第4章 各种利率
利率是所有的衍生品估值中必不可缺的一个因子。在本书剩下的内容中也将侧重描述利率。本章，我们将阐述利率相关的一些基本问题，如怎样度量和分析利率；我们将解释利率定义中复利频率的作用，并解释连续复利的含义，这些在衍生品分析中都有广泛使用；我们将阐述零息率、票面收益率和收益率曲线，也将讨论债券定价问题，并给出衍生品交易员通常用来决定零息票国债利率的计算过程；我们将讲述远期利率以及远期利率协议，并回顾几种利率期限结构理论。最后，我们将解释如何用久期和凸性估计债券价格对于利率变化的敏感度。
第6章中，我们将讨论利率期货，并解释久期在对冲利率风险暴露中的应用。为了简化说明，在本章中我们不考虑日算惯例。我们将在第6章和第7章中讨论这些惯例的性质以及惯例对计算产生的影响。
4.1 利率的种类
在某些特定情况中，利率定义为资金借入方承诺支付给资金贷出方的金额。对于任一给定的货币，都有许多不同种类利率。其中包括抵押率、存款率、优惠借款利率等。什么情况下应该使用何种利率水平取决于信用风险。资金的借入方可能会违约，使得资金贷出方没能按事先的协议收到本金和利息，由此产生信用风险问题。信用风险越高，借方承诺支付贷方的利率也越高。
国债利率
国债利率（treasury rates）指投资者在短期和长期国债中获得的利率。政府利用国债这个金融工具来借入本国货币资金。日本国债利率是日本政府借入日元的利率，美国国债利率是美国政府借入美元的利率，依此类推。一般来说，假定一个政府对本国货币债务不会出现违约现象，因此国债利率被认为是无风险利率，短期或长期国债的投资者确信能收到协议规定的利息和本金。
国债利率是非常重要的利率，因为它被用于国债定价，有时也用于确认衍生品的损益。但是，衍生品交易员们（特别是活跃在OTC市场的交易员们）通常不把国债利率当作无风险利率使用，他们一般使用LIBOR。
伦敦同业拆放利率
LIBOR是伦敦同业拆放利率（London Interbank Offer Rate）的简称。一家特定银行报出的LIBOR指该银行向同业银行贷出（拆放）大额资金时所收取的利率。大银行和其他一些金融机构报出所有主要货币的1个月期、3个月期、6个月期和12个月期的LIBOR。这里，1个月的LIBOR指拆放资金1个月时收取的利率；3个月的LIBOR指拆放资金3个月时收取的利率。依此类推。
在另外一家银行存款其实等价于向该家银行发放贷款。因此一家银行满足一定的信誉等级标准才能接受另外一家银行的LIBOR报价，并且以LIBOR收到那家银行的存款。一般来说接受存款的银行应该满足AA信用评级。
AA级金融机构把UBOR视为资金的短期机会成本。它们可以以其他金融机构报出的LIBOR借入短期资金，而它们自己报出的LIBOR决定了向其他金融机构拆放剩余资金的利率。LIBOR并不总是能避免信用风险问题。AA级金融机构也有可能不偿还LIBOR贷款，这种情况发生概率较小。总之，这种拆放过程几乎是没有风险的。衍生证券交易员们把UBOR视为是比国债利率更好的无风险利率替代品，因为税收和监管方面的一些措施，人为地降低了国债利率水平（参见商业剪影4.1）。按照衍生品市场中的实践惯例，本书中的“无风险利率”术语应被解释为是LIBOR。
除了LIBOR，大银行还会报出LIBID？LIBID是伦敦银行同业拆借利率（London Interbank Bid Rate）的简称，指该家银行愿意接受银行同业存款资金时所愿支付的利率。每个时点上，LIBID和LIBOR的报价之间会存在小的价差（同时，LIBOR高于LIBID）。这两个利率水平取决于银行之间的交易，利率不断地变化，使银行间市场的资金供给与银行间市场的资金需求接近平衡。例如，如果愿意借入3个月期美元的银行多于愿意贷出3个月期美元的银行，那么3个月的美元LIBID和美元LIBOR的报价都会上升。类似地，如果愿意贷出3个月期美元的银行多于愿意借入3个月期美元的银行，那么3个月的美元LIBID和美元LIBOR的报价都会下降。LIBOR和LIBID相关交易是在欧洲货币市场进行的，该市场不受任何单个政府的控制。
回购利率
有时交易活动的资金来源于回购协议（repo or repurchase agreement）。回购协议是指持有证券的投资者同意将其证券出售给另一方，之后再以稍高一些的价格将这些证券买回的协议。这里，对方公司给投资者提供了贷款。证券出售和购回的价差就是对方的利息收益，该利率被称为回购利率（repo rate）。如果谨慎构建协议框架，这种贷款几乎没有信用风险。因为如果资金借入方不遵守协议的话，资金债权人只需保留证券即可。反之，如果贷方不遵守协议的话，原持有证券的投资者则保留他收到的现金。
最普通的回购类型是隔夜回购（overnight repo），该回购协议每天都重新商定。但是，长期协议，即所谓的期限回购（term repo），有时也会用到。
商业即影4.1 什么是无风险利率
我们会很自然地认为，金融机构的衍生证券交易员们会把短期国债和长期国债的收益率视为基准无风险利率。但实际上，这些衍生证券交易员们通常把UBOR视为短期无风险利率。这是因为他们把LIBOR当成他们资本的机会成本（参见4.1节）。交易员们认为，国债利率太低了，不能成为无风险利率基准。因为：
1.金融机构为了满足一系列监管要求，必须购买短期国债和长期国债。因此，增加了这些国债工具的需求，于是这些国债工具的价格上升，而收益率则下降了。
2.投资于短期和长期国债时银行被要求持有的资本额小，而类似地投资于其他低风险金融工具时银行被要求持有的资本额较大。
3.在美国，相比绝大多数固定收益金融工具，国债工具有税收优势，因为国债工具不用支付联邦税。
LIBOR近似地等于AA级公司的短期借款利率。因此，它也并不是完美的基准无风险利率。LIBOR便款有效期内，AA级借方也有可能违约，虽然这个可能性非常小。但是，交易员们认为这是他们能利用的最好的基准无风险利率。报出的LIBOR的期限最高达到12个月。我们将在第7章中看到，可以利用欧洲美元期货市场和互换市场来得到12个月以上的基准无风险利率。
4.2 利率的度量
一个银行报出一年定期存款利率为每年10%。虽然这个数据看起来直截了当、简单明确，但事实上，它的精确含义取决于选择什么样的利率度量方式。
如果利率按每一年计一次复利计算，银行报出的每年10%的利率意味着$100在一年末增长到
$100X1.1=$110
如果利率按每半年计一次复利计算，这说明我们在每半年获得本金5%的利息，并再投资获得的利息。这样的情况下，$100在1年末增长到：
$100x1.05x1.05=$110.25
如果利率按每季度计一次复利计算，这说明我们在每3个月获得本金2.5%的利息，并再投资获得的利息。这样的情况下，$100在一年末增长到：
$100x1.0254=$110.38
表4.1表示了进一步提高复利频率所带来的效果。
复利频率决定度量利率的单位。一个复利频率表示的一个利率可以转换成另一个不同复利频率表示的等价利率。例如，从表4.1我们可以看出，一年计一次复利的10.25%的年利率等价于半年计一次复利的10%的年利率。两个不同的复利频率之间的区别可以类比为公里和英里的区别，也就是两个不同的度量单位。
为了推导一般结论，假设数额4以年利率R投资了几年。如果利率按每一年计一次复利计算，则以上投资的终值为：
当m=1时，该利率有时被称为等价年利率。
连续复利
当复利频率m趋于无穷大时，就称为连续复利（continuous compounding）。在连续复利情况下，数额A以利率R投资n年后，将达到：
这里e是一个数学常数，e=2.71828。大多数计算器都可以计算出指数函数ex的值，那么计算公式（4.2）的表达式没有任何问题。在表4.1的例子中，A=100，n=1，R =0.10，因此，A以连续复利计息将增长到：
100e0.1=$110.52
这个数值（精确到小数点后两位）与用每天计复利得到的结果一样。从大部分实用目的来看，通常认为连续复利与每天计复利等价。对一笔以利率R连续复利n年的资金，其结果是乘上eRn。对一笔以利率R连续复利贴现n年的资金，则应乘上e-Rn。
在本书中，除非特别说明，所使用的利率均以连续复利来计算。习惯于以一年、半年或其他方式来计算复利的读者开始接触时可能会有些陌生。但是，在期权以及其他复杂衍生证券定价时，连续复利得到广泛的应用，因而从现在开始就熟悉连续复利是很有必要的。
假设Rc是连续复利的利率，Rm与之等价的每年计m次复利的利率，从式（4.1） 和式（4.2）,我们有：
这些公式可将复利频率为每年计m次的利率转换为连续复利的利率，反之亦然。lnx为自然对数函数，它是指数函数的反函数。所以：如果y=lnx，则v=ey。
[例4.1] 考虑一个年息为10%的利率，半年计一次息。利用式（4.3）,则m=2，Rm=0.10，可得到一个等价的连续复利的利率为：
即9.758%/年。
[例4.2] 假设债权人给出贷款利息为年息8%,连续复利计息。而实际上利息是一季度支付一次。利用公式（4.4），m=4，Rc=0.08，每季度计一次息的等价年利率为：
即年利率为8.08%。这意味着，对于$1000的贷款，则要求借款人每季度必须支付$20.2的利息。
4.3 零息率
n年期零息票利率（zero-coupon interest rate）指从现在开始持续n年的一笔投资中获得的利息率。所有利息和本金是n年期限结束之时收到，中间不发生任何支付。n年期零息票利率有时也被称为n年期即期利率或n年期零息率（zero rate或zero）。假设一个报价中连续复利的5年期零息率为每年5%。这说明$100投资5年之后，增长到：
我们在市场能直接观察到的很多利率并不是纯粹的零息率。考虑一个5年期息票率为6%的政府债券。我们不能从这一个债券自身的价格直接推导5年期国债零息率，因为国债的一些息票支付是发生在5年这一期间的。在本章后面部分，我们将讨论怎么从附息国债中推出国债零息率。
4.4 债券的定价
大部分债券定期支付息票。债券的本金（也称为账面价值或面值）支付则在债券到期之时实现。将债券持有者将来收到的所有现金流贴现的现值求和，可计算出债券的理论价格。有时债券交易员使用相同的贴现率来贴现所有未来现金流，更为精确的方法是对于不同时间的现金流使用不同的零息率。
为了解释该方法，考虑以下情形，连续复利的国债零息率如表4.2（以后我们将解释这些数据是如何计算出来的）。假设一个2年期国债的本金为$100,息票率为每年6%，每半年支付一次息票。那么，为计算第一次$3息票的现值，我们使用对应6个月期限的5.0%的贴现率；为计算第二次$3息票的现值，我们使用对应1年期限的5.8%的贴现率。依此类推。
这样，债券的理论价格为：
即为$98.39。
债券收益率
债券收益率（bond yield）是这样一种贴现率，对所有未来现金流以该贴现率进行贴现，使计算出来的债券价格等于市场价格。假设我们在上一例子考虑的债券的理论价格$98.39，等于它的市场价格（也就是说，债券市场价格和表4.2中的贴现率数据完全匹配）。如果用y来表示债券收益率，那么连续复利下，有：
可以通过试错法（反复试验使得误差最小化）解该方程，得出y=6.76%。
票面收益率
某个债券期限的票面收益率（par yield）指的是能使债券价格相同于其账面价值的息票率（账面价值等于本金价值）。通常，假定债券是每半年支付一次息票。假设我们的例子中的2年期债券的息票率为每年c（或者说是每半年1/2c）。使用表4.2中的零息率，债券的价格等于其账面价值（为100）时，有如下方程：
解方程很简单，得出c=6.87。因此，2年期每半年计一次复利的票面收益率为每年6.87%（若转换为连续复利情况，等价于每年6.75%）。
考虑更为一般的情况，假设债券到期时收到的$1的现值为4每次息票支付日支付$1的年金的价值为A，m为每年的利息支付次数，那么票面收益率c应该满足如下等式：
将m、d和A值代入以上公式，得到票面收益率为每年6.87%。注意，这里是每半年计一次复利的利率。若转换为连续复利，票面收益率为每年6.75%。
4.5 零息票收益率曲线的确定
现在我们考虑如何从长期国债的价格得出零息票收益率。一个通常的方法是息票剥离方法（bootstrap method）。为说明这个方法，考虑表4.3中5个债券价格的数据。由于前3个债券不付息票，对应这些债券期限的零息率可以容易地计算出来。3个月期短期债券市场价格为97.5，3个月期的收益为2.5。按每季度计一次复利的3个月期零息率是每年（4x2.5）/97.5=10.256%。利用方程（4.3）,得到连续复利的3个月期零息率是：
即每年10.127%。第二个债券6个月期限，价格为94.9，6个月期收益为5.1。每半年计一次复利的6个月期零息率是每年（2x5.1）/94.9=10.748%。利用方程（4.3），连续复利的6个月期零息率是：
即每年10.536%。
第4个债券期限1.5年。按如下方式支付:
6个月期后 $4
1年期后 $4
1.5年期后 $104
从前面的计算中，我们知道在6个月末支付所使用的连续复利的贴现率是10.469%，在1年末支付所使用的连续复利的贴现率是10.536%。我们也知道债券的价格$96必须等于债券持有人收到的所有收入的现值。设R表示1.5年期的零息率，那么
因此，1.5年期的连续复利的零息率是10.681%。这是唯一的与6个月期、1年零息率及表4.3中数据一致的零息率。
运用6个月期、1年期、1.5年期零息率和表4.3中第5个债券的信息，可以计算出2年期的零息率。如果R表示2年期的零息率，
从以上可得出R=0.10808，即10.808%。
表4.4中总结了我们求出的这些利率。零息率曲线（zero curve）是表示零息票收益率与期限之间关系的曲线。通常的假设是利用息票剥离方法得出的零息率曲线数据点是线性的（这意味着，在我们的例子中，1.25年期零息率为0.5x10.536+0.5x10.681=10.6085%）。通常也假设零息率曲线中第一个点之前和最后一点之后曲线都是水平的。图4.1表示了基于上述假设，由上面的数据所得到的零息率曲线。我们的例子中，利用更长期限的债券，可以更准确地画出到期期限超过2年的零息率曲线。
实际中，通常找不到正好1.5年期限、2年期限、2.5年期限等的债券。分析师们通常利用线性插值得到对应其他中间期限的债券价格，之后再得出零息率曲线。例如，如果已经知道2.3年期限、息票率为6%的债券价格为98，2.7年期限、息票率为6.5%的债券价格为99，那么，可以假设2.5年期限、息票率为6.25%的债券价格为98.5。
4.6 远期利率
远期利率（forward interest rate）是由当前零息率隐含的在将来开始的一定期限的利率。为说明它是如何计算的，我们假设零息率如表4.5的第2列所示。假设这些零息率以连续复利计息。因此，1年期3%年利率意味着今天投资$100，1年后投资者收到100e0.03x1=$103.05；2年期4%年利率意味着今天投资$100，2年后投资者收到100e0.04x2=$108.33。依此类推。
表4.5中第2年的远期利率是年利率5%。这个远期利率可由第1年末和第2年末的两个零息率求得。它可以通过1年期每年3%的零息率和2年期每年4%的零息率计算出来。正是这个第2年的利率，与第1年3%零息率组合在一起，得到整个2年期间年利率为4%的零息率。为证明正确答案是5%，假设投资$100，则第1年3%年零息率和第2年5%年远期利率在第2年末总收益为：
这个结果也是$108.33。这个例子说明了一个一般的结论：当这些利率是连续复利，并且将相互衔接时期的利率组合在一起时，整个期间的等价利率是这些利率的简单算术平均值。在我们的例子中，第1年的3%利率和第2年的5%利率的平均值为2年期4%利率。当这些利率不是连续复利时，这个结果近似成立。
第3年的远期利率是2年期4%年零息率和3年期4.6%年零息率隐含的利率，计算的结果是年利率5.8%。这是因为以4%年利率投资2年之后再以5.8%年利率投资1年可获得3年期年利率为4.6%的收益。其他的远期利率可用类似的方法计算，列在表4.5中的第3列。一般来说，如果R1是T1年期的零息率，R2是T2年期的零息率，那么，T1至T2期间的远期利率RF为：
为说明这个公式，我们从表4.5中数据计算第4年远期利率。T1=3，T2=4，R1=0.046，且R2=0.05，公式给出RF=0.062。
式（4.5）可重写为：
这表明，如果收益率曲线在T1-T2区间是向上倾斜，则R2>R1，于是RF>R2（即远期利率高于那两个零息票收益率）。类似地，如果收益率曲线在T1-T2区间向下倾斜，R2<R1，那么RF<R2（即远期利率低于那两个零息率）。式（4.6）中取T2互趋近于T1的极限，把它们的公值（the common valueof the two）记为T，我们得到：
其中，R为T年期零息率。这样得到的RF值就是所谓的时刻T的瞬态远期利率。这是T时刻开始的一个相当短期间的远期利率。
假定借入和投资资金时的零息率完全相同（对于大金融机构，这一假定接近现实情况），一位投资者可以锁定未来某一时间段内的远期利率。例如，假设零息率如表4.5中的数据。如果一位投资者以3%借入$100，借期1年，再将资金以4%投资2年。结果是，第1年末的现金流出为100e0.03x1=$103.05，第2年年末的现金流入为100e0.04x2=$108.33。因为108.33=103.05e0.05，第2年内$103.05的投资回报率相当于对应的远期利率（5%）。假设投资者以5%借入$100，借期4年，再将资金以4.6%投资3年。结果是，第3年年末的现金流入为100e0.046x3=$114.80，第4年年末的现金流出为100e0.05x4=$122.14。因为122.14=114.80e0.062,第4年内投资者借入资金的利率相当于对应的远期利率6.2%。
如果投资者认为未来的利率将不同于现在的远期利率，他可以采取很多不同的有吸引力的交易策略（参见商业剪影4.2）。其中一个策略是利用远期利率协议，我们将讨论如何使用这种协议并对其进行估值
4.7 远期利率协议
远期利率协议（forward rate agreement，FRA）是一个场外交易合约，参与者同意在指定的未来某个时期按照某个确定的利率借入或贷出某个确定本金。通常假设借入或贷出的基础合约的利率为LIB0R。
考虑某个远期利率协议，公司X同意在T1和T2期限之间把资金借给公司Y。定义如下的变量：
Rk：远期利率协议的利率
商业国影4.2 加州橘郡的收益率曲线赌博
假设投资者可以按表4.5中的利率借款或贷款，他认为1年期利率在未来5年内不会有多少变化。投资者可以借入1年期资金并把它投资5年。在第1年末、第2年末、第3年末、第4年末依次为1年到期的资金进行滚动融资。如果利率真的保持不变，该策略的收益率将为大约每年2.3%，因为投资者收益5.3%而支付3%。这种交易策略被称为收益率曲线赌博（yield curve play）。该策略中，投资者认为未来的利率和当前在市场观察到的远期利率会非常不一样，投资者对此进行投机。（我们的例子中，当前在市场观察到的未来几年的1年期远期利率分别为5%、5.8%、6.2%以及6.5%。）
罗伯特•西罗恩是加州橘郡的财务主管，他在1992年和1993年利用与上述收益率曲线赌博类似的策略取得了很大的成功。西罗恩先生的交易带来的利润成了加州橘郡预算的重要来源，而且他被重新选为财务主管。（选举的时候，他的竞争者提过他的策略过于危险，但没人注意到。）
1994年，西罗恩先生以更大规模进行了收益率曲线赌博。他在反向浮动证券投资了非常多的金额。该证券支付的收益率等于一个固定利率减去一个浮动利率。他也在回购市场借款，提高了头寸的杠杆率。如果短期利率保持不变或下降，他的业绩会一如既往。现实是，在1994年，利率有大幅度上升。在1994年12月1日，加州橘郡宣布它的投资证券组合损失15亿美元，数天后它申请了破产保护。
RF：现在计算的T1~T2期间的远期LIBOR
RM：在T1时刻观察到的T1~T2期间的市场的实际LIBOR值
L：协议的本金
这里我们将偏离连续复利假设，假设对于Rk、RF和RM，用相当于它们对应期限的复利频率进行度量。也就是说，如果T2-T1=0.5，则每半年计一次复利计算；而如果T2-T1=0.25，则每季度计一次复利计算。依此类推。
一般的情况下，公司X提供LIBOR贷款得到的利率为RM。而FRA可以使公司得到利率RK。公司通过签订FRA得到的额外利率（也可以为负值）为Rk-RM。所有利率水平在时刻T1确定，时刻T2进行支付。所以，在时刻T2，额外利率带给公司X的现金流为：
根据式（4.7）和式（4.8），我们可以从另外一种角度描述FRA。FRA是这样的一个协议：公司X在T1~T2期间以固定的利率RK获得本金的利息，并以T1时刻的实际市场利率RM支付本金的利息。公司Y在T1~T2期间以固定的利率RK支付本金的利息，并以T1时刻的实际市场利率RM获得本金的利息。
通常，FRA在T1时刻进行结算，而不是T2时刻。那么T2时刻的损益应该贴现到T1时刻。对于公司X，T1时刻的损益为：
[例4.3] 假设一家公司签订一个FRA，3年后开始的3个月期间内，公司将以4%固定利率获得100万美元本金的利息。后来，对应于该3个月期限的3个月期LI-BOR为4.5%。那么，在3.25年末发生的贷方的现金流将为：
FRA交易的另一方在3.25年末时刻的现金流为+$1250，或在3年末时刻的现金流为+$1236.09（例子中的所有利率是按每季度计一次复利计算的）。
估 值
为了对一个FRA进行估值，我们首先应该注意到，当Rk=RF时，协议价值总是等于零。这是因为，如4.6小节中所述，大金融机构可以近似无成本地锁定未来某一时间段内的远期利率。例如，金融机构可以借入2年期限的一定资金并把资金投资3年，就可以保证它获得的利率相当于第2年末至第3年末之间期限的远期利率。类似地，金融机构可以借入3年期限的一定资金并把资金投资2年，就可以保证它支付的利率相当于第2年末至第3年末之间期限的远期利率。
比较两个FRA。第一个承诺在T1~T2期限内可获得的远期利率为LIBOR，本金为L；第二个承诺在相同期限内可获得的利率为Rk，本金为L；除了T2时刻获得的利息支付不同之外，两个FRA完全一样。所以，第二个协议与第一个协议的价值差额为两个协议利息支付差额的现值，即为：
其中，R2是期限T2的连续复利的无风险零息率。因为收取RF的FRA协议的价值为零，所以收取RK的FRA协议的价值为：
[例4.4] 假设即期和远期LIBOR数据如表4.5。考虑一个FRA，协议期间从第1年末到第2年末，我们将收取6%利率，每年计一次复利，本金为100万美元。在表4.5情况下，1年末的1年期远期利率为按连续复利计算的5%（或按每年计一次复利计算的5.127%）。根据式（4.9），该FRA的价值为：
比较式（4.7）和式（4.9）,我们可以这样对FRA进行估值：
1.假设未来的远期利率会实行，即RM=RF，在这个假设下计算损益
2.以无风险利率，对损益进行贴现
4.8 久 期
债券的久期（duration）,如它名称所示，是用来衡量债券的持有者在收到现金付款之前，平均需要等待多长时间。n年期限的零息票债券的久期为n年。然而，n年期限的附息票债券的久期小于n年。这是由于持有者在第n年之前就收到一些利息了。
假定债券持有者在ti时刻收到的现金为ci（1≤i≤n）。债券的价格B和连续复利收益率y之间的关系为：
方括号中的那项为ti时刻所有现金流的现值与债券价格的比率。债券的价格是将来所有本息的现值。因此久期是付款时间的加权平均值，对应ti时刻的权重等于ti时刻所有现金流的现值占债券总现值之比率。权重之和为1.0。
当收益率有一微小的变动△y时，如下等式近似成立：
（注意，B和y是反方向变化的。当债券收益率提高，债券价格降低。当债券收益率下降，债券价格上升）。
根据公式（4.12）和公式（4.14），我们可以推导关键的久期关系式：
公式（4.16）近似给出了债券价格变化百分数和收益率变化之间的关系。可见这种方法非常简单明了，这也是久期（麦考利在1938年提出了久期概念）成为广泛应用的度量方式的原因。
考虑一个3年期债券，息票率为10%,面值为$100。假定连续复利的债券收益率为12%，即y=0.12。每6个月支付一次息票$5。表4.6给出了计算该债券久期的过程。贴现率用收益率代替，将计算出的债券现金流的现值列在表中第3列中（例如，第一个现金流的现值为5e-0.12x0.5=4.709）。第3列中的数字之和等于债券价格94.213。第3列中的各个数字除以94.213就可得到各自权重。第5列中的数字之和即为久期2.653年。
利率的微小变动一般用基点来度量。在前面部分已经提过，一个基点为每年0.01%。下面的例子将研究公式（4.15）中久期关系的准确度。
[例4.5] 考虑表4.6中的债券，债券价格B为94.213，久期D为2.653。根据公式（4.15）：
如果债券收益率上升10个基点（0.1%），即△y=+0.001，久期公式表明我们预计=-249.95x0.001=-0.250。换句话说，我们预计债券的价格将下降到94.213-0.250=93.963。这样预计的价格有多么准确呢？如果债券收益率上升10个基点到12.1%，债券价格为：
可见和利用久期预计的结果一样（准确到小数点后三位）。
修正久期
前面的分析是在假定y为连续复利的基础上得出的。如果y为一年计一次复利的利率，则公式（4.15）近似关系变为：
其中y是每年计m次复利的利率。通过以下例子，我们将研究修正久期关系的准确度。
[例4.6] 考虑表4.6中的债券价格为94.213，久期为2.653。每半年计一次复利计算的收益率为12.3673%。修正久期D*为：
即
△B=-235.39△y
当债券收益率（每半年计一次复利）上升10个基点（=0.1%），△y=+0.001。久期关系公式表明我们预计△B=-235.39x0.001=-0.235，所以债券的价格将下降到94.213-0.235=93.978。这样预计的价格有多准确呢？如果债券收益率（每半年计一次复利）上升10个基点到12.4673%（等价于连续复利的12.0941%）,类似前面的例子4.5，可以精确计算债券价格为93.978。这表明修正久期公式的准确度较高
债券组合的久期
我们可以将债券组合的久期D定义为组合中单个债券久期的加权平均，权重为单个债券的价格占组合价格的百分比。那么可以使用公式（4.15）至公式（4.17），B定义为债券组合的价值。这样可以估计当所有债券的收益率有微小的变化△y时债券组合的价值变化。
值得注意的一点是，当久期应用于债券组合的时候，一个隐含的假设是所有债券的收益率的变化程度是一样的。如果债券期限的覆盖范围比较宽，上述的情况只会发生在零息票收益率曲线平移的时候。因此，我们应该说，公式（4.15）至公式（4.17）估计的是零息率曲线平移一个小的△y对于债券组合价值的影响。
4.9 凸 性
久期关系式只适用于收益率发生较小变化的情况。图4.2表明了具有相同久期的两个证券组合的价值变化百分数和收益率变化之间的关系。该图说明，在原点时两个曲线的斜率相等，而且当收益率变化很小时，两个组合价值变化的百分数相同，这就与公式（4.16）保持一致。当收益率发生较大的变化时，两个组合的价值变化的百分数就不同了。组合X的曲率比组合Y的曲率大。测量曲率的因素——凸性（convexity）,它可以用来改进公式（4.16）。
衡量凸性的一个方法是：
如果债券组合将来提供的现金流在长时期内均匀分布，则该组合的凸性是最大的。如果组合支付的现金流集中在某一特定的时间点上，凸性最小。通过使资产的久期和凸性与负债的久期和凸性相互匹配，一家公司可以避免零息率曲线较大幅度平移所带来的利率风险。但是，公司还是暴露于曲线非平行移动所带来的风险中。
4.10 期限结构理论
读者们自然会有疑问，是什么决定零息率曲线的形状，为什么曲线有时是向下倾斜、有时是向上倾斜或者有时是部分向上倾斜。部分向下倾斜的已经提出了许多种不同的期限结构理论。最简单的是预期理论（expectations theory）。该理论认为长期利率应该反映预期的未来的短期利率。更精确地说，它认为对应某一确定时期的远期利率应该等于预期的未来的那个期限的零息率。另一个理论是所谓的市场分割理论（market segmentation theory）。该理论认为短期、中期和长期利率之间没有什么关系。不同的机构投资于不同期限的债券，并不转换期限。短期利率由短期债券市场的供求关系来决定，中期利率由中期债券市场的供求关系来决定，等等。
比较令人感兴趣的另一个理论是所谓的流动性偏好理论（liquidity preference theory）。该理论认为远期利率应该总是高于预期的未来的零息率。这个理论的基本假设是投资者愿意保持流动性并选择较短期限的投资方式。而另一方面，长期借款的借款者通常愿意用固定利率。如果银行和其他金融中介提供的利率符合预期理论，长期利率应该等于预期未来短期利率的平均值。在没有其他选择的情况下，投资者将倾向于存短期资金，借款者将倾向于借长期资金。于是金融中介发现他们需用短期存款来为长期固定利率贷款融资。这将包含额外的利率风险。实际上，为了使存款者和借款者匹配，避免利率风险，金融中介将提高长期利率，使其与预期未来的短期利率相当。这个策略将减少长期固定利率借款的需求，鼓励投资者存更长期限的资金。
流动性偏好理论说明远期利率大于预期的未来的零息率。实证结果说明收益率曲线向上倾斜的状况比向下倾斜的状况要多，流动性偏好理论与以上结果相一致。
小 结
对于衍生证券交易员们来说非常重要的两个利率是国债利率和LIBOR。国债利率是政府借入本国货币资金时支付的利率。LIBOR是一家银行向同业银行贷出短期资金时收取的利率。
某个利率的复利频率决定该利率被度量的单位。每年计一次复利和每季度计一次复利之间的区别类似于距离度量中的英里和公里之间的区别。交易员们在估值衍生证券的时候通常使用连续复利。
金融市场中报出的以及分析师们计算的利率有很多种类。n年期零息率或n年期即期利率是指从现在持续几年的一笔投资中所获得的利息率，所有收益在几年期限结束之时收到。具有确定期限的债券票面收益率指的是能使债券价格相同于其账面价值的息票率。远期利率是由当前零息率隐含的将来一定期限的利率。
最经常使用的计算零息率的方法是息票剥离方法。这一方法中从短期限金融工具逐步移到长期限金融工具，在每个阶段，保证计算的零息率和相应金融工具的价格相互一致。交易员以这种方法每天计算国债零息率曲线。
远期利率协议FRA是一种场外交易合约，参与者同意在指定的未来某个时期将某个确定的利率应用于某个确定的以LIBOR借入或贷出的本金。根据远期利率将实现的假设，对损益进行贴现，就能得到FRA的价值。
利率市场中的一个重要概念是久期。久期度量一个债券组合的价值对于零息率曲线的小幅度平移的敏感度。存在以下关系式：
△B=-BD△y
其中，B是债券组合的价值，D是组合的久期，△y是零息率曲线小幅平移幅度，是债券组合价值受到的影响。
参考读物
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