第9章 ​股票期权价格的性质

第9章    股票期权价格的性质

在本章里我们讨论影响股票期权价格的一些因素。我们利用一些不同的套利理论探讨欧式期权价格、美式期权价格和标的资产价格之间的关系。其中，最为重要的一个关系是欧式看涨期权价格和欧式看跌期权价格之间的平价关系。

本章中也讨论美式期权是否应该提前执行’我们可证明，到期日之前提前执行j不付红利股票美式看涨期权决不是最佳选择，但是在某些条件下，提前执行基于这样一个股票的美式看跌期权则是最佳的。

9.1    影响期权价格的因素

有6种因素影响股票期权的价格：

1.股票的现价，S0

2.执行价格，K

3.到期期限，T

4.股票价格的波动率，σ

5.无风险利率，r

6.期权有效期内预计发放的红利

在本节中，我们考虑当这些因素之一发生变化而其他因素保持不变时，期权价格的变化。表9.1对此做了总结

图9.1与图9.2描述了当S0=50，K=50，r=5%p.a.，σ=30%p.a.，T=1年，不支付红利的情况下，欧式看涨期权价格和看跌期权价格与前5种因素之间的关系在这种情况下，看涨期权的价格为7.116，看跌期权的价格为4.677。

股票价格和执行价格

如果看涨期权在将来某一时间执行，则其损益为股票价格与执行价格的差额随着股票价格的上升，看涨期权的价值也就越大；随着执行价格的上升，看涨期权的价值就越小。对于看跌期权来说，其收益为执行价格与股票价格的差额因此，看跌期权的价值变化刚好与看涨期权相反。当股票价格上升时，看跌期权的价值下降；当执行价格上升时，看跌期权的价值上升。图9.1中（a）〜（d）解释了看跌期权价格与看涨期权价格如何随着股票价格与执行价格的变动而变化。

到期期限

以下考虑到期期限的影响。当期权的到期期限增加时，美式看跌期权和看涨期权的价值都会增加。为了说明这一点，考虑其他条件相同但只有到期日不同的两个期权，则有效期长的期权其执行的机会不仅包含了有效期短的那个期权的所有执行机会，而且它的获利机会会更多。因此，有效期长的期权的价值总是大于或等于有效期短的期权价值。

随着有效期的增加，欧式看跌期权和欧式看涨期权的价值通常增加［参见图9.1中（e）、（f）］，但并不总是这样。有效期长的期权只能在其到期日执行。考虑基于同一股票的两个欧式看涨期权，一个到期期限为1个月，另一个到期期限为2个月。假定预计在6周后将支付大量的红利，红利会使股票价格下降。这就有可能使有效期短的期权的价值超过有效期长的期权的价值。

波动率

在第13章中将对波动率做精确的定义。简单地说，股票价格的波动率是用来衡量未来股票价格变动的不确定性。随着波动率的增加，股票价格上升很高或下降很低的机会也随着增加。对于股票的持有者来说，这两种变动趋势将互相抵消。但对于看涨期权或看跌期权的持有者来说，则不是这样。看涨期权的持有者从股价上升中获利，但当股价下跌时，由于他或她的最大损失就是期权费，所以他或她仅有有限的损失。与此类似，看跌期权的持有者从股价下跌中获利，但当股价上升时，仅有有限的损失。因此，随着波动率的增加，看涨期权和看跌期权的价值都会增加［参见图9.2中（a）、（b）］。

无风险利率

无风险利率对期权价格的影响则不是那么直接。当整个经济中的利率增加时，股票价格的预期增长率也倾向于增加。然而，期权持有者收到的未来现金流的现值将减少。这两种影响都将增加看涨期权的价值，而将减少看跌期权的价值［参见图9.2中（c）、（d）］。

一个值得强调的重要假设是，只有利率可变而其他变量保持不变。特别要指出来的是，我们假定了利率变化时，股票价格不变。但现实中，当利率上升（或下降）时，股票价格也将下降（或上升）。考虑利率增加和随之而来的股价降低的净效应，看涨期权的价值可能减少而看跌期权的价值可能增加。类似地，利率降低和随之而来的股价增加的净效应，也可能出现看涨期权的价值增加而看跌期权的价值减少。

未来的红利

在除息日后，红利将减少股票的价格。对于看涨期权的价值来说这是一个坏消息，而对于看跌期权的价值来说则是一个好消息。因此看涨期权的价值与预期未来红利的大小成反向变动，而看跌期权的价值与预期未来红利的大小成正向变动。

9.2    假设和符号

本章中我们将做出的假定与第5章我们推导远期价格和期货价格做出的假定类似。即假定存在一些市场参与者，如大型投资银行，满足下列条件：

1.没有交易费用

2.所有交易利润（减去交易损失后）具有相同的税率

3.可以按无风险利率借入和贷出资金

一旦套利机会出现，我们假定这些市场参与者随时准备利用这些套利机会。正如我们在第1章和第5章中讨论的那样，这意味着任何可利用的套利机会将很快消失。为了分析问题，我们可以合理地假定不存在套利机会。

我们将使用如下的符号定义：

S0：股票现价

K：期权的执行价格

T：期权的到期期限

Sr：到期时刻股票的价格

r：在T时刻到期的投资的连续复利的无风险利率

C：购买一股股票的美式看涨期权的价值

P：出售一股股票的美式看跌期权的价值

c：购买一股股票的欧式看涨期权的价值

p：出售一股股票的欧式看跌期权的价值

注意：r是名义利率，不是实际利率。我们可以假设r>0。否则，无风险投资与持有现金相比，将不具有任何优势（事实上，如果r<0，持有现金比无风险投资更好）。

9.3    期权价格的上下限

在这一部分中，我们推导出期权价格的上下限。这些上下限约束条件并不需要对前面第9.1节中提到的一些因素做任何特别的假定（除r>0外）。如果期权的价格超过其上限或低于其下限，则套利就有利可图。

期权价格的上限

美式看涨期权或欧式看涨期权的持有者有权以某一确定的价格购买一股股票在任何情况下，期权的价值都不会超过股票的价值。因此，股票价格是期权价格的上限：

如果这些关系不成立，则套利者购买股票并卖出看涨期权，可轻易地获得无风险利润。

美式看跌期权或欧式看跌期权的持有者有权以K的价格出售一股股票。无论股票价格变得多么低，期权的价值都不会超过K。因此：

p≤K和P≤K

对于欧式期权来说，我们知道在T时刻，期权的价值都不会超过K。因此现在期权的价值不会超过K的现值：

如果这一关系不成立，则套利者可出售看跌期权，并将所得收入以无风险利率进行投资，获得无风险收益。

不付红利的看涨期权的下限

基于不付红利股票的欧式看涨期权的下限是：

我们首先用数字例子来说明这点，然后给出比较正式的证明。

假定S0=$20，K=$18，r=10%/年，r=1年。在本例中：

即$3.71。考虑欧式看涨期权的价格等于$3.00的情况，即小于理论上的最小值$3.71。套利者可以购买看涨期权并卖空股票。则现金流入为$20.00-$3.00=$17.00。如果$17.00以年利率10%投资1年，则$17.001年后将变为17e0.1=$18.79。在这一年的年末，期权到期。如果股票价格高于$18，套利者以$18的价格执行期权，并将股票的空头平仓，则可获利：

$18.79-$18.00=$0.79

如果股票价格低于$18，则套利者从市场上购买股票并将股票空头平仓。套利者甚至可获得更高的利润。例如，如果股票价格为$17，则套利者的盈利为：

$18.79-$17.00=$1.79

为了给出正式的证明，我们考虑下面两个组合。

组合A：一个欧式看涨期权加上金额为Ke-rT的现金。

组合B：一股股票。

在组合A中，现金如果按无风险利率来投资，则在T时刻将变为K。如果ST>K，在T时刻应使用现金执行看涨期权，购买一股股票，则组合A的价值为到期时一股股票的价值ST。如果ST<K，期权到期价值为零，则组合A的价值就是持有现金的价值K。因此在T时刻，组合A的价值为：

max（ST，K）

在T时刻组合B的价值为ST。因此，在T时刻期权到期时组合A的价值总是不低于T时刻组合B的价值。因此，在不存在套利机会的情况下，下列等式是成立的：

由于对于一个看涨期权来说，可能发生的最坏情况是期权到期时价值为零，这意味着期权的价值必须为正值，即c≥0。因此

[例9.1]    考虑一个不付红利的股票的欧式看涨期权，此时股票价格为$51时，执行价格为$50，距到期日有6个月，无风险年利率为12%。即在本例中，S0=$51，K=$50，T=0.5，r=0.12。根据等式（9.1），该期权价格的下限为S0-Ke-rT，即

51-50e-0.12x0.5=$3.91

不付红利的欧式看跌期权的下限

对于一个不付红利股票的欧式看跌期权来说，其价格的下限为：

Ke-rT-S0

我们仍先用一个数字例子来说明，接着给出较正式的证明。

假定S0=$37，K=$40，r=5%/年，T=0.5年。在这种情况下：

即$2.01。假设欧式看跌期权价格为$1.00时，即小于理论上的最小值$2.01。套利者可借入$38.00，期限6个月，同时用所借资金购买看跌期权和股票。在6个月末，套利者将支付$38e0.05x0.5=$38.96。如果股票价格低于$40.00，套利者执行期权以$40.00卖出股票，归还所借款项本金和利息，其获利为：

$40.00-$38.96=$1.04

如果股票价格高于$40，套利者放弃期权，卖出股票并偿付所借款项本金和利息，甚至可获得更高的利润。例如，如果股票价格为$42.00，则套利者的利润为：

$42.00-$38.96=$3.04

为了给出正式的证明，我们考虑下面两个组合。

组合C：一个欧式看跌期权加上一股股票

组合D：金额为Ke-rT的现金

在组合C中，如果ST<k，在T时刻的期权将被执行，该组合的价值为出售股票得到的现金K。如果AT>k，在r时刻看跌期权到期价值为零，该组合的价值为持有股票的价值Sr。因此，组合C在T时刻的价值为：

max（ST，K）

在组合D中，假定现金按无风险利率进行投资，则在T时刻的价值为现金K。因此，在T时刻组合C的价值通常不低于组合D的价值，并且有时组合C的价值会高于组合D的价值。在不存在套利机会时，组合C的现在价值一定高于组合D的现在价值。因此：

由于对于一个看跌期权来说，可能发生的最坏情况是期权到期价值为零，所以期权的价值必须为正值。这意味着：

[例9.2]    考虑一个不付红利股票的欧式看跌期权，股票价格为$38，执行价格为$40，距到期日还有3个月，无风险年利率为10%。即在本例中，S0=$38，K=$40，T=0.25，r=0.10。根据等式（9.2），期权价格的下限为Ke-rT-S0，即：

9.4    看跌期权与看涨期权的平价关系

现在我们要推导出P和C之间的重要关系式。考虑上一个章节所述的两个组合：

组合A：一个欧式看涨期权加上金额为Ke"的现金

组合C：一个欧式看跌期权加上一股股票

在期权到期时，两个组合的价值均为：

max（ST，K）

由于是欧式期权，所以在到期日前不能提前执行。因此该组合今天也必须具有相等的价值。这就是说：

c+Ke-rT=p+S0                                            （9.3）

这就是所谓的欧式看涨期权价格和看跌期权价格之间的平价关系（put-callpari-ty）。它表明具有某一确定执行价格和到期日的欧式看涨期权的价值，可根据相同执行价格和到期日的欧式看跌期权的价值推导出来，反之亦然。

如果等式（9.3）不成立，则存在套利机会。假定股票价格为$31，执行价格为$30，无风险年利率为10%，3个月期的欧式看涨期权的价格为$3，3个月期的欧式看跌期权的价格为$2.25。在这种情况下，

相对于组合A来说，组合C被高估了。正确的套利策略是买入组合A中的证券并卖空组合C中的证券。这包括买入看涨期权、卖空看跌期权和股票。当前这一策略产生如下正的现金流：

-3+2.25+31=$30.25

将这笔现金流按无风险利率进行投资时，在3个月后，这个现金流增加为：

30.25e0.1x0.25=$31.02

如果在期权到期日股票的价格高于$30，将执行看涨期权。如果股价低于$30，看跌期权的空头将被执行。在任何一种情况下，投资者均按$30购买一股股票。该股票可用来平仓原空头股票。因此净利为：

$31.02-$30.00=$1.02

对另一种情况，如果假定看涨期权的价格为$3而看跌期权的价格为$1。因此：

并且

P+S0=1+31=$32.00

相对于组合C来说，组合A被高估了。套利者可以卖空组合A中的证券并买入组合C中的证券来锁定利润。这个策略包括卖出看涨期权、买入看跌期权和股票。这一策略的初始投资为：

$31+$1-$3=$29

当以无风险利率借入资金时，3个月后须偿付的金额为$29e0Jx0-25=$29.73。与前例类似，或者看涨期权空头被执行，或者是执行看跌期权。因此，卖出看涨期权或者买入看跌期权，都将会使股票以$30.00的价格售出。因此净利为：

在表9.2中总结了这些例子。商业剪影9.1说明了公司的债权人和股东可以利用期权和上述的平价关系分析他们的头寸情况。

美式期权

看涨与看跌期权之间平价关系仅适用于欧式期权。但也可推导出不付红利股票的美式期权价格之间的某种关系。我们可以证明，股票不支付红利时，有：

[例9.3]    考虑不付红利股票的美式看涨期权，执行价格为$20.00，到期期限为5个月，期权价格为$1.50。假定股票的现价为$19.00，无风险年利率为10%。根据公式（9.4），则：

商业剪影9.1    看跌期权与看涨期权之间评价关系以及资本结构 

期权定价的开创者是Fischer Black，Myron Scholes和Robert Mertono20世纪70年代初，他们证明了期权可以用来描述一家公司的资本结构特性。当今，金融机构广泛利用这一模型，评估一家公司的信用风险。

为了解释这一模型，考虑一家公司，公司的资产有零息票债券和股票融资。假设债券在5年后到期，到期之时需要支付本金K。该公司不支付红利，如果5年后公司的资产价值大于K，股东会选择偿还给债券持有者。如果资产价值小于K，股东会选择宣告破产，债券持有者最终会获得整个公司资产。

因此，5年后的股本价值为max（AT-K，0）。其中，AT是5年后的公司资产价值。这说明股东持有一个执行价格为K的、基于公司资产的5年期欧式看涨期权。那么债券持有者的情况如何呢？他们5年后会得到min（AT，K）。这等价于K-max（K-AT，0）。债券持有者赋予股东5年后以K卖出公司资产给债权人的权利。因此，债券的价值等于K的现值减去执行价格为K的、基于公司资产的5年期欧式看跌期权的价值。

总结上述分析，若c和p分别为看涨期权和看跌期权的价值。那么

股本价值=c

债券价值=PV（K）-p

以A0表示今天公司资产的价值。资产的价值必须等于融资资产的所有金融工具的总价值。这说明资产的价值应该等于债券和股本的价值之和。那么

A0=c+[PV（K）-p]

整理方程，得到

c+PV（K）=p+A0

这就是方程（9.3）中看涨和看跌期权之间的平价关系，它适用于公司资产的情况。

这表明P-C在$1.00和$0.18之间。由于C为$1.50，P必须在$1.68和$2.50之间。换句话说，与美式看涨期权执行价格和到期期限相同的美式看跌期权价格的上限和下限分别为$2.50和$1.68。

9.5    提前执行：不付红利股票的看涨期权

在这一部分中，我们将说明提前执行不付红利的美式看涨期权是不明智的。

为了说明问题的本质，考虑一^不付红利股票的美式看涨期权，距到期日还有1个月，股票价格为$50，执行价格为$40。期权的实值额很大，期权的持有者可能很想立即执行它。然而，如果投资者执行期权后计划持有所得股票超过一个月，那么提前执行就不是最佳的策略。更好的方案是持有期权，并在期权的到期日执行它。此时，支付$40的执行价格的时间要比立即执行晚一个月。这就是说，可获得本金为$40、期限为1个月的利息。由于股票不支付红利，则投资者不会牺牲任何来自股票的收益。持有而非立即执行的好处还在于，股票价格在这一个月内还有可能（无论可能性多小）会低于$40。在这种情况下，投资者将不会执行期权并庆幸没有提前执行期权。

这个讨论表明：如果投资者计划在期权的有效期内持有股票（在本例中为1个月），则提前执行期权没有好处；如果投资者认为股票现在被高估，是否应该执行期权并卖出股票呢？在这种情况下，投资者最好是出售该期权而不是执行它。'那些确实想持有股票的投资者将会购买该期权。这类投资者是一定存在的。否则股票的现价就不会是$50。由于上述提到的原因，收取的期权费将大于期权的$10的内在价值。

为了给出一个较为正式的解释，我们运用公式（9.1）：

由于r>0，所以C>S0-K。如果提前执行是明智的，那么C应该等于S0-K。我们的结论是：提前执行是不明智的。

图9.3表示看涨期权的价格随股价S0变化的一般情形。该图表明看涨期权的价格总是高于其内在价值，即高于max（S0-K，0）。随着r、T或波动率的增加，看涨期权的价格按箭头所示方向变动（即更加远离内在价值）。

归纳说来，我们认为不付红利股票的美式看涨期权不应提前执行有两个原因。一个原因是期权提供了保险。当持有看涨期权而不是持有股票本身时，看涨期权保证持有者在股票价格下降到执行价格以下时不受损失。一旦该期权被执行，股票价格取代了执行价格，这种保险就消失了。另一个原因与货币的时间价值有关。从期权持有者的角度看，支付执行价格越晚越好。

9.6    提前执行：不付红利股票的看跌期权

提前执行不付红利的美式看跌期权可能是明智的。事实上，在期权有效期内的任一给定时刻，如果看跌期权的实值额足够大，则应提前执行它。

为了说明这一点，考虑一个极端的例子。假定执行价格为$10，股票价格接近为0。通过立即执行期权，投资者可立即获利$10。如果投资者等待，则执行期权的盈利可能低于$10，但是由于股票价格不可能为负值，所以盈利不会超过$10。另外，现在收到$10比将来收到$10要好。这说明该期权应立即执行。

与看涨期权类似，可认为看跌期权也能提供保险。当同时持有股票和看跌期权时，看跌期权保证股票持有者在股票价格跌破某一特定水平时不受损失。但是，看跌期权与看涨期权不同，投资者可以放弃这一保险，并提前执行看跌期权来立即实现执行价格，这样做可能是明智的。一般来说，随着S0的减少、r的增加和波动率的减少，提前执行看跌期权是很有利的。

回忆一下公式（9.2）：

图9.4表明，一般情况下美式看跌期权的价格是怎样随S0的变化而变化的。在r>0的条件下，当股票价格足够低时，立即执行美式看跌期权是非常明智的。如果提前执行是明智的话，该期权的价值为K-S0。因此当S0很小时，代表看跌期权价值的曲线与看跌期权的内在价值K-S0重合在一起。在图9.4中，这个很小的股票价值S0如A点所示。当r减少、波动率增加、T增加时，看跌期权的价值按箭头所示的方向变化。

由于在一些情况下，投资者迫切地希望提前执行美式看跌期权，因此，美式看跌期权的价值通常高于相应的欧式看跌期权的价值。由于美式期权的价值有时等于其内在价值（参见图9.4），因此欧式看跌期权的价值有时低于其内在价值。图9.5显示了欧式看跌期权的价格随股票价格的变化。注意图9.5中的B点，在B点上期权的价格等于其内在价值，B点所代表的股票价格必定大于图9.4中的A点所代表的股票价格。图9.5中的E点上S0=0，欧式看跌期权的价格为Ke-rT。

9.7    红利的影响

到现在为止，我们考虑的是不付红利的股票期权。本节我们讨论红利的影响。在美国，大多数场内交易的股票期权的到期期限小于一年。在期权有效期内，通常可以合理正确地预计应付红利。我们用字母。表示在期权有效期内红利的现值。为此，我们假定在除息日发放红利。

看涨期权和看跌期权的下限

我们将组合A和组合B重新定义为：

组合A：一个欧式看涨期权加上金额为D+Ke-rT的现金

组合B：—股股票

经过与式（9.1）类似的推导，得出：

我们将组合C和组合D重新定义为：

组合C：一个欧式看跌期权加上一股股票

组合D：金额为D+Ke-rT的现金

经过与式（9.2）类似的推导，得出：

提前执行

当预期有红利发放时，我们不能肯定美式看涨期权不应提前执行。有时在除息日前，立即执行美式看涨期权是明智的。而在其他任何时刻，提前执行美式看涨期权都是不明智的。在13.12节中将详细讨论这一观点。

看涨期权与看跌期权之间的平价关系

比较重新定义的组合A和组合C在T时刻的期权价值，表明：当存在红利时，公式（9.3）中的看跌期权与看涨期权之间的平价关系变为：

小    结

影响股票期权价值的因素有如下6种：股票的现价、执行价格、到期期限、股票价格波动率、无风险利率和期权有效期内预期红利。当股票现价、到期期限、波动率和无风险利率增加时，看涨期权的价值通常也随之增加。当执行价格和预期红利增加时，看涨期权的价值就会减少。当执行价格、到期期限、波动率和预期红利增加时，看跌期权的价值通常也随之增加。当股票现价和无风险利率增加时，看跌期权的价值就会减少。

无须任何关于股票价格波动率的假定，我们就可以得出有关股票期权价值的一些结论。例如，股票的看涨期权的价格一定总是低于股票本身的价格。与此类似，股票看跌期权的价格一定总是低于股票期权的执行价格。

不付红利股票的欧式看涨期权的价格必须高于：

其中，S0为股票价格，k为执行价格，r为无风险利率，T为到期期限。不付红利的欧式看跌期权的价格必须高于：

看涨期权和看跌期权之间的平价关系是股票的欧式看涨期权价格c和欧式看跌期权价格p之间的关系。对于不付红利的股票来说，期权平价关系为：

对美式期权来说，看涨期权和看跌期权之间的平价关系并不成立。但是，可利用套利理论获得美式看涨期权价格和看跌期权价格之间价差的上限和下限。

在第13章中，借助对股票价格概率分布的一些特殊假定，我们将对本章的一些结论做进一步的分析。这有助于我们推导欧式股票期权的精确的定价公式。在第11章和第17章，我们将看到如何用数值方法推导美式期权定价公式。

参考读物

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