《期权、期货及其他衍生产品第6版·专业版》

第5章远期和期货价格的决定

在本章中，我们将讨论远期价格和期货价格与其标的资产的即期价格之间的相互关系。因为没有每日结算，而是到期之时一次性支付，分析远期合约比分析期货合约容易些。幸运的是，我们可以看到，当同一资产的远期和期货两种合约的到期日相同时，该资产的远期价格和期货价格是非常接近的。

本章第一部分将推导远期价格与即期价格之间重要的一般性的结论。随后，将利用以上分析的结果来计算股票指数、外汇、商品的现货价格与期货价格的关系。在下一章中将对利率期货合约进行讨论。

5.1 投资资产与消费资产

考虑远期合约和期货合约的时候，明确区分投资资产和消费资产是很重要的。投资资产（investment asset）是众多投资者仅为了进行投资而持有的资产。股票和债券很明显是投资资产，黄金和白银也属于投资资产。应该注意，并不是说，投资资产只能为了进行投资而持有（例如，很多工业使用白银）。但是，投资资产应该满足的条件是，有众多投资者仅为了进行投资而持有该类资产。而消费资产（consump-tionasset）则主要是为了进行消费而持有的资产。消费资产通常不是为了投资而持有。消费资产的例子有黄铜、石油和脯肉等商品。

在本章后面，我们将利用投资资产的即期价格和其他一些可观察到的市场变量，根据套利关系，对投资资产的远期和期货价格进行定价。那些基于消费资产的合约我们不能这样定价。

5.2 卖空

本章中的一些套利策略涉及了卖空操作（short selling，简称shorting）。这是一项交易策略，它是指卖出并不拥有的证券。对某些（并不是全部）投资资产可以适用这种交易策略。我们将通过考虑卖空股票的例子来解释卖空的机理。

假设一个投资者指示经纪人卖空500股IBM股票,经纪人立即执行指示，从另一位客户处借来500股IBM股票，然后像通常一样在公开市场上将其卖掉。只要能借到股票，这位投资者就能够按自己的意愿不断维持该空头头寸、然而到某个阶段，投资者会购买500股IBM股票将该头寸平仓，然后将之归还原主。如果股票价格下降了，则投资者会盈利；若股票价格上升了，则投资者会有损失。若在合约未平仓期间，经纪人借不到股票了，投资者就被挤空（short-squeezed），尽管他可能并不想轧平头寸，也必须立即平仓。

空头投资者必须将该证券的任何收入，如红利或利息付给经纪人，这些收入都是通过被卖空的证券应该正常得到的。经纪人然后将它转到被借证券的客户的账户上。假设一位投资者于4月份卖空了500股IBM股票，每股价格是$120。7月份，当股票价格为$100时，该投资者买回了这些股票，结清了头寸。假设5月份每股股票支付了$1的红利，投资者在4月份建立空头头寸时，共收到：500x$120=$600005月份的红利使投资者需付出：500x$1=$500。7月份投资者轧平头寸时，需付出：500x$100=$50000。因此，净收益为：

$60000-$500-$50000=$9500

表5.1中说明了这一例子，卖空操作的现金流等价于在4月份购买这些股份7月份重新卖出获得的现金流的镜像。

经纪人要求做卖空的客户建立一个保证金账户。经纪人要求投资者应在保证金账户里存入现金或可销售证券，由此保证证券价格上升时，投资者不会抛弃空头头寸。这和第2章中阐述的期货合约的保证金账户类似。客户需要支付一定数额的初始保证金，如果卖空的资产价格出现了不利的变动（这里指价格上升），则要增加追加保证金。建立保证金账户并不意味着投资者需要付出成本，因为对保证金账户内的资金通常会支付利息，并且如果该利率支付水平不令人满意，诸如短期国债这样的可在市场流通的证券可以作为保证金。最初卖出证券的所得一般成为初始保证金的一部分。

目前，美国监管部门只允许在股票价格报升时才能卖空，即该股票的价格在最近一段时间呈上升态势时可以卖空。但是，当交易者卖空的是与股票指数组合一样的一篮子股票时，则是一个例外。

5.3 假设和符号

在本章中，我们假定对部分市场参与者而言，以下全部是正确的：

1.市场参与者交易时无交易费用

2.市场参与者的所有的净交易利润（减去交易损失后的净额）使用同一税率

3.市场参与者能够以相同的无风险利率借入和贷出资金

4.当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动

注意，我们并不要求这几条假设对所有的市场参与者来说都是正确的。我们只要求这些假设对大的投资银行等几个关键的市场参与者是正确的，至少是近似正确的。正是这些关键的市场参与者的积极交易，积极利用他们发现的套利机会，才决定了远期和即期价格之间的关系。

本章中将要用到的符号如下：

T：远期或期货合约到期的时刻（年）

S_o：远期或期货合约标的资产当前的价格

F₀：当前的远期或期货价格

r：对交割日（即T年后）到期的一项投资而言，以连续复利计算的零息票无风险利率

无风险利率r理论上来说是：没有信用风险时借入和贷出资金的利率，即此时贷出的资金肯定能再收回。如第4章中所述，金融机构和其他衍生品市场的参与者一般用LIBOR来替代无风险利率，而不是用国债利率。

5.4 投资资产的远期价格

最容易定价的远期合约是基于不支付收益证券的远期合约。不付红利的股票和零息票债券就是此类的证券。

实例

考虑一个基于不支付红利的股票的远期合约，3个月后到期。假设当前股价为$40，3个月期无风险利率为每年5%。

先假设远期价格相对较高，为$43。一个套利策略是以每年5%的无风险利率借入$40，购买一股股票，然后卖出将在3个月后交割一股的远期合约。3个月后，套利者交割一股股票并收到$43。同时需要支付的贷款总额为：

根据这样的策略，套利者在3个月期限结束之时可以锁定$43.00-$40.50=$2.50的利润。

再假设远期价格相对较低，为$39。套利者可以卖出一股股票，并把得到的资金以每年5%的利率投资3个月，然后买入3个月期远期合约。3个月后，卖空股票中得到的资金增加到40e^005x3/12，即$40.50。同时，套利者要支付$39，得到交割的股票并进行平仓。因此，3个月后的净收益为：

$40.50-$39.00=$1.50

表5.2总结了以上两种套利策略。

那么什么情况下表5.2中所述的套利机会不会存在呢？第一种套利策略在远期价格大于$40.50时可以执行，而第二种套利策略在远期价格小于$40.50时可以执行。我们可以推出当远期价格正好等于$40.50时，不存在套利机会。

一般结论

为了推出一般性结果，我们考虑一个基于不支付收益、价格为S₀的投资资产的远期合约。使用我们在上面定义的符号，T为合约到期期限，r为无风险利率，F₀为远期价格。那么F₀和S₀之间关系应该是：

商业剪影5.1 凯德公司的令人尴尬的失误

投资银行开发了一种创造零息票债券的方式，被称为“Strip”。把附息债券产生的每个现金流作为一个独立的证券出售。凯德公司的交易员约瑟夫•杰特的交易策略相对简单。他买入Strip，并在远期市场卖出。方程（5.1）说明不支付收益证券的远期价格总是比即期价格要高。例如，假设3个月期利率为4%p.a.，一个Strip的即期价格为$70。该Strip的3个月远期价格为$70e^0.04x3/12=$70.70。

凯德公司的计算机系统报出，杰特的每个交易的利润等于远期价格超过即期价格的数额（我们的例子中是$0.70）。而事实上，计算出的这个所谓利润仅仅等于购买Strip的融资成本。杰特通过向前延展他的合约，防止了这种成本的累积。

最终结果是，计算机系统报出的杰特的交易利润为1亿美元（杰特为此得到了很多奖金）。而事实上，交易的损失接近3.5亿美元。这说明了，大的金融机构有时也会在非常简单的问题上失误。

如果F₀>S₀e^rT套利者可以购买该资产并卖出该资产远期合约；如果F₀<S₀e^rT套利者可以卖出该资产并买入该资产远期合约。在我们上面的例子中，S₀=40，r=0.05，T=0.25，所以根据公式（5.1）得出^：

这和我们之前的计算结果完全一致。

买入远期合约或即期购买都可以使交易者在r时刻拥有资产。由于在远期合约有效期间内，即期购买资产时存在融资的时间成本，因此，远期价格高于即期价格，但是，凯德公司没有注意到这个事实（参见商业剪影5.1）。

[例5.1] 考虑一个4个月期远期合约，规定购买一个从今天算起期限为1年的零息票债券（也就是说远期合约到期之后债券有效期还剩8个月）。该债券的现价为$930。我们假定连续复利计算的4个月期无风险利率为每年6%，因为零息票债券不支付收益，我们可以使用公式（5.1）。那么，T=4/12，r=0.06，S₀=930。则远期价格F₀为：

这就是当前能商定的交易的远期合约价格。

如果不允许卖空怎么办

不是所有投资资产都能进行卖空交易，但问题不大。推导公式（5.1），并不需要有一定能卖空资产的前提。我们所需要的假设是有众多投资者仅为了进行投资而持有该类资产（根据投资资产的假设，这总是成立的）。如果远期价格较低，投资者会发现卖出资产并持有远期多头是对他们有利的。

假设标的资产是黄金，不支付收益，不考虑贮存成本。如果F₀>S₀e^rT，一位投资者可以采取如下策略：

1.以利率r借S₀美元T年

2.购买一盎司黄金

3.持有一盎司黄金的远期空头

T时刻，1盎司黄金的卖价为F₀。同时，投资者需要偿还的金额为S₀e^rT，投资者可以获得收益为F₀-S₀e^rT。

当F₀<S₀e^rT的时候，一位持有1盎司黄金的投资者可以采取如下策略：

1.以价格S₀卖出黄金

2.把得到的资金以利率r投资T年

3.持有一盎司黄金的远期多头

T时刻，投资的资金增长到S₀e^rT。这时，以价格入重新购买黄金。那么相比一直持有黄金，投资者可以获得收益S₀e^rT-F₀。

如前面考虑过的不支付红利的股票的例子一样，我们可以知道远期价格会自动调整，使得前两种套利机会都不会存在。也就是说，公式（5.1）还是成立。

5.5 已知证券的现金收益

在本节中我们考虑另一种基于投资资产的远期合约，该远期合约的标的资产将为持有者提供可完全预测的现金收益。如支付已知红利的股票和附息债券。在本节中继续按照前一节中的思路进行分析。首先，我们将考虑一个具体数字例子，然后再进入正题。

实例

考虑一个附息债券的远期合约的多头状况，该债券现价为$900。我们假设远期合约在9个月后到期，我们还假设4个月后会收到$40息票。4个月期和9个月期无风险利率分别为（连续复利计算的）每年3%和每年4%。

先假设远期价格相对较高，为$910。一位套利者可以借入$900购买债券.然后卖出远期合约。将收到的息票的现值为40e^-0.03x4/12=$39.60。那么，购买所支付的$900中，$39.60可以以每年3%的利率借入，期限为4个月，4个月后收到的$40息票可以支付这笔借款本息。其余的$860.40是以每年4%的利率借入的，期限为9个月。9个月期限结束之时，投资者需要偿还的总额为860.40e^0.04x0.75=$886.60。而，远期合约到期时，投资者交割完债券可以收到$910，套利者的净收益为：

910.00-886.60=$23.40

再假设远期价格相对较低，为$870。一位投资者可以卖空现货债券，然后买入远期合约。卖空债券后得到的$900，将其中的$39.60以每年3%的利率进行投资，期限为4个月，4个月后收回投资以支付息票。其余的$860.40以每年4%的利率进行投资，期限为9个月。9个月后，该资金增长到$886.60。远期合约到期之时，投资者需要支付$870，交割得到债券之后进行平仓，投资者的净收益为：

$886.60-$870=$16.60

表5.3总结了以上两种套利策略，表5.3中，第一种策略在远期价格大于$886.60时带来收益，第二种策略在远期价格小于$886.60时带来收益。因此，不存在套利机会的假设下，远期价格应该是$886.60。

一般结论

我们可以将上述例子推广到一般情况，若投资资产在远期合约有效期间内提供的收益的现值为l，那么

这和我们之前的计算结果完全一致，公式（5.2）适用于所有支付已知现金收益的投资资产。

如果F₀>（S₀-l）e^rT，某套利者可以购买标的资产、卖出远期合约来锁定收益如果F₀<（S₀-l）e^rT，某套利者可以卖空标的资产、购买远期合约来锁定收益，如果不允许卖空，持有对应资产的投资者可以卖出资产、购买远期合约来获得收益。

[例5.2] 考虑一个股票的远期合约，合约有效期限为10个月，股票的现价为$50，我们假设任何期限的无风险利率（连续复利的）为每年8%。我们知道将在3个月后、6个月后、9个月后分别将收到$0.75红利。这些红利的现值l为：

如果远期价格小于这个数值，套利者可以现在卖空股票，并购买远期合约，如果远期价格大于这个数值，套利者可以现在卖出远期合约，并购买股票。

5.6 已知收益率的证券

在本节中我们考虑另一种情况，该远期合约的标的资产将为持有者提供已知收益率的收益，而不是现金收入。也就是说，收益表达为收益支付时刻的资产价格的比率，而且我们已经知道了这个比率数值。假设一个资产提供每年5%的收益率。这意味着，每年支付一次收益，相当于支付时刻资产价格5%的收益，在这种情况下，收益率5%是每年计一次复利计算的。另外一种可能的情况是，每年支付二次收益，每半年支付相当于支付时刻资产价格2.5%的收益，在这种情况下，收益率5%是每半年计一次复利计算的。4.2节中，我们已经说明通常会用连续复利来计利率。同样地，我们一般会用连续复利来度量收益率。把一个复利频率计算下的收益率转换成等价的另外一个复利频率的收益率的方法和4.2节中关于利率给出的方法完全一样。

定义q为连续复利计算的远期合约有效期内的年平均收益率。我们可以得

[例5.3] 考虑一个6个月期的远期合约，标的资产将在6个月期限内提供相当于资产价格2%的收益。无风险利率（连续复利）为每年10%，资产价格为$25。此时，S₀=25，r=0.10，T=0.5。收益率为4%（每半年计一次复利）。根据公式（4.3）可以知道，这等价于连续复利计算的年利率3.96%。由此，q=0.0396，根据公式（5.3）远期合约价格F₀为：

5.7 远期合约的定价

在签署远期合约时远期合约的价值为零。之后合约价值可能为正也可能为负。每天评估远期合约的价值对于银行和其他金融机构非常重要（这称为合约的盯市操作）。使用前面定义的符号，并假设合约签署初始的交割价格为K，交割日为从今天开始的T年以后，r为T年期无风险利率，F₀是今天签定远期合约时的远期价格。再定义

f：当前远期合约的价值

这里，必须注意变量F₀、K与f所表达的意义。如果今天碰巧是签订合约的第一天，那么交割价格（K）被设定为和远期价格（F₀）相同，合约价值（f）为0。随着时间流逝，K保持不变（因为这是远期合约规定内容的一部分），但F₀变动，从而f亦正亦负。

对所有远期合约，远期合约（标的资产既可以是投资资产也可以是消费资产）多头的价值/有个一般结论:

我们使用类似于4.7节中FRA的讨论，来看看为什么公式（5.4）是正确的。将交割价格为F₀的远期合约多头与其他条件相同但交割价格为K的远期合约多头进行比较，这两者之间的差值只是在时刻T标的资产所付金额的差值。前一个合约所付金额是F₀，后一个合约所付金额是在T时刻现金流出的差值F₀-K可转换为在今天时刻的差值（F₀-K）e^-rT。因此交割价格为K的远期合约多头的价值低于其他条件相同但交割价格为K的远期合约多头的价值，差值为（F₀-K）e^-rT。交割价格为F₀的合约价值定义为零。于是交割价格为K的合约价值就为（F₀-K）e^-rT，这就证明了公式（5.4）。类似地，交割价格为K的远期合约空头的价值为：

[例5.4] 考虑一个不支付红利的股票的远期合约多头，有效期限为6个月。连续复利计算的无风险利率为每年10%，股票价格为$25，交割价格为$24。这种情形下，S₀=25，r=0.10，T=0.5，K=24。根据公式（5.1），6个月期远期价格F₀为：

公式（5.4）说明，可以假设远期合约到期时的标的资产价格相等于远期价格化,然后再估计当前远期合约多头的价值。请注意我们做出假设的时刻点，在T时刻的远期合约多头的损益为F₀-K。该损益的现值为（F₀-K）e^-rT，也就是公式（5.4）中f的价值。类似地，假设未来标的资产的价格等于当前远期价格，我们可以估计远期合约空头的价值。我们在4.7节中估计FRA时，假设远期利率会履行并推导了结论以上两种估值过程与此类似。

结合公式（5.4）和（5.1），我们可以得到不支付收益的投资资产的远期合约的价值表达式：

结合公式（5.4）和（5.2），我们可以得到支付已知现金收益，现值为/的投资资产的远期合约多头的价值表达式：

结合公式（5.4）和（5.3），我们可以得到已知收益率的投资资产的远期合约多头的价值表达式：

商业剪影5.2 系统错误？

一家银行的外汇交易员买入了远期合约，3个月后以汇率1.6000买入100万英镑。同一时刻，另一个交易员买入16份3个月期英镑期货。期货价格为1.6000，每份合约的规模为62500英镑。因此，远期合约交易员和期货合约交易员持有的头寸相同。两个交易员持有头寸之后过了几分钟，远期和期货价格共同上升到1.6040。银行系统显示期货交易员创造的利润为$4000，而远期交易员的利润只有$3900。远期交易员立即向银行系统管理部投诉，他的投诉是合理的吗？

答案是否定的！期货合约的每日结算保证当期货价格上升的时候，期货交易员差不多可以立即实现利润。如果现在远期交易员签订一个3个月后以1.6040价格卖出100万英镑的合约来平仓，那么该交易员3个月后以汇率1.6000买入100万英镑，并且3个月后以汇率1.6040卖出100万英镑。这会带来$4000的利润，但不是今天实现，而是3个月后。远期交易员的利润应该是$4000的现值。这与方程（5.4）是一致的。

远期交易员可以感到安慰的一点是，在这种情况下，利润和损失是对称的。如果远期/期货价格下降到1.5960，而不是上升到1.6040。则期货交易员会损失$4000，而远期交易员会损失$3900。

当期货价格变化时，期货合约上的损益等于期货价格变化量乘以期货合约头寸的规模。因为期货合约是每日结算的，所以这些损益是立即实现的。公式（5.4）说明，当远期价格变化时，损益等于将远期价格变化量乘以远期头寸规模的现值。外汇柜台交易员可能会混淆这种远期和期货合约损益之间的区别（参见商业剪影5.2）。

5.8 远期价格和期货价格是相等的吗

本章后面的附录给出了一个套利的推论：当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变时，两个交割日相同的远期合约和期货合约有相同的价格口附录的推论还可以扩展到利率为一个已知的时间函数的情形。

当利率变化无法预测时（正如现实世界中的一样），远期价格和期货价格从理论上来讲就不一样了。两者之间关系的严格证明超出了本书的范围。但是，我们对两者之间的关系能有一个感性认识。考虑如下情形：标的资产价格s与利率高度正相关，当s上升时，一个持有期货多头头寸的投资者会因每日结算而立即获利。由于S的上涨几乎与利率的上涨同时出现，获得的利润将会以高于平均利率的利率进行投资。同样，当S下跌时，投资者立即亏损。亏损将以低于平均利率水平的利率融资。持有远期多头头寸的投资者将不会因利率的这种变动方式而受到与上面期货合约同样的影响。因此，在其他条件相同时，期货多头比类似的远期多头更具有吸引力。当s与利率正相关性很强时，期货价格要比远期价格高。当S与利率的负相关性很强时，类似上面的讨论可知远期价格比期货价格要高。

有效期仅为几个月的远期合约价格与期货合约价格之间的理论差异在大多数情况下小得可以忽略不计。现实中，使远期价格和期货价格不同的许多因素并没有反映在很多理论模型中。这些因素包括赋税、交易成本和保证金处理问题等。期货合约中，交易清算所的作用使得交易方不履行合约的可能性变得非常小。在一些情况下，期货合约流动性更强，而且比远期合约更易于交易。虽然有这些区别，但在大多数情况下，假定远期和期货价格相等是比较合理的。本书中的大部分情况下也会沿用这个假设。我们将使用符号F₀代表当前的期货价格或者远期价格。

随着期货合约期限的增加，远期合约与期货合约价格之间的差别有可能变得较大，因此，假设远期合约价格与期货合约价格可以完全相互替代可能是危险的，欧洲美元期货具有长达10年的有效期限，所以这种问题尤为严重，我们将在第6章中讨论欧洲美元期货。

5.9 股票指数的期货价格

我们在3.5节中介绍过股票指数期货，并说明股票指数期货在股票组合管理中的应用。表3.3给出了一些不同指数的期货价格。现在我们要考虑怎么决定股票指数的期货价格。

一个股票指数通常可以看成支付红利的投资资产。这里的投资资产就是计算指数的股票组合，投资资产所支付的红利就是该组合的持有人收到的红利。通常假设红利是按照已知的收益率支付，而不是按照已知的现金支付。设q为红利收益率,由公式（5.3）可得期货价格F₀为：

注意，表3.3中道琼斯工业平均指数的6月份期货的价格小于3月份期货的价格。这表明，2004年2月4日，收益率q大于无风险利率r。

[例5.5] 考虑一个S&P500指数的3个月期期货合约。假设用来计算指数的股票的红利收益率为每年1%,指数现值为800，连续复利的无风险利率为每年6%。此时，r=0.06，S₀=800，T=0.25，q=0.01,则期货价格F₀为：

实际上，指数的股票组合的红利收益率一年里每周都在变化。例如，纽约股票交易所的大部分股票是在每年2月份、5月份、8月份和11月份的第一周支付红利的。q值应该代表合约有效期间的平均红利收益率。用来估计q的红利应是那些除息日在期货合约有效期之内的股票的红利。从第3章的表3.3可以看出，S&P500指数期货的结算价格随到期日的变化而以每年0.4%的速度减小，这与红利收益率超过无风险利率大约0.4%的情形相对应。

商业勇影5.3 芝加哥商品交易所的日经225期货合约

本章中关于决定指数期货价格的讨论说明，其指数值应该是某个投资资产的价值。这说明，指数值应该是一个可交易资产的证券组合的价值。芝加哥商品交易所的日经225期货合约的标的资产并不满足上述条件，原因比较微妙。假设S是日经225指数值，这是一个包含225个日本股票的证券组合的日元价值。芝加哥商品交易所的日经225期货合约的标的变量的美元价值为5S。换句话说，该期货合约的标的变量是以日元衡量的，但被视为是美元的。

我们不能投资在一个价值总为5S美元的证券组合。我们可以做出的最好的决策是，投资于一个价值总为5S日元的组合，或者投资于一个价值总为5QS美元的组合，其中，Q是1日元的美元价值。因此，变量5S美元并不是一种投资资产的价格，方程（5.8）并不适用于这种情况。

芝加哥商品交易所的日经225期货合约是一种跨币衍生证券（quanto）。跨币衍生证券是这样一种衍生证券：标的资产以一种货币度量，而获得的损益则以另两种货币表示。第27章中将进一步讨论跨币衍生证券。

指数套利

如果F₀>S₀e^（r-q）T可以通过以即期价格（即为即时交割价格）购买指数中的成分股票，同时卖出指数期货合约而获利。如果F₀<S₀e^（r-q）T则可通过相反操作，即卖出指数中的成分股票，买进指数期货合约而获利。这些策略就是所谓的指数套利（index arbitrage）。当F₀<S₀e（^r-q）T时，指数套利操作通常由拥有指数成分股票组合的养老基金来进行；而当F₀>S₀e^（r-q）T时，指数套利操作则通常由拥有短期资金市场投资的公司来进行。对于一些包含较多股票的指数，指数套利有时是通过交易数量相对较少的有代表性的股票来进行，这些代表性的股票的变动能较准确地反映股票指数的变动。指数套利经常采用程序交易方法来进行，即通过一个计算机系统来进行交易。

大部分时间内，套利者的行为使得公式（5.8）一直成立，但是偶尔会出现不能进行套利的情况，而且期货价格确实偏离了即期价格隐含的理论期货价格（参见商业剪影5.4）。

5.10 货币的远期合约和期货合约

商业剪影5.4 1987年10月发生的指数套利

为了进行指数套利，交易员必须能很快以市场报价同时进行指数期货以及指数的成分股票组合的交易。在正常市场条件下，利用程序交易可以进行上述操作，可以使得方程（5.8）的左边和右边非常接近。但是，1987年10月19日和20日发生的事件却很不正常。在1987年10月19日“黑色星期一”这一天，股市价格下跌幅度超过20%,纽约股票交易所的成交量为6.04亿股，创下了历史最高纪录。交易所的系统负荷过重，当日，处理买卖股票的订单最多可能要延退2个小时才被执行。

1987年10月19日的大部分时间里，期货价格都明显低于指数。例如，在收盘时，S&P500指数为225.06点（一天下跌了57.88点），而12月份交割的S&P500指数期货的价格是201.50点（一天下跌了80.75点）。这主要是因为处理卖出股票的订单有较长的延迟，使得指数套利变得不可操作。第二天，即1987年10月20日星期二，纽约股票交易所对程序交易运作的方式采取了临时性的限制措施，结果使得指数套利非常困难，打断了股票指数与股票指数期货之间的传统联系。在某一时点，12月份的指数期货合约价格比S&P500指数低了18%。但是，几天后市场重新恢复正常，套利者的行为保证了公式（5.8）中的指数的期货价格与即期价格的关系式成立。

现在我们站在一个美国投资者的立场上，考虑外汇的远期和期货合约。外汇期货合约的标的资产是一定数量的外币。变量S₀代表以美元表示的一单位外汇的即期价格，F₀代表以美元表示的一单位外汇的远期或期货价格。这和我们对其他标的资产的远期或期货合约定义S₀和F₀的方式相一致。但根据2.10节中的阐述，即期和远期价格的标价方式并不一定总是一致的。除了英镑、欧元、澳元和新西兰元，其他主要的外币的即期和远期汇率通常表示为1美元对应的外币数量。

外汇的一个性质是外汇的持有人能获得货币发行国的无风险利率的收益。例如持有人能将外汇投资于外汇标价的债券。我们设r_f代表T时期外汇投资的无风险利率；r代表美元进行相同期限投资的无风险利率。

F₀和S₀之间的关系如下：

这是国际金融中著名的利率平价关系式。图5.1给出了这种关系成立的理由。假设一位投资者手中有1000单位外币，为了把这些外币转换为T时刻的美元收入，投资者可以选择如下两个方案。第一种是把外币以利率r_f进行投资，期限为T年，然后签订远期合约，在T时刻卖出外币得到美元。那么，投资者可获得1000e^rfTF₀。美元。第二种是当前在即期市场直接把外币转换成美元，然后把这些美元以利率r进行投资，期限为T年。那么，投资者可获得1000S₀e^rfT美元。套利机会不存在的假设下，两种方案的收益应该相同。因此，有

[例5.6] 假设澳大利亚和美国的2年期利率分别为每年5%与7%。同时澳元（AUD）兑美元（USD）的即期汇率为0.6200USD/AUD。根据公式（5.9），2年期远期汇率应该是

0.62e^{（0.07-0.05）x2}=0.6453

首先，假设2年期远期汇率为0.6300，低于0.6453这个值。那么套利者可以：

1.以年利率5%借入1000澳元，期限为2年，再把这些澳元兑换成620美元，然后把这些美元以年利率7%进行投资（利率都是以连续复利计的）。

2.签订远期合约，2年后用1105.17x0.63=696.26美元买入1105.17澳元。

以年利率7%投资的620美元2年后增长到620e^007x2=713.17美元。而2年期的远期合约规定到期时以696.26美元买入1105.17澳元，这些澳元刚好能偿还借入的1000澳元和利息（1000e^0.05x2=1105.17澳元）。所以，这个策略给套利者带来的无风险收益为713.17-696.26=16.91美元（如果借入的资金是1亿澳元，那么套利收益是非常巨大的）。

接着，假设2年期远期汇率为0.6600，大于根据公式（5.9）计算的0.6453这个值。那么套利者可以：

1.以年利率7%借入1000美元，期限为2年，再把这些美元兑换成1000/0.6200=1612.90澳元，然后把这些澳元以年利率5%进行投资。

2.签订远期合约，2年后卖出1782.53澳元，得到1782.53x0.66=1176.47美元。

以年利率5%投资的1612.90澳元2年后增长到1612.90e^005x2=1782.53澳元。远期合约使得投资者在合约到期时能把这些澳元兑换成1176.47美元。借入的美元需要偿还的本金和利息之和为1000e^0.07x2=1150.27美元。所以，这个策略给套利者带来的无风险收益为1176.47-1150.27=26.20美元。

表5.4给出了2004年2月4日外汇期货的报价。前8种合约以每一单位外币对应的美元数（或美分数）进行报价，也就是通常的期货报价惯例。以美元无风险利率代替r_f，以外汇无风险利率代替r_f，少就可以使用公式（5.9）。

2004年2月4日，日元和瑞士法郎的利率比美元的利率要低。在r>r_f的情况下，表5.4中可以知道这时随着期货合约到期日的增加，这些外币的期货价格也增加。而加元、英镑、澳元、墨西哥比索和欧元的利率高于美元的利率。在r>r_f的情况下，这时随着期货合约到期日的增加，这些外币的期货价格减少。

表5.4中的最后两种合约是以欧元兑外币（即一欧元对应的外币单位数量）的方式报价的，分别为每一单位欧元兑日元数和每一单位欧元兑英镑数。为了对欧元/日元合约使用公式（5.9），我们可以用每一单位欧元兑日元数的汇率表示S₀和F₀，再定义r为日元利率，r_f为欧元利率。类似地，为了对欧元/镑合约使用公式（5.9），我们可以用每一单位欧元兑英镑数的汇率表示S₀和F₀，再定义r为英镑利率，r_f为欧元利率。

[例5.7] 表5.4中，加元的期货价格随着到期日的增长以大约每年1.0%的速度减小（如2004年9月的结算价0.7449大约比2004年3月的结算价0.7485低0.5%）。这说明2004年2月4日，加拿大的短期无风险利率比美国的每年要高出1%。

外汇可作为支付已知收益率的资产

如果将q用r_f代替，则公式（5.3）与公式（5.9）等价。这并不是一个巧合。外汇可以看作是支付已知收益率的投资资产。这里的“收益率”就是外汇的无风险利率。

为了理解外汇是支付已知收益率的资产，应注意到外汇持有者所得的利息价值取决于所持有外汇的价值。假设英镑的利率为每年5%。对于一个美国投资者来说，持有的英镑每年提供相当于英镑价值5%的收益。换句话说，就是每年得到5%收益的资产。

5.11 商品期货

下面我们考虑商品期货合约。我们首先考虑作为投资资产（如黄金和白银）的商品的期货价格。之后，我们将考虑消费资产的期货价格。

收益与贮存成本

商业剪影3.1中提到，套期保值的情况下，黄金生产商会通过投资银行借入黄金。黄金持有者（如中央银行）贷出黄金时会以规定的黄金租借率收取租金。白银的情况也是类似的，因此，黄金和白银可以对其持有者提供收益。和其他商品一样，它们有贮存成本。

由公式（5.1）可知，不考虑贮存成本与收益的情况下，一个投资资产的商品的远期价格为：

贮存成本可看作是负收益，设U为期货合约有效期间所有贮存成本减去收益的现值，由公式（5.2）可知：

[例5.8] 考虑一个不支付收益的投资资产的一年期期货合约。假设该资产的贮存成本是每年每单位资产$2，在年底支付。假设每单位资产的现价为$450，无风险利率始终为每年7%。从而有：r=0.07，S₀=450，T=1，且：

如果实际中的期货价格大于484.63，套利者可以买入资产再卖出一年期期货合约，从而锁定一定利润。如果实际中的期货价格小于484.63，一个持有该资产的套利者可以卖出资产再买入一年期期货合约，从而获利。

若任何时刻的贮存成本与商品价格成一定的比例，贮存成本可看作是负的收益率。在这种情况下，由式（5.3）可知：

这里，u是每年的贮存成本与现货价格的比减去资产的收益率得到的。

消费商品

对那些被持有且主要目的不是为了投资而是消费的商品来说，它们一般不支付收益，但是会有较大的贮存成本。这种情况下，我们迄今为止使用的从现货价格推导期货价格的套利讨论需要仔细重新考虑。假设用下面的不等式来代替式（5.11），有：

为了利用这个机会，某套利者应采用如下策略：

1.以无风险利率借金额为S₀+U的资金，用来购买一单位的商品和支付贮存成本；

2.卖出一单位商品的远期合约。

若我们认为期货合约与远期合约相同，这必将在时刻T获利F₀-（S₀+U）e^rT。对任何商品采用这套策略都没有问题。但是，当许多套利者都这样操作时，S₀将上涨，而F₀将会下跌，直到式（5.13）不再成立。因此，我们的结论是式（5.13）不能维持很长时间。

下面再假设：

如果该商品是投资资产，我们知道许多投资者持有的目的仅仅是为了投资。当他们知道了式（5.14）中的不等式关系时，他们将从如下的策略中盈利：

1.卖出商品，节约贮存成本，以无风险利率将所得收入进行投资；

2.购买远期合约。

相对于一直持有商品，投资者采用上述策略之后，可以在到期日获得无风险收益（S₀+U）e^rT-F₀。因此，式（5.14）也不能长期成立。既然式（5.13）和（5.14）都不能长期成立，我们一定有：F₀=（S₀+U）e^rT。

对于持有目的主要不是为了投资的商品来说，以上讨论不再适用。个人或公司保留商品的库存是因为其有消费价值，而非投资价值。因此他们不会积极主动地出售商品购买期货合约，因为远期合约不能消费。因此式（5.14）得以存在下去。对消费类商品我们有：

便利收益

式（5.15）或式（5.16）中的等式关系不一定成立，原因是，消费类商品的使用者一定会感到持有实实在在的商品比持有期货合约是有好处的。如，原油精炼商对待原油期货和库存中的原油存货的态度是会不一样的。库存中的原油存货可以投入到精炼生产过程中去，而原油期货不具有这种功能。通常，持有现货实际商品可以使生产商从暂时的当地商品短缺中获利，或者具有维持生产线运行的能力。但是期货合约不具有同样的能力。这种持有现货实际商品带来的好处有时称为商品的便利收益（convenience yield）。如果贮存成本可知，且现值为U，便利收益y可定义为：

便利收益简单地衡量了式（5.15）或式（5.16）中不等式左边小于右边的程度。对于投资资产，便利收益一定为零，否则会存在套利机会。第2章中图2.2显示，在2004年2月4日，随着合约到期日的临近，原油的期货价格倾向于减小。这种状况说明当天原油的便利收益y大于r+u。

便利收益反映了市场对未来商品可获得性的期望。在期货合约有效期间，商品短缺的可能性越大，则便利收益就越高。若商品使用者拥有大量的库存，则在不久将来出现商品短缺的可能性就很小，从而便利收益会比较低。另一方面，较低的库存会导致较高的便利收益。

5.12 持有成本

期货价格与现货价格之间的关系可用所谓的持有成本（cost of carry）来描述。它包括贮存成本加上融资购买资产所支付的利息，再减去资产的收益。对不支付红利的股票，持有成本就是r，因为既无贮存成本，又无收益；对一个股票指数，持有成本为r-q，因为资产的收益率为q；对货币而言，持有成本为r-rf_；对商品而言，若其贮存成本占价格的比例为u，支付收益率为q，则持有成本为r-q+u；依此类推。

设持有成本为c。对投资性资产，期货价格为：

这里，y为便利收益。

5.13 交割选择权

尽管远期合约一般正式规定了交割的具体的特定日期，但期货合约却允许空头方选择在一个特定时间段里的任一天进行交割（一般空头方应提前几天给出其打算交割的通知）。这种交割选择使得期货定价更加复杂。期货合约的到期日应是交割期的开始、中间还是末尾呢？尽管绝大部分期货合约在到期前就平仓了，但了解交割何时发生对计算理论期货价格仍然十分重要。

如果期货价格为到期时间的增函数，则由式（5.19）可知c>y，即由持有资产所获得的好处（包括便利收益和净贮存成本）小于无风险利率。因此空头方越早交割越有利，因为收到的现金所获得的利息超过了持有资产的好处。作为一般规则，这种情况F的期货价格的计算应以交割发生在交割期开始时刻为基准。若期货价格随到期时间的临近而降低（c<y）,情况则应相反：空头方越晚交割越有利，作为一般规则，期货价格的计算应建立在交割发生在交割期的末尾时刻的基础上。

5.14 期货价格和预期将来的即期价格

我们把市场上某个资产在未来某一时刻即期价格的市场平均值看作为该资产在那一时刻的预期现货价格（expected spot price,或预期即期价格）。假定现在是6月份，此时9月份玉米期货价格为200美分那么预期的9月份的现货价格应该小于还是大于200美分，抑或是恰好等于200美分？图2.1表示了接近到期日的时候，期货价格收敛于现货价格，如果预期现货价格小于200美分，市场预期应该是9月份期货价格会降低，空头持有者获利，多头持有者遭受损失。如果预期的现货价格大于200美分，情况则相反，市场预期应该是9月份期货价格会上升，多头持有者获利，空头持有者遭受损失。

凯恩斯与希克斯

经济学家凯恩斯和希克斯对此进行了讨论，认为如果对冲者倾向于持有空头而投机者倾向于持有多头，则期货价格将低于预期现货价格。这是因为投机者承担的风险需要补偿。他们只在预期有利可图的情况下才会进行交易。对冲者平均起来会遭受损失，而对冲者很可能对此已有准备，因为期货合约对冲了他们的风险。若对冲者倾向于持有多头而投机者倾向于持有空头，凯恩斯和希克斯认为，期货价格一定高于预期现货价格，原因是类似的。

风险和收益

解释期货价格与预期现货价格的关系时，现代方法一般基于经济中风险与期望收益之间的关系。一般来说，一项投资的风险越高，投资者要求的期望收益将越高。大家熟悉的资本资产定价模型结论认为，经济生活中存在系统风险和非系统风险。对投资者而言，非系统风险并不重要，因为可以通过持有高度分散化的组合来消除它。投资者承担非系统风险不应要求更高的期望收益。但是，系统风险不能通过分散化消除。它由投资收益与股票市场整体收益的相关性决定。因此，若承担的系统风险为正值，投资者通常要求高于无风险利率的收益。同样，若承担的系统风险为负值，投资者也会接受低于无风险利率的收益。

期货头寸的风险

考虑一个做T年期限的期货多头的投机者，他希望资产的现货价格在期货到期日能高于期货价格。不考虑每日结算.假设期货合约与远期合约运作方式相同:我们假设投机者将期货价格的现值以无风险利率投资，同时买入期货合约。无风险投资的所得将在交割日用来购买资产，然后立即以市场价格将该资产卖掉。对投机者而言，其现金流为：

现在：-F₀e^-rt

期货合约到期日：+S_r

其中，F0为现在的期货价格，S_r为期货合约到期（T时刻）时资产的价格，r为资金投资T期限的无风险利率。

我们应该怎样估计该投资的价值？对于T时刻现金流使用的贴现率应该等于投资者对该投资的期望收益率。假定k为投资者对该投资的期望收益率，则此次投资的现值为：

我们刚刚讨论过，投资者对一项投资的期望收益率取决于这一投资的系统风险。我们考虑的上述投资实际上是对于期货合约标的资产的投资。如果该资产的回报与股票市场整体水平不相关，则正确使用的贴现率应为无风险利率r，即k=r，公式（5.20）变成

F₀=E(S_T)

这说明当标的资产的回报与股票市场整体水平不相关时，资产的期货价格是预期将来现货价格的无偏估计。

若资产的回报与股票市场整体水平正相关，这时，k>r，由式（5.20）可知F₀<E（S_T）。这说明，当期货合约标的资产的系统风险为正的情况下，资产的期货价格低于其预期现货价格。例如股票指数就是系统风险为正的一种资产。指数成分股票的期望回报率通常高于无风险利率r。红利收益率为q，因此指数的期望涨幅应该大于r-q。因此公式（5.8）与我们的预测（期货价格会低于预期现货价格）是相一致的。

若资产的回报与股票市场整体水平负相关，这时，k<r，由式（5.20）可知F₀>E（S_T）。这说明，当期货合约标的资产的系统风险为负的情况下，资产的期货价格高于其预期现货价格。

现货溢价与期货溢价

期货价格低于预期未来现货价格的情形被称为现货溢价（normal backwardation），而期货价格高于预期未来现货价格的情形被称为期货溢价（contango）。

小结

在大多数情况下，具有某个确定交割日期的期货合约的价格与具有同样到期日的远期合约的价格可视为一致。理论上可以证明，当利率完全可预测时，两者应精确相等。

为了理解期货（或远期）价格，先将期货合约的标的资产分为两类是很有帮助的：一类是众多投资者拥有，其目的仅是为投资的标的资产；另一类是拥有的目的主要是为了消费的标的资产。

在投资性资产的情况下，我们考虑了三种不同的情形：

1.资产没有提供收益

2.资产具有已知的现金收益

3.资产具有已知的收益率

结果总结于表5.5中。由此可以得出股票指数、货币、黄金和白银合约的期货价格：贮存成本可以被看作是负的收益。

对于消费性资产，不可能得出期货价格关于现货价格和其他可观察变量的函数关系。此时所谓的资产便利收益这个参数就变得很重要了。该变量衡量的是商品使用者感到拥有现货实际资产比仅持有期货合约更有好处的程度。这些好处包括从本地暂时性商品短缺中获利，以及具有保持生产线得以运行的能力使用套利讨论仅可以得到消费性资产的期货价格的上限，而不能确定期货与现货价格之间的等价关系式。

持有成本的概念有时很有用。持有成本是标的资产的贮存成本加上融资成本，再减去该资产收到的收益。对投资性资产，期货价格高于现货价格，其差额反映了持有成本。对消费性资产，期货价格高于现货价格，其差额等于持有成本减去便利收益。

如果资本资产定价模型正确，期货价格和预期未来现货价格之间的关系将取决于现货价格与股票市场总体水平是正相关还是负相关正相关的关系将使得期货价格低于预期未来现货价格；负相关将使得期货价格高「预期未来现货价格只有当相关性为0时，理论上的期货价格才等于预期的未来现货价格。

参考读物

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附录

当利率为常数时，证明远期价格与期货价格相等

在本附录中，我们将证明当利率为常数时，远期价格和期货价格相等，假设个持续n天的期货合约，F_i为第i天末（0<i<n的期货价格。定义涉为每天的无风险利率（设为常数）。考虑如下策略：

1.在第0天末，买入期货合约，数量为e^δ（即在期货合约开始生效时买入）

2.在第1天末，增加期货合约多头头寸至成e^2δ

3.在第2天末，增加期货合约多头头寸至e^3δ

依此类推。

表5.6即为上述策略的总结。在第i天的开始，投资者拥有多头头寸数量为e^δ，第i天的利润（可能为负）为：