第12章    维纳过程和伊藤定理

如果某变量的价值以某种不确定的方式随时间变化，则称该变量遵循某种随机过程（stochastic process）。随机过程分为“离散时间”和“连续时间"两类。一个离散时间随机过程是指标的变量值只能在某些确定的时间点上变化的过程，而一个连续时间随机过程是指标的变量值的变化可以在任何时刻发生的过程。随机过程也可分为连续变量和离散变量两种过程。在连续变量过程中，标的变量在某一-范围内可取任意值，而在离散变量过程中，标的变量只可能取某些离散值。

本章中我们导出股价的连续变量、连续时间的随机过程。理解这一过程是弄清期权定价和其他一些更复杂的衍生金融工具定价的第一步。应当指出，实际上我们观察到的股价并不是按照连续变量、连续时间过程来变化的。股票价格被限制为离散值（例如，是1美分的倍数），而且只有当交易所开市时才能观察到股价变化但是在大多数应用中，可以看到连续变量、连续时间过程是一种有用的模型。

许多人认为连续时间随机过程太复杂，应当把它们全部留给“火箭专家”来处理。事实并不如此。理解这些过程的最大障碍是表达方式。本章我们提供一种循序渐进的方法以帮助读者克服这一困难。我们也将解释衍生产品定价中的核心结论伊藤定理（Io's lemma）。

12.1    马尔科夫性质

马尔科夫过程是一种特殊类型的随机过程。这个过程说明只有变量的当前值与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式，则与未来的预测不相关。

人们通常假设股票价格遵循马尔科夫过程c假设现在IBM股票价格为$100。如果股票价格遵循马尔科夫过程，那么一个星期以前、一个月以前或是-年以前的股价并不会影响我们对将来的预测，惟-相关的信息就是股票的现价$100。对将来的预测是不确定的，必须以概率分布的方式表达。马尔科夫性质隐含了在将来任一特定时刻股价的概率分布与股票过去特定的运动路径无关。

股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性相一致，也就是说，一种股票的现价已经反映了所有过去的股票价格信息。如果弱型市场有效性不正确的话，技术分析师可通过分析股价的过去历史数据图表获得高于平均收益率的收益。事实上，几乎没有什么证据表明他们能够做到这一点。

正是市场竞争保证了弱型市场有效性成立。有许多投资者紧盯着股票市场并试图从中获利，这种实际情况导致了在任何指定时刻的股价都反映了以往价格的信息。假设已经发现以往股价中某种特殊模式总是给出65%的未来价格上涨机会，这种方式一旦被观察到，众多投资者就会购买股票，从而股票的需求就会突然增加。其结果为股价骤然上涨，过去观察的效应将失效。任何可盈利的交易机会都会如此、

12.2    连续时间随机过程

考虑一个遵循马尔科夫随机过程的变量。假设该变量的当前价值为10.1年内变量价值的变化服从概率分布Φ（0，1）。其中Φ（μ，σ）表示均值为μ、标准方差为σ的概率分布。那么2年内该变量价值变化应该服从什么样的概率分布？

2年内该变量价值变化服从两个均值为零、标准方差为1.0的正态分布之和。因为变量遵循马尔科夫过程，所以上面两个概率分布是相互独立的。相加两个独立的正态分布，得到的是均值为两个正态分布的均值之和、方差为两个正态分布的方差之和的正态分布。那么我们考虑的变量2年内变化的均值为0、方差为2.0因此，2年内变量价值的变化服从

接下来，再考虑6个月内该变量价值的变化。1年内变量价值变化的方差等于前6个月内的方差加上后6个月内的方差，我们假定后两个方差是一样的。那么6个月内变量价值变化的方差应为0.5。则变化的标准方差为，即6个月内变量价值的变化服从概率分布。

类似地，我们可以得到3个月内变量价值变化服从概率分布。更为一般地，长度为T的时间段内，变化服从概率分布。特别是，在长度为2的很短的时间内变化服从

这些结果中的平方根可能看起来比较奇怪。这是因为，考虑马尔科夫过程的时候，连续时间段的变化的方差是可以相加的，而连续时间段的变化的标准方差是不可相加的。我们的例亍中，1年内变量变化的方差为1.0。所以，2年内变化的方差为2.0，3年内变化的方差为3.0。2年内和3年内变化的标准方差分别为和严格地说，我们不能说变化的标准方差为每年1.0。我们应该说“每根号年1.0%这个结果表明，为什么有时不确定性会以时间的平方根的一定比例来表示。

维纳过程

我们在前面考虑的变量过程就是著名的维纳过程（wiener process）。维纳过程是马尔科夫随机过程的一种特殊形式，其均值变化为0，方差率为每年1.0。物理学中这种观察用于描绘某个粒子受到大量小分子碰撞的运动，有时称为布朗运动（Brow-nian motion）。

正规地表述，如果变量z满足如下两个基本性质，则变量z遵循维纳过程：

性质1:一个小的时间间隔△t内z的变化△t为

其中，∈服从标准正态分布Φ（0，1）。

性质2：对于任何两个不同的短期时间间隔△t、△z的值相互独立。

性质2则隐含z遵循马尔科夫过程。

下面我们考虑在一段相对长的时间T内z值的变化。我们将它表示为z（T）-z(0)。这可以被看作是在N个长度为△t的小时间间隔中z的变化的总和，这里

其中∈_i（i=1，2，…N）服从Φ（0，1）。从性质2中可知，∈_i是相互独立的，从方程（12.2）可以得到z（T）-z（0）是正态分布的，其中

这与我们在这一节开始时讨论的结果相一致。

[例12.1]    假设一个遵循维纳过程的变量z的最初值为25，以年为单位计时。在第1年末，变量值服从均值为25、标准差为1.0的正态分布；第5年末，服从均值为25、标准差为即2.236的正态分布。变量值在将来某一确定时刻的不确定性（用标准差表示）随着我们观察未来的时间长度的平方根增加而增加。

在常规微积分中，通常在微小变化接近为。时，将这个变化当作极限来处理。这样△t→0，△x→a△t取极限就成为表达式dx=adt。当处理连续时间随机过程时，我们使用同样符号惯例。所以，我们把dz看作是维纳过程，则意味着它具有上述当△t→0时的△z的特性。

图12.1说明了△t→0取极限时，z的轨迹运动情况。可以看到轨迹起伏很大。这是因为△t时间内z的变化规模和成一定比例，而△t很小的时候，比△t大很多。和这种的性质相关的维纳过程的两个有趣的性质如下：

1.任一时间段内z轨迹的期望长度是无限的

2.任一时间段内z等于某个特定值的期望次数是无限的

—般化的维纳过程

漂移率（drift rate）指随机过程中单位时间内变化的均值，方差率（variance rate）指单位时间内变化的方差。到现在为止我们讨论的基本维纳过程漂移率为0，方差率为1.0，漂移率为。意味着在未来任意时刻z的期望值等于它的当前值。方差率为1.0意味着在长度为了的一段时间后，z变化的方差为T。变量x的一般化维纳过程用也定义如下：

其中a和b为常数。

理解方程（12.3）较好的方法是分别考虑方程右边的两个组成部分。adt项说明了x变量单位时间的漂移率期望值为a。如果缺省bdz，方程变为dx=adt，这说明dx/dt=a。对时间求积分，我们得到

x=x₀+at

其中x₀为x在零时刻的值。经过长度为T的时间段后，x增加的值为aT。方程（12.3）右边的项可被看作为附加到x轨迹上的噪声或变化率。这些噪声或变化率的值为维纳过程的b倍。维纳过程的标准差为1.0，那么b倍维纳过程标准差为短时间△t后，从方程（12.1）和方程（12.3）可得x值的变化△x为：

因此方程（12.3）给出的一般性维纳过程其漂移率（即单位时间平均漂移）的期望值为a，方差率（即单位时间的方差）的期望值为b²。如图12.2所示。

［例12.2］    考虑这样一种情况：某公司以千美元计的现金头寸遵循一般化的维纳过程，每年漂移为20，每年方差率为900。最初的现金头寸为50。第一年末现金头寸将具有正态分布，均值为70.标准差为或30。在第6个月末，它将具有正态分布，均值为60，标准差为30=21.21。我们在未来某一时间用标准差衡量的现金头寸不确定性随我们考察将来时间长度的平方根增加而增加。注意现金头寸可能为负（这种情况可解释为该公司在借款）。

12.3    股票价格的随机过程

这一部分我们讨论无红利支付的股票价格遵循的随机过程。

假定股票价格遵循一般化的维纳过程是很具诱惑力的，也就是说，它具有不变的期望漂移率和方差率。但是，这个模型不能抓住股价的关键特性，即投资者要求来自股票的期望收益不依赖于股票价格。如果投资者在股价为$10时要求预期收益为每年14%，其他条件全部相同，那么他在股价为$50时仍然要求每年14%的预期收益。

显然，期望漂移率为常数的假设是不恰当的，需要修正，即假设预期收益率（即期望漂移除股票价格）为常数。这个假设意味着如果t时刻股价为S，S的期望漂移率为μS，μ为某一恒定参数。因此，在短时间间隔△t，S的增长期望值为碍参数以是股票的期望收益率，以小数的形式表示。

若股票价格的波动率恒为0，这个模型即为：

其中S₀和S_T分别是0时刻和T时刻的股票价格。方程（12.5）说明了当方差率为0时，股票价格以单位时间为μ的连续复利方式增长。

当然，实际上股票价格确实存在着波动率。一个合理假设是：无论股票价格如何，短时间μ后的收益率的波动率保持不变。换句话说，不管股票价格为$50还是$10，投资者认为他或她的收益率的不确定性是相同的。所以很短的△t时间内变化的标准方差应该与股票价格成一定比例，由此得到模型：

方程（12.6）是描述股票价格行为最广泛使用的一种模型。变量。通常被称为股票价格波动率。变量μ为股票价格的预期收益率。方程（12.6）中的模型可以看作是，随着时间步变小，第11章中以二叉树模型表示的随机游走的极限情况。

[例12.3]     考虑一种无红利支付的股票，波动率为每年30%，预期收益率为每年15%（以连续复利计）。即μ=0.15，a=0.30，股票价格的过程为：

上式表示价格的增加是均值为$0.288、标准差为$4.16的正态分布。

离散时间模型

刚才推导的股票价格行为模型也称为几何布朗运动，该模型的离散形式为：

变量△S为短时间也后股票价格S的变化，∈为标准正态分布（均值为0、标准差为1.0的正态分布）的随机抽样值。参数μ为单位时间内股票的预期收益率，参数σ为股票价格的波动率。本章中假设这两个参数为常数。

方程（12.7）的左边是短时间金内股票的收益。μ△t项是这一收益的期望值，而项是收益的随机部分。随机部分的方差（也是整个收益的方差）为σ²△t。这与11.7节中给出的波动率σ的定义一致。也就是说σ使得很短的时间△t内的收益的标准方差为

方程（12.7）表明△S/S服从均值为用μ△t、标准差为的正态分布，换句话说，

蒙特卡罗模拟

一种随机过程的蒙特卡罗模拟是从该随机过程中随机取样的一种方法。我们现在利用这个方法深入理解方程（12.6）中股票价格行为过程的性质。

假设股票的预期收益率为每年14%，收益率的标准差（即波动率）为每年20%。如果以年计，可表示为μ=0.14以及σ=0.20。设△t=0.01，我们考虑股票价格在长度为0.01年的股票价格变化。根据公式（12.8），我们得到

我们可以通过不断从Φ（0，1）取∈样本，并代入式（12.10）来模拟股票价格的轨迹。在Excel中表达式=RAND（）可以产生0和1之间的一系列随机样本。累积正态分布的反函数为NORMSINV。所以，Excel中从标准正态分布中随机取样的方法为=NORMSINV（RAND（））。表12.1显示了用这种方法取样的股票价格路径。设股票价格的初始值为$20。第一阶段中，取的随机数∈为0.52，根据方程（12.10）得到第一时间段内的变化为

△S=0.0014x20+0.02x20x0.52=0.236

因此，在下一阶段的开始股票价格为$20.236。第二阶段中，抽取的随机数∈为1.44，根据方程（12.10）得到第二时间段内的变化为

△S=0.0014x20.236+0.02x20.236x1.44=0.611

因此，第三阶段的开始股票价格为$20.847。注意，因为我们正在模拟的过程是马尔科夫过程，∈的样本值必须相互独立。

表12.1假设股票价格精确到0.001。我们应当认识到这张表只表示了股票价格变动的一种可能方式。不同的随机取样将会导致不同的价格变动。在模拟中可以使用任意小的时间段△t。然而，只有当极限△t→0时才能得到随机过程的完整描述表12.1的最后股票价格$21.124，可以被看作在10个时间段（即I•分之一年末）的股票价格分布的随机抽样值。通过反复模拟股票价格变动，就可以得到十分之一年末股票价格的一个完整的概率分布。在第17章将继续详细讨论蒙特卡罗模拟。

12.4    各种参数

本章讨论的股票价格随机过程涉及两个参数：μ和σ。参数μ是投资者的年预期连续复利收益率。多数投资者认为，如果让他们承担更大的风险，他们需要获得更高的预期收益率。所以μ值应当取决于股票收益的风险。μ值也应当依赖经济体系中的利率水平。利率水平越高，任一给定股票的预期收益率就越高。

幸运的是，我们自己不必关心μ值决定的细节，因为依附于某种股票的衍生证券的价值一般是独立于μ的。相反，股票价格波动率参数σ对于决定大多数衍生证券的价值是相当重要的。根据经验估计σ的步骤将在第13章中讨论。股票σ的典型值处于0.15-0.60（即15%~60%）的范围之间。

短时间△t后股票价格变化的标准差为。做一粗略的近似，在相对较长时间T内，股票价格变化的标准差为。这就是说，作为近似.波动率可被解释为1年内股票价格变化的标准差。在第13章，我们将证明股票价格的波动率精确地等于一年内股票连续复利收益的标准差。

12.5    伊藤定理

股票期权的价格是该标的股票价格和时间的函数。更一般地，我们可以说任何一种衍生证券的价格，都是该衍生证券的标的资产这个随机变量和时间的函数。任何研究衍生证券的严谨学者都必须对随机变量函数的行为有所了解。在这一领域内的一个重要结论是由一个叫K.的数学家在1951年发现的，因此被称为伊藤定理（'slemma）。

假设变量x的值遵循过程：

其中，dz是一个维纳过程，a与b是x和t的函数。变量x的漂移率为方差率为

伊藤定理的严格证明超越了本书的范围。在本章的附录中，我们将看到这个定理可视为微分方程的一个著名推论。

在本章前面部分，我们得到：

dS=μSdt+σSdz                               （12.13）

其中的μ和σ为常数。这是股票价格变动的一个合理的模型。从伊藤定理得到，与S的t函数G遵循的过程为：

注意，S和G都受到同一个基本的不确定性来源dz的影响。在推导Black-Sc-holes结果中，这一点是很重要的。

在远期合约中的应用

为说明伊藤定理，我们考虑某个无红利支付股票的远期合约。假设无风险利率为常数，对于所有的到期日它都等于r。从公式（5.1）我们得到：

其中，F₀为0时刻的远期价格，S₀是0时刻的即期价格，T为远期合约到期时间。

我们将考虑，随着时间变化，远期价格会发生什么样的变化。定义F为一般时刻t的远期价格，S为t时刻的股票价格，t<T。那么，F和S之间的关系是

假设S遵循方程（12.13）表示的过程，我们就可以运用伊藤定理决定F的过程。根据方程（12.15），有

同S一样，F遵循几何布朗运动。它的期望增长率为μ-r而不是μ。F的增长率是S超过无风险利率的超额部分。

12.6    对数正态特性

现在我们用伊藤定理推导InS遵循的过程，其中S遵循方程（12.13）表示的过程。定义：

由于μ和σ为常数，这个方程表明了G=lnS遵循一个一般化的维纳过程。它具有恒定的漂移率μ-σ²/2和恒定的方差率在当前时刻0和将来某一时刻T之间，lnS的变化是正态分布的，均值为（μ-σ²/2）T，方差为σ²T。这说明：

其中，S_T是T时刻的股票价格，S₀是0时刻的股票价格，Φ（m，S）表示均值为m、标准差为S的正态分布。

式（12.19）中，我们看到InS_T服从正态分布。如果一个变量的自然对数服从正态分布，则该变量服从对数正态分布。因此，本章中我们推导的股票价格行为过程说明，给定某个股票的现价，未来丁时刻的股票价格是服从对数正态分布的。股票价格取对数的标准差为。它与我们考虑的未来时间长度的平方根成正比。

小    结

随机过程描述了变量值的变化随时间的发展变化。马尔科夫过程中只有变量的现值与预测将来值相关。变量的以往历史以及如何演变成现值的方式则都与预测将来值不相关。

维纳过程dz是一个描述正态分布变量变化的过程。该过程的漂移为0，每单位时间的方差率为1.0。这就是说，若零时刻变量的值为x₀，那么在r时刻它是均值为x₀、标准差为的正态分布。

一般化的维纳过程描述了单位时间内漂移为a，方差率为b²的正态分布变量的变化过程，其中a和b为常数’。这就是说，若零时刻变量的值为x₀在T时刻它是均值为x₀+aT、标准差为b的正态分布。

过程是x的漂移率和方差率，均为x本身和时间的函数。在一个很短时间期内，作为一个很好的近似，x的变化为正态分布，但长时间内x的变化则可能是非正态分布。

通过模拟变量行为，可得到对变量随机过程的直观理解。这包括将一段时间分割成许多时间小段，对变量可能的轨迹进行随机取样，就可算出变量将来的概率分布，在第17章中将进一步讨论蒙特卡罗模拟。

伊藤定理是一种计算遵循随机过程的变量函数所遵循的随机过程的方法。在第13章我们将看到，伊藤定理在衍生证券定价中是非常重要的。关键点是：变量的随机过程中的维纳过程dz，精确地等于该变量函数的随机过程中的维纳过程。两者不确定性的基本来源是相同的。

随机过程中通常假设股票价格服从几何布朗运动。在此过程中，股票持有者在任何短时间内的收益率都是正态分布，且任何两段不重合时间间隔的收益相互独立。未来时刻的股票价格服从对数正态分布。在下一章中我们要讨论的Black-Scholes模型就是基于几何布朗运动假设。

参考读物

On Efficient Markets and the Markov Property of Stock Prices

Brealey，R.A.An Introduction to Risk and Return from Common Stock，2nd edn.Cambridge，MA：MIT Press，1983.

Cootner，P.H.（ed.）The Random Character of Stock Market Prices.Cambridge，MA：MITPress，1964.

On Stochastic Processes

Cox，D.R.，and H.D.Miller.The Theory of Stochastic Processes.London：Chapman and Hall.1965.

Feller，W.Probability Theory and Its Applications，Vols.1 and 2.New York：Wiley，1950.

Karlin，S.，and H.M.Taylor.A First Coursein Stochastic Processes，2nd edn.New York：Academic Press，1975.

Neftci，S.Introduction to Mathematics of Financial Derivatives，New York：Academic Press，1996.

附    录

伊藤定理的推导

在这个附录里，我们可以看到，伊藤定理可看作是其他更简单结论的自然扩展考虑一个变量x的连续可微函数G。如果x的一个小的变化为△x，相应地G的一个小的变化为△G，则

换句话说，△G近似等于G对x的变化率乘以△x，误差项包括高阶小量△x²。如果要求更精确的话，可以运用△G的泰勒展开式：

现在我们将式（12A.4）进行扩展，使它能够包括这些遵循过程的变量的函数。假定变量x遵循一般过程：

这一等式揭示了式（12A.6）和式（12A.3）之间存在的一个重大的差异。当等式（12A.3）取极限转化为（12A.4）时，由于△x³项是二阶小量，所以忽略了这一项。从式（12A.7）中我们可以得出：

该式表明在等式（12A.6）中的高阶△x²项包含一个△t的分量，而这一个△t项是不可忽略的。

标准正态分布的方差为1.0。这意味着：

其中E表示期望值。由于E（∈）=0，所以E（∈²）=1。因此普冬的期望值为△t。同样∈²△t的方差的阶数为△t²。因此，当△t趋向于零时，∈²△t变为非随机项且等于△t的期望值。因此，等式（12A.8）右边第一项△x²就变为非随机项，并且当△t趋向于零时等于b²dt。等式（12A.6）中当△x和△t趋向于零时，运用这一最后结果，我们得到：