《期权、期货及其他衍生产品第6版·专业版》

第13章 Black-Scholes-Merton模型

20世纪70年代初，Fischer Black、Myron Scholes和Robert Merton取得股票期权定价问题的一个重大突破。他们的成果被称为Black-Scholes（或Black-Scholes-Mer-ton）模型。该模型对交易员定价和对冲期权的方式产生了极大影响。该模型也对过去20年中金融工程的发展和成功起了关键性作用。1997年，Robert Merton和Myron Scholes被授予诺贝尔经济学奖，此时该模型的重要性被广泛认可。令人惋惜的是，Fischer Black在1995年去世，否则他无疑也是该奖项的获得者之一。

本章中我们将阐述如何推导无红利支付股票的欧式看涨和看跌期权的Black-Sc-holes定价模型。我们将说明既可以从历史数据估计波动率，也可以运用上述模型从实际的期权价格得到隐含波动率。我们也将阐述如何应用第11章的风险中性估值方法。我们还会看到扩展的Black-Scholes模型可以处理支付红利股票的欧式看涨期权和看跌期权的问题。此外，我们将给出支付红利股票的美式看涨期权定价问题的些结论。

13.1 股票价格的对数正态分布特性

Black，Scholes和Merton使用的股价行为模型就是我们在第12章推导过的模型，其中假定了很短的时间内股票价格变化百分比服从正态分布。定义：

μ：股票的年预期收益率

σ：股票价格的年波动率

△t时间段的股票价格变化百分比的均值为μ△t、标准差为。所以，

其中△S是△t时间段的股票价格S的变化，Φ（m，s）代表均值为m.、标准差为s的正态分布。

12.6节中我们指出了，上述股价行为模型中：

其中S_T为未来时刻T的股票价格，S₀为当前0时刻的股票价格。式（13.3）表明，InS_T服从正态分布，所以S_T服从对数正态分布。InS_T的均值为lnS₀+（μ-σ²/2）T，标准差为a。

[例13.1] 考虑一种股票，价格初始值为$40，预期收益率为每年16%，波动率为每年20%。由方程（13.3）可知，6个月后股票价格S_T遵循的概率分布为：

由于一个正态分布变量值位于均值两边1.96倍标准差范围内的概率为95%，因此，95%置信度下：

因此，6个月后股票价格落在32.55〜56.56之间的概率为95%。

服从对数正态分布的变量可以在零和无穷大之间任意取值。图13.1表示的是一个对数正态分布的形态。与正态分布不同，对数正态分布的图形是不对称的，这是因为它们的均值、中位数与众数都是不同的。由方程（13.3）及对数正态分布的特性，可以将S_T的期望值E（S_T）表示为：

这与μ作为预期收益率的定义相符。S_T的方差var（S_T）可表示为：

[例13.2] 考虑一种股票，当前价格为$20，预期收益率为每年20%，波动率为每年40%。一年后的期望股票价格E（S_T）和股票价格方差var（S_T）为：

13.2 收益率的分布

利用股票价格的对数正态分布特性，可以得到0时刻与T时刻之间股票连续复利收益率的概率分布。将0时刻与T时刻之间的连续复利年收益率定义为x，那么：

因此，连续复利计算的年收益率服从均值为μ-σ²/2、标准差为的正态分布。随着T增大，x的标准差减少。为了理解其中的原因，考虑以下两种情况：T=1和T=20。比起任一年的年收益率，我们相对更容易确定多于20年的年平均收益率。

[例13.3] 考虑一种股票预期收益率为每年17%，波动率为每年20%。3年后得到的实际（连续复利）平均收益率的概率分布是正态分布，其均值为：

即每年11.55%。因为一个正态分布的变量有95%的可能性落在其均值两边1.96倍标准差范围内，95%置信度下，3年后我们得到的实际年平均收益率在-7.6%〜+37.6%之间。

13.3 预期收益率

对于股票投资者，预期收益率μ取决于股票的风险程度。风险越高，预期收益率也越高。预期收益率同样也取决于整体经济中的利率水平。利率水平越高，任一给定股票的预期收益率也越高。幸运的是，我们在这里不必考虑μ由什么来决定。一个期权的价值由标的股票的价值来表示时，股票期权的价值并不取决于μ。但是，股票预期收益率在某些时候会引起混乱。

公式（13.1）说明很短时间段△t的股票价格的预期变化百分比为μ△t。自然地，我们要假设△t是连续复利计算的股票的预期收益率。但是，并不总是这样。根据式（13.6），在长度为T的时间段，实际实现的连续复利计算的预期收益率x为

而且根据公式（13.7），x的期望值E（x）为μ-σ²/2。

连续复利计算的预期收益率不同于μ的原因比较隐晦，但懂得这一点是非常重要的。假设我们在考虑很多个非常短的时间段△t。定义S_i为第i个时间段末的股价，△Si为S_i+1-S_i。在股票价格行为过程的假定下，每个时间段内股票的平均收益率接近于μ。也就是说μ△t接近于△S/S_i的算术平均值。但是数据覆盖的整个时间段内，以每△t时间段计一次复利计算的预期收益率接近于μ-σ²/2而非μ。3商业剪影13.1中，以一个共同基金行业中的数字例子解释这一问题。为了给出数学上的解释，我们首先

这样，我们很希望能假设ln[E（S_T）]=E[ln（S_T）]，以便E[ln（S_T）]-ln（S₀）=μT，即E[ln（S_T/S₀）]=μT，最后我们得到E（R）=μ。但是，In不是线性函数，所以不能有上述的推导过程。实际上ln[E（S_T）]>E[ln（S_T）]，因此E[ln（S_T/S₀）]<μT，最终我们得到的是E（x）<μ [上面已经提过，E（x）=μ-σ²/2]。

商业勇影13.1 共同基金收益率产生的误导

μ和μ-σ²/2之间的区别与共同基金报出的收益率问题紧密相关。假设一个共同基金经理发布的过去5年内的年收益率（连续复利）分别如下：

15%，20%，30%，-20%，25%

这些收益率的总和除以5，可以得到这些收益率的算术平均值为14%。但是，一位在过去5年投资于该共同基金的投资者，实际上赚的比14%要小。投资的$100在5年末的美元价值为：

100x1.15x1.20x1.30x0.80x1.25=$179.40

相反地，每年复利的14%给出的价值为：

100x1.145=$192.54

第5年末的$179.40说明，过去5年的几何平均收益率为12.4%。因为

100x（1.124）5=$179.40

那么基金经理应该发布哪种平均收益率呢？基金经理可能更愿意发布如下：“过去5年中，我们实现的年平均收益率为14%。”虽然这没有错误，但可能会产生误导。不会产生很大误导的发布如下：“过去5年中，我们实现的年平均收益率为12.4%。”在某些管辖领域内，监管机构会要求基金经理以第2种方式发布。

这种现象是一个著名数学结论的一个例子。一组数（不全相等）的几何平均值总是小于其算术平均值。在我们的例子中，每年的收益率乘数为1.15、1.20、1.30、0.80以及1.25。这些数的算术平均值为1.140，但几何平均值只有1.124。

13.4 波动率

股票的波动率σ是我们对于股票收益率不确定性的一种度量。股票波动率典型值处于15%~60%的范围之间。

根据公式（13.7），股票的波动率可以定义为股票收益率的年标准差，收益率以连续复利计算。

T比较小的时候，公式（13.1）说明近似等于T时间内股价变化百分比的标准差。假定σ=0.3，即每年30%，当前股价为$50。1星期的股票价格变化百分比的标准差近似等于

所以，1星期的股价变动标准差等于50x0.0416，即$2.08。

公式（13.1）说明，我们以价格标准差来衡量未来股票价格的不确定性时，不确定性与我们考虑的未来时间长度的平方根成正比（至少近似地）。例如，4星期内股价的标准差近似等于I星期内股价的标准差的两倍。

从历史数据估计波动率

为了从实际数据估计股票价格的波动率，观察股票价格的时间间隔通常是固定的（例如每天、每周和每月）。

定义：

n+1：观察次数

S_i：在第i个时间间隔末的股票价格，i=0，1，…，n

T：以年为单位表示的时间间隔的长度

由方程（13.2）可知，u1的标准差为。因此变量s是的估计值。σ本身可被估计为σ^，其中：

选择一个合适的n值并不容易。然而数据越多，-般来说获得的精度越高。但是，σ确实随时间而变化，过多的历史数据对于预测将来可能不起作用。一个效果相当不错的解决办法是使用最近90-180天的每日数据收盘价格。经常使用的一般经验法则是设定n为波动率所对应的天数。因此，如果波动率估计值将用于两年期期权估值，可使用持续两年的日历史数据。第19章中讨论GARCH模型等更为复杂的估计波动率的方法。

[例13.4] 表13.1给出了21个连续交易日的股票价格的一个可能序列。其中：得到日收益标准差的估计值为：

得到日收益标准差的估计值为：

即1.216%。假设以交易日为计算基础，每年有252个交易日，所以T=1/252，以上数据给出的年波动率估计值就是0.01216√252=0.193，即19.3%，这一估计的标准误差为：

即每年3.1%。

上述分析中假设了股票不支付红利，进行修改之后可适用于支付红利的股票。包含除权日在内的一个时间间隔的收益u_i可表示为：

然而，由于在除权日税收因素对收益的确定有一定的作用，所以我们最好舍弃所有包含除权日的时间段的数据。

交易天数和日历天数

在估计或使用波动率参数时，一个重要的问题是究竟是以日历惯例还是以交易日惯例来度量时间。商业剪影13.2中可以看到，相关研究结果说明交易所开市时比闭市时波动率要高很多。所以在计算期权有效期时，从业人员从历史数据估计波动率，扣除了交易所闭市的日子。年波动率由每个交易日的波动率计算得到，计算公式为：

这就是例13.4根据表13.1的数据计算波动率时使用的方法。在股票市场上，通常的假设是每年有252个交易日。

期权的有效期间通常以交易日度量而非日历天数。T年是按如下方式计算的：

T=期权到期前的交易日数/252

商业剪影13.2 波动率产生的原因

很自然的一个假设是：股票价格波动率是由于市场中新信息的出现而产生的。这些新的信息会改变人们对于股票价值的看法。因此，股票价格变化，波动率也随之产生。而实际研究结果并不支持这个论点。根据几年中的每日股票价格，研究者们可以计算：

1.当中间不包含非交易日时，一个交易日收盘与下一个交易日收盘之间的股票价格收益方差。

2.在周五收盘与下周一收盘之间股票价格收益方差。

情况2中的方差是3天期的收益率方差。情况1中的方差是1天期方差。那么，我们有理由预计情况2中的方差应该是情况1中方差的3倍。法马（Fama，1965）、弗伦奇（French，1980）以及弗伦奇和罗尔（French&Roll，1984）发现，事实并不是这样的。他们三者的研究结果分别表明，情况2中的方差仅比情况1中高出22%、19%以及10.7%。

那么，你可能会认为，这些结果意味着交易所开市时有更多的信息到来。但是罗尔（1984）的研究结果并不支持这一解释。罗尔观察了橙汁期货。到目前为止，与橙汁期货价格相关的最重要的一些信息是有关天气的。而天气的信息传递速率在任意时刻都是相等的。罗尔对股票也做了类似的分析，他发现情况2（周五至下周一）中的方差仅是情况1中的方差的1.54倍。

总之，惟一合理的解释是波动率主要由交易本身产生（交易员们一般都支持这一结论！）。

13.5 Black-Scholes-Merton微分方程隐含的基本概念

Black-Scholes-Merton微分方程是以不付红利股票为标的的任何衍生证券价格必须满足的方程。在下一节中我们将推导该方程。这里我们考虑使用方法的特性。

Black-Scholes-Merton定价方法类似于在第11章中当股票价格变动是两值时的期权定价的方法。构造一种包含衍生证券头寸和标的股票头寸的无风险证券组合。在无套利机会条件下，该证券组合的收益必定为无风险利率r。这样就得到了Black-Scholes-Merton微分方程。

可以建立无风险证券组合的原因是股票价格和基于该股票的衍生证券的价格都受同一种基本的不确定性来源的影响：股票价格变动。在任意一个短时间期内，衍生证券的价格与标的股票的价格总是完全相关。如果建立了一种恰当的股票和衍生证券的组合，股票头寸的收益（损失）总是会与衍生证券的损失（收益）相抵消，因而在短时期末证券组合的总价值也就确定了。

例如，假设在未来某个特殊的时点，股票价格小的变动△S与该变动引起的欧式看涨期权价格变动△c之间有如下关系：

这意味着表示c和S之间关系的曲线斜率是0.4，如图13.2所示。无风险组合的构造如下：

1.0.4股股票的多头

2.一份看涨期权的空头

Biack-Scholes-Merton定价方法和在第11章中所使用的二叉树图的分析方法有个很重要的差别。在Black-Scholes-Merton方法中，所建立的头寸仅对一个非常短的时期是无风险的（理论上，它只在瞬间时刻保持无风险）。为了保持无风险状态，必须频繁地对头寸进行调整或再调整。例如，△c和△S之间的关系也许从今天的△c=0.4△S变为两周后的△c=0.5△S。这将意味着为了维持无风险头寸，对出售的每个期权而言，必须多买0.1股股票来对冲该期权。然而实际情况是：在任何非常短的时期，无风险证券组合的收益必须是无风险利率。这是Black-Scholes-Merton定价方法中的一个关键所在，并由此得出他们的定价公式。

假设

推导Black-Scholes-Merton微分方程用到的假设如下：

1.股票价格遵循第12章讨论的μ、σ为常数的随机过程

2.允许使用全部所得卖空衍生证券

3.没有交易费用或税收。所有证券都是高度可分的

4.在衍生证券的有效期内没有红利支付

5.不存在无风险套利机会

6.证券交易是连续的

7.无风险利率r为常数且对所有到期日都相同

正如在以后章节将要讨论的，有些假设条件可以放松，比如σ和r可以是t的函数。我们甚至可以允许利率是随机提供的，这不妨碍期权到期时股价仍服从对数正态分布。

13.6 Black-Scholes-Merton微分方程的推导

我们假设股票价格行为过程遵循12.3节中讨论的随机过程：

其中△S和△f是S和f在短时间间隔△t后的变化量。回顾第12.5节伊藤定理的讨论，可知f和S所遵循的维纳过程相同也就是说，方程（13.10）和方程（13.11）中的相同。所以选择某种股票和衍生证券的证券组合就可以消除维纳过程。

恰当的证券组合应该是：

-1：衍生证券

+аf/аS：股票

此证券组合的持有者卖空一份衍生证券，买入数量为аf/аS的股票。定义证券组合的价值为Ⅱ。根据定义：

将方程（13.10）和方程（13.11）代入方程（13.13），得到：

因为这个方程不含有△z，经过也后证券组合必定是无风险的。从上一节中列出的假设可以得出该证券组合的瞬时收益率一定与其他短期无风险证券收益率相同。如果该证券组合的收益率大些，套利者就可以通过借钱来买该组合而获得无风险收益；如果该证券组合的收益率小些，套利者就可以通过卖出该证券组合购买无风险证券来获取无风险收益。所以结果应该是：

△Ⅱ=rⅡ△t （13.15）

其中r为无风险利率。再把方程（13.12）和方程（13.14）代入方程（13.15）可以得到：

方程（13.16）就是Black-Scholes-Merton微分方程。对应于标的变量S定义的所有不同衍生证券，此方程有许多解。求解该微分方程时得到的特定的衍生证券取决于所使用的边界条件。这些边界条件确定了在S和t的可能边界值对应的衍生证券价值。对于欧式看涨期权的情况，关键的边界条件为：

在方程（13.16）的推导过程中，应当强调的一点是：证券组合并不是永远无风险。只是对于无限短的时间间隔内，它才是无风险的。当S和t变化时，瘁也会变化。为保持证券组合无风险，有必要连续调整证券组合中衍生证券与股票的相对比例。

［例13.5］ 基于不支付红利股票的远期合约是一个依赖于股票价格的衍生证券，所以它应当满足方程（13.16）。由方程（5.5），某一t时刻，以该时刻股票价格S表示的远期合约的价值f为：

把这些代入方程（13.16）的左边，得到

它等于rf，说明确实满足方程（13.16）。

可交易衍生证券的价格

任何函数f（S，t ）只要它是微分方程（13.16）的一个解，那么也就是一个可交易衍生证券的理论价格。如果相应的衍生证券的价格为该值，则不存在套利机会，相反地，如果函数f（S，t）不是微分方程（13.16）的一个解，那么它不可能是不存在套利机会的衍生证券的价格。

为了解释其中原因，首先考虑函数e^s。它不满足微分方程（13.16）。所以它也不可能是依赖于股价的衍生证券的价格。如果存在一种价格总为e^s的金融工具，那么存在套利机会。作为第二个例子，我们考虑函数

它满足微分方程，所以在理论上可以是某个可交易衍生证券的价格（它是在r时刻支付1/_T的衍生证券的价格）。习题13.11、13.12、13.23和13.28中给出了其他可交易衍生证券的例子。

13.7 风险中性定价

第11章中在二叉树定价模型中引入了风险中性估值概念。毫无疑问，风险中性定价是衍生证券分析中的一个最重要工具。它来源于Black-Scholes-Merton微分方程（13.16）的一个关键性质。这—性质是：该方程不包含任何受投资者风险偏好影响的变量。方程中出现的变量为股票当前价格、时间、股票价格波动率和无风险利率，它们都独立于风险偏好。

如果Black-Scholes-Merton微分方程包含股票的预期收益μ，那么它将不独立于风险偏好。因为μ的值确实依赖于风险偏好。对于任何给定股票，投资者厌恶风险程度越高，μ的值就应该越大。而幸运的是，在方程的推导过程中，μ恰巧被消掉了。

因为Black-Scholes-Merton微分方程独立于风险偏好，我们可以使用一个很巧妙的结论。如果方程中不存在风险偏好，那么风险偏好将不会对其解产生影响.因此，在对f进行定价时，我们可以使用任何一种风险偏好。特别地，可以提出一个非常简单的假设：所有的投资者都是风险中性的。

在一个所有投资者都是风险中性的世界里，所有证券的预期收益率皆为无风险利率r。因为风险中性的投资者并不需要某种补偿来促使他们承担风险。而且在风险中性的世界中，任何现金流的现值可通过将其期望值用无风险利率来贴现而获得.因此，风险中性世界的假设确实在很大程度上简化了对衍生证券的分析。

考虑在一个特定时刻提供损益的一种衍生证券。对它进行风险中性估值的步骤如下：

1.假定标的资产的预期收益率为无风险利率r（即假定μ=r）

2.计算衍生证券的期望损益

3.以无风险利率贴现期望损益

我们应当认识到，风险中性估值（或所有投资者为风险中性的假设）仅仅是一个求解Black-Scholes微分方程的人为手段。这样获得的方程解对于所有世界都有效，而不仅仅是风险中性世界。当我们从风险中性世界进入到风险厌恶世界时会发生两件事情：股票价格的期望增长率改变了；对衍生证券的损益使用的贴现率改变了。然而以上两个变化的影响总是能相互完全抵消。

股票远期合约中的应用

在5.7节中已为基于不付红利股票的远期合约进行了定价。例13.5中，我们检验了其定价公式满足Black-Scholes微分方程。作为风险中性定价的一个例于，本节中我们对其进行推导。我们假设利率为常数，等于r这比第5章中的假设更严格了一些。

考虑购买一个交割价格为K、在T时刻到期的远期合约。如图1.2中所描述的，到期日远期合约的价值为：

S_T-K

其中，S_T为时刻T的股票价格。由风险中性定价讨论可知，在风险中性世界中，0时刻远期合约的价值等于T时刻的期望价值以无风险利率贴现到0时刻的现值。用f表示远期合约在0时刻的价值，这意味着：

以上结果与方程（5.5）一致。

13.8 Black-Scholes定价公式

在0时刻，不支付红利股票的欧式看涨和看跌期权的Black-Scholes定价公式分别为

N（x）是标准正态分布变量的累计概率分布函数。也就是说，它是一个服从标准正态分布Φ（0，1）的变量小于x的概率。图13.3中对此进行了说明。对于其他的变量，大家会比较熟悉。变量c和p分别为欧式看涨期权和看跌期权的价格，S₀是0时刻股票价格，K是执行价格，r是连续复利的无风险利率，σ是股价波动率，T是期权到期期限。

一种推导Black-Scholes定价公式的方法是，使用13.6节中提出的边界条件下求解微分方程（13.16）式。另一种方法是使用风险中性估值方法。考虑一个欧式看涨期权在风险中性世界中，到期时期权的期望价值为

和前面一样，E表示风险中性世界中的期望值。根据风险中性估值方法，欧式看涨期权的价格c等于以无风险利率贴现的期望值，也就是

N（d₂）表示在风险中性世界中期权被执行的概率，所以KN（d₂）是执行价格乘以支付执行价格的概率。表达式S₀N（d₁）e^rT是如下变量的期望值：在风险中性世界中当ST>K时，该变量等于S_T，其他情况下该变量都为零。

因为不支付红利股票的美式期权和欧式期权的价格相同（参照9.5节）。方程也给出了基于不付红利股票的美式看涨期权的价值。不幸的是，对于基于不付红利股票的美式看跌期权定价还不存在精确的解析公式。我们将在第17章中讨论计算美式看跌期权价值的数值算法。

实际中应用Black-Scholes定价公式时，设利率r为T期限的零息票无风险利率。我们将在以后的章节中看到，当r为时间的已知函数的时候，这种设定在理论上正确。而且当利率是随机提供的、T时刻股票价格服从对数正态分布、选择的波动率参数比较合理时，这种设定也在理论上正确。前面已经提过，时间的度量方法一般为：以期权有效期间内交易日天数除以1年内交易日天数，

Black-Scholes公式的性质

现在我们通过对某些参数取极值，来说明Black-Scholes公式具有的一般性质。

当股票价格S₀变得很大时，看涨期权肯定会被执行。这时它与执行价格为K的远期合约非常相似。根据方程（5.5）我们期望看涨期权价格为：

这实际上就是方程（13.20）给出的看涨期权的价格。因为，当S₀非常大时，d₁和d₂也都变得相当大，N（d₁）和N（d₂）都近似等于1.0。当股票价格变得很大时，欧式看跌期权的价格p趋近于0。这与方程（13.21）一致，因为N（-d₁）和N（-d₂）都近似等于0。

下面再考虑波动率σ趋近于0的情况。由于股票实质上没有风险，它的价格将以r的速率增长到T时刻的S₀e^rT，从看涨期权得到的损益为：

为证明它与方程（13.20）一致，首先考虑S₀>Ke^-rT的情况。这意味着，In（S₀/K）+rT>0。由于趋近于0，d₁、d₂趋近于正无穷，所以N（d₁）和N（d₂）趋近于1.0，方程（13.20）成为

13.9 累积正态分布函数

在应用方程（13.20）和方程（13.21）时，存在的惟一问题就是累计正态分布函数N（x）的计算。在本书的末尾提供了N（x）表。Excel中可以用NORMSDIST函数计算N（x）。一个能保证小数点后六位、精确求得N（x）的多项式近似值公式如下：

其中

并且

[例13.6] 考虑一种期权，还有6个月的有效期，其标的股票现价为$42，期权的执行价格为$40，无风险利率为每年10%，波动率为每年20%。即S₀=42，K=40，r=0.10，σ=0.20，T=0.5。

暂不考虑资金的时间价值，若要使看涨期权的购买者达到盈亏平衡，股票价格必须上涨$2.76；同样，若要使看跌期权的购买者达到盈亏平衡，股票价格必须下降$2.81。

13.10 权证和管理层股票期权

普通看涨期权的执行，对于相应公司的流通在外的股份数量没有任何影响。如果卖出期权的交易者不持有该公司的股票，他或她应该以通常方式在市场买入相应股票，并把它按执行价格卖给期权持有者.、在第8章中解释过，权证和管理层股票期权和常规看涨期权不一样，它们被执行后，公司发行更多股份并把它们按执行价格卖给期权持有者。当执行价格低于市场价格的时候，这种行为将稀释当前股东利益。

商业剪影13.3 股票权证、管理层股票期权以及稀释作用

考虑一家公司有10万股股份，每股$50。公司发布它将授予雇员10万份股票期权，期权的执行价格为$50，锁定期限为3年。如果公司通过授予雇员股票期权（间接降低了薪水）来激励管理人员，但股东收益没有明显改善的话，那么在雇员股票期权计划发布之后，股票会立即下跌。如果股价跌到$45，当前股东的稀释成本为$5每股，总成本为$50万。

假设锁定期限内公司表现良好，锁定期限到期之时，股价变成$100。进一步假设，所有期权在那一时刻执行。雇员在每份期权中获得$50收益。那么，有些人可能会认为这会再次引起稀释，因为每股$100的10万股份和每股$50的10万股份汇聚到一起，所以（a）每股价格下降到$75，（b）期权所有者在每份期权中只获得$25收益。但这个观点并不正确。市场会预期到这些期权的执行，并已经把这种预期反映在每股价格中。每份期权被执行之后，提供的收益还是$50。

这个例子表示这样的一般观点：当市场是有效的时候，管理层股票期权或权证的稀释效应会在这些信息发布之后，立即表现在股票价格上。因此，估值期权的时候不必考虑这些影响。

潜在的股票稀释作用会如何影响权证和管理层股票期权的估值呢？答案是没有影响。在市场有效的假设下，股价会反映所有流通在外的权证和管理层股票期权的稀释作用。商业剪影13.3中解释了这个论点。7

接下来，考虑一家公司正打算发行新权证（或管理层股票期权）。公司很关心发行成本，同时假设没有补偿性的收益。该公司拥有N股价格为每股S₀的发行在外的流通股股票，打算发行归份权证，每份权证赋予购买者以执行价格K购买一股的权利。当前的公司价值为NS₀，这个值不因发行权证而变化。假定不发行权证的情况下，权证到期时间相应的股价为S_T。这说明（不管发不发行权证）T时刻股权的总价值为NS_T。权证的持有者执行了权证后，支付的执行价格使得公司获得了一笔现金流入，公司股权值增长到NS_T+MK。这个值在N+M股中分配，所以，权证执行后股票价格立即变成

份基于该公司股票的常规看涨期权的价值。所以，期权的总成本是这个值乘以M。

[例13.7] 一个拥有100万股，价格为每股$40股票的公司考虑发行20万份权证，每份权证赋予购买者在5年内以执行价格$60买入一股的权利。公司想知道发行的成本。利率为3%p.a.，波动率为每年30%。公司不支付红利。根据公式（13.20），基于该公司股票的5年期欧式看涨期权的价值为$7.04。这里，N=1000000，M=200000。因此，每份权证的价值为：

即$5.87。发行权证的总成本为200000x$5.87=117万美元。假设市场不会为该权证发行提供收益补偿，我们可以预期股价降到$38.83（降低了$1.17）。

13.11 隐含波动率

在Black-Scholes定价公式中，不能直接观察到的一个参数是股票价格的波动率。在第13.4节中我们已经讨论了如何从股票价格的历史数据来估计波动率。实际中，交易员们通常使用隐含波动率。隐含波动率是指在市场中观察的期权价格所蕴含的波动率。

为了解释如何计算隐含波动率，我们假设当S₀=21，K=20，r=0.10，T=0.25时一种基于不付红利股票的欧式看涨期权的价值为1.875。隐含波动率是将以上数据代入方程（13.20）中，使得c=1.875的σ值。不幸的是，我们却不能直接解出方程，使得σ表示为S₀、K、r、T和c的函数形式。然而，我们可以用试错法得到隐含波动率例如，开始时我们可以令σ=0.20，这个值使得c的值等于1.76，比1.875小。由于c是σ的增函数，我们需要选取大一些的σ值。接着令σ=0.30，得到c的值等于2.10，比1.875大，所以可以判断σ是在0.20和0.30之间的值。然后，试着令σ的值为0.25，结果也偏大，所以σ应该在0.20和0.25之间。用这种方法继续下去，每次查找可以缩小σ的范围，这样对任意要求的精度都可计算出σ的准确值。在本例中，隐含波动率σ为每年0.235或23.5%。结合二叉树图方法，以同样的步骤，可以计算出美式期权的隐含波动率。

隐含波动率可以用来监控市场对于某一特定股票波动率的态度。交易员们喜欢计算某一资产的交易比较活跃的一些期权的隐含波动率，再对这些隐含波动率进行适当的加权，计算出该资产的交易相对不活跃的期权的隐含波动率，以便对其期权进行定价。在第16章中将讲述这一过程。我们必须注意到，处于深度实值状态或深度虚值状态的期权对波动率的敏感程度相对较低。这就说明，从这样的期权计算出来的波动率不太可靠。

13.12 红利

到目前为止，我们一直假设期权的标的股票不支付红利。本节中我们修改Black-Scholes模型以反映红利的影响。我们假设在期权有效期内支付的红利数量和支付时刻可以准确预测。对于短期限期权，这个假设是合理的。而对于长期限期权，更为合理的假设是：假定红利收益率是已知的，而不是支付红利现金数额已知。在下一章中讲述这种情况下的期权定价问题°红利支付日应该假设为除权日。在除权日股票价格下降，下降幅度是每股支付的红利的数量。

欧式期权

为了分析欧式期权，我们假设股票价格是以下两个部分的总和：期权有效期内，对应于已知红利的无风险部分和一个风险部分。任意给定时刻的无风险部分等于期权有效期内的所有红利，以无风险利率从除权日贴现到当前时刻的现值。期权到期时已经支付了红利，因此无风险部分就不存在了。所以如果令S₀等于股票价格的有风险部分，σ等于有风险部分遵循的随机过程的波动率，Black-Scholes公式仍是适用的。也就是说，在实际操作中，从股票价格减去期权有效期内的所有红利按无风险利率从除权日贴现的现值之后，就可以使用Black-Scholes公式。只有当在期权有效期中遇到除权日，才将红利纳入计算当中。

[例13.8] 考虑一种欧式股票看涨期权，其标的股票在2个月和5个月后各有一个除权日。每个除权日的预期红利为$0.50。当前股票价格为$40，执行价格为$40，股票价格波动率为每年30%，无风险利率为每年9%，到期时间还有6个月。红利的现值为：

美式期权

下面我们考虑美式看涨期权。在9.5节，我们阐述了这样一个观点：没有红利支付的情况下这些看涨期权不应该提前执行。将这个论点进一步引申表明：在支付红利的情况下，只有股票付红利前的瞬时时刻执行才最优。我们假设预计有n个除权日如如t₁，t_2，t₃…，t_n，t₁<t₂<t₃…<t_n 对应于这些时刻的红利分别表示为D₁，D₂，D₃，…，D_n。

我们先来考虑刚好在最后一个除权日（即在4时刻）前提前执行的可能性。如果期权在t_n，时刻执行，投资者获得：

其中，S（t）是t时刻股票价格。若没有执行期权，股票价格下降到S（t_n）-D_n。如方程（9.5）所示，期权的价值大于

则在时刻t_n执行期权不是最佳选择。另一方面，如果：

对任何股票价格所遵循随机过程的合理假设，可以证明对于足够大的S（t_n）的值，在t_n时刻执行期权总是最优的。当最后除权日与期权到期日相当接近（即T-t_n很小），而且红利很大时，不等式（13.25）就会被满足。

然后考虑时刻t_n-1，即倒数第二个除权日。如果期权在时刻t_n-1之前瞬间执行，投资者得到S（t_n-1）-K。如果期权在时刻t_n-1没有执行，股票价格下降到S（t_n-1）-D_n-1。最接近的下一次能够执行的时间为t_n。因此，由方程（9.5）可知，如果在t_n-1时刻不执行期权，则期权价格的下限为：

假设K与股票现价相当接近，要使这个不等式不被满足，股票的红利收益率应该近似于或大于无风险利率。现实中经常不是这样。

从以上分析中，我们可以得出结论，即在大多数情况下，美式看涨期权最可能的提前执行时间是最终除权日之前的瞬时时刻t_n。进一步，如果对于i=1，2，…，n-1，不等式（13.26）都成立，不等式（13.24）也成立，我们可以肯定提前执行不是最佳选择。

Black的近似

为了把提前执行看涨期权情况考虑进来，Black提出一种近似处理方法。正如本节前面所描述的，该方法包括分别计算在时刻T和t到期的欧式期权的价格，然后将二者之中较大的值确定为美式期权的价格。大多数情况下，这种近似效果似乎都不错。

[例13.9] 考虑例13.8中的情况，但假设期权为美式的而不是欧式的，在这种情况下：D₁=D2=0.5，S₀=40，K=40，r=0.09，t₁=2/12，t₂=5/12。

因为这个值大于0.5，所以[见不等式（13.26）]在第一个除权日之前期权不应立即执行。

此外，由于

这个值小于0.5，所以[见不等式（13.25）]当期权为深度实值期权时，应在第二个除权日之前立即执行。

我们再用Black近似为期权定价。第一笔红利的现值为：

在假设期权于最后除权日前立即执行的前提下，期权的价值可用Black-Scholes-Merton公式来计算，S₀=40-0.4926=39.5074，K=40，r=0.09，σ=0.30，T=0.4167，期权价值为$3.52。按照Black近似，应当选取这个值和只能在6个月末执行的期权价值中较大的一个。由例13.8可知，后者为$3.67。因此，Black近似给出美式看涨期权的价值为$3.67。

DerivaGem软件中利用“Binomial American”以500时间步计算的期权价值为$3.72。二叉树模型（BM）和Black近似（BA）之间的差别有两个原因。第一个涉及到提前执行决策的时刻；第二个涉及波动率应用的方式。提前执行决策的时刻不同，使得BM计算的值比BA计算的值大些。在BA方法中，假设期权持有者必须今天决策该期权是在5个月后执行，还是在6个月后执行；而BM方法允许在5个月那个点提前执行的决策取决于股票的价格。波动率应用的方式不同，使得BA的波动率大于BM的波动率。在BA中，当我们假设在5个月后执行期权，这个波动率应用于扣除了第一个红利现值的股票价格；当我们假设在6个月后执行期权时，这个波动率应用于扣除了两个红利现值的股票价格。

小结

本章开头我们检验了第12章中介绍的股票价格的随机过程特性。该过程表明给定股票现价，那么它在未来某一时刻的价格是对数正态分布的，还表明一段时间后股票的连续复利收益是正态分布的。我们预测未来的时间越远，未来股票价格的不确定性就越大。股票价格对数的标准差与我们预测未来时间长度的平方根成正比。

为根据实际数据估计股票价格的波动率σ应该按照固定的时间间隔观察股票价格（例如：每天、每周或每月）。对于每个时间段，求出该时间段末的股票价格与该时间段初的股票价格之比的自然对数。将这些对数除以以年计量的时间长度的平方根，所得到的标准差就是估计的波动率。通常为计算波动率，在计时时应扣除交易所闭市的日子。

通过建立一个包含期权和股票的无风险头寸，可得到任何基于股票的衍生证券价格的微分方程。由于衍生证券和股票价格都取决于同一个不确定性的来源，无风险头寸总是可以构成的。所建立的这一头寸仅在很短的时间内保持无风险状态。但是，如果没有套利机会的话，无风险头寸的收益一定总是无风险利率。

股票的预期收益并没有出现在Black-Scholes微分方程中。这就产生了很有用的“风险中性定价”结果，这个结果说明：当为基于股票价格的衍生证券定价时，我们可以假设这个世界是风险中性的。这就意味着我们可以假设股票的预期收益率为无风险利率，然后以无风险利率贴现期望收益。使用求解微分方程的方法或风险中性定价方法都可以得到欧式看涨期权和看跌期权的Black-Scholes方程。

隐含波动率是指将给定的期权市场价格代入Black-Scholes期权定价公式时求得的波动率。交易者监控着隐含波动率，有时他们也用从一些交易活跃的期权的价格中求得的隐含波动率，来计算基于同一资产的另一种交易不太活跃的期权价格以实证结果表明股票的波动率在交易所开市的时候比闭市的时候大得多。这说明，在某种程度上，交易本身产生了股票价格波动率。

Black-Scholes结果可以很容易推广到基于支付红利股票的欧式看涨期权和看跌期权的情况。其步骤是将Black-Scholes公式中使用的股票价格用原股票价格减去期权有效期内预计的红利现值来代替，使用的波动率等于股票价格减去这些红利现值的波动率。

理论上，美式看涨期权可能在任何除权日之前立即提前执行。实际上，通常只需考虑最后一个除权日。FischerBlack提出了一种近似解决方法，就是让美式看涨期权等于两个欧式看涨期权价格中的较大者。第一个欧式看涨期权与美式看涨期权到期日相同；第二个欧式看涨期权在最后除权日前立即被执行。

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附录

Black-Scholes-Merton公式的证明

为了证明Black-Scholes公式，我们首先给出另一个关键结论，该结论在未来章节中也会非常有用。

关键结论

如果V服从对数正态分布，InV的标准差为ω，那么