第15章    套期保值参教

如果一个金融机构在场外市场出售给客户一份期权，那么该金融机构就面临着风险管理的问题了。如果出售的这个期权碰巧与在交易所交易的一份期权合约相同，这个金融机构就可以在交易所购买同样的一份期权来对冲它在场外市场出售那份期权所暴露的风险。但是，当在场外市场交易的这个期权为了适应客户的需要做了某些改变，从而与交易所交易的标准化期权合约不一致时，对该期权头寸进行对冲就很困难了。

本章中讨论解决这一问题的几种可选方法。我们介绍所谓的“希腊字母”，每个希腊字母从不同方面度量期权头寸风险。一位交易者的目标是管理这些希腊字母，以便控制所有风险都在可以接受的水平。本章这些分析方法不仅适用于期权交易所的做市商，也同样适用场外市场的金融机构的交易员们。

在本章的后面部分，我们将讨论构造合成期权的问题。这与期权套期保值密切相关。构造一种合成期权头寸实际上就是对相反的期权头寸进行套期保值。例如，构造一种合成看涨期权多头也就是对该看涨期权空头进行套期保值。

15.1    实    例

在这一节和后几节，我们使用下面的例子。某金融机构出售了基于10万股不付红利股票的欧式看涨期权，收入30万美元。我们假设股票价格是$49，执行价格是$50，无风险利率是每年5%，股票价格波动率是每年20%，距到期时间还有20周（即0.3846年），股票的预期收益率是每年13%。使用我们常用的符号，这意味着：

S₀=$49，K=$50，r=0.05，σ=0.20，T=0.3846，μ=0.13

由Black-Scholes-Merton定价模型可知该期权的价格大致为24万美元。这家机构因此以比该期权理论价值高出6万美元的价格出售了该期权，同时面临着如何对冲其暴露头寸的问题。

15.2    裸期权头寸与有保护期权头寸

金融机构的一种策略就是什么都不做，亦被称作裸期权头寸策略（naked posi-ng）。若在20个星期末股票价格低于$50，裸期权头寸策略将运行得很有效。该期权不会被执行，金融机构分文无损，整个交易中金融机构净获利30万美元。但是如果看涨期权被执行，则裸期权头寸策略会失败。因为，该金融机构不得不以当前的市场价格购买10万股冲销该期权头寸，其损失为单个股票价格超出执行价格部分乘以10万。例如，若20周末到期时股票价格为$60，金融机构的期权成本为100000x（$60-$50）=$1000000，这远远高出先前的期权费收入30万美元。

该金融机构替代裸期权头寸策略的另一种可选方法是有保护期权头寸策略（cov-ered position），所做的就是在出售看涨期权的同时购买10万股股票。如果到期时该期权被执行，这个策略很有利，但在其余情况下，代价就会很昂贵。例如，如果股票价格降低到$40，该机构在股票头寸上的损失将达90万美元，这同样比从期权上收取的期权费30万美元高许多。

所以裸期权头寸和有保护期权头寸这两种策略都不是理想的套期保值方法。如果Black-Scholes公式的前提假设成立的话，金融机构的这两种方法的成本平均来说应当为24万美元。但是在以上任何一种情况下，成本的范围是从。到100万美元以上。一种理想的套期保值方法应当确保成本总是接近24万美元。

15.3    止损策略

套期保值方法中有时采用-种所谓的止损策略（stop-loss strategy）。为说明其基本思路，我们假设某金融机构已经出售了一个按执行价格K购买一单位的标的股票的欧式看涨期权。对冲的设想就是当价格刚刚升到K以上就购买一单位股票，刚刚落到K以下就出售该股票。其目的就是在股票价格刚刚低于K时持有裸期权头寸，而在股票价格刚刚高于K时持有有保护期权头寸。这个过程被设计为：保证在到期时刻T，如果期权处于实值状态该机构持有股票，如果期权处于虚值状态则该机构不持有股票。该策略所形成的盈亏状态类似于该看涨期权的盈亏状态。在图15.1所示的情况下，止损策略的操作为：t₁时刻买入，t₂时刻卖出，t₃时刻买入，t₄时刻卖出，t₅时刻又买入，T时刻交割。

和以前一样，我们用S₀表示初始股票价格。当S₀>K时，构造该对冲的初始成本支出为S₀；其他时候，构造该对冲的初始成本支出为零。卖出看涨期权和对冲该期权的总支出Q似乎就是如下期权内在价值：

由于在零时刻后，都是以K的价格进行所有的买入和卖出操作，如果这个公式是正确的话，不考虑交易费用，这项对冲策略将非常有效，而且，对这个期权进行对冲的支出总是小于它的Black-Scholes公式的定价。因此，通过卖出该期权并将其对冲，投资者将获得无风险收益。

而实际上公式（15.1）是不正确的，主要有两个原因：第一个原因是套期保值者的现金流发生在不同的时刻，应当贴现为现值。第二个原因是买入和卖出操作不可能精确地在完全相同的价格K点执行。第二个原因很重要。假如我们处于利率为零的风险中性世界中，我们可以忽略货币的时间价值。但是，我们不能合理地假设买入和卖出都是在同一个价格进行的。若市场是有效率的，当股票价格恰好为K时，套期保值者并不知道它将继续变得高于K还是低于K。

实际上，买入价格将为K+∈卖出价格将为K-∈，其中∈为某个小的正值，每一轮买入和随后的卖出将损失2∈（不考虑交易费用）。对套期保值者而言，自然的反应当然是更加密切地监测价格的变动，减少∈。假设股票价格是连续变化，通过密切地跟踪股票价格的变化，∈则可以达到任意小。但是，∈越小，发生交易的机会就越频繁。每笔交易的成本减少了，但却被交易频率的增加所抵消。当∈→0时，预计的交易次数可能达到无穷大。

止损策略尽管相当诱人，但并不是很有效的套期保值手段。例如，考虑使用一个处于虚值状态的期权。当股票价格从来达不到执行价格K时，对于虚值期权则不存在保值成本支出。但当股票价格频繁等于执行价格K时，保值成本支出将会高得惊人。蒙特卡罗模拟可用来评价该策略的总效果。通过随机抽样得到股票价格路径，观察使用止损策略的结果。表15.1列出了前面例子中考虑的期权的结果。假设在时间间隔为△t的末尾时刻观察股票价格并计算保值效果。保值效果参数以期权保值支出的标准差与该期权的Black-Scholes价格的比率来衡量。每一结果都取1000个股票价格样本进行测试，标准误差为2%。完全对冲策略中这样的比率将等于零。而在表中的例子中，可以看出无论△t取得多么小，该策略都不可能使该参数减少到0.70以下。

15.4    Delta套期保值

大多数的期权交易者使用比前面讨论过的方法更为复杂的保值策略。这些涉及计算参数delta、gamma以及vega。这一节中我们考虑delta的角色。

在第11章我们引入了期权的de如（△）。delta定义为期权的价格变化对其标的资产价格变化的比率。它是期权价格与标的资产价格关系曲线的斜率。假设某股票看涨期权的delta为0.6，这意味着当股票价格变化一个小量时，该期权价格变化约为这个小量的60%。图15.2为看涨期权价格与标的股票价格之间的关系曲线。当股票价格对应于A点，期权价格对应于B点，图中直线的斜率为小。一般地，有

其中c为看涨期权价格，S为股票价格。

假设图15.2中，该期权价格是$10，股票价格为$100。设想某个投资者已经出售了20份该股票看涨期权合约（即购买2000股股票的期权）。投资者可买入0.6x2000=1200股股票来对冲该头寸。在期权头寸上的收益（损失）就可以由股票头寸上的损失（收益）所抵销。例如，如果股票价格上涨$1（持有股票就会增值$1200），期权的价格将上升0.6x$1=$0.60（出售看涨期权的头寸将损失$1200）。如果股票价格下跌$1（持有股票就会损失$1200），期权的价格将下降0.6x$1=$0.60（出售看涨期权的头寸将增值$1200）。

在本例子中，该投资者的期权头寸的delta值为

0.6x（-2000）=-1200

换句话说，当股票价格上升△S，该投资者在期权上就会损失1200△S。根据定义，股票的delta为1.0，1200股股票多头的deha值为+1200，因此该投资者保值后总头寸（2000股股票期权的空头，1200股票多头）的delta为0。标的资产股票头寸的delta抵销了期权头寸的delta。delta值为零的状态称为delta中性（deltaneu-tral）。

因为delta值在不断地变化，投资者的保值头寸保持delta对冲状态（即delta中性状态）只能维持一个相当短暂的时间，认识到这一点很重要。所以，进行这个套期保值操作后，需要定期地调整保值头寸，这种调整称为再调整（rebalancing）。在本例中，第3天末股票价格也许增加到$110。如图15.2所示，股票价格的上升导致了delta的增加。假设delta从0.60上升到0.65。这意味着如果仍要保持delta对冲中性的话，就需额外再购入0.05x2000=100股股票。

以上描述的对冲操作是一种动态对冲操作（dynamic hedging scheme）。这与静态对冲操作（static hedging scheme）是相对应的。在静态对冲操作中，对冲策略开始执行之后，不再进行调整。静态对冲操作有时也被称为保完即忘操作（hedge-and-forget scheme）。delta与Black-Scholes-Merton分析方法密切相关。如第13章的叙述，Black、Scholes和Melton说明过，可以建立一种无风险的有价证券组合，其中包含△个该股票的头寸和1个基于该股票的期权头寸。Black-Scholes证券组合为：

-1：期权

+△：股票份额

用新术语表述，我们可以说Black和Scholes通过建立一个della中性的头寸，并假设在短期内该组合头寸收益等于无风险收益率，来为期权定价。

欧式股票期权的Delta值

对于不付红利股票的欧式看涨期权，有：

△（call）=N（d₁）

其中d₁与公式（13.20）定义相同。如果对一个欧式看涨期权的空头进行delta套期保值，在任何给定时刻，需同时持有N（d₁）个股票多头头寸。类似地，如果对一个欧式看涨期权的多头进行delta套期保值，在任何给定时刻，需同时持有N（d₁）个股票空头头寸。

对于不付红利股票的欧式看跌期权，delta值为：

△（put）=N（d₁）-1

这个della为负值，这意味着看跌期权的多头应该利用标的股票的多头头寸来保值，看跌期权的空头应该利用标的股票的空头头寸来保值。股票看涨期权和看跌期权的delta值与股票价格之间的变化关系曲线如图15.3所示。图15.4为在实值期权、两平期权与虚值期权三种情况下，delta值与到期时间之间的关系曲线°

其余欧式期权的Delta值

对基于收益率为q的标的资产的欧式看涨期权：

当标的资产是股票指数的时候，可以以指数红利收益率代替公式中的q。当标的资产是货币的时候，可以以外国无风险利率r_f代替公式中的q。当标的资产是期货合约的时候，可以以国内无风险利率r代替公式中的q，而且在d₁的定义中设S₀=F₀（后面的例子中，della给出期权价格变化对期货价格变化的比率）。

[例15.1]    某个美国银行按$1.6000执行价格出售100万英镑、6个月期的欧式看跌期权，希望使组合为deha中性。假设英镑兑美元的当前即期汇率为$1.6200，英国的无风险利率为每年13%，美国的无风险利率为每年10%，英镑汇率波动率为每年15%。在这种情况下，S₀=1.6200，K=1.6000，r=0.10，r_f=0.13，σ=0.15，T=0.5。根据欧式货币看跌期权的计算公式可知该货币看跌期权的delta值为：

看跌期权的delta值是-0.458，这是一个看跌期权多头方的delta值（也就是说汇率上升△S时，看跌期权的价格下降△S乘以45.8%）。银行作为看跌期权的空头方，其delta值是以上这个值乘以-1000000得到+458000。因此，该银行进行delta套期保值时，开始就必须卖出£458000现货，这个英镑现货空头的delta为-458000，正好对冲了银行的期权头寸的delta值。

远期合约的Delta值

除了期权，delta的概念还可以适用在其他金融工具。考虑一个不支付红利股票的远期合约。公式（5.5）说明远期合约的价值为S₀-Ke^-rT，其中K是交割价格，T是远期合约到期期限。在其他参数不变时，当不付红利股票价格变化基于该股票的远期合约的价值也变化△S。因此基于某个不付红利股票的远期合约的delta值为1.0。这就意味着基于一股股票的某个远期空头头寸可用购买一股该股票的方法来对冲，同样基于一股股票的某个远期多头头寸可用出售一股该股票的方法来对冲。

对于支付红利收益率q的资产，公式（5.7）说明相应的期货的delta值应该是Ke^-rT。标的资产是股票指数时，应该以指数红利收益率代替q。标的资产为货币的时候，应该以外汇无风险利率r_f代替q。

期货合约的Delta值

公式（5.1）给出，不支付红利股票的期货价格为S₀e^-rT，其中T为期货合约到期期限。这说明在其他参数不变时，当股票价格变化△S，相应的期货合约的价值变化△Se^rT。因为期货合约中每天进行盯市操作，长期期货合约持有者的收益几乎是能即时实现的。所以期货合约的delta值为e^rT。对于支付红利收益率q的标的资产的期货，公式（5.3）类似地可以推导delta值为e^（r-q）T有趣的是，因为盯市操作的影响，期货和远期合约的delta值有一些不同。即使在利率为常数，远期和期货价格相同的时候，也是这样的。

有时可以利用期货合约构建delta中性头寸。定义：

T：期货合约的到期日

H_A：delta中性保值所需标的资产的头寸数

H_F：另一种delta中性保值所需期货合约的头寸数

当标的资产为股票指数时，可以以指数红利收益率代替q，如当标的资产为外汇时，可以以外汇无风险利率r_f代替q，得到：

[例15.2]    再考虑前面例子中的期权，其中利用外汇期货的套期保值需要的空头头寸为£458000。根据公式（15.4），9个月期的外汇期货合约进行对冲所需的期货空头头寸为

即为£468442。由于买卖每份英镑期货合约的规模为£62500，所以应该出售7份（468442/62500的近似整数值）期货合约来对冲。

Delta对冲的动态过程

表15.2和表15.3给出了第15.1节例子中的delta套期保值操作的两个模拟过程，假设保值过程每周调整一次。从15.1节中的数据可以计算delta的初始值为0.522。这意味着在出售该看涨期权的同时，必须借入$2557800，并以$49的价格购买52200股股票，利率为5%。因此，第1周内发生的利息费用为$2500。

从表15.2可知，到第1周末，股票价格下降到$48.12。这使得delta值相应减少到0.458，要保持delta中性，此时应出售6400股股票。以上操作得到$308000的现金。第1周末的累计借款余额将减少到$2252300。在第2周内，股票价格下降到$47.37，delta值又减小了，如此等等。在期权临近到期时，很明显该期权将被执行，delta接近1.0。因此，到第20周时，套期保值者具有完全的受保护的期权头寸。套期保值者持有股票的收入为500万美元，因此出售该期权并对冲该期权风险的总计支出为$263300。

表15.3是另一个事件序列，说明期权处于虚值状态时的情况。很明显，期权将不会被执行，delta接近0。至第20周时，套期保值者保持裸期权头寸，总计支出为$256600。

在表15.2和表15.3中，如果将套期保值支出贴现为期初值，则对冲该期权的成本近似于Black-Scholes定价24万美元，但不完全相等。如果套期保值运作完美的话，对每一个模拟股票价格路径贴现后的对冲成本，应该精确地等于每个模拟中期权的Black-Scholes理论价格。delta对冲成本不相同的原因是由于再调整的频率仅为一周一次。若再调整的频率增加，套期保值成本的变化就会减少。当然，在表15.2与表15.3中的模拟过程是假设波动率为常数，并且无交易费用的理想过程。

表15.4列出了我们例子中模拟股票价格变化1000次的delta保值效果统计数据。与表15.1一样，保值效果参数仍以期权套期保值成本的标准差与该期权的Black-Scholes定价之间的比率来衡量。显然delta套期保值法比止损策略有很大的改进。与止损策略不同，当della对冲的观察愈频繁，delta套期保值效果的稳定性就愈好。

delLa套期保值的目标是保持金融机构的头寸价值尽量不发生变化。最初，出售看涨期权的价值为24万美元。在表15.2中所述的情况下，通过计算，第9周该期权价值为$414500，因此，该金融机构的期权头寸损失了$174500。第9周用累计成本衡量的它的现货头寸比第0周多$1442900。然而，该机构持有的股票价值从$2557800增加到$4171100。在9周内，所有这些操作的净效果是该金融机构总财富仅变化$4100。

费用的来源

从实际效果上看，表15.2与表15.3中的delta套期保值操作是形成了一个合成期权头寸的多头，它对冲了卖出看涨期权而产生的看涨期权空头。在该套期保值过程中，必须在股票价格刚开始下降时即售出股票，在股票价格刚上涨时即购入股票.这就是所渭的“升买跌售”的过程！24万美元费用的发生是由于实际购买股票时支付的价格与出售股票时收取的价格之间的平均差别。

有价证券组合的Delta值

基于价格为S的单个资产的期权或其他衍生证券组合的delta值为

其中Ⅱ是证券组合的价值。

该组合的della值可以从组合内每种期权的deha值得出。若一种有价证券组合中，第i（1≤i≤n）种期权的数量为ω_i，则有价证券组合的delta值为：

其中，△_i为第，种衍生证券的delta值。令组合的delta等于零时，这个公式可用来计算保值所需的标的资产或基于该标的资产的期货合约的头寸。当持有delta值为0的组合头寸时，该证券组合就达到所谓的决如中性状态。

考虑美国某金融机构有如下三个澳元期权的头寸：

1.10万份看涨期权多头，执行价格为0.55，3个月后到期，每份期权的delta值为0.533

2.20万份看涨期权空头，执行价格为0.56，5个月后到期，每份期权的delta值为0.468

3.5万份看跌期权空头，执行价格为0.56，2个月后到期，每份期权的delta值为-0.508

所以，整个有价证券组合的总delta值为：

100000x0.533-200000x0.468-50000x（-0.508）=-14900

这意味着可以通过购买14900澳元使得该组合达到delta中性状态。

本例中亦可用6个月期的远期合约使该组合达到delta中性状态。假设澳大利亚和美国的无风险利率分别为每年8%和5%（r_f7=0.08，r=0.05）。T时刻到期的澳元远期合约的delta值为e^-rfT，即e^-0.08x0.5=0.9608。为使delta中性，要买入的澳元远期合约头寸为14900/0.9608=15508。

另一种办法是利用6个月期货合约。根据公式（15.4），为使delta中性，要买入的澳元期货合约头寸为

交易成本

若要和前面所述一样，保持单个期权和相应标的资产的delta中性头寸，成本很可能是非常昂贵的，因为存在交易费用。对于大额期权证券组合，delta中性保值策略更为可行。只要对标的资产进行一次交易就能使整个证券组合的delta变为零。那么，很多不同的交易收益可以抵消对冲策略中的交易成本。

15.5    Theta

期权组合的theta（）定义为：在其他条件不变时，该证券组合的价值变化相对于时间变化的比率，有时也被称作有价证券组合的时间损耗。对基于不付红利股票的欧式看涨期权，根据Black-Scholes定价公式可以推导出

当标的资产是股票指数时，将q换作指数红利收益率，以上最后两个公式就是欧式股票指数期权的theta公式。将q换作外汇无风险利率r_f，以上最后两个公式就是欧式外汇期权的theta公式。令S₀=F₀，q=r，可得欧式期货期权的theta公式。

上述的公式中，时间以年来计算。通常在theta的报价中，时间是以天数来计算的，theta也就是在其他条件不变时，1天过去后证券组合价值的变化。我们可以以“每个日历天”或者“每个交易日”来度量theta。为了得到基于每个日历天的theta，上述theta的公式应该除以365；为了得到基于每个交易日的theta，上述theta的公式应该除以252（DerivaGem软件中theta基于每个日历天）。

[例15.3]    我们考虑一个4个月期的股票指数看跌期权。指数的现值为305，执行价格是300，红利收益率是每年3%。无风险年利率是8%，指数价格波动率为每年25%。在本例中，S₀=305，K=300，q=0.03，r=0.08，σ=0.25，T=0.3333年这个期权的theta为：

那么，基于每个日历天的theta值为-18.15/365=-0.0497，基于每个交易日的theta值为-18.15/252=-0.0720。

单个期权的theta通常是负的。因为当越来越临近到期日时，期权的时间价值就变得越来越不值钱。图15.5显示的是一种股票看涨期权的theta值随股票价格变化的曲线。当股票价格很低时，theta近似为0。对于一个处于两平状态的看涨期权，theta相当大并且为负值。股票价格升高时，theta趋近于-rKe^-rT。图15.6给出了期权处于实值期权、两平期权和虚值期权三种状态下，theta值随到期期限的变化而变化的典型状况。

theta与delta不是同一种类型的保值参数。这是因为，虽然对于未来的股票价格存在着某些不确定性因素，而到期时间的减少是确定的。对冲标的资产价格的变化有意义，但是用对冲的保值方法消除时间变化对期权组合价值的影响将毫无意义。尽管如此，很多交易者认为theta是一个非常有用的描述证券组合的统计量。我们将看到，这是因为delta中性证券组合的theta是gamma的镜像值

15.6    Gamma

某种标的资产的期权组合的gamma（Γ），定义为该组合的delta变化相对于标的资产价格变化的比率。它等于证券组合价值对于资产价格的二阶导数：

当gamma值较小时，delta变化缓慢，为保持delta中性并不需要进行频繁的调整。然而，当gamma绝对值较大时，该组合的delta对于标的资产价格相当敏感。此时在任一段时间内，若对一个delta中性的有价证券组合不做调整将有很大的风险图15.7说明了这一点。当股票价格从S上涨到S';，delta中性保值法假设期权价格从C增加到C'，而实际上期权价格已从C变到了C''。C'和C''之间的误差引起保值误差，保值误差大小取决于期权价格与股票价格之间关系曲线的曲率，gamma度量了这个曲率。9

假设△S是在小的时间段△z内标的资产价格的变化，△Ⅱ是相应的有价证券组合价格的变化。如果忽略比△t高阶的项，本章附录表明：对于delta中性的证券组合：

这里是证券组合的theta值。图15.8表明了△Ⅱ和△S之间的关系特性。当Γ为正值时，通常为负值。如果S的值不变的话，该组合价值将减小，但是，如果S的值有较大正值方向或负值方向的变化，则该组合的价值都会增加。当gamma为负值时，通常是正的，反之亦然。如果S的值不变的话，该组合价值将增加，但是，如果S的值有较大正值方向或负值方向的变化，则该组合的价值都会减少，.随着gamma绝对值的增加，有价证券组合价值对于S的敏感性也增加。

[例15.4]    假设某种期权组合是delta中性的，该组合的gamma为-10000。公式（15.6）说明如果标的资产的价格在一个短的时间内发生+2或-2的变化，那么该证券组合的价值预期减少0.5x10000x2²=$20000。

构造Gamma中性组合证券

标的资产头寸或该标的资产远期合约头寸的gamma值为0，也就不能用来改变证券组合的gamma。因此，金融机构改变它的有价证券组合的gamma值的办法就是持有期权这样的与标的资产不是线性关系的头寸。

假设某种delta中性的有价证券组合的gamma等于Γ，某个可交易期权的gamma等于Γ_T。如果加入到原证券组合中的可交易期权的数量是ω_T，则该组合的gamma是：

要使证券组合的gamma中性化，则可交易期权的头寸应为-Γ/Γ。当然，加入可交易期权肯定会改变原组合的delta值，所以，为了保持总的delta中性，还需调整标的资产的头寸。注意：总组合只是瞬间gamma中性。随时间变化，只有不断调整可交易期权头寸，并使得该期权头寸总是等于-Γ/Γ_T，才可维持gamma中性。

使处于delta中性的证券组合成为gamma中性可看作一阶校正，因为当在进行delta对冲时，标的资产（或该标的资产的期货合约）头寸不能连续改变。delta中性化可以为再调整操作期间内，较小的股票价格变动提供保护。而在对冲再调整操作期间内，gamma中性化可以为较大的股票价格变动提供保护。假设某种有价证券组合是delta中性的，该组合的gamma为-3000。某个特殊的可交易看涨期权的delta和gamma分别为0.62和1.50。为使gamma中性，组合中应购入

可交易的看涨期权。但是，证券组合的delta值将从0变化到2000x0.62=1240，因此，为保持delta中性，还应出售数量为1240份的标的资产。

Gamma 的计算

基于不付红利股票的欧式看涨期权或看跌期权的gamma值为：

这里d₁与方程（13.20）中的定义相同，在方程（15.5）中给出了N'（x）的值。期权多头头寸的gamma总是为正值，它随S₀变化的曲线如图15.9所示。在实值期权、虚值期权和两平期权这三种不同情况下，gamma值随到期时间的变化如图15.10所示.对于一个两平期权，越接近到期日，gamma越大。期限很短的两平期权的gamma值可能非常大，这意味着持有者期权头寸的价值对于股票价格的跳跃极其敏感。

对于以红利收益率为q支付连续红利收益的欧式看涨期权或看跌期权：

这里d₁的定义如方程（14.4）。当标的资产是股票指数时，q没定为红利收益率，上式即为股票指数期权的gamma公式。当标的资产是外汇时，q设定为外汇无风险利率，上式即为外汇欧式期权的gamma公式。当标的资产是期货合约时，q=r，S₀=F₀，上式即为欧式期货期权的gamma公式。

[例15.5]    我们考虑一个4个月期的股票指数看跌期权。假设指数的现值为305，执行价格是300，红利收益率是每年3%，无风险利率是每年8%，指数价格波动率为每年25%。在本例中，S₀=305，K=300、q=0.03，r=0.08，σ=0.25，T=4/12年。则指数期权的gamma为：

因此指数每增加1个点（即从305到306），引起期权的delta增加约0.00857。

15.7    Delta.Theta和Gamma之间的关系

基于不付红利股票的单种衍生证券的价格必须满足微分方程（13.16）。因此，由这些衍生证券组成的投资组合的价值Ⅱ也满足以下微分方程：

这意味着当theta为正值并且很大时，证券组合的gamma将会为负值并且也很大。反之亦然。这与图15.8所示的情况一致，并解释了在delLa中性组合中，lheta可看出是gamma的镜像值。

15.8    Vega

到现在为止，我们的讨论都隐含这样一个前提：衍生证券的标的资产价格波动率为常数。实际上，标的资产的价格波动率随时间的变化而变化，它意味着衍生证券价值有可能随波动率的变动而变化，正如标的资产价格和时间发生变动时，衍生证券的价值有可能变化一样。

一个有价证券组合的vega（v），定义为有价证券组合的价值变化与标的资产波动率变化的比率。

如果vega的绝对值很大，证券组合的价值对于波动率的小变化就很敏感；反之，如果vega的绝对值很小，波动率的变化就不怎么影响证券组合的价值。

标的资产头寸有零vega值。然而，增加可交易期权的头寸可改变组合证券的vega值。如果v是证券组合的vega值，四是可交易期权的vega值，数量为-v/v    的可交易期权头寸将使原证券组合达到暂时的vega中性状态。不幸的是，一种gamma中性的证券组合一般来说并不是vega中性的。反之亦然。因此，若套期保值者要使证券组合同时达到gamma中性和vega中性状态，至少要使用两种基于该标的资产的可交易衍生证券。

[例15.6]    考虑某个处于delta中性状态的有价证券组合，gamma值为-5000，vega值为-8000。假设某个可交易期权的gamma值为0.5，vega值为2.0，delta值为0.6。如果购买4000个可交易期权的多头头寸，则可使该组合达到vega中性状态，但同时将使delta值增加到2400，这要求出售2400个标的资产以维持delta中性状态。该证券组合的gamma值将从-5000变为-3000。

为了使得该组合处于gamma中性和vega中性状态，我们假设存在第二种可交易期权，gamma值为0.8，vega值为1.2，delta值为0.5。如果ω₁、ω₂分别为证券组合中这两种可交易期权的数量，我们要求：

这个方程组的解为ω₁=400，ω₂=6000。因此，加入400份第一种可交易期权和600。份第二种可交易期权将使得该组合处于gamma中性和vega中性状态。加入以上两种可交易期权头寸后，此时delta值为400x0.6+6000x0.5=3240。所以仍需卖出3240份标的资产以保持delta中性状态。

对基于不付红利股票的欧式看涨期权和看跌期权，得vega值为：

这里d₁的定义如公式（13.20）。在方程（15.5）节中给出了N'（x）的计算公式。对连续支付红利收益率为q的资产的欧式看涨期权和看跌期权，得vega值为：

这里d₁的定义如公式（14.4）。如果q替换成红利收益率，以上公式给出欧式股票指数期权的vega值。如果1替换成外汇无风险利率r_f，以上公式给出欧式外汇期权的vega值。令S₀=F₀且q=r，以上公式给出欧式期货期权的vega值。

普通欧式或美式期权多头的vega总是正值。vega随S₀变化曲线如图15.11所示。

[例15.7]    我们考虑一个4个月期的股票指数看跌期权。假设指数的现值为305，执行价格是300，红利收益率为每年3%，无风险利率为每年8%，指数价格波动率为每年25%。在本例中，S₀=305，K=300，q=0.03，r=0.08，σ=0.25，T=4/12

因此波动率增加1%或0.01（从25%到26%）就会使期权价值增加约0.6644（0.01x66.44）。

从Black-Scholes定价公式和扩展公式计算vega值似乎有些奇怪。这是由于Black-Scholes定价公式假设波动率为常数。理论上，我们可以从假设波动率为随机变量的模型中计算vega。然而，这样考虑是相当复杂的。幸运的是，它说明从波动率为随机变量的模型中计算vega非常类似于从Black-Scholes定价公式计算的vega值，所以，从波动率为常数的模型中计算vega是很合理的。

gamma中性校正的是在对冲再调整期内，标的资产价格发生的较大变化，而vega中性校正的是波动率σ的变化。正如我们所期望的，当使用适当的可交易期权进行vega或gamma中性保值时，其效果如何依赖于对冲再调整期间的时间和波动率的变动率。

当波动率变化时，期限短的期权的隐含波动率比期限长的期权的隐含波动率变化更大。因此，我们让期限长的期权的波动率变化比期限短的期权的波动率变化小一些，计算出组合的vega值。我们将在19.6节讨论这种做法。

15.9    Rho

衍生证券组合的rho定义为有价证券组合的价值变化与利率变化之间的比率。

以上这两个公式同时适用于支付已知红利收益率的股票或股票指数的欧式看涨期权和看跌期权，这种情况下，d₂的定义如公式（14.4）。

[例15.8]    再考虑某个4个月期的股票指数的看跌期权。指数的现值为305，执行价格是300，红利收益率是每年3%，无风险年利率是8%，指数的波动率为每年25%。在本例中，S₀=305，K=300，g=0.03，r=0.08，σ=0.25，T=4/12。可求得期权的rho为：

这意味着无风险利率增加1%，即0.01（例如从8%到9%），期权价值减少0.426（0.01x42.6）。

对外汇期权，由于存在两种利率，就可得到两个对应的rho值。与国内利率相对应的rho的公式如前所述，d₂的定义如公式（14.7）；对应于国外利率的欧式看涨期权的rho值为：

对于欧式看涨期货期权，rho值为-cT；对于欧式看跌期货期权，rho值为-pT其中，c和p分别为欧式看涨期权和看跌期权的价格。

15.10    对冲的实现

商业剪影15.1    现实中的动态对冲

金融机构一般安排一个或一个团队的交易员负责基于某个特定资产的衍生证券组合。例如，一位高盛的交易员可能被委任管理所有基于澳元价值的衍生证券。计算机系统计算证券组合的价值和该组合的套期保值参数（即希腊字母）。套期保值参数有一个限额水平，如果交易员要在一个交易日结束之时想超过这一限额水平，则必须得到特殊许可。

delta的限额水平通常以等价的标的资产的最大头寸来表示。例如，高盛对于微软股票的delta限制水平可能是1亿美元。如果微软股价为$50，那么delta的绝对值不应该超过20万。vega限额经常以波动率变化1%时的美元暴露的最大值来表示。

自然地，期权交易者们在每日结束之时保证delta中性——或接近于delta中性。gamma和vega被监测，但并不进行每日调整。金融机构经常会发现他们和客户之间的交易中，需要承约期权，因此负的gamma和vega会累积。所以，金融机构经常寻找以有利的竞争价格买入期权的机会，以便管理gamma和vega风险。

期权组合的一种特性某种程度上会减轻gamma和vega的管理负担。期权在它们首次卖出的时刻，通常接近于两平状态，因此相应的gamma和vega值也相对较高。但是随着时间变化，标的资产价格的变化足够使期权处于深度虚值状态或深度实值状态。它们的gamma和vega值就变得非常小，问题就不那么重要了。对于期权交易者来说，最糟糕的情形是，期权快到期时还是处于接近两平状态。

理想化的世界中，金融机构的交易者为了维持delta中性、gamma中性和vega中性，将连续调整他们的组合。实际上这是不可能的。当管理基于单种标的资产的大额证券组合时，交易者们至少每天交易一次标的资产，以便delta总是为零或接近于零。不幸的是，很难达到gamma中性和vega中性。这是因为，很难找到以有利的竞争价格交易来满足对冲所需数量的期权或其他非线性衍生品（参见商业剪影15.1中关于动态对冲的讨论）。

作为期权交易者，应该注意规模经济。和前面提到的一样，维持单个期权比如S&P500合约的delta中性，每日交易S&P500合约的成本将是非常昂贵的。但是对于包括几百种S&P500期权的证券组合，可以以这样的方法维持delta中性。这是因为，来自很多不同交易的收益可以抵消每日再调整的成本（不管是交易指数中的标的股票还是交易指数期货）。

15.11    情景分析

除了监测诸如delta、gamma和vega这些风险外，期权交易者也常常进行情景分析。这包括计算某个指定时期各种不同情景下，他们证券组合的损益。所选择的时期有可能依赖于这些工具的流动性情景既可以由管理者来选择，也可以由模型产生。

考虑某个银行，有一个外汇期权的组合。该证券组合的价值取决于两个主要的变量，即汇率和汇率波动率。假设当前汇率是1.0000，汇率的波动率是年利率10%。银行可以计算出诸如表15.5的一个表格，说明在两周时期内不同情景下该组合的损益状况。这个表考虑了7个不同的汇率和3个不同的波动率。由于在两周时期内，汇率一个标准差的变化近似等于0.02，这里所考虑的汇率变动近似于1个、2个和3个标准差。

在表15.5中，最大损失位于该表的右下角。此时对应的波动率增加到12%，汇率变动到1.06。通常诸如表15.5的最大损失总是对应于该表4个角中的某一个。但情况并不总是如此。例如，假设某个银行的证券组合由蝶式价差期权空头（参见第10.2节）组成，如果汇率正好在某个位置上，该组合将产生最大的损失。

15.12    有价证券组合的保险

证券组合经理通常喜欢在他的证券组合中加入一个看跌期权。市场表现不好的时候，这样组合价值可以得到保护，而市场表现良好的时候，也可以不失去相应的收益。其中一种方法（第14.3节中讨论过）就是持有某种市场指数如S&P500的看跌期权。另一种方法是构成合成期权。

构成合成期权的具体操作就是持有一种标的资产（或该标的资产的期货合约）的头寸，该头寸的delta等于所需期权的delta。构造的合成期权所需的头寸应与对冲它的头寸相反。这反映了如下简单的事实，即期权套期保值的过程就是同时产生数量相同、头寸方向相反的合成期权的过程。

对有价证券组合经理来说，形成所要求的合成看跌期权比在市场上直接购买看跌期权更具吸引力，这里有两个原因。首先，期权市场并不总是具有足够的流动性吸收这些拥有大笔资金的基金经理将进行的大笔交易；其次，基金经理很难在交易所期权市场找到所需执行价格和到期日的期权。

他们可以通过证券组合本身或指数期货合约的交易构造合成期权。我们先来看由交易证券组合形成的看跌期权。回顾上面的公式，基于该证券组合的欧式看跌期权的delta值为：

S₀是证券组合的价值，K是执行价格，r是无风险利率，q是证券组合的红利收益率，σ是证券组合的波动率，T为期权有效期限。通常可以假设证券组合的波动率等于组合beta值乘以高度分散化市场指数波动率。

为构造合成看跌期权，基金经理必须确保其在任一给定时间卖出占原证券组合中比例为

的那一部分股票，将所得资，金投资于无风险资产。当原证券组合的价值减小时看跌期权的delta值[可由（15.8）式给出]负向增长，原证券组合中卖出的份额必须增加；当原证券组合的价值增加时，看跌期权的deha值负向减小，原证券组合中卖出的份额必须减少（即还需重新购回原组合中的一部分）。

运用这种策略构造有价证券组合保险的实质就是：在任意给定时间，使得资金在有保险的股票组合和无风险资产之间进行分配。当股票组合的价值增加时，则出售无风险资产，增加股票组合的头寸；当股票组合的价值减小时，则减少股票组合头寸，购买无风险资产。基金经理总是在市场价格下降后卖出，在市场价格升后买入，因此就产生了保险的成本。

[例15.9]    有一个价值为9000万美元的证券组合。为了在市场下滑时，证券组合的价值能得到保护，管理者需要基于该证券组合的执行价格为8700万美元的6个月期欧式看跌期权。无风险利率为9%p.a.，红利收益率为3%p.a.，证券组合的波动率为25%p.a.。S&P500指数值固定在900。假设该证券组合模拟与S&P500指数的组合非常相近，那么作为另外一种保护策略，我们可以买入1000份执行价格为870的S&P500看跌期权合约。还有一种办法是创造所需要的合成期权。这种情况下，S₀=90000000，K=87000000，r=0.09，q=0.03，σ=0.25以及T=0.5。因此

这说明首先应卖掉证券组合的32.15%，以便匹配所需期权的delta值。必须经常监测需要卖出的证券组合数量。例如，如果1天后证券组合价值减少到8800万美元，所需期权的delta值变化到0.3679，因此需要再卖出原证券组合的4.64%。如果证券组合价值增加到9200万美元，所需期权的delta值变化到-0.2787，因此需要重新买入原证券组合的4.28%。

使用指数期货

利用指数期货构造合成期权比使用标的股票本身进行保险更受投资者欢迎。因为买卖指数期货的交易费用通常比直接买卖标的股票的交易费用更少。从公式（15.3）和公式（15.8）可得，卖空的指数期货合约所对应的美元数额占有价证券组合价值的比例应为：

其中，T*为期货合约的到期时间。若有价证券组合价值为指数的A₁倍，每个指数期货合约的价值为该指数的A₂倍。这意味着在任意时刻卖空的指数期货合约数量应为：

［例15.10］    假设在前面的例子中，我们用9个月期S&P500指数期货合约来构造合成期权。在这种情况下，刚开始的时候：T=0.5，T*=0.75，A1=100000，A₂=250以及d₁=0.4499。所以卖空的该期货合约的数量应为：

近似到最相近的整数，即为123份。随着时间变化和指数变化，期货头寸应该得到相应的调整。

这里的分析中，假设了有价证券组合与指数组合——对应。如果不是这样，我们需要（a）计算证券组合的beta；（b）选择可以提供所需保护的指数期权头寸；（c）选择能构造复合期权的指数期货头寸。与14.3节中讨论的一样，当证券组合达到保险价值的时候，期权的执行价格应该等于市场指数值的预期水平。所需期权数量等于beta乘以证券组合beta为1.0时所需的期权数量。

15.13    股票市场波动率

我们已经在第13章中讨论过如下的问题：波动率是仅由新信息引起的，还是由交易本身引起的。诸如我们刚刚描述过的有价证券保险操作方法有可能增加波动率。当市场价格下跌时，将使得证券组合经理要么卖出股票，要么卖出指数期货合约。而这两种行为都可能加速市场价格的下跌（参见商业剪影15.2）。出售股票很可能会直接迫使指数进一步下降。出售指数期货合约有可能驱使指数期货价格下跌。根据指数套利机制（参见第5章），这将对股票产生出售压力，从而驱使市场指数也下降。同样，当市场价格上涨时，这些证券组合保险策略促使投资者买入股票或期货合约，于是更加剧了市场价格上涨。

商业剪影15.2    1987年的市场崩渍应该谴责证券组合保险操作吗

在1987年10月19日，星期一，道琼斯工业平均指数下跌幅度超过20%。很多人认为证券组合的保险操作在这一市场崩溃中扮演了很重要的角色。1987年10月份有600亿美元到900亿美元的股权资产被实施了有价证券保险操作，运用15.12节讨论过的方法构造了合成看跌期权。从1987年10月14日（星期三）到1987年10月16日（星期五），市场价格下跌了约10%，而主要的下跌发生在星期五下午。对应于已采取的有价证券保险策略，应该出售至少120亿美元的股权资产或指数期货合约。实际上，组合保险来不及全部售出这么大量的股票，售出的金额仅40亿美元，这意味着在接下来的一周，证券组合的保值者将执行他们模型”指示的巨额出售指令。后来估算的结果表明，10月19日（星期一），三个有价证券组合保险者卖出的指令就占纽约股票交易所总出售额的10%，有价证券保险者在指数期货市场上出售的期货合约数量达到总出售额的21.3%。看起来似乎除了有价证券组合保险者大量抛售外，其他的投资者们也加入了组合保险者的抛售行列，因为他们预期到组合保险者的行为，从而造成了市场下跌的压力。

因为市场下跌过快，股票交易所的系统负荷过度，很多有价证券组合保险者没能执行他们模型产生的所有交易指令，并没能达到保护目的。不用多说，自1987年之后，有价证券组合保险策略远不如以前那么流行了。这个故事给我们的一个教训是，当其他很多市场参与者的策略和你一样时，遵循某一特定交易策略是非常危险的，即使是对冲策略。

除了一些正式规范的一般性保险操作方法，我们发现许多投资者有意无意地实施着他们自己的有价证券组合的保险操作方法。例如，一个投资者可能情愿当市场价格上涨时进入市场，当市场下跌时出售证券，来限制他的损失风险。

无论正式或非正式的，有价证券组合保险措施是否影响市场波动率，取决于市场吸收容纳证券组合保险产生交易的难易程度。若保险操作的交易仅是所有交易中很小的一部分，很可能就没有影响。但当保险操作的交易涉及很大范围的时候，就可能对市场产生不稳定的影响。

小    结

金融机构向他们的客户提供各种期权产品。这些期权经常与在交易所交易的标准化的期权产品不同。因此金融机构面临对冲风险的问题。裸期权策略和有保护期权策略可能使得他们的风险水平不可接受。有时可采用的一个策略是止损策略，即当期权是处于虚值期权状态时，持有裸期权头寸；一旦期权变动到处于两平状态时，就将裸期权头寸转变为有保护期权头寸状态。虽然看起来有吸引力，该策略运作的效果并不好。

期权的delta值，△，定义为期权价格的变化与标的资产价格变化之比。delta对冲就是构造一个delta值为0的头寸（有时也称为deha中性套期保值头寸）。由于标的资产的delta值为1.0，对每一个欲保值的期权多头而言，进行delta中性保值的一个方法就是持有-△个标的资产头寸。期权的delta值随时间而变化，这意味着标的资产的头寸必须频繁进行调整。

一旦某个期权的头寸已经是delta中性状态了，下一个步骤通常是看它的gamma值。期权的gamma定义为期权的della的变化与标的资产价格变化之比。它是衡量期权价格与标的资产价格之间关系的曲率°通过构造期权的gamma中性头寸，可以减少这个曲率对delta套期保值效果的影响。如果Γ是欲保值头寸的gamma值，通过持有某个gamma值为-Γ的可交易期权的头寸，可以达到gamma中性套期保值状态。

delta对冲和gamma对冲两者都是假设标的资产的波动率为常数。实际上，波动率确实随时间而变化。期权或某期权组合的vega定义为期权头寸价值变化与对应波动率变化之比。如果某个交易者希望对冲某个期权头寸以抵销波动率变化的影响，他或她可以构造一个vega中性状态的头寸。正如构造gamma中性状态的过程一样，持有某个可交易期权的抵销性的头寸就可获得vega中性化头寸。如果交易者希望同时获得gamma中性和vega中性，通常需要两类可交易期权。

衡量期权头寸风险的另外两个参数是theta和rhootheta衡量当其他因素保持不变时，期权头寸价值变化与时间变化的比率。rho衡量当其他因素保持不变时，期权头寸价值变化与短期利率变化之比。

现实中，期权交易者至少每天调整一次证券组合，以维持delta中性。通常，不可能维持gamma中性和vega中性。交易者一般会监测这些风险，如果风险变得过大，他们会实施调整操作或缩减交易。

为了对股权投资组合进行保险，有价证券组合经理有时喜欢构造合成看跌期权。他们或者交易证券组合本身，或者交易该证券组合的指数期货合约，就能够做到这一点。交易证券组合本身就是将该组合在股权和无风险证券之间进行分配。当市场价格下降时，投资于无风险资产的比率就较高。当市场价格上升时，投资于股权的比率就较高。交易该证券组合的指数期货合约就是保持股权组合不变，同时出售指数期货合约。当市场价格下降时，出售指数期货合约的数量较多一些；当市场价格上升时，出售指数期货合约的数量就少一些。在正常的市场条件下，合成看跌期权这个策略效果较好。然而，在1987年10月190，星期一，当道琼斯工业平均指数急剧下降时，该策略运作很糟糕有价证券组合的保险者不能够很快地出售股票或指数期货合约以保护他们的头寸。

参考读物

Taleb.n.n,Dynamic Hedging Managing Vanilla and Exotic Options. New York：WILEY,1996.

附    录

泰勒展开和对冲参数

衍生证券组合的管理者可以对冲各种用套期保值参数表示的风险，这些方法可用短期内证券组合价值变化的泰勒展开来说明。如果标的资产的波动率设定为常数.证券组合的价值Ⅱ是标的资产价格s和时间t的函数。泰勒展开给出：

这里△Ⅱ和△S是在小时间间隔△t内Ⅱ和S的变化。delta对冲消掉了上式右边的第一项。第二项不是随机变量。当证券组合是gamma和delta中性时，第三项（是一阶△t）是0。其他项都是△t的高阶小量。

对delta中性证券组合，方程（15A.1）右边的第一项为0，所以：

当忽略△t的高阶项时，这就是方程（15.6）。

当标的资产的波动率不确定时，Ⅱ是σ、S和t的函数。方程（15A.1）变为：

这里△σ是时间△t内σ的变化。在这种情况下，delta中性消掉了右边的第一项。证券组合的vega中性消掉了第二项。第三项不是随机变量。证券组合的gamma中性消掉了右边的第四项。交易员们有时定义其他套期保值参数来匹配这一展开式中的更高阶的项。