第24章    关于模型和数值过程的进一步讨论

到现在为止，我们为期权估价的模型都是基于Black-Scholes模型中标的资产价格行为的几何布朗运动模型，而且我们使用的数值过程比较直观。本章中我们将介绍一系列新的模型，并解释在一些特殊情况中如何对数值过程做相应调整。

第16章中我们解释了交易者们使用波动率集合来克服几何布朗运动模型当中的不足之处。估价标准型期权时，波动率集合可以决定在Black-Scholes模型中需要使用的恰当的波动率。不幸的是，它很少能给出适用于第22章中奇异期权定价公式的波动率。假设估价1年期执行价格为$40的标准型期权时，波动率集合给出的恰当的波动率为27%。而这一波动率可能完全不适合使用于1年期执行价格为$40的障碍期权（或一些其他奇异期权）的定价过程。

本章第一部分中讨论可以用来定价奇异期权，也能定价标准型期权的一系列可以替代几何布朗运动模型的其他模型。这些其他模型当中，相应的资产价格的行为过程比几何布朗运动更接近标准型期权的市价。我们也更有理由相信它们可以用来估值奇异期权。

本章第二部分中我们把数值过程的讨论进行扩展。我们解释如何用树图来估值某些类型的路径依赖衍生证券。我们将讨论以数值方法估值障碍期权时，存在哪些特殊问题并如何处理这些问题。最后，我们略述对两个相关变量建立树图的-些其他方法，也给出如何在具有提前执行可能的衍生证券估值过程中使用蒙特卡罗模拟。

在前面的几个章节中，我们给出了基于支付红利收益率q的资产的衍生证券的相关结论。对于股票指数期权，q应该等于指数的收益率；对于货币期权，q应该等于外国无风险利率；对于期货期权，q应该是本国无风险利率。

24.1    Black-Scholes的几种替代模型

Black-Scholes模型中假定一个连续变化的资产价格在未来任何时刻都服从对数正态分布。我们也可以假定很多其他的资产价格行为过程。一种是保留资产价格连续变化的性质，但假定不同于几何布朗运动的-个随机过程。另一种资产价格过程是在连续变化过程中含有跳跃过程。还有一种资产价格过程是所有资产价格都遵循跳跃过程。这一章我们将考虑所有这三种类型的过程。资产价格连续变化的模型被称为扩散模型（diffusion model）；资产价格过程既有跳跃过程也有连续变化过程的模型被称为混合跳跃一扩散模型（mixed jump-diffusion model）；资产价格遵循一种跳跃过程的模型被称为纯跳跃模型（pure jump model）这类过程被统称为Levy过程（Levy process）。

方差的弹性为常数的模型

一种可以替代Black-Scholes的模型是方差的弹性为常数的CEV模型。这是一种扩散模型，其中股票价格S的风险中性过程如下：

其中，r为无风险利率，q为红利收益率，dz是一个维纳过程，σ是波动率参数，α是一个正的常数。

当α=1时，CEV模型就是我们之前一直使用的几何布朗运动模型。当α<1时，随股票价格下降波动率增加。这种情况下股票价格的概率分布类似于观察到的左尾部较厚、右尾部较薄的股价分布（参见图16.4）。当α>1时，随股票价格上升波动率增加。这种情况下股票价格的概率分布的右尾部比较厚，左尾部相对薄。对应的波动率微笑中隐含波动率是执行价格的增函数。这样的波动率微笑有时在期货期权中能够观察到。

CEV模型中，欧式看涨期权和看跌期权的定价公式为

并且x²（z，k，v）是一个服从非中心卡方分布（非中心参数v以及自由度k）的变量小于等于z的累计概率。作者网页的技术说明12中给出了计算χ²（z，k，v）的方法。

CEV模型非常适合用来定价奇异股票期权。通过把标准型期权模型价格和市场价格之差的平方和最小化，这种价格的最优拟合可以确定模型参数。

Merton混合跳跃一扩散模型

Merton提出了一种模型，其中结合了连续变化和跳跃。‘定义：

λ：平均年跳跃次数

k：平均跳跃幅度占资产价格的百分比

假定跳跃幅度的百分比例从该模型的概率分布中抽取。

在△t时间段内发生跳跃的概率是λ△t。因此，跳跃引起的资产价格的平均增长率为λk。资产价格的风险中性过程是：

其中dz是维纳过程，dp是引发跳跃的泊松过程，σ是几何布朗运动中的波动率。dz和dp的过程被假定为是相互独立的。

Merton模型的一个重要的特殊情况是，跳跃幅度百分比的对数服从正态分布。假设该正态分布的标准差为s。Merton给出一个欧式期权价格可以写成

相比Black-Scholes中的概率分布，该模型的概率分布左尾部和右尾部都更厚。该模型可以用来定价货币期权。和CEV模型中一样，通过把模型价格和市场价格之差的平方和最小化，可以确定该模型的参数。

Merton模型的另外一种特殊形式是我们在第21.9节中定价可转换债券时使用的模型。这种情况下，跳跃总是向下的，且等于当前股票价格。

Variance-Gamma模型

十分常见的纯跳跃模型的一个例子是Variance-Gamma模型。我们首先定义变量g为一个服从均值为1、方差率为v的gamma过程的变量在期限T内的变化。gamma过程是一种小幅度跳跃经常发生、大幅度跳跃偶尔发生的纯跳跃过程。g的概率密度为

其中Γ（・）表示gamma函数。这可用Excel的GAMMADIST（・，・，・，・）函数来计算。其中第一个自变数为g，第二个为T/v，第三个为v，第四个为“是”或“否“是”给出的结果是累计概率分布函数，“否”给出的结果是我们已经提过的概率密度函数。

和之前一样，定义S_T为T时刻的资产价格，S₀为当前的资产价格，r为无风险利率，q为红利收益率。在风险中性世界，Variance-Gamma模型的InS_T基于g的条件概率分布是正态分布。条件均值为

Variance-Gamma模型有三个参数：v、σ以及Θ。参数v是gamma过程的方差率，σ是波动率，Θ是偏态系数。当Θ=0时，InS_T是中心对称的；当ΘV<0时，lnS_T是负偏的（例如股票就是如此）；当Θ>0时，InS_T是正偏的。

假设我们要使用Excel抽取1万个Variance-Gamma模型中，0〜T时刻之间的资产价格变化的随机样本。首先，我们分别设定单元E1、E2、E3、E4、E5、E6以及E7分别等于T、v、Θ、σ、r、q以及S₀。我们再设定E8为ω，它被定义为：

=$E$1*LN（1-$E$3*$E$2-$E$4*$E$4*$E$2/2）/$E$2

接着可以执行以下几个步骤：

1.我们用GAMMAINV函数抽取g值的样本。我们设定单元A1、A2、…、A10000分别为

=GAMMAINV（RAND()，$E$1/$E$2，$E$2）

类似地设定单元C2、C3、…、C10000（3那么在单元C1、C2、…、C10000中产生了S_T的概率分布中抽取的随机样本。

图24.1给出了当S₀=100，T=0.5，v=0.5，Θ=0.1，σ=0.2以及r=q=0时，利用Variance-Gamma模型得到的S_T的概率分布。作为比较，该图中也给出了几何布朗运动给出的概率分布，其中波动率σ为0.2（即20%）。虽然图24.1中显示得不是很清楚，Variance-Gamma分布比几何布朗运动给出的对数正态分布尾部更厚。

一种描述Variance-Gamma分布的方式是，g定义了T时刻新信息发生之时的比率。如果g比较大，则大量信息发生，我们在第2步骤中抽取样本的正态分布的均值和方差都相对较高。如果g比较小，则相对较少信息发生，抽取样本的正态分布的均值和方差都相对较低。参数T是一般的时间测度，g有时被称为是经济时间或根据信息流调整的时间测度。

Madan et al.（1998）给出了不完全解析的欧式期权定价公式。Variance-Gamma模型通常给出U形波动率微笑。该波动率微笑并不一定要中心对称。短期限的波动率微笑非常显著，但是长期限的波动率微笑越来越不明显。该模型可以适用于股票或外汇的标准型期权定价。

24.2    随机波动率模型

Black-Scholes模型中假设波动率是常数。实际中，如我们在第19章看到的一样，波动率随着时间变化。Variance-Gamma模型通过参数g反映这样的波动率变化口较低的g值相应于少量信息的发生以及低的波动率；较高的g值相应于多量信息的发生以及高的波动率。

有一种可以替代Variance-Gamma模型的模型，其中波动率变量的行为过程可以外生地指定。首先假设几何布朗运动的波动率参数是已知的时间函数。则资产价格的风险中性过程为

dS=（r-q）Sdt+σ（t）Sdz               （24.1）

如果假定方差率等于期权有效期内的平均方差率，那么，Black-Scholes模型是正确的。方差率就是波动率的平方。假设1年之中，一个股票在前半年的波动率为20%，后半年的波动率为30%。平均方差率为：

公式（24.1）中假设一个资产的瞬态波动率是可以完全预测的。实际中，波动率随机变化。因此，我们要建立包含两个随机变量（股票价格以及股票价格的波动率）的复杂模型。

研究者们使用的一种模型是

Hull和White给出了，当波动率是随机变化，但与资产价格不相关的时候，一个欧式期权的价格是基于期权有效期内平均方差率的概率分布，对Black-Scholes价格求积分所得到的值。那么，欧式看涨期权的价格为

其中，是方差率的平均值，c是以的函数表示的Black-Scholes价格，g是风险中性世界中的的概率密度函数。这一结果可以用来解释Black-Scholes模型倾向于高估处于（或接近于）平价状态的期权价格和低估处于深度实值或虚值状态的期权价格。这一模型符合我们观察到的货币期权隐含波动率的模式（参见16.2节）。

资产价格和波动率相关的时候，情况变得更为复杂。可以利用蒙特卡罗模拟得到期权价格。对于α=0.5的特殊情形，Hull和White给出了一种级数展开，Heston给出了解析解。当波动率和资产价格负相关的时候，我们得到的隐含波动率的模式和权益性期权的观测情况相符合（参见16.3节）。

第19章中讨论了指数加权移动平均模型EWMA和GARCH（1，1）模型。它们也可以用来描述随机波动率模型。Duan提出，可以基于GARCH（1，1）模型给出一个内部一致的期权的定价模型。

5随机波动率模型可以适用于标准型期权的定价，也可以适用于奇异期权的定价。对于有效期小于等于1年的期权，随机波动率在定价中对于绝对项的影响比较小（但是对于百分比项，定价深度虚值期权时这种影响可能比较大）。随着期权有效期变长，这种影响也越来越大。一般来说，随机波动率对于Delta对冲表现的影响是比较大的。交易员们了解这些情况，并且如第15章中的讨论，通过计算Vega来监测他们对于波动率的暴露。

24.3    IVF模型

到现在为止，模型的参数的选择依据是，在任一给定日它们能给出标准型期权价格的近似值。金融机构有时要使用一种模型来给出这些期权价格完全相同的值。1994年，Derman和Kani、Dupire、Rubinstein开发了这类模型。该模型被称为隐含波动率函数（implied volatility function，IVF）模型或隐含树图（implied tree）模型。不管波动率集合是什么形式，该模型可以给出与任一天观察的欧式期权价格完全相同的拟合值。

该模型中资产价格的风险中性过程是

其中r（T）是t时刻到期的合约的瞬态远期利率，q（T）是以时间的函数表示的红利收益率。波动率σ（S，t）是S和t的函数，该函数的选择依据是，所有欧式期权的模型价格能和市场价格完全一致。Dupire、Andersen和Brotherton-Ratcliffe都提出了σ（S，t）的解析计算公式：

其中，c_mkt（K，T）是执行价格为K、有效期为T的欧式看涨期权的市场价格。如果市场中可以观测足够多的欧式看涨价格，该方程可以用来估计函数σ（S，t）。

Andersen和Brotherton-Ratcliffe―起使用方程（24.4）和隐含有限差分模型来执行这-模型。另一种执行模型的方法是Derman、Kani和Rubinstein提出的隐含树图方法。该方法中建立与期权市价一致的资产价格树图。

实际应用中，IVF模型根据标准型期权价格每日进行再校订。该模型可以使奇异期权的定价和标准型期权定价一致。如第16章中的讨论，标准型期权可以决定所有未来时刻资产价格的风险中性概率分布。那么，IVF模型也可以给出所有未来时刻的资产价格的准确的风险中性概率分布。也就是说，IVF模型可以正确的定价某个时刻一次性提供损益的期权（例如，all-or-nothing期权以及资产或无价值期权）。但是，该模型不一定能给出正确的两个或多个时间的资产价格联合分布。这说明对于如复合期权或障碍期权的奇异期权，该模型给不出正确价格。

24.4    路径依赖型衍生证券

我们接下来讨论如何调整第17章中的数值过程以处理特殊的估值问题。首先，我们考虑对于路径依赖型衍生证券如何使用树图。

路径依赖型衍生证券（或历史依赖型衍生证券）中损益依附于标的资产价格遵循的路径而不是最终资产价格。亚式期权和回望期权就是路径依赖型衍生证券。如第22章所述，亚式期权的损益依附于标的资产的平均价格；回望期权的损益依附于标的资产的最高或最低价格。当不存在解析结果的时候，估值路径依赖型衍生证券的一种方法是蒙特卡罗模拟方法，如第17章中所述。在风险中性世界中抽取标的资产的一个随机路径，计算损益，再以无风险利率贴现，就可以计算出衍生证券的样本价值。以这种方式得到衍生证券的很多样本价值之后，计算它们的平均值，就可以得到衍生证券价格的估计值。

用蒙特卡罗模拟方法为路径依赖型期权估值的主要问题是：为获得所需的精度水平，所需的计算时间可能过长。另外，路径依赖型美式衍生证券（即有提前执行可能性或者其他选择权的路径依赖型衍生证券）不易处理。在本节我们将说明如何扩展第17章所述的二叉树图方法以处理一些路径依赖型衍生证券。。我们提出的这些方法可以处理美式路径依赖型衍生证券，并且在处理欧式路径依赖型衍生证券时比蒙特卡罗方法计算效率更高。

为了使该方法能有效运作，必须满足如下两个条件：

1.衍生证券的收益依附于某个单一函数F，F是标的随机变量所遵循路径的函数

2.可从τ时刻的F值及在τ+△t时刻的标的资产价值计算得出τ+△t时刻的F值

利用回望期权来说明

为了说明这一方法，我们对基于无红利支付股票的美式回望看跌期权进行估价。若在τ时刻执行看跌期权，收益等于时刻o〜τ之间最高股价超过当前股价的数额。我们假设初始股价为$50，则股票价格波动率为每年40%，无风险利率为每年10%，期权的总有效期为3个月。我们考虑一种三个时间步长的树图。使用常用的符号，即S₀=50，σ=0.4，r=0.10，△t=0.08333，u=1.1224，d=0.8909，α=1.0084，且p=0.5073。

从而得出图24.2所示树图。每个节点上面的数字是股价，每个节点中间一层的数字表示了通向该节点的路径中可能得到的最大股票价格，最下面一层的数字显示了对应于每种可能的最大股价的衍生证券的价值。

树图最后一排节点上衍生证券的价值是由股票价格的最大值减去实际股票价格计算得到的。为说明滚动倒推的方法，假设我们在A节点处的股价为$50。到目前为止的最高股价或者是$56.12或者是$50。首先考虑股票价格为$50的情况。若向上移动，则最高股价为$56.12且衍生证券的价值为0。若向下移动，则最大股票价格停留在$50且衍生证券的价值变为$5.45。假定无提前执行，迄今为止最高股价为$50的衍生证券在A处的价值为：

对于节点A处最高股价为$56.12的情况可以进行类似的计算，从而得到无提前执行的衍生证券在节点A处的价值为：

在这种情况下，提前行使是最佳方案，因为它可以获得$6.12的价值，这是最佳策略。按这种方法沿树图滚动倒推可以得出衍生证券的价值为$5.47。

一般结论

如果每个节点可能得到的路径函数F值的数量随时间步长n的增加不是增加那么快的话，上面所说的方法可用计算机实现。在我们所用的回望期权的例子中，因为可能得到的n个步长二叉树图节点的最大资产价格值的数量从未比n大，所以从未出现过任何问题。

幸运的是，此方法可以扩展到每个直点有很多不同路径函数值时的情况。基本思路如下：在一个节点，我们对少数的有代表的F值进行计算。当计算其他的路径函数的值需要衍生证券的价值时，我们用插值法从已知的值中计算。

第一步是沿树图建立每个节点的路径函数的最小值和最大值。假设在时刻τ+△t的路径函数值只依赖于时刻r的路径函数值和时刻τ+△t的标的变量的值，时刻τ+△t路径函数的最大值和最小值可通过时刻τ的节点处的这些值直接计算。第二步是选择每个节点的有代表性的路径函数值一有很多种方法。一个简单的规则是选择最大值、最小值和这两个值之间的相等间距的其他值为代表性路径函数值。随着我们从树图进行滚动倒推，我们为每个有代表性的路径函数值估计衍生证券的值。

我们通过对例22.2中的平均价格看涨期权估值来说明计算的性质。我们假没收益依赖于股票价格算术平均值。初始股票价格为50，执行价格为50，无风险利率为年利率10%，股价年波动率为40%，1年后到期，树图的时间步长为20。在这个例子中，二叉树图的参数为△t=0.05，u=1.0936，d=0.9144，p=0.5056，1-p=0.4944。路径函数为股票价格的算术平均。

图24.3说明了树图中一小部分所进行的计算。节点X是在时刻0.2年时的中心节点（在第四步长的结尾）。节点Y和Z是从节点X出发在时刻0.25年所能达到的两个节点。节点X的股票价格为50。向前的推导说明达到节点X的最大股票价格平均值为53.83，最小股票价格平均值为46.65（在计算平均值时，我们同时包括初始和最终的股票价格）。从节点X我们分叉为两个节点Y和Z。节点Y的股票价格为54.68，平均值的上下边界为47.99和57.39。节点Z的股票价格为45.72，平均值的上下边界为43.88和52.48。

我们假设我们已经为每个节点选定了4个等步长的平均值作为代表值。这意味着在节点X我们考虑平均值46.65，49.04、51.44、53.83。在节点Y我们考虑平均值47.99、51.12、54.26，57.39。在节点Z我们考虑平均值43.88、46.75、49.61，52.48。我们假设已经使用向后归纳法计算节点Y和Z可能出现的儿个平均值的期权价值。期权价值已经在图24.3中给出（例如，在节点Y，当平均值为51.12时的期权价值为8.101）。

考虑节点X当平均值为51.44时的计算。如果股票价格向节点Y运动，新的平均值为：

节点Y在此平均值下的衍生证券的价值，可以通过平均值为51.12的衍生证券价值和平均值为54.26的衍生证券价值进行插值法获得：

用插值法计算衍生证券的价值为4.182。

在节点X当平均值为51.44时，衍生证券的价值是：

节点X的其他值可用同样的方法获得。当时间为0.2年的所有节点的值用这种方法得到后，我们可以转向时间为0.15年的节点。

在零时刻整个树图的期权价格为7.17。随着时间步长的数量和每个节点所考虑的平均值数量的增长，期权的价值收敛于正确答案。在时间步长数为60，每个节点有100个平均值时，期权价值为5.58。例22.2中的期权价值的近似解析解为5.62。

这里所述方法的一个主要优点是可以处理美式期权。除了我们在每个节点处为每个节点可能的路径函数值做是否提前执行的检验之外，计算方法与我们所描述的一致（实际上，提前执行的决定通常取决于路径函数的价值和标的物资产的价值）。我们已经考虑过欧式平均价格看涨期权，这里我们考虑美式平均价格看涨期权“如果时间步长有20个，每节点有4个平均值，所计算的期权价值为7.77。如果时间步长有60个，每节点有100个平均值，所计算的期权价值为6.17。

刚刚描述的方法可广泛用于多种不同的情况。两个必须满足的条件在这一节的开头已经列出。如果在每个节点处使用二次方程而不是线性插值法，可以提高效率

24.5    障碍期权

我们在第22章中给出了标准障碍期权的解析解。这里，我们考虑对于没有解析解的障碍期权，如何使用数值过程。

理论上，可以用第17章的二叉树图或三叉树图方法为障碍期权估值。考虑一个上升敲出期权。它的估值过程和普通期权的估值过程类似，但是我们在考虑障碍之上的节点时，需要设该期权价值为零。

三叉树图方法的效果比二叉树图要好，但估值过程中收敛还是非常缓慢的.只有用很大数量的时间步长才能获得一个精确合理的结果。原因是由树图设定的障碍与真实的障碍有所不同。仲我们定义内部障碍（inner barrier）为包含真实障碍在内的那些节点所形成的障碍（即更靠近树图中央），外部障碍（outer barrier）为在真实障碍之外的那些节点所形成的障碍（即远离树图中央）。图24.4说明了，假设真实障碍为水平时，某个三叉树的内部障碍和外部障碍。通常树图的计算隐含地假设外部障碍为真实障碍，因为障碍条件首先在这些障碍的节点处使用。当时间步为△t的时候，节点之间的垂直间距为的阶。这说明由真实障碍和外部障碍之间的不同产生的误差也近似为的阶。

一种克服这个问题的方法是：

1.在假设内部障碍是真实障碍下，计算衍生证券的价格

2.在假设外部障碍是真实障碍下，计算衍生证券的价格

3.对两个价格使用插值法

另一种克服这个问题的方法是保证节点正好位于障碍上。假设初始股票价格为S₀，障碍水平为H。在某个三叉树图中，每个节点的资产价格都有三种可能的运动：按比例u上升、不变，按比例d下降，且d=1/u。我们总可以选择u使得节点位于两种障碍上。对某个正的或负的整数N，u必须满足的条件为：

里所考虑的情况下，一个好的规则是选择Inu使其尽可能地与上面给定条件的值一致。这意味着我们设

并且int（x）是x的整数部分。

这样产生了如图24.5形状的树图。上升、不变以及下降的概率p_u、p_m、p_d的选择依据是匹配收益的前两阶矩。那么，

自适应Mesh模型

当初始资产价格不接近障碍水平时，上面给出的方法可以很好的处理问题。当初始资产价格接近障碍水平时，我们可以使用已在17.4节中介绍过的自适应Mesh模型。模型隐含的观点是，通过把高精度的树图嫁接到低精度的树图，以便在最符合需要的树图区域对资产价格建立细致的模型，那么可以大大提高计算效率。

为了定价障碍期权，在障碍附近构建高精度的树图是非常有用的。图24.6说明了这种树图的设计。树图被设计为节点位于障碍上。每个分支的概率选择依据是匹配标的资产行为过程的前两阶矩。图24.6中的粗线是低精度树图的分支。细实线是高精度树图的分支。我们首先在低精度树图以通常的方式进行倒推计算。接着我们使用以虚线表示的分支，计算附加节点上的价值。最后，我们在高精度树图进行倒推计算。

24.6    基于两项相关资产的期权

另-项棘手的数值问题是为依附于两个相关资产的美式期权估值。人们提出了许多种估值方法，我们讲述其中三种

转换变量

构造一个三维树图来表示两个不相关变量的运动是很容易的。方法如下：首先我们为每个变量分别构造一个二维树图，然后我们将这两个二维树图组合成一个单一的三维树图。三维树图上的每个分支的概率等于二维树图对应的概率的乘积。例如，假设两个变量是股票价格S₁和S₂。每个可以用Cox、Ross和Rubinstein二叉树图的二维来表示。假设S₁按比率u₁向上运动的概率为p₁，按比率d₁向下运动的概率为1-p.；更进一步假设S₂按比率u₂向上运动的概率为p₂，按比率d₂向下运动的概率为1p2。在三维树图中，从每个节点出发有4个分支。概率为：

p₁p₂：S₁增加；S₂增加

变量x₁和x₂可以使用两个单独的二叉树图来建模。二叉树图中，在△t时间内，x_i的上升加的概率为p_i，下降h_i的概率为1-p_i。选择合适的变量h_i与p_i，使得树图对x₁和x₂分布前两阶矩给出正确的价值。由于变量是不相关的，这两个二叉树图可以合并为一个三叉树图，如上所述。在该树图的每一个节点上，S₁和S₂可以使用以下的互逆关系式从x₁和x₂计算得出：

类似二维树图估值方法，我们从三维树图滚动倒推，可以求出衍生证券的价格。

使用非矩形树图

Rubinstein建议如下方法：对于两个不相关股票价格，通过将树图节点安排成非矩形，构造两个关联股票价格的三维树图。从第一个股票价格为S₁和第二个股票价格为S₂的节点（S₁，S₂），我们有0.25的机会运动到以下每一个节点：

当相关系数为零时，该方法等价于：用第17.4节中构造二叉树图的方法分别构造S₁和S₂树图。

调整概率

构造S₁和S₂的三维树图的第三种方法是：首先假设它们不相关，然后在每个节点调整概率以反映相关性。我们利用第17.4节中构造二叉树图的方法分别构造S₁和S₂树图。该方法的一个特征是所有概率都为0.5。

当假设它们之间没有相关性时，将两个二叉树图组合起来，概率如表24.1所述。当我们调整这些概率以反映相关性时，它们变为表24.2中的情况。

24.7    蒙特卡罗模拟与美式期权

蒙特卡罗模拟适用于路径依赖型期权和依附于多个随机变量的期权定价问题树图和有限差分模型适用于美式期权的定价问题。如果一个期权既是路径依赖型的也是美式的，那么应该采用什么方法？如果-个美式期权依附于多个随机变量，那么应该该采用什么方法？在24.4节，我们解释了利用调整的二叉树图方法，可以对一些路径依赖型期权进行定价。很多研究者提出了一些修改蒙特卡罗模拟的方法，以便对美式期权进行定价。这里我们解释其中两种。

最小二乘法

为了估值一个美式期权，我们需要在具有提前执行可能的时点上选择执行还是继续。“执行”的价值通常容易决定。包括Longstaff和Schwartz在内的一系列研究者提出了很多以蒙特卡罗模拟决定“继续”的估值方法。这些方法中使用最小二乘法在提前执行可能发生的每个时点上，决定继续的价值和相关变量的价值之间的最优拟合关系式。用具体数字例子可以很好地解释这一方法。我们使用Longstaff-Schwartz论文中的例子。

考虑一个基于不支付红利股票的3年期美式看跌期权，可在第1年末、第2年末或第3年末执行这个期权。无风险利率为6%p.a.（连续复利）。股票现价为1.00，期权执行价格为1.10。假设我们抽取的8个股票价格路径如表24.3所述（这仅仅是举例说明，实际应用中会模拟更多的样本路径）。如果期权只能在第3年末执行，那么收到的现金流等于该时点上期权的内在价值。表24.4的最后一列给出了这个值。

如果在第2年末，该看跌期权处于实值状态，那么期权持有者要决定是否提前执行。从表24.3，我们看到路径1、3、4、6、7中期权在第2年年末处于实值状态。对这些路径，假设存在这样的近似关系式：

对于路径1、3、4、6、7，这一关系式给出的第2年末继续的价值分别为0.0369、0.0461、0.1176、0.1520，0.1565，根据表24.3，执行的价值分别为0.02、0.03，0.13、0.33、0.26。这说明对于路径4、6、7，我们应该在第2年末提前执行。表24.5总结了假设执行只发生在第2年末或第3年末时8个路径的现金流。

接下来，我们考虑哪些路径在第1年末处于实值状态。这样的路径是路径1、4、6、7、8。根据表24.3，对于以上路径S的值分别为1.09、0.93、0.76、0.92和0.88。根据表24.5，对应的已贴现到t=1时刻，继续的价值分别为0.00、0.13e^-0.06x1

对于路径1、4、6、7、8，这一关系式给出的第1年末继续的价值分别为0.0139、0.1092、0.2866、0.1175、0.1533。从表24.3，执行的价值分别为0.01、0.17、0.34、0.18、0.22。这说明对于路径4、6、7、8，我们应该在第1年末提前执行。表24.6总结了假设执行可发生在任何3个时点末时的现金流。将每个现金流以无风险利率贴现到0时刻，并计算所有结果的平均值，就能得到期权价格的估计值：

因为这一值大于0.10，所以不应该立即执行期权。

有很多途径可以扩展这一方法。如果期权可在任一时刻提前执行，那么我们可以考虑很多执行时刻（正如二叉树图中的方法）来近似估计期权价值。V和S之间的关系式可能会变得更复杂。例如，我们可以假设V是S的三次式而不是二次式。当提前执行决策依赖于几个状态变量时，我们可以如前面的例子进行定价。其中，需要假设V和这些变量之间的关系函数，并且以最小二乘法估计相应的参数。

提前执行边界参数化方法

很多研究者，如Andersen，提出了用参数表示提前执行边界的方法，从期权到期时开始倒推计算，以迭代法决定这些参数的最优值。为了解释这一方法，我们再次考虑上面看跌期权的例子，并假设产生了如表24.3的8个样本路径。这种情况下，t时刻的提前执行边界以S的临界值S*（t）参数化。如果t时刻资产价格低于S*（t），我们在t时刻执行期权；如果高于S*（t），在t时刻并不执行期权。S*（3）的值为1.10。如果t=3时（期权到期时），股票价格大于1.10，我们在t时刻并不执行期权。如果股票价格低于1.10，我们就执行期权。现在我们考虑如何决定S*（2）。

假设我们选择了小于0.77的S*（2）值。那么在第2年末，每个路径中期权都不被提前执行。则8个路径中第2年末的期权价值分别为0.00、0.00、0.07e^-0.06x1、0.18e^-0.06x1、0.00、0.02e^-0.06x1、0.09^-0.06x1和0.00。这些值的平均值为0.0636。接下来假设S*（2）=0.77，8个路径中第2年末的期权价值分别为0.00、0.00、0.07e^-0.06x1、0.18^e-0.06x1、0.00、0.33、0.09^-0.06x1和0.00。这些值的归均值为0.0813。类似的，假设S*（2）等于0.84、0.97、1.07.1.08时，第2年末期权价值的平均值分别为0.1032、0.0982、0.0938、0.0963。分析说明S*（2）的最优值（即最大化期权平均价值）为0.84（更准确地说，最优情况是选择0.84≤S*（2）<0.97）。我们选择了该S*（2）的最优值之后，8个路径中第2年末的期权价值分别为0.00、0.00、0.0659、0.1695、0.00，0.33、0.26和0.00。这些值的平均值为0.1032。

我们接下来再计算S*（1）。如果S*（1）<0.76，则在第1年末，每个路径中期权都不被提前执行，第1年末的期权价值为0.1032e^-0.06x1=0.0972。如果S*（1）=0.76，8个路径中第1年末的期权价值分别为0.00、0.00、0.0659e^-0.06x1、0.1695e^-0.06x1、0.0、0.34、0.26^-0.06x1和0.00。这些值的平均值为0.1008。类似地，取S*（1）等于0.88、0.92、0.93，1.09时，期权价值的平均值分别为0.1283、0.1202、0.1215、0.1228。这样的分析说明S*（1）的最优值为0.88（更准确地说，最优情况是选择0.88≤S*（1）<0.92）。0时刻不提前执行的情况下，期权的价值为0.1283e^-0.06x1=0.1208。这个值大于。时刻执行所获得的0.10。

实际应用中，进行数千万次模拟以决定提前执行边界。一旦得到提前执行边界之后，我们放弃之前的变量路径样本，使用这些提前执行边界所用的新蒙特卡罗模拟，以定价期权。这里的美式看跌期权例子非常简单，因为某一时刻的提前执行边界可由那个时刻的股票价格推导出。更为复杂的情形中，对于提前执行边界参数化的方式需要做一些其他的假设。

上    界

以上两种方法倾向于低估美式期权的价值，因为其中假定了并不最优的提前执行边界。基于这些缺点，Andersen和Broadie提出了决定价格上界的一种过程。这些过程可以和能产生下界的运算法则一起使用，而且能比这些运算法则更准确地确定美式期权的真实价值。

小    结

为了匹配实际中观察到的波动率微笑，学者们提出了很多模型。方差的常数弹性模型给出的波动率微笑和权益性期权中所观察到的情况相似。跳跃一扩散模型给出的波动率微笑和货币期权中所观察到的情况相似。Variance-Gamma模型和随机波动率模型更为灵活，它们既能给出权益性期权的波动率微笑，也能给出货币期权的波动率微笑。隐含波动率函数模型甚至还要灵活。这个模型可用来精确拟合市场中观测到的欧式期权价格的任一模式。

通常以蒙特卡罗模拟方法处理路径依赖型期权的定价问题。它的缺点是计算过程非常慢，而且不能很好地处理美式衍生证券的定价问题。幸运的是，树图方法可以用来定价很多种类的路径依赖型衍生证券。使用这一方法就要在树图的每个节点上选取标的路径函数的代表值，再根据路径函数的各个值进行倒推计算，最后计算出衍生证券的价值。

树图方法可以用来定价很多种类的障碍期权。但是随着时间步数量的加大，期权价格往正确价格方向收敛的速度非常缓慢。一种解决收敛性的方法是改变树图几何形状，保证节点正好位于障碍上。另一种解决方法是利用插值法，修正树图中假定的障碍和真实障碍之间的差别'第三种解决方法是设计树图时，保证在障碍附近，树图能高精度地处理标的资产价格的变化。

基于两个相关资产的期权的定价问题，一种处理方法是对资产价格进行变换，产生两个不相关变量。对两个变量，各自建立树图，两个树图在被组合起来构建单个三维树图。在树图的每个节点，反向变换可以得到资产价格。第二种处理方法是通过三维树图节点的特殊安排来反映相关关系。第三种处理方法是在不相关的假定下构建树图，之后再对树图中的概率进行调整以反映相关关系。

本质上，蒙特卡罗模拟并不适合估值美式期权，但是有两种方法可以对蒙特卡罗模拟进行调整，这样就可以估值美式期权了。第一种方法：利用最小二乘法来得到继续（即不执行）的价值和相关变量值之间的关系式。第二种方法：以参数表示提前执行边界，从期权期末到期初进行倒推计算，以迭代法得出提前执行边界

参考读物

Andersen，L.，“A Simple Approach to the Pricing of Bermudan Swaptions in the Multifactor LIBOR  MarketModel，”Journal of Computational Finance，3，2（Winter 2000）：1-32.

Andersen，L.B.G.，and R.Brotherton-Ratcliffe，“The Equity Option Volatility Smile：AnImplicit Finite Difference Approach，”Journal of Computational Finance，1，2（Winter 1997/98）：3-37.

Boyle，P.P.，and S.H.Lau，“Bumping Up Against the Barrier with the Binomial Method，”Journal of Derivatives，1，4（Summer 1994）：6-14.

Conze，A.，and R.Viswanathan，“Path Dependent Options：The Case of Look back Options，”Journal of Finance，46（1991）：1893-1907.

Cox，J.C.and S.A.Ross，“The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes，”Journal of Financial Economics，3（March 1976），145-66.

Derman，E.，and I.Kani，“Ridingona Smile”Risk，February（1994）：32-39.

Duan，J.-C.，“The GARCH Option Pricing Model，”Mathematical Finance，5（1995）：13?2.

Duan，J.-C.，“Cracking the Smile，”Risk，December（1996）：55-59.

Dupire，B.，“Pricing with a Smile，”Risk，February（1994）：18-20.

Figlewski，S.，and B.Gao，“The Adaptive Mesh Model：A New Approach to Efficient Option Pricing，”Journal of Financial Economics，53（1999）：313-51.

Heston，S.L.，“A Closed Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bonds and Currency Options，”Review of Financial Studies，6，2（1993）：327-43.

Hull，J.，and A.White，“Efficient Procedures for Valuing European and American Path-Dependent Options，”Journal of Derivatives，1，1（Fall 1993）：21-31.

Hull J.C.，and A.White，“The Pricing of Optionson Assets with Stochastic Volatilities，”Journal of Finance，42（June 1987）：281-300.

Hull，J.C.and A.White，“An Analysis of the Biasin Option Pricing Causedbya Stochastic Volatility，”Advancesin Futures and Options Research，3（1988）：27-61.

Hull，J.C.and W.Suo，“A Methodology for the Assessment of Model Riskandits Application to the Implied Volatility Function Model，”Journal of Financial and Quantitative Analysis，37，2（2002）：297-318.

Longstaff，F.A.and E.S.Schwartz，“Valuing American Options by Simulation：ASimple Least-Squares Approach，”Review of Financial Studies，14，1（Spring 2001）：113-47.

Madan D.B.，P.P.Carr，and E.C.Chang，“The Variance-Gamma Process and Option Pricing，”European Finance Review，2（1998）：7-105.

Merton，R.C.，“Option Pricing When Underlying Stock Returns Are Discontinuous，”Journal of Financial Economics，3（March 1976）：125-44.

Rebonato.R.，“Volatility and Correlation：The Perfect Hedger and the Fox，2nd edn.Chichester：Wiley，2004.

Ritchken，P，and R.Trevor，”Pricing Options Under Generalized GARC Hand Stochastic Volatility Processes，“Journal of Finance 54，1（February 1999）：377-402

Rubinstein，M.，”lmplied Binomial Trees，“Journal of Finance，49，3（July 1994）：771-818.

Rubinstein，M.，”Return to Oz，“Risk，November（1994）：67-70.

Stutzer，M.，“A Simple Nonparametric Approach to Derivative Security Valuation，”Journal of Finance，51（December 1996）：1633-52.

Tilley，J.A.，“Valuing American Optionsina Path Simulation Model，”Transactions of the Society of Actuaries，45（1993）：83-104.