第11章    二叉树模型介绍

为期权进行估值的一个有用且常见的方法是构造二叉树图。这个树图表示了股票价格在期权的有效期内可能遵循的路径。在这里，我们基本的假设是股票价格遵循随机游走。每一时间步中，价格上升一定的百分比有一定的概率，价格下降一定的百分比也有一定的概率。极限情况下，也就是时间步变得很小的时候，这个模型会导致股票价格遵循对数正态分布的假设，，这是第13章中我们将讨论的Black-Sc-holes模型对标的资产价格分布的基本假设，

在本章，我们首先简要看一下二叉树图，并解释它们与著名的风险中性估值这个重要原理之间的关系。我们采用的一般方法与Cox、Ross和Rubinstein在1979年发表的那篇重要论文中的方法类似。第17章将更详细地论述包括二叉树图和三叉树图的数值计算方法。

11.1    单步二叉树模型

我们从一个非常简单的例子开始。假设-种股票当前价格为$20，我们知道3个月后的价格将可能为$22或$18。我们打算对3个月后以$21执行价格买入股票的欧式看涨期权进行估值。3个月后，期权价值是如下两个值之一：若到时股票价格为$22，期权的价值将是$1；若股票价格为$18，期权的价值将是0。这种情况如图11.11所示。

这个例子说明，可用一个相当简单的方法为期权估值。我们需要做的唯一假设是对投资者而言没有套利机会。我们可以某种方式构造一个股票和基于该股票的期权的组合，使得在3个月末该组合的价值是确定的。于是我们可以说，由于该组合无风险，它的收益率一定等于无风险利率。这使我们可以得出构造该组合所需成本，于是得出该期权的价格。由于只有两种证券（股票和股票期权），并只有两个可能的结果，所以总有可能构造出无风险证券组合。

考虑一种有价证券组合，该组合包含一个△股股票多头和一个股票看涨期权的空头。我们将计算构造无风险组合时的△值。如果股票价格从$20上升到$22时，股票的价值为22△，期权的价值为$1，所以该证券组合的总价值为22△-1；如果股票价格从$20下降到$18时，股票的价值为18、期权的价值为零，该证券组合的总价值为18A。如果选取某个△值，以使得该组合的终值对两个股票价格都是相等的，则该组合就是无风险的。这意味着：

因此，一个无风险的组合是：

多头：0.25股股票

空头：一个股票看涨期权

如果股票价格上升到$22，该组合的价值为：

22x0.25-1=4.5

如果股票价格下跌到$18，该组合的价值为：

18x0.25=4.5

因此无论股票价格是上升还是下降，在期权有效期的末尾，该组合的价值总是$4.5。

在无套利机会的情况下，无风险证券组合的收益必定为无风险利率。假设在这种情况下，无风险利率为每年12%。因此我们知道今天该组合的价值一定是$4.5的现值，即：

今天的股票价格已知为$20。假设期权的价格由尸来表示。因此今天该组合的价值为：

20x0.25-f=5-f

于是

5-f=4.367

即

f=0.633

这说明，在无套利机会情况下，期权的当前价值一定为$0.633。如果期权的价值超过了$0.633，构造该组合的成本就有可能低于$4.367，并将获得超过无风险利率的额外收益；如果期权的价值低于$0.633，那么卖空该证券组合将获得借款利率低于无风险利率的资金。

一般结论

考虑一个价格为S₀的股票，基于该股票的某个期权的当前价格为f，在这样的条件下，我们可将以上所得结论推广到一般情形。假设期权在时刻T到期，并且在期权有效期内，股票价格或者从S₀向上运动到一个新的水平S₀u（其中，u>1），或者从S₀向下运动到新的水平S₀d（其中，d＜l）。当股票价格向上运动时，股票价格增长的比率为u-1；当股票价格向下运动时，股票价格减少的比率为1-d。如果股票价格运动到S₀u，我们假设期权的损益为f_u；如果股票价格运动到S₀d，我们假设期权的损益为f_d。图11.2描述了这样的情况。

如前所述，我们想像一个证券组合由△股的股票多头和一个期权空头来组成。我们计算了使得该组合为无风险状态时的△值。如果股票价格上升，在期权有效期末该组合的价值为：

在这种情况下，该组合是无风险的，收益一定是无风险利率。公式（11.1）说明，当我们在T时刻的两个节点之间运动时，△是期权价格变化与股票价格变化之比。

如果无风险利率用r来表示，该组合的现值一定是：

当股价变动可由单步二叉树图表示的时候，利用公式（11.2）和公式（11.3）可为该期权估值。

再考虑前面的数值例子（参见图11.1），u=1.1，d=0.9，r=0.12，T=0.25，f_u=1和f_d=0。从式（11.3）可得:

这个结果与本节开始时所得结果相同

股票预期收益的无关性

期权定价公式（11.2）没有用到股票上升和下降的概率。例如，当上升概率是0.5时，我们得到的欧式期权价格与上升概率为0.9时得到的欧式期权价格相等。这一点令人惊讶且违备常理。人们很自然假设如果股票价格上升的概率增加，基于该股票的看涨期权价值也增加，基于该股票的看跌期权的价值则减少，其实情况并非如此。

该问题的关键是：我们并不是按绝对价值为期权估值。我们只是根据标的股票的价格估计期权的价值。未来上升和下降的概率已经包含在股票的价格中。它说明：当根据股票价格为期权估值时，我们不需要再考虑股票价格上升和下降的概率。

11.2    风险中性估值

虽然我们不需要对股票价格上升和下降的概率做任何假设，就推导出公式（11.2），很自然将公式（11.2）中的变量p解释为股票价格上升的概率，于是变量1-p就是股票价格下降的概率。表达式：

则是期权的预期收益。按照这种对p的解释，于是公式（11.2）可以表述为：期权的现价是其未来预期值按无风险利率贴现的值。

当上升运动的概率假设为p时，我们考察一下股票的预期收益。在r时刻预期的股票价格E（S_T）由下式给出：

该式说明，平均来说，股票价格以无风险利率增长。因此，设定上升变动的概率等于p就是等价于假设股票收益等于无风险利率。

我们把所有人对于风险都是无差异的世界称为风险中性世界（risk-neutral world）。在这样的世界中、投资者对风险不要求补偿，所有证券的预期收益都是无风险利率。公式（11.4）说明：当我们设定上升变动的概率为p时，我们就在假设一个风险中性世界。公式（11.2）说明：期权的价值是其预期收益在风险中性世界中按无风险利率贴现的值。

期权估值中的所谓风险中性估值原理是一个重要的一般原理，而以上的结果只是这个原理的一个例子。这说明我们可以完全放心地假设：当为期权估值时，世界是风险中性的。我们得到的价格不仅仅在风险中性世界中是正确的，在其他世界中也是正确的。

回顾单步二叉树模型例子

本节我们重新讨论图11.1中的例子，我们将说明风险中性估值和无套利理论给出的结果是一样的。图11.1中，股票现价为$20，3个月末股票价格可能上涨到$22或下降到$18。本例中所考虑的期权是一份执行价格为$21、有效期为3个月的欧式看涨期权。无风险利率是每年12%。

我们说过，在风险中性世界中，股票价格上升变动的概率是p。在这样的世界中，股票的预期收益率一定等于无风险利率12%。这意味着p一定满足：

则p一定为0.6523。

在3个月末，看涨期权价值为$1的概率为0.6523，价值为零的概率为0.3477。因此，看涨期权的期望值为：

0.6523x1+0.3477x0=$0.6523

风险中性世界中，应该用无风险利率贴现。那么，该期权今天的价值为：

0.6523e^-0.12x3/12=$0.633

即$0.633。这个结果与前面所得结果相同，说明无套利理论和风险中性定价方法的结论相同。

现实世界与风险中性世界

必须强调的一点是，p是在一个风险中性世界中股价上升的概率，而在现实世界中事实并不一定这样。我们的例子中p=0.6523，当价格上升的概率为0.6523的时候，股票和期权的预期收益率都等于无风险利率12%。假设在现实世界中股票的预期收益率为16%，p*是股票价格上升的概率。那么，有

不幸的是，现实世界中很难确定能适用于该预期收益的准确贴现率。持有看涨期权头寸比持有相应股票的头寸风险更大，所以用来贴现看涨期权损益的贴现率应该高于16%。不知道期权价值的情况下，我们也不知道这个贴现率应该比16%高多少。|风险中性估值法用起来比较便利，因为我们知道在一个风险中性世界，所有资产的预期收益（相同的，所有预期损益应该使用的贴现率）都是无风险利率。

11.3    两步二叉树图

我们可以将以上的分析推广到诸如图11.3那样的两步二叉树图中。此时，开始的股票价格为$20，并在两步二叉树图的每个时间单步二叉树图中，股票价格可以上升10%或者下降10%。我们假设在每个单步二叉树的步长是3个月，无风险利率是每年12%。像以前一样，我们考虑一个执行价格为$21的期权。

我们分析的目的是计算在树图初始节点的期权价格，这可以通过重复应用前面章节所建立的理论来求得。图11.4表示了与图11.3类似的树图，但在每个节点上包含了股票价格和期权价格（在每个节点，上面的数字是股票价格，下面的数字是期权价格）。在树图最后节点的期权价格比较容易计算，它们是期权的损益状态。在节点D，股票价格是$24.2，期权价格是$24.2-$21=$3.2；在节点E和F.期权处于虚值状态，其价值为零。

在节点C，期权的价格为零，因为，点C的期权值来源于节点E和F，而这两个节点的期权价值为零。将注意力集中在图11.5所示这部分树图，我们可计算在节点B的期权价格。利用在本章较早使用的符号，u=1.1，d=0.9，r=0.12，T=0.25、p=0.6523，公式（11.2）给出在节点B的期权价格为：

e^-0.12x3/12（06523x3.2+0.3477x0）=2.0257

最后我们计算节点A的期权价格，为此我们需要将注意力集中在树图的前面第一个单步二叉树。我们知道在节点B的期权价值为2.0257以及在节点C的期权价值为零。因此，公式（11.2）给出节点A的期权价值：

e^-0.12x3/12（06523x2.0257+0.3477x0）=1.2823

于是期权的价格为$1.2823。

注意在构造这个例子时，u和d（股票价格上升和下降的比率）在树图的每个节点上是相同的，并且每个单步二叉树的时间长度是相等的。由公式（11.3）可得风险中性的概率p，而且在每个节点都是相同的。

一般结论

考虑图11.6所示的情况，我们可以得到两步树图的一般结论。初始股票价格为S₀，在每个单步二叉树中，股票价格或者上升到初始值的u倍，或下降到初始值的d倍。期权价值的符号表示在树图中（例如，在两次上升运动后，衍生证券的价值为.，我们假设无风险利率是r，每个单步二叉树的时间长度是△t年。

现在，时间单步的长度为△t也而不是T，式（11.2）和式（11.3）变成：

这与前面提到的风险中性估值的原理一致。变量p²、2p（1-p）和（1-p）²是达到最后上、中、下三个节点的概率。期权的价格等于它在风险中性世界的预期收益按无风险利率贴现的值。

如果在树图中加入更多的步，并推广应用二叉树图方法，我们发现风险中性估值的原理一直是成立的。期权的价格总是等于它在风险中性世界的预期收益按无风险利率贴现的值。

11.4    看跌期权的例子

运用本章所描述的方法，对看涨期权和看跌期权都可以进行估值。例如，考虑一个2年期欧式看跌期权，股票的执行价格为$52，当前价格为$50。我们假设价格为两步二叉树，每个步长为一年，在每个单步二叉树中股票价格或者按比率上升20%，或者按比率下降20%。我们也假设无风险利率是5%。

树图如图11.7所示。在这种情况下，u=1.2，d=0.8，△t=1，r=0.05，根据公式（11.6），风险中性概率p的值为：

最后股票的可能价格为$72、$48和$32。在这种情况下，f_tui=0，f_ud=4，f_dd=20。利用公式（1.10），我们有：

看跌期权的价值是$4.1923。利用公式（11.5）并从每个单步二叉树向回倒推，也可以得到这个结果。图11.7表示了所计算的期权价格。

11.5    美式期权

至今为止，我们一直考虑的是欧式期权。现在我们考虑如何利用诸如图11.4或图11.7所示的二叉树图方法为美式期权进行估值。方法是从树图末端向开始的起点倒推计算，在每个节点检验提前执行是否最佳。在最后节点的美式期权价值与欧式期权在最后节点的期权价值相同。在较前的一些节点，期权的价值是取如下两者之中较大者：

1.由公式（11.5）求出的值

2.提前执行所得的收益

图11.8说明了，如果所考虑的期权是美式的而不是欧式的，图11.7会发生什么变化。当然股票价格和它们的概率不会变化。在最后节点的期权价值也没有变化、在节点B，公式（11.5）给出期权的价值为$1.4147，而提前执行期权的损益为负值（-8）。很清楚，在节点B提前执行不是明智的，在这个节点的期权价值为1.4147，在节点C，公式（11.5）给出期权的价值为$9.4636，而提前执行期权的损益为$12，在这种情况下，提前执行是最佳的，因此期权的价值为$12。在初始节点A，公式（11.5）给出的期权价值为：

e^-0.05x1（06282x1.4147+0.3718x12.0）=5.0894

而提前执行的价值为$2.0。在这种情况下，提前执行是不明智的。因此期权的价值为$5.0894。

11.6    Delta值

在这个时候讨论是很合适的。在期权的对冲和估值中，delta是一个重要的参数。

股票期权的delta是股票期权价格的变化与标的股票价格的变化之比。delta是一个数字，即为了构造一个无风险对冲，对每一个卖空的期权头寸我们应该持有的股票数量。它与在本章较早时引入的△是相同的。构造无风险对冲有时就称之为泓如对冲。看涨期权的delta是正值，而看跌期权的delta是负值。

从图11.1，我们可以计算该看涨期权的delta如下：

这是因为当股票价格从$18变化到$22时，期权价格从$0变化到$1。

在图11.4中，对于第一个时间步（即单步二叉树），股票价格变动的delta为:

如果在第一个时间步之后，还有一个向上的变动，则在第二个时间步股票价格变动的delta为：

如果在第一个时间步之后，还有一个向下的变动，则在第二个时间步股票价格变动的delta为：

两个时间步的例子说明，delta值随时间而变化（在图11.4中delta从0.5064变化为0.7273或者0；在图11.7中delta从-0.4024变化为-0.1667或者-1.0000）。这意味着利用期权和标的股票来保持一个无风险对冲，我们需要定期调整我们所持有的股票数量。这是期权的性质之一，在第15章中，我们还要讨论这些性质。

11.7    用u和d计算波动率

实际中，构建反映股票价格变动的二叉树图时，我们选择参数u和d来匹配股票价格波动率。为了解释这些过程，我们假定股票的预期收益（现实世界中）为μ而其波动率为σ。图11.9（a）给出了二叉树图中第一步股票价格的变动。该步的长度为△t。起始股票价格S₀上升到S₀u或下降到S₀d。假定价格上升的概率（现实世界中）为P*。

我们将在第13章解释，股票价格的波动率σ应该使等于较短时间长度△t内，股票价格收益的标准方差。等价的条件是，收益的方差为σ²△t的树图中，股价收益的方差为

这些就是Cox、Ross和Robinstein（1979）提出的匹配波动率的u、d值。

利用11.2节中的分析，我们可以将图11.9（a）中的树图替换成图11.9（b）中的树图。新的树图中，上升的概率为p，并假定是风险中性世界。根据公式（11.6）可以计算p值如下：

其中，

这是上升的风险中性概率。在图11.9（b）中，时间步结束之时的预期股价为S₀e^r△t，如公式（11.4）所示。股票价格收益的方差为

代入式（11.13）和式（11.14）中的u和d，并忽略△t²以及△t的高阶，我们可以知道上式等于σ²△t。

以上分析说明，当我们从现实世界切换到风险中性世界的时候，股票的预期收益有变化，但是其波动率保持不变（至少在△t趋近于零的时候）。至此.我们说明了Girsanov定理一个重要的一般结论。当我们从具有某种风险偏好集合的世界移到具有另外一种风险偏好集合的世界的时候，变量的预期增长率会有变化，但其波动率保持不变。我们将在第25章中更详细地讲述风险偏好对于市场变量的影响。从一种风险偏好的世界移到另外一种风险偏好的世界，有时被称为测度变换（change the measure）□现实世界测度有时被称为P测度（P-measure），而风险中性世界测度被称为Q测度（Q-measure）。

再次考虑图11.8中美式看跌期权的例产，股价为$50，执行价格为$52，无风险利率为5%，期权的有效期限为2年，有两个时间步。此时，△t=1。假定波动率σ为30%。根据公式（11.13）~公式（11.16），我们可以得到：

在图11.10中画出了相应的树图。看跌期权的价格为7.43。这与图11.8中假定了u=1.2，d=0.8所得出的价格不一样。

11.8    增加树图中的步数

我们在上面使用的二叉树模型非常简单，这并不切合实际。通过把期权有效期间内的股价变动分为一步或两步二叉树，分析师只能得到粗略的期权价格近似值。

在实际中应用二叉树图方法时，通常将期权有效期分成30或更多的时间步。在每一个时间步，就有-个单个二叉树股票价格变动。30个时间步意味着最后有31个终端股票价格，并且230即大约有10亿个可能的股票价格路径。

不管有多少时间步，都可以使用公式（11.13）〜公式（11.16）决定相应的二叉树图。比如，我们假定图11.10中的例子中有5个时间步而不是2个。那么参数应该是

DerivaGem软件的使用

利用本书附带的DerivaGem软件，可以方便地进行二叉树模型的计算。根据本书最后讲述的方法运行该软件之后，进入Equity_FX_Index_Futures_Opticns工作表匚将UnderlyingType选择成Equity，OptionType选择成BinomialAmericano输入股价、波动率、无风险利率、有效期限、执行价格和时间步个数，如分别输入50、30％、5%、2、52和2。点击Pul按钮，再点击Calculate按钮。标签为Price的框中显示期权价格为7.428。再点击显示树图就可以看到和图10.11—样的二叉树图（软件中的红色数字表示执行期权的节点）。

回到Equity_FX_Index_Futures_Options工作表，把时间步个数改为5。点击Enter和Calculate按钮，我们可以发现期权价格变为7.671。点击Display Tree，将显示五步二叉树图和相应的u、d、a和p的值。

DerivaGem软件最多可以显示10步二叉树图，但最多可以计算500步的二叉树模型。在我们的例子中，设定500个时间步，则计算出来的期权价格为7.47（保留小数点后两位）。这是非常精确的答案。把0ption Type改为Binomial European，我们就可以利用二叉树模型估值欧式期权。输入和上述美式期权例子中的相同的变量值，选择500个时间步，我们可以得到相应的欧式期权价格为6.76（把Option Type改成Analytic European，我们可以用Black-Scholes模型计算期权价值，同样为6.76）。

选择不同的Underlying Type，我们可以分析其他标的资产的期权价格。接下来，我们将讨论其他一些资产的期权。

11.9    其他一些资产的期权

我们在第8章中介绍过指数期权、外汇期权和期货期权，将在第14章中更深入地讨论这些期权。现在，我们可以利用二叉树模型分析这些资产的期权，除了计算p的公式变化之外，方法和股票期权的分析方法相同。股票期权的情况中，公式（11.2）说明了节点（不考虑期权提前执行）上的价值等于，p乘以上升的价值加上1-p乘以下降的价值，再以无风险利率贴现所得到的值。

支付连续红利收益的股票的期权

考虑支付已知红利收益率q的股票。在风险中性世界，红利与资本利润带来的总收益率为r。红利收益率为q，所以资本收益率应该为r-q。如如果股票的起始价格为S₀，那么一个长度为△t的时间步结束之时的股票预期价格应该是S₀e^{（r-q）△t}。那么，

因此

对于不支付红利的股票的期权，我们设定和来匹配波动率。这说明除了要设a=e^{（r-q）△t}之外，我们可以使用公式（11.13）~（11.16）。

股票指数期权

在第5章计算股票指数的未来价格时，我们假设指数的标的股票组合支付红利收益率为q。在这里，沿用这个假设。因此.股票指数期权的估值和支付连续红利收益的股票的期权估值非常相似。

[例11.1]    当前某个股票指数为810，波动率为20%，红利收益率为2%。无风险利率是5%。图11.11说明了利用两步二叉树模型，DerivaGem对执行价格为800、6个月期欧式看涨期权进行估值。

这里，

期权的价格为53.39。

外汇期权

在5.10节中提过，可以把一种外汇当作是支付外汇无风险利率r_f的一种资产。和股票指数期权的情况一样，我们可以利用公式（11.13）~公式（11.16），构建外汇期权的二叉树模型树图，在这种情况下设定a=e^{（r-q）△t}。

[例11.2]    当前，一澳元等于0.6100美元，汇率波动率为12%。澳元无风险利率为7%，美元无风险利率为5%。图11.12显示了用DerivaGem估值执行价格为0.6000的3个月期美式看涨期权的结果，使用了三步二叉树模型。

这里，

期权的价格为0.019。

期货期权

买入或卖出期货合约不需要任何成本。因此，在风险中性世界，期货价格的预期增长率应该为零（在14.7节中我们将进一步讨论这个论点）。和上述的分析一样，我们可以定义P为期货价格上升的概率、u为价格上升的百分比以及d为价格下降的百分比。如果起始期货价格为F_0，那么一个长度为△t的时间步结束之时的预期期货价格也应该是F0。这说明

设a=1之后，我们就可以使用公式（11.13）~公式（11.16）。

[例11.3]    当前的期货价格为31，其波动率为30%，无风险利率为5%。图11.13显示了用DerivaGem估值执行价格为30的9个月期美式看涨期权的结果，使用了步二叉树模型。

这里，

期权的价格为2.84。

小    结

本章简要介绍了基于股票和其他一些资产的期权的估值问题。如果在股票期权有效期内股票价格的运动是按单步二叉树图方式进行的话，那么有可能构造一个由股票期权和股票本身组成的无风险证券组合。无套利机会的世界中，无风险证券组合的收益率应该等于无风险利率。这有可能要根据股票来定价股票期权。有意思的是：没有必要在每个节点假设股票价格上升和下降的概率。

如果股票价格的运动是按多步二叉树图方式进行的，我们可以分别处理每个单步二叉树图，并从期权有效期的末尾倒推回到开始位置，获得期权的当前价值。只用到了无套利假设，而没有必要假设股票价格在每个节点上升和下降的概率。

另一个为期权估值的方法是运用所谓的风险中性估值原理。这是非常重要的一个原理，说明在为期权和其他衍生证券估值时，可以假设世界是风险中性的。在本章我们已经用数字和表达式来说明：无套利假设和风险中性估值都可得到同样的期权价格。

股票期权的delta，即△，考虑了标的股票价格的一个小变化对期权价格的影响。它等于期权价格的变化与标的股票价格的变化之比。为了构造无风险头寸，投资者对出售的每一个期权，应该购买数量为△的股票。考察典型的二叉树图可知，在期权有效期内delta是变化的这意味着无风险头寸不能自动地保持无风险状态，它们必须定期进行调整。

和股票期权类似，我们可以构建二叉树模型来估值股票指数期权、外汇期权和期货期权在第17章我们还要回顾二叉树图方法，更全面地讨论它们在实际中的应用。

参考读物

Coval，J.E.and T.Shumway.“Expected Option Returns，”Journal of Finance，56，3（2001）：983-1009.

Cox，J.C.，S.A.Ross，and M.Rubinstein.“Option Pricing：ASimplified Approach.”Journal of Financial Economics 7（October 1979）：229-64.

Rendleman，R.，and B.Bartter.“Two State Option Pricing.”Journal of Finance 34（1979）：1092-1110.