多次违约的概率为86.74%，发生10次或更多次违约的概率为0.0034%。此时，首期违约CDS的价值非常高，但第10期违约CDS的价值几乎为零。

随着违约相关性的提高，发生1次或更多次违约的概率下降，而发生10次或更多次违约的概率上升。极限情况下，参考实体之间的违约完全相关，发生1次或更多次违约的概率正好等于发生10次或更多次违约的概率，都为2%。这是因为在极端状况下，所有参考实体本质上是相同的。它们或者是全部一起违约（概率为2%），或者全部都不违约（概率为98%）。

类似地，一个CDO分券的价值也取决于违约相关性。如果相关性非常低，低级权益分券的风险非常大，而高级分券的风险非常小。随着违约相关性提高，低级分券的风险逐渐减小，而高级分券的风险逐渐加大。极限情况下，参考实体之间的违约完全相关，各个分券的风险程度相同。

利用违约时刻的Gaussiannncopula模型

之前讲述过的违约时刻的单因子Gaussian copula模型逐渐变成估值第n期违约CDS或CDO分券的标准市场模型。

考虑一个包含N个参考实体的组合。根据方程（20.7）

其中，Q.（T〡M）是基于因子价值M的、第i个实体在T时刻违约的条件概率.以P（k，T）表示到T时刻违约次数多于k的概率，对应的基于M值的条件概率为P（k，T〡M）。当我们固定M值的时候，违约概率相互独立，我们就可以简化P（k，T〡M）的计算。

这一标准市场模型中，我们假设了组合包含的所有参考实体的违约时刻分布相同，并且假设了每对参考实体的copula相关系数是相同的。这说明，对于所有的i，Q_i（T〡M）=Q（T〡M）。而且方程（20.8）可以代替方程（20.7），那么

基于M的T₁和T₂期间第n次违约发生的条件概率为P（n，T₂〡M）-P（n，T₁〡IM）。这给出了第n次违约时刻关于M的条件概率分布。因子M服从标准正态分布。对M的分布进行积分，我们可以得到第n次违约时刻的无条件概率分布。根据这一分布，我们可以估值第n期违约CDS，方法和常规CDS的估值一致。为了估值CDO分券，我们可以计算基于沏条件的分券的预期损益和支付额，然后再关于M进行积分。

衍生证券交易者们根据市场的一系列第n期违约CDS和CDO分券的价差报价，计算方程（21.2）中的隐含copula相关系数ρ。并且，交易者们倾向于报出这一相关系数，而不是价差本身。这和实际期权市场的情形类似，在期权市场中，交易者喜欢报价Black-Scholes隐含波动率而不是美元价格。商业剪影21.3中说明了，如期权市场中的波动率微笑现象一样，CDO市场中也存在相关系数微笑现象。

商业剪影21.3    相关系数微笑

信用衍生品交易者们从分券价差中获得隐含违约相关系数。如果所有分券的隐含相关系数都相同，我们可以推导市场价格与违约时刻的单因子Gaussian copula模型相互一致。实际应用中，我们发现大多数低级（权益）分券和大多数高级分券的隐含相关系数大于中间分券的隐含相关系数。例如，表21.6中，5个CDX IG NA指数分券（从权益分券开始）的隐含相关系数分别为21.0%、4.2%、17.7%，19.0%和27.4%。类似地，相应的iTraxx Europe分券的隐含相关系数分别为20.4%、5.5%、16.1%、23.3%和31.1%。

期权市场中的波动率微笑说明，Black-Scholes模型（虽然广泛使用）并不反映市场参与者们的看法（参见第16章）。同样地，CDO市场中的相关系数微笑说明单因子Gaussian copula模型（虽然广泛使用）并不反映市场参与者们的看法。

21.9    可转换债券

可转换债券由公司发行，其中，可转换债券的持有者具有选择权，他们可以选择在未来的某些时刻将这些债券转换成该公司的股票。转换率（conversion ratio）是一个债券换取的股份数额（这可能是时间的函数）。债券几乎总是可赎回的（即发行者有权利在某一时刻以事先决定的价格买回这些债券）。一旦债券被通知赎回，持有者总是有权把债券转换成股票。因此赎回的目的通常是为了强迫持有者提前转换。有时，持有者的赎回选择权是基于该公司股票价格是否在某一水平之上。

可转换债券的估值中信用风险占据非常重要的地位。如果我们忽略信用风险，得到的价格估计值会很差，因为债券的息票和本金支付会被高估。

Ingersoll提出了一种估值可转换债券的方法，他使用的模型与20.6节中讨论的Merton模型（1974）相似。他假设了发行者的总资产遵循几何布朗运动，并对公司的股本、可转换债券以及求偿取决于资产价值的其他债券建立了模型。他考虑了信用风险，因为只有当资产价值超过公司对债券持有者的欠款时，债券持有者才会得到完全的偿还。

实际应用中，广泛使用的一个简单模型是发行者的股票价格模型。其中假设了股票服从几何布朗运动，但假设了它在每个很短的时间段△t内违约的概率为λ△t。违约发生时，股票价格下降到零，债券会被收回。变量入是20.2节中介绍过的风险中性违约强度。

为了重新表示股票价格的行为过程，修正普通的二叉树图，在每个节点上：

树图的总时间长度和可转换债券的有效期相同°树图的最终节点上的可转换债券价值根据那一时刻的持有者的转换选择权来计算。随后，我们通过树图进行倒推计算。在每个转换可以发生的节点上，我们检验转换是否是最优的。我们也检验，发行者的状况是否可以通过赎回而改善。如果是的话，我们假设这些债券被赎回，并重新检验进行转换是否是最优的。这等价于把节点上的价值设定为

其中，Q₁是倒推得到的价值（假设该节点上，债券并没有被转换也没有被赎回），Q₂是赎回价值，Q₃是转换发生时的价值。

[例21.1]    考虑XYZ公司发行的一个9个月期零息票债券，账面价值为$100。假设这一9个月期内的任意时刻，债券都可以被转换成两股XYZ公司的股票。假设债券也可以在任意时刻以$113赎回。期初股票价格为$50，其波动率为30%p.a.，股票不支付红利。违约强度入为1%p.a.，所有期限的无风险利率都是5%。我们假设违约发生的情况下，债券的价值为$40（即通常定义的回收率，为40%）。

图21.4中给出了可用来为可转换债券估值的股票价格树图，有三个时间步（△t=0.25）。每个节点中，上面的数字表示股票价格，下面的数字表示可转换债券的价格。树图参数为：

我们首先考虑最终的节点。在节点G和H，债券应该被转换，其价值等于股票价格的两倍。在节点I和J，债券不应该被转换，价值等于100。

我们接着在树图倒推，计算前面的节点上的价值。例如，考虑节点E。如果转换债券，价值等于2x50=$100。如果不转换债券，则（a）移到H点的概率为0.5167，对应的债券价值为115.19；（b）移到I点的概率为0.4808，对应的债券价值为100；（c）违约的概率为0.002497，对应的债券价值为40。因此，不转换的时候，债券价值等于

其大于进行转换时的价值100。我们可以断定在节点E不值得进行转换。最后，我们可以知道在节点E上，债券发行者不能赎回债券，因为他是以113赎回了价值为106.36的债券。

作为另一个例子，考虑节点B。如果转换，债券的价值为2X57.596=115.19。如果不转换，进行和节点E类似的计算，可以得到价值为118.31。因此，可转换债券的持有者不会选择转换债券。但是此时，债券发行者会选择以113赎回债券。那么，债券持有者会认为进行转换比被赎回更好。因此，节点B的债券价值为115.19。节点D中的分析也是类似的。不进行转换的时候，债券价值为132.79。但是，债券被赎回了，因此债券持有者被迫进行转换，该节点的债券价值减小到132.69。

这个可转换债券的价值为它在初始节点A上的价值，即106.93。

当债券支付利息的时候，我们也应该把这种影响考虑进来。在每个节点上，基于不转换的假设计算债券价值时，我们应该计算下一时间步后的债券可能支付的利息的现值，并把这一值也考虑进来。风险中性违约强度λ可从债券价格或信用违约互换价差计算得出。在更为一般化的执行过程中，λ，σ和r是时间的函数。那么我们可以用三叉树图来处理这种情况（参见17.4节）。

上述模型的一个缺点是，违约概率和股票价格相互独立。因此，一些研究者提出以隐性有限差分方法执行这个模型，其中违约强度入是股票价格和时间的函数。

小    结

信用衍生品允许银行和其他金融机构更主动地管理信用风险。信用衍生品可用来把信用风险从一家公司转移给另一家公司，也可用来以一种类型的暴露交换另一种，以此达到分散信用风险的目的。

最常见的信用衍生品是信用违约互换。这一合约中，一家公司购买与某一特定公司违约相关的保险。损益通常等于第二个公司发行的债券的账面价值和刚刚发生违约之后的价值之间的差值。分析信用违约互换时，计算预期支付的现值和预期损益的现值。

远期信用违约互换中，双方有义务在某一特定时刻签订某种信用违约互换。信用违约互换期权赋予一种选择权，某一特定时刻该期权持有者可以选择决定是否签订某种信用违约互换.如果有效期内，参考实体违约，那么上述两种金融工具都失效。

总收益互换中是以信用敏感性资产组合的总收益，交换LIBOR加上价差。总收益互换通常被用为融资。一家希望购买债券组合的公司会联系一家金融机构，金融机构为公司购买债券。然后，金融机构会签订总收益互换合约，其中金融机构支付债券的收益给公司，并收取LIBOR。这样安排的优点是金融机构减少了这家公司违约风险的暴露。

第n期违约CDS中，只有当一个公司组合中发生第几次违约时，提供损益。债务抵押债券中，从公司债券或商业贷款的组合中创造一系列不同的证券。有特殊规则决定信用损失分配到每个证券的方式。这一规则给出的结果是，从组合中产生了信用评级非常高和非常低的一些证券。合成债务抵押债券中，从信用违约互换创造类似的证券集合。定价第n期违约CDS和CDO分券的标准市场模型是违约时刻的单因子Gaussian copula模型。

可转换债券中，持有者可以按照事先决定的条款把债券转换成发行者的股本。可转换债券估值中需要考虑信用风险问题。这是因为，如果债券没有被转换，债券中应该得到的支付就暴露于信用风险。一种估值可转换债券的流行方法是，基于已知违约强度的假设，建立股票价格的模型。违约发生时，股票价格降低到零，债券价格下降的幅度和回收率相关。

参考读物

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Hull，J.C.，and A.White，“Valuation of a CDO and nth-to-Default Swap with out Monte Carlo Simulation，”Journal of Derivatives，12，2（Winter 2004），8-23.

Tavakoli，J.M.，Credit Derivatives：A Guide to Instruments and Applications.New York：Wiley，1998.

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