​第20章 ​信用风险

第20章    信用风险

我们在第18章中讲述VaR与第15章讲述套期保值参数，其目的是量化市场风险。在本章，我们考虑金融机构面临的另外-种重要风险：信用风险。大多数金融机构都把相当多的资源和精力花费在信用风险的度量和管理上。监管者要求银行维持足够的资本来承受他们所承担的信用风险（商业剪影18.1中讲述过针对市场风险需要保持相应的资本，针对信用风险也需要添加额外的资本）。

借款人以及衍生品交易双方的潜在违约可能性带来了信用风险问题。本章，我们将集中在信用风险的量化上，同时将讨论一系列评估公司违约概率的方法，解释风险中性和真实世界违约概率之间的关键区别。我们将考查OTC市场衍生证券交易中信用风险的性质，并讲述衍生证券交易者们为了减少信用风险而在合约写入的条款。本章最后讲述违约的相关性和Gaussian copula模型以及信用VaR的估计。

第21章中将讨论信用衍生品，我们将看到本章中的结论可以用来定价这些金融工具。

20.1    信用评级

评级机构，比如穆迪或者标准普尔，提供公司债券信用价值的评级。在穆迪系统中，最佳的信用评级是Aaao具有这一等级的债券被认为几乎没有违约风险。第—.等级是Aa。接着是A、Baa、Ba，B以及Caa。只有具备Baa或者以上等级的债券被认为属于投资级。标准普尔相对于穆迪的Aaa、Aa、A、Baa、Ba、B和Caa的评级分另U是AAA、AA、A、BBB、BB，B和CCC。为了有更精幺田的评级，穆迪将Aa分成Aal、Aa2以及Aa3：将A归入Al、A2、A3，如此等等。类似地，标准普尔将AA分为AA+、AA和AA-；而将A级别又分成A+、A和A-，等等（只有穆迪的Aaa和标准普尔的AAA没有被再细分）。

20.2    历史违约概率

表20.1是一个典型的评级机构给出的数据。它展示了期初具有某个特定的信用等级的公司随着时间变化而产生的违约概率变动。例如，表20.1中可以看出一个初始发行等级为Baa的债券，在随后1年内的违约概率是0.20%，2年内的违约概率是0.57%，如此等等。某一特定年内的债券的违约概率可由该表得出。例如，初始评级为Baa的债券在第2年内的违约概率为0.57%-0.20%=0.37%。

表20.1说明，对于投资级的债券，违约概率是时间的增函数（如A级债券在1、2、3、4和5年内违约的概率分别为0.02%、0.07%、0.14%、0.15%和0.16%）。这是因为债券发行者在初始阶段被大家认为是有信誉的，而随着时间变化，发行者的财务状况下滑的可能性变大。对于等级低的债券，违约概率通常为时间的减函数（如Caa级债券在1、2、3、4和5年内违约的概率分别为23.65%、13.55%、10.82%、7.54%和5.27%）。这是因为对于一个等级低的债券，发行之后的一两年是最为关键的。如果发行者成功过渡这段时间，其财务状况有可能变好。

违约强度

从表20.1我们可以计算出一个等级为Caa的债券在第3年内违约的概率为48.02%-37.20%=10.82%。我们将称它为无条件违约概率（unconditional default probability）。这是在0时刻计算的第3年内的违约概率。Caa级债券存活到第2年末的概率为100%-37.20%=62.80%。所以在不会提前违约的条件下，第3年内的违约概率为0.1082/0.6280，即17.23%。条件违约概率被称为违约强度（default intensity）或风险比率（hazard rate）。

我们计算的17.23%是1年期限的数据。假设我们考虑很小的时间段△t。t时刻的违约强度定义为λ（t），λ（t）△t是t时刻和t+△t时刻之间的在不会提前违约的条件下的违约概率。如果，V（t）是公司存活到t时刻（即到t时刻不发生违约）的累计概率，则

20.3    回收率

当一个公司破产的时候，公司的债权人具有对公司资产的求偿权。有时进行重组以满足债权人的一部分求偿权。其他情况下，这些资产被出售给清算人，用所得资金尽量满足那些求偿权。一些求偿权比其他的求偿权有更高的优先级，完全被补偿的可能性更大。

一个债券的回收率通常被定义为违约发生时刻的债券市场价格占其账面价值的比例。表20.2提供了美国不同类别债券的平均回收率的历史数据。它显示出最高级别债权人每美元账面价值获得51.6美分的平均回收率，而最低级的债权人每美元账面价值仅获得24.5美分的平均回收率。

债券的回收率和违约概率高度负相关。穆迪收集了1982〜2003年之间的平均回收率和平均违约概率。可以发现如下的关系式可以对这些数据做出很好的解释：

其中平均回收率和平均违约概率都以百分数表示。

20.4    根据债券价格估计违约概率

一个公司的违约概率可由它发行的债券价格来估计。通常的假设是，一个公司债券比类似的无风险债券价格较低的惟一原因是存在违约可能性。

首先，考虑一个近似计算。假设一个债券的收益率比类似的无风险债券高200个基点，在违约发生的情况下的预期回收率为40%。该公司债券的持有者会预期到如果违约发生，他将损失200个基点（即每年2%）。给定回收率为40%，在没有提前违约的条件下，违约概率的估计值为每年0.02/（1-0.04），即3.33%。一般表达式为：

其中，h是每年违约强度，s是公司债券收益率高于无风险利率的价差部分，R是预期回收率。

更加精确的计算

为了更精确地计算，假设我们考虑过的公司债券已经持续了5年，提供每年6%（每半年支付一次）的复利，并且该公司债券的收益率为每年7%。类似的无风险债券的收益率为5%（连续复利）。这些收益率数据说明公司债券价格为95.34，无风险债券的收益率为104.09。债券有效期5年之内预期违约损失为104.09-95.34，即$8.75。假设每年的违约概率为Q（在这个简单例子中，假设每年违约概率相同）。表20.3计算预期违约损失时，基于违约发生在0.5、1.5、2.5、3.5以及4.5年（刚好在支付发生之前）的假设。所有期限的无风险利率被假定为5%（连续复利）。

为了解释这个计算过程，考虑表20.2中的“3.5年”一行。无风险债券在3.5年的预期价值（使用远期利率计算）为

根据前一节中的回收率定义，违约发生时得到的赔偿为40，所以违约损失为104.34-40，即$64.34。损失的现值为54.01，预期损失为54.01Q。

总预期损失为288.48Q。设该值等于8.75，则我们得到Q等于3.03%。我们的计算中假设了违约的概率每年都相等，且违约在某年的特定时间只发生一次。我们可以假设违约更频繁发生，对计算过程进行推广。我们也可以以违约强度不变或违约概率随时间变化遵循某种模式的假设，来代替无条件违约概率不变的假设。根据多个债券，我们可以估计几个描述违约概率期限结构的参数。例如，我们考虑3、5、7和10年后到期的债券。我们可以用第1个债券来估计前3年的每年违约概率；用第2个债券来估计第4年和第5年的年违约概率；用第3个债券来估计第6年和第7年的年违约概率；用第4个债券来估计第8、9和10年的年违约概率。这种方法和在4.5节中计算零息票收益率曲线的息票剥离方法相似。

无风险利率

利用债券价格估计违约概率的时候，关键的一点是理解“无风险利率”和“无风险债券”的含义。在公式（20.2），价差s是公司债券收益率超过类似的无风险债券收益率的部分。表20.3中，债券的无风险价值需要以无风险利率计算。通常，公司债券收益率的报价中以类似的国债收益率为基准无风险利率（例如，一个债券交易者在报价某个特定的公司债券的时候，使用比国债收益率高250个基点的收益率）。

如4.1节中的讨论，交易者在估值衍生证券的时候，通常以LIBOR/互换率作为无风险利率。计算违约概率的时候，交易者也经常以LIBOR/互换率作为无风险利率。例如，当他们利用债券价格决定违约概率的时候，公式（20.2）中的价差s是债券收益率超过LIBOR/互换率的部分。同样地，表20.3中计算使用的无风险贴现率为LIBOR/互换零息率。

信用违约互换（在下一章中将进行讨论）可以用来表示交易者假设的无风险利率。其中使用的利率近似等于LIBOR/互换率平均减去10个基点。4这种估计是可行的。如7.5节中的解释，互换率中的信用风险是给AA级交易方放出6个月期贷款相应的信用风险，而对于AA级6个月金融工具，10个基点差是合理的违约风险溢价。

资产互换

现实中，交易者经常利用资产互换价差作为从债券价格提取违约概率的途径。这是因为资产互换价差提供债券收益率超过LIBOR/互换率的价差部分的直接估计值。

为了解释资产互换的应用过程，考虑这样的情况：某个特定债券的资产互换价差报价为150个基点。考虑三种如下情况：

1.债以面值100出售。那么这个互换中一方（公司A）支付该债券的息票率，而另一方（公司B）支付LIBOR+150个基点。

2.债券以95（低于面值）出售。那么互换中，公司A除了息票，合约开始的时候对于每$100名义本金还支付$5。

3.债券以108（高于面值）出售。那么互换中，公司B在合约开始的时候对于每$100本金支付$8。

以上情况的结果都是资产互换价差的现值等于公司债券价格超过类似的无风险债券价格的部分，其中假设无风险利率由LIBOR/互换曲线给出。再次考虑表20.3中的例子，假设LIBOR/互换零息率曲线是平坦的，为5%。假设，我们并不知道债券价格，而是知道资产互换价差为150个基点。这说明无风险债券价格超过公司债券价格的部分等于每年150个基点（总共5年）的现值。假设每半年进行支付，这等于每$10。本金支付$6.55。

这种情况下，表20.3中的总损失应该被设定在$6.55。这说明年违约概率。等于6.55/288.48，即2.27%。

20.5    不同违约概率估计方法的比较

从历史数据估计的违约概率比从债券价格得到的估计值小很多。表20.4说明了这一结果。该表给出了，对于某个初始评级的公司，从（a）历史数据或（b）债券价格计算出的7年之间的年平均违约强度。

从历史数据计算违约强度是基于公式（20.1）与表（20.1）。从公式（20.1），我们得到：

0.0091。那么，7年期平均违约强度为

用债券价格计算违约强度是基于公式（20.2）和美林公司公布的债券收益率。这里给出的是1996年12月到2004年7月之间的平均值。其中假设了回收率为40%，与前一节讨论中的数据相同，无风险利率被假定为7年期互换率减去10个基点。例如，美林发布的A级债券的平均收益率为6.274%。平均互换率为5.605%，所以无风险利率为5.505%。于是平均7年期违约概率为

即1.28%。

表20.4给出了从债券价格计算的违约概率与从历史数据计算的违约概率的比率，对于投资级公司，该比率随着信用程度的下降而以非常高的速度快速下降。两个违约概率之间的差别随着信用程度的下降而上升。

表20.5中以另外一种方式考察了这些结果。表中给出了不同信用等级的债券超过无风险利率（仍假定它等于7年期互换率减去10个基点）的超额收益。再次考虑A级债券。国债的平均价差为120个基点。其中43个基点是可由7年期国债和无风险利率（用7年期互换率减10个基点来表示）的平均价差来解释。8个基点的价差对应于预期违约的补偿（这等于表20.4中现实世界违约概率乘以1减去假定回收率为0.4的值）。剥去上述的基点之后，预期超额收益（考虑完预期违约之后）为69个基点。

表20.4和表20.5说明违约概率估计值之间的很大百分比的差别，转换成该债券的预期超额收益会比较小（但值得注意）。对于Aaa级债券，两个违约概率之间的比率为16.8，但是预期超额收益只有38个基点。预期收益随着信用程度的下降而上升。

现实世界中的概率与风险中性世界中的概率

由债券收益率得到的违约概率为违约的风险中性概率。为了解释其中原因，考虑表20.3中违约概率的计算。计算中假设了预期违约损失是以无风险利率贴现的。风险中性估值原理说明这是在风险中性世界中计算预期损失的正确方法。这说明表20.3中的违约概率Q应该是风险中性概率。

相比之下，从历史数据得到的违约概率为现实世界的违约概.率（有时也称为物理概率）。现实世界和风险中性世界的违约概率之间的区别直接产生了表20.5中的预期超额收益。如果不存在预期超额收益，那么现实世界和风险中性世界中的违约概率相等，反之亦然。

为什么现实世界和风险中性世界中的违约概率之间存在这么大的区别？我们刚刚讨论过，这和公司债券交易者的收益率平均来说比无风险利率要高的原因一样。可能存在以下几个潜在原因：

1.公司债券流动性相对较低，交易者们需要超额收益来补偿。

2.债券交易者们主观认为的违约概率可能比表20.1中的数据要高很多。交易者们认为也有可能发生比1970~2003年期间观察到的还要糟糕的萧条。

3.债券的违约可能性不是相互独立的。这是解释表20.4和表20.5中结论的最重要的原因。一些期间内违约率非常低，而另外一些期间内违约率非常高。这就引起了系统风险（即不可能分散的风险），为了承担这样的风险，债券交易者们需要预期超额收益。年复一年违约率发生变化的原因是整个经济环境变化，或者是因为一家公司违约可能引发了其他一系列公司的违约（后者被研究者们称为信用传染）。

4.债券收益率曲线高度倾斜并有一个上界。所以，分散债券组合的风险比分散股票组合的风险要困难得多。为了分散风险需要持有很多数量的不同债券。现实中，很多债券组合根本达不到完全分散化。因此，债券交易者们可能需要超额收益来承担这样的非系统风险和上面提过的系统风险。

那么在信用风险的分析中应该使用现实世界违约概率还是风险中性违约概率呢？答案取决于分析目标。当估值信用衍生品或者是估计金融工具定价中违约风险的影响时，我们应该使用风险中性违约概率。这是因为这些分析当中需要计算预期未来现金流的现值，而且总是（间接或直接地）要使用风险中性估值。当运用情景分析来计算潜在的未来违约损失，我们需要使用现实世界违约概率。

20.6    利用股本价格估计违约概率

当我们利用如表20.1中的方法来估计一家公司的现实世界违约概率的时候，我们依赖于该公司的信用评级。不幸的是，信用评级数据并不是经常校订的所以.一些分析师们提出股本价格含有的最新信息可被用来估计违约概率。

1974年，Merton提出了一个模型，认为公司的股本是基于该公司资产的一种期权。为了简化说明，假设公司拥有1个流通在外的零息票债券，在r时刻到期。定义：

如果VT<D，公司在T时刻违反债务协议是合理的（至少在理论上），那么股本值为0。如果VT>D，公司则应该在T时刻偿还债务，该时刻的股本价值为VT-D因此，Merton模型给出的T时刻的公司股本价值为

这说明股本是执行价格等于债务偿还额、基于资产价值的看涨期权。Black-Sc-holes公式给出的当前的股本价值为

公司违约债务协议的风险中性概率为N（-d2）。为了计算该值，我们需要知道V0和σV。两个变量都不是能直接观测到的。但是如果该公司是一家上市公司，我们就可以观测E0。这说明方程（20.3）提供了V0和σV必须满足的一个条件。我们也可以从伊藤定理估计σE如下：

该方程给出了V0和σV需要满足的另一个方程。根据方程（20.3）和方程（20.4）这两个瞬态方程可求出V0和σV。

我们给出的基本Merton模型可以扩展为多种形式。例如，该模型的一种形式中假设资产价值一旦下降到一个障碍水平以下时发生违约。

Merton模型及其扩展形式给出的违约概率和现实违约情况吻合到什么程度呢？我们的结论是，Merton模型及其扩展形式能给出的违约概率的（不管是风险中性世界还是现实世界）较好的排序状况。也就是说，将Merton模型给出的违约概率进行单调转换，可以产生很好的现实世界或风险中性世界的违约概率估计值。

20.7    衍生品交易中的信用风险

一个衍生证券交易中的信用风险暴露比贷款交易的信用风险情况要复杂很多、这是因为发生违约时，提出的求偿权是更为不确定的。考虑一家金融机构和另一方签订了衍生证券合约。我们可以给出以下三种分类：

1.合约总是该金融机构的负债

2.合约总是该金融机构的资产

3.合约或是该金融机构的负债，或是资产

符合第一类情况的一个例子是期权空头头寸；符合第二类情况的一个例子是期权多头头寸；符合第三类情况的一个例子是远期合约头寸。

第一类情形中，金融机构不存在信用风险暴露。即使交易的另一方破产了，该金融机构不遭受任何损失。而该衍生证券是另一方的资产，衍生证券很可能被保留或平仓或卖给第三方。对于金融机构来说不存在任何损失（或收益）。

第二类情形中，金融机构总是暴露于信用风险。如果交易的另一方破产了，该金融机构很可能遭受损失。而该衍生证券是另一方的负债。金融机构需要对另一方的资产提出求偿权，可能会收到相当于部分衍生证券价值的数额。

第三类情形中，金融机构可能暴露于信用风险，也可能不存在信用风险暴露如果对于该金融机构的衍生证券价值为正的时候，另一方违约，则金融机构会对另一方的资产提出求偿权，但还是很可能遭受一些损失。如果对于该金融机构的衍生证券价值为负的时候，另一方违约，则金融机构不遭受任何损失，因为该衍生证券会被保留、平仓或卖给第三方。

调整衍生证券估值来反映另一方的违约风险

金融机构（或衍生证券的最终用户）应该如何调整衍生证券价值来反映另一方的信用风险？考虑没有违约的情况下，当前价格为f0的衍生证券。我们假设违约可能发生在t1，t2，…，tn时刻，而ti时刻衍生证券对于该金融机构（假设金融机构不违约）的价值为fi。定义上时刻的风险中性违约概率为q，预期回收率为R。

ti时刻的风险暴露为金融机构潜在的损失，这等于max（fi，0）。假设发生违约的时候，预期补偿额为A乘以上述的风险暴露值。再假设回收率、违约概率与衍生证券价值相互独立。ti时刻的风险中性预期违约损失为：

其中ui等于qi（1-R），vi是ti时刻支付上述衍生证券风险暴露的一个金融工具的现价。

再次考虑上面提过的三类情形。第一类情形（就是合约总是该金融机构的负债的情形）很容易处理。fi总是负值，公式（20.5）给出的总预期违约损失恒为零。金融机构不必因为违约成本而进行任何调整（当然，另一方可能在其定价过程中要考虑该金融机构违约的可能性）。

第二类情形（就是合约总是该金融机构的资产的情形）中，fi总是正值。表达式max（fi，0）总是等于fi。因为vi是fi的现值，所以恒等于f0。因此，预期违约损失为f0乘以衍生证券有效期间内的总违约概率再乘以1-R。

[例20.2]    考虑2年期OTC期权，它的价值（假设没有违约）为$3。假设卖出该期权的公司，2年期的风险中性违约概率为4%，违约发生时回收率为25%。则违约的预期成本为3x0.04x（1-0.25），即$0.09。所以，该期权的买者只准备支付$2.91。

第三类情形中，fi的正负是不确定的。变量vi是执行价格为0的基于fi的看涨期权。一种计算vi的方法是模拟衍生证券有效期内的标的市场变量。有时也可以进行近似解析计算。

我们给出的分析中假定了违约概率和衍生证券价值是相互独立的。当交易另一方的证券组合中该衍生证券只占很小的一部分，或者当交易另一方使用该衍生证券只是用来进行套期保值的时候，这种假定近似符合现实情况。但是当交易另一方想签订大量的衍生证券交易以进行投机的时候，该金融机构需要警觉了。当这个交易对另一方的价值为很大的负值时（而且对于该金融机构是很大的正值时），相比其他情况，另一方宣布破产的可能性也非常高。

20.8    信用风险缓释方法

很多时候，我们在上面给出的分析夸大了衍生证券交易中的信用风险问题。这是因为衍生证券交易员们通常在签订合约时添加很多条款来减小信用风险。

净额结算

OTC衍生证券交易中净额结算成为一个标准条款之一。该条款是说，如果一家公司违反了和另一方的某个合约，那么它和另一方的其他所有未到期合约也都要转为无效。

净额结算在大部分的司法条件下应用很成功。它可以充分减小金融机构的信用风险。例如，考虑一家金融机构和某一交易对方之间有3个未到期的合约。对于这家金融机构，3个合约的价值分别为+1000万美元、+3000万美元以及-2500万美元。假设该交易对方遇到财务恶化并对未到期的债务违约。该交易对方的3个合约的估值分别为-1000万美元、-3000万美元以及+2500万美元。不存在净额结算条款的时候，该交易对方可能对前两个合约不履行责任，并保留第3个合约，金融机构遭受损失4000万美元。而存在净额结算条款的时候，该交易对方被迫也放弃第3个合约，金融机构只损失1500万美元。

假设一家金融机构和某一交易方之间签订了包含N个衍生证券的证券组合合约假设第i个合约的无违约价值为Vi，且违约发生时得到的赔偿等于回收率乘以上述无违约价值。没有净额结算条款的时候，金融机构损失为

没有净额结算条款时，金融机构的损失等于所有基于这些合约的看涨期权（每一期权的执行价格为0）的证券组合的损益。存在净额结算条款时，金融机构的损失等于基于整个证券组合的单个期权的损益。基于一个证券组合的单个期权的价值决不会大于（且通常非常小于）相应的期权组合的价值。

我们可以扩展前一节中的分析，则公式（20.5）可给出存在净额结算条款的情况下，与某一交易方签订的所有合约的预期损失的现值。在方程中可以通过重新定义vi为一种衍生证券的现值，这个衍生证券支付包含和某一交易方签订的所有合约的证券组合在ti时刻的暴露。

一家金融机构在考虑是否和另-交易方签订新合约的时候，一个具有挑战性的任务是计算预期信用损失的附加值。可以应用公式（20.5）根据上面描述过的方式来计算签订和不签订新合约时对应的预期违约成本。注意到因为净额结算条款的存在，新合约对于预期违约损失的附加影响可能是负值。这种情况发生在新合约价值和之前存在的合约价值负相关的时候。

抵    押

另一种经常用来缓释信用风险的条款是抵押条款。假设一家公司和一家金融机构之间签订了一系列衍生证券合约。一个典型的抵押协议规定必须根据一个事先决定的公式对该合约定期地进行盯市操作。如果某-天，对金融机构的这些合约的总价值在--个特定水平的阀值之上，它可以要求该公司提供一些担保品。该公司在已经提供的担保额数之上附加的担保额数，应该等于这些合约对于金融机构的价值与那一阀值之间的差别。如果合约朝对金融机构有利的方向变化，金融机构的合约的价值与阀值之间的差别小于公司已经提供的总的保证金，公司可以收回一些担保品。如果公司违约，金融机构可以没收这些担保品。如果公司不能按要求提供相应的担保品，金融机构可以对这些合约进行平仓。

例如，假设对公司的阀值水平为1000万美元，为了计算抵押价值，需要每日对合约进行盯市操作。如果某天，对于金融机构的合约价值1050万美元，金融机构就可以要求附加50万美元的担保品。如果接下来的一天，合约价值进一步涨到1140万美元，金融机构可以再要求90万美元担保品。如果又过了一天，合约价值降到1090万美元，公司可以要求收回50万美元担保品。注意，阀值（例子中是1000万美元）可看成是金融机构愿意赋予公司的一个信用额度。

公司储存在金融机构的担保品可以是现金或诸如债券这样的可接受证券。为了计算担保额，这些证券必须根据它们的市价进行所谓的扣减利息通常以现金支付。

如果抵押协议是双向协议，那么也会规定该金融机构的阀值。当流通在外的合约对于公司的盯市价值超过这个阀值的时候，公司可以要求金融机构提供附加担保品。

抵押协议可以在很大程度上防止违约的可能性（如第2章中讨论过的保证金账户会对交易所内的交易者们提供保护）。但是，阀值的数额并不在保护范围之内。此外，即使是阀值为0的时候，这样的保护也不是完全的。如果公司进入财政困难的状况，它很可能不会履行附加担保品的责任。另一方执行自己的权利进行平仓的时候，可能是合约价值往对它有利的方向移动的时候。

降级触发

金融机构使用的又一种缓释信用风险的技术是降级触发（downgrade trigger）。这个条款规定当另一方的信用评级下降到一定水平（如Baa）以下的时候，金融机构可以选择以市价平仓衍生证券合约（和抵押协议一样，需要事先规定计算市价的一个公式）。

当公司的信用评级大幅下降（如A级公司突然违约）时，降级触发条款并不能提供相应的保护。而且只有存在少量降级触发协议的时候，才能发挥它们的保护作用。如果一家公司和交易方们签订很多降级触发协议，那么这些协议对这些交易方能提供的保护程度相对很低（参见商业剪影20.1）。

商业剪影20.1    降级触发和安然的破产

2001年12月，美国最大公司之一——安然公司宣布破产。而前几天之前，它还是属于投资级别。刚好在违约之前，穆迪和标准普尔给出的安然的信用评级分别为Baa3和BBB-。但是股票市场在某种程度上预测到这一违约，因为在走向破产的这段期间内安然的股价急剧下跌。诸如20.6节中的模型估计出的违约概率在这一期间内急剧上升。

安然签订了很多具有降级触发条款的衍生证券合约。降级触发条款声明，如果安然的等级下降到投资级以下（即Baa3/BBB-以下），它的交易对手可以平仓这些合约。假设安然的评级在2001年10月下降到投资级以下，那么交易对手们会选择平仓那些对安然公司的价值为负值（对交易对手的价值是正值）的合约。因此，安然会被要求向交易对手支付大量的现金。但安然没能满足这些要求，立即走向了破产。

这一例子说明只有存在少量降级触发协议时，才能发挥它们的保护作用。如果一家公司签订很多降级触发协议，那公司很可能过早破产。安然的案例中，我们也可以反驳说，这家公司迟早会破产，降级触发协议只是让它早破产了2个月而已，没有太大负面作用。实际上，安然在2001年10月有存活机会。安然尝试着和Dynergy能源公司达成一个交易，可见2001年10月的强制破产不符合债权人和股东的利益。

信用评级公司发现他们的处境非常困难。如果他们选择降低安然的评级，以便反映安然财务情况的恶化，评级公司等于是在签订安然的死亡许可证。如果评级公司没有给安然降级，那安然还有一些存活机会。

20.9    违约的相关性

违约的相关性（default correlalion）描述的是两个公司在近似相同的时刻同时违约的倾向。违约的相关性存在的理由有很多种。相同行业或者相同地理区域的公司趋向于受到类似的相同的外部事件的影响，所以也可能同时经历财务困境。整体经济环境的原因使得某些年的平均违约率比其他一些年份要高。一家公司的违约可能会引发其他公司违约，也就是20.5节中提过的信用传染。违约的相关性说明信用风险不可能完全被分散化，这也是风险中性违约概率比现实世界违约概率要高的主要原因（参见20.5节）。

在决定一个暴露于不同交易方的证券组合的违约损失概率分布时，考虑违约的相关性变得非常重要。研究者们提出了两种违约相关性模型：约化模型和结构化模型。

约化模型假设不同公司的违约强度遵循随机过程，并且与宏观变量相关。当公司A的违约强度高的时候，公司B的违约强度也倾向于高。这引起两家公司之间存在违约的相关性。

约化模型在其数学模式方面比较有吸引力，而且能反映经济循环中产生违约相关性的倾向。该模型的主要缺点是不能反映其他一些种类的相关性。即使两个违约强度之间完全相关时，该模型给出某-特定时间段内的违约相关度相对很低。在某些情况下这会产生一些问题。例如，当两家公司在相同行业、相同国家，或者其中一家公司的财务状况由于某些原因非常依赖于另一家公司的财务状况的时候，我们有理由相信它们之间存在很高的违约相关度。解决这个缺点的一种方法是，对模型进行扩展，使违约强度显示出大幅度变化。

结构化模型的基础模型类似于Merton模型（参见20.6节）。其中，一家公司在其资产价值下降到一定水平以下时会违约。引入公司A和公司B之间的违约相关性时，模型中假设公司A的资产遵循的随机过程和公司B的资产遵循的随机过程是相关的。结构化模型比约化模型优越的-点是，可以反映很高的相关度。结构化模型的主要缺点是计算过程花费很多时间。

违约时刻的Gaussian    Copula模型

已经成为普遍应用工具的违约相关性的约化模型，是违约时刻的GaussianCopula模型。该模型量化两家公司违约时刻之间的相关性。模型隐含的假设是所有公司最终都会违约。但是应用该模型的时候，我们一般只是对未来1年、5年和10年的违约可能性感兴趣。也就是说，我们只对违约时刻的概率分布的左尾部感兴趣。

该模型可以和现实世界或风险中性世界的违约概率一起使用。一家公司违约时刻的现实世界概率分布的左尾部，可以从评级机构发布的数据（如表20.1）进行估计。违约时刻的风险中性概率分布的左尾部可以用20.4节中的方法从债券价格求得。

定义t1为公司1违约的时刻，t2为公司2违约的时刻。如果t1和t2的概率分布为正态分布，我们可以假定们和处的联合概率分布为二维正态分布。实际上，一家公司的违约时刻的概率分布并不总是近似为正态分布。这时候要引入Gaussian Copula模型。我们把t1和t2变换为新变量x1和x2：

通过变换，x1和x2服从均值为0、标准差为1的正态分布。我们假设x1和x2的联合概率分布是相关系数为ρ12的二维正态分布。该假设被称为“引入Gaussian Copula“。该假设可以简化问题，因为它说明t1和t2的联合概率分布完全可由t1和t2的累计违约概率分布Q1和Q2以及单个相关系数参数ρ12定义。

Gaussian Copula模型的一个吸引之处是它可以扩展成多个公司的情形。假设我们在考虑n家公司，ti是第i家公司的违约时刻。将每个ti变换成新变量xi，后者服从标准正态分布。这一变换就是“分界点对分界点”变换：

其中，Qi是ti的累计概率分布。于是我们假定这些xi服从多维正态分布。ti和tj之间的违约相关性可以用xi和xj之间的相关系数度量。这被称为copula相关系数。

Gaussian Copula方法可以很好地表述非正态分布的变量之间的相关结构。我们可以从这些变量的边际（无条件地）分布分别估计这些变量的相关结构。虽然这些变量本身不服从多维正态分布，但是该方法中假设每个变量经过变换后，这些变量服从多维正态分布。

［例20.3］    假设我们要模拟10家公司在未来5年之间的违约情况。每两家公司之间的copula违约相关度都是0.2。对于每家公司，未来1、2、3、4、5年的违约累计概率分别为1%、3%、6%、10%、15%。引入Gaussian copula的时候，我们从多维正态分布抽取样本xi（1≤i≤10），其中保证任意两个xi之间的相关系数为0.2。随后，我们将xi变换成ti，即违约时刻。当从正态分布抽取的样本小于N-1（0.01）=-2.33时，违约在第1年发生；当从正态分布抽取的样本在-2.33和N-1（0.03）=-1.88之间时，违约在第2年发生；当从正态分布抽取的样本在-1.88和N-1（0.06）=-1.55之间时，违约在第3年发生；当从正态分布抽取的样本在-1.55和N-1（0.10）=-1.28之间时，违约在第4年发生；当从正态分布抽取的样本在-1.28和N-1（0.15）=-1.04之间时，违约在第5年发生；当从正态分布抽取的样本大于-1.04时，在5年内不发生违约。

利用因子定义相关性结构

为了在Gaussian Copula模型中避免定义每对公司i和公司j的xi和xj之间不同的相关系数，经常使用单因子模型。该假设如下：

其中，M是对所有公司的违约都产生影响的共同因子，Zi是只影响公司i的一个因子。变量M和Zi服从标准正态分布，两分布相互独立。ai是-1和+1之间的不变参数。xi和xj之间的相关系数为aiaj。

 


二项相关性估计

评级机构使用的另一种相关系数估计方法是二项相关性估计法。对于公司A和公司B，二项相关性估计值是以下两个变量之间的相关系数：

1.当公司A在0时刻到T时刻之间违约，则该变量值为1。其他情况下为0。

2.当公司B在0时刻到T时刻之间违约，则该变量值为1。其他情况下为0。

二项相关性估计值为

其中，PAB（T）是A和B都在0和T之间违约的联合概率，QA（T）是公司A在T期限内违约的累计概率，QB（T）是公司B在T期限内违约的累计概率。一般地，βAB（T）依赖于T，也就是所考虑的期限长度，它一般随着T增加而上升。


20.10    信用VaR

信用VaR的定义与第18章中对市场风险的VaR的定义类似。例如，1年内99.9%置信度的信用VaR就是我们认为在1年之内有99.9%的把握认为信用损失不会超过的水平。

考虑一家持有包含类似贷款的大规模证券组合的银行。近似地，我们假定每个贷款的违约概率相同，每两两贷款之间的相关系数也相同。当应用违约时刻的Gaussian Copula模型时，方程（20.8）的右边近似等于T期限内违约百分比和M之间的函数关系式。因子M服从标准正态分布。我们有X%的把握认为该价值会大于N-1（1-X）=-N-1（X）所以，我们有X%的把握认为T年之间的大证券组合的损失百分比不会超过V（X，T），其中：

Vasicek第一次给出了这个结果。如公式（20.8），Q（T）是T时间内的违约概率，ρ是每对贷款之间的copula相关系数。

因此，T期限X%置信度的信用VaR的近似估计值为L（1-R）V（X，T），其中L是该贷款组合的规模，R是回收率。某个特定规模为Li的贷款对于信用VaR的贡献为氐（1-R）V（X，T）。该模型隐含着监管机构要求的信用风险资本的计算公式（参见商业剪影20.2）。

[例20.5]     假设一家银行有1亿美元的零售风险暴露。1年期违约概率的平均水平为2%，回收率的平均水平是60%。copula相关系数参数估计值为0.1。那么，

这说明有99.9%的把握认为违约率为12.8%。所以，一年99.9%置信度的信用VaR为100x0.128x（1-0.6），即513万美元。

商业剪影20.2    巴塞尔斯资本协议

巴塞尔银行监督管理委员会现在打算检查他们关于银行需要为它们承担的风险而持有资本的计算公式，这就是所谓的巴塞尔新奏本协议（Basel Ⅱ）。关于市场风险资本的计算方法没有什么变化（参见商业剪影18.1）。对操作风险提出新的资本要求，并提议对信用风险资本的计算方法进行重大改变。

符合使用内部评级法资格的银行中，一个交易相关的信用风险资本的计算公式为

UDRxLGDxEADxMatAd

其中，UDR是非预期违约率，它等于99.9%置信度下最坏情形的1年期违约率超过预期1年期违约率的部分。利用方程（20.11），它的计算公式为V（X，T）-Q（T），其中的X=99.9%，T=1。变量LGD是违约情况中的损失百分比（类似于我们以1-R表示的变量）；EAD为违约时的风险暴露；MaiAd为期限调整。

决定这些数值的规则比较复杂。对于U0R，我们需要1年期违约概率Q（1）和相关系数参数ρ。银行估计1年期违约概率，相关系数参数的决定取决于风险暴露的种类（零售层面、公司层面、主权层面等等）。对于零售层面风险暴露，银行内部决定LGD和EAD。对于公司层面暴露，使用“高级法”的银行内部决定LGD和EAD，但对于使用“初级法”的银行，LGD和EAD的决定有指定规则。期限调整是金融工具到期期限的增函数，当金融工具的到期期限为1年时，期限调整等于1.0。

信用矩阵法

很多银行开发出其他计算信用VaR的程序，以便内部使用。-种著名的方法是信用矩阵法。通过对所有交易对手的信用等级变化情况进行蒙特卡罗模拟，来估计信用损失的概率分布。假设我们要决定1年期限损失的概率分布。在每次模拟运算，我们抽取样本来决定所有交易对手的信用评级变化以及所有交易对手在该年内违约的概率。之后我们重新估值所有未平仓的合约来决定该年的总信用损失。进行很多次模拟运算，我们可以得到信用损失的概率分布。这-结果可以用来计算信用VaR。

执行这一方法的时候，计算过程可能非常花费时间。但是，它的优点是根据信用评级下降可能性和相应的违约可能性来计算信用损失。同样地，如20.8节中讨论过的信用风险缓释条款也可以引入到分析该过程中。

表20.6是典型的评级机构发布的信用评级变化的历史数据，可作为信用矩阵法中蒙特卡罗模拟的一个基础数据。该表给出了某个等级的债券在1年后移动到另外一个等级的概率。例如，开始时为A级信用等级的债券1年后还是A级的概率为91.84%。它在这1年内违约的概率为0.02%，并且掉到B级的概率为0.13%，如此等。

为了决定信用损失而抽取样本的时候，不同交易对手的信用评级变化不能被假定是相互独立的。类似于前一节中以模型描述违约时刻的联合概率分布一样，可以利用Gaussian copula模型推导等级变化的联合概率分布。使用类似于20.9节中的单因子模型，通常设定两家公司的等级变化之间的copula相关系数等于它们的股本收益之间的相关系数。

小    结

可以从历史数据、债券价格或股本价格估计未来一段特定时间内一个公司的违约概率。从债券价格中得到的违约概率是风险中性概率。从历史数据中得到的违约概率是现实世界概率。现实世界概率应该用于情景分析和信用VaR计算。风险中性概率的计算应该用于信用敏感型工具定价。总的来说，风险中性违约概率总明显高于现实世界概率。

交易对手违约可能性带来的预期损失可以被所谓的“净额结算”所减少。大多数金融机构签定的合约中都有这一条款，它规定，当一个交易对手对它与某金融机构的某个合约进行违约时，与该金融机构的所有其他合约也转为无效。损失也可被抵押和降级触发条款所减少。抵押条款规定交易对手出具担保品，而降级触发条款则规定当交易对手的信用评级下降到某一特定水平时，合约可被平仓。

和基于市场风险的VaR定义类似，我们可以定义信用VaR。一个计算信用VaR的方法是使用违约时刻的Gaussian copula模型。监管机构使用该模型计算并提议信用风险资本应该变化多少。另一种常用的方法是信用矩阵法。这是利用关于信用评级变化的Gaussian copula模型。

参考读物

Altman，E.I.，“Measuring Corporate Bond Mortality and Performance，”Journal of Finance，44（1989）：902-22.

Duffie，D.，and K.Singleton，“Modeling Term Structures of Defaultable Bonds，”Review of Financial Studies，12（1999）：687-720.

Finger，C.C，“A Comparison of Stochastic Default Rate Models，”RiskMetrics Journal，1（November 2000）：49-73.

Hull，J.，M.Predescu，and A.White，“Relationship between Credit Default Swap Spreads，Bond Yields，and Credit Rating Announcements，”Journal of Banking and Finance，28（November 2004）：2789-2811.

Kealhofer，S.，“Quantifying Default Risk Ⅰ：Default Prediction，”Financial Analysts Journal，59，1（2003a）：30-44.

Kealhofer，S.，“Quantifying Default RiskII：Debt Valuation，”Financial Analysts Journal，59，3（2003b）：78-92.

Li，D.X.“On Default Correlation：ACopula Approach，”Journal of FixedIncome，March 2000：43-54.

Litterman，R.，and T.Iben，“Corporate Bond Valuation and the Term Structure of Credit Spreads，”Journal of Portfolio Management，Spring 1991：52-64.

Merton，R.C.，“On the Pricing of Corporate Debt：The Risk Structure of Interest Rates，”Journal of Finance，29（1974）：449-70.

Rodriguez，R.J.，“Default Risk，Yield Spreads，and Time to Maturity，”of Financial and Quantitative Analysis，23（1988）：111-17.