第28章 ​利率衍生证券：短期利率模型

第28章    利率衍生证券：短期利率模型

到现在为止，我们给出的利率期权定价模型假设在未来某个时点的利率、债券价格或其他变量的概率分布是对数正态分布。它们广泛应用于诸如利率上限、欧式债券期权以及欧式互换期权等金融工具的估值。然而，它们存在局限性。它们不能描述利率随时间演变的方式。因此，它们不能用于许多正在交易的诸如美式互换期权、可提前赎回债券以及结构化票据等这些利率衍生证券的估值。

本章和下一章中我们讨论一种新方法，目的是克服这种局限性。这包括构造所谓的期限结构模型。这是一个描述零息票率可能行为的模型。本章重点讨论基于特定的短期利率r行为过程构造的期限结构模型。

28.1    背    景

t时刻的短期利率r是适用于t时刻一个无穷小的时间期限内的利率一有时这种短期利率也称之为瞬态短期利率（instantaneous short rale）。债券价格、期权价格和其他衍生证券价格仅只依赖于r在风险中性世界中所遵循的过程，与现实世界中r所遵循的过程无关。我们在这里考虑的风险中性世界指的是传统风险中性世界，在一个t至t+△t之间的很短的时间段内，投资者平均获得r（t）t+△t。我们将给出的所有r遵循的过程，都是在该风险中性世界中得到的。

根据方程（25.19），在T时刻给出收益为fT的利率衍生证券的价值为：

和之前一样，设P（t，T）为t时刻零息票债券的价格，该债券在T时刻支付$1。由（28.1）得：

根据该时刻的r值和r的风险中性过程，这个公式可获得任意给定时刻的利率期限结构。它说明了：一旦我们定义了r的过程，我们就已经完全定义了初始零息率曲线所需的所有内容以及它随时间的演变过程，

28.2    均衡模型

通常均衡模型是从假设一些经济变量开始，并推出短期无风险利率r的一个过程。然后它们寻找该过程对债券价格和期权价格的含义。

在单因子模型中，r的过程只包含一个不确定性的来源。通常在风险中性世界中，短期利率由如下形式的过程来描述：

dr=m（r）dt+s（r）dz

假设瞬态漂移率m和瞬态标准差s是r的函数，但它们独立于时间。单因子的假设不像它看起来那样严格。单因子模型意味着：在任意短时间间隔内所有利率按相同的方向变动，但它并不意味着所有利率以相同的幅度变动。因此随时间变化，零息率曲线的形状也发生变化。

我们将考虑三个单因子均衡模型：

Rendleman和Bartter模型

在Rendleman和Bartter的模型中，r的风险中性过程是：

其中μ和σ是常数。这意味着r服从几何布朗运动。r所遵循的过程与第13章假设的股票价格所遵循的过程类型相同。它可以用一个类似于第11章中使用的股票的二叉树图来表示。

这里假设短期利率的行为与股票价格相似是很自然的，但这个假设很不理想。在利率和股票价格之间的一个重要差别是随时间的推移，利率呈现出向某个长期平均水平收敛的趋势。这个现象称之为均值回复（mean reversion）。当r较高时，均值回复会使r具有负的漂移率；当r较低时，均值回复会使r具有正的漂移率。均值回复可用图28.1来说明。而Rendleman和Bartter的模型并没有刻画出这个特性。

有些强有力的经济学观点支持均值回复°当利率较高时，经济发展会放慢，借款人对资金的需求就会减少。结果导致利率下降。当利率较低时，则借款人会对资金有很高的需求，结果导致利率上升。

Vasicek模型

在Vasicek模型中，短期利率r的风险中性过程是：

其中a、b和σ为常数。这个模型包含了均值回复。短期利率以速率a拉向水平b，这个额外的“拉力”是服从正态分布的随机项σdz。

Vasicek说明，从方程（28.2）可获得如下的T时刻到期支付$1的零息票债券，在t时刻的价格表达式为：

该式说明，只要选择出a、b和σ，整个期限结构就可以被表示为r（t）的函数。它的形状可以上倾、下倾或稍稍“隆起”（参见图28.2）。

Cox、Ingersoll和Ross模型

在Vasicek模型中，在未来某时刻的短期利率r可能为负值。Cox、Ingersoll和Ross曾提出了一个利率总是为非负值的模型。模型中R的风险中性过程是：

这与Vasicek有同样的均值回复漂移，但短期利率变化的标准差正比于。这意味着其标准差随着短期利率的上升而上升。

Cox，Ingersoll和Ross在他们的模型中指出：债券价格与在Vasicek模型中的一般形式相同，即：

双因子均衡模型

许多研究者对双因于均衡模型的性质进行研究。例如，Brennan和Schwartz曾建立了一个当短期利率回复到长期利率，而长期利率服从随机过程的模型。长期利率被选择作为每年支付$1的永久性债券的收益率。由于这个债券的收益率是该债券价格的倒数，运用伊藤定理可从债券价格所遵循的过程计算出其收益所遵循的过程。该债券是一种可交易证券的情况使分析得以简化，因为我们知道在风险中性世界中债券的预期收益率必然等于无风险利率。

另一个双因子模型是由Longstaff和Schwartz提出的。作者从经济学的一般均衡模型开始并推导出一个有随机波动率的期限结构。可以证明用解析法很容易处理该模型。

28.3    无套利模型

在前几节中所表示的均衡模型的缺点是它们不能自动匹配今天的利率期限结构。通过谨慎地选择参数，它们可以提供一种近似于实际的许多种期限结构。但是这种拟合通常并不精确，而且在有些情况下，无法找到合理的拟合公式。大多数交易员认为它不能令人满意。当模型不能对标的债券做出正确定价时，他们有理由说他们对债券期权的定价几乎没有什么信心。标的债券价格1%的误差会导致期权价格25%的误差。

无套利模型（no-arbitrage model）被设计为模型能很精确地匹配今天的利率期限结构。因此，均衡模型与无套利模型之间的本质区别如下：在均衡模型中今天的利率期限结构是输出量；在无套利模型中今天的利率期限结构是输入量。

均衡模型中短期利率的漂移率（即dt的系数）通常不是时间的函数。无套利模型中该漂移率通常依赖于时间。这是因为在无套利模型中，初始零息率曲线的形状决定未来短期利率所经历的平均路径。如果t1至t2期限之间内零息率曲线是急剧向上倾斜的，那么r在该期限内漂移率为正；如果t1至t2期限之间内零息率曲线是急剧向下倾斜的，那么r在该期限内漂移率为负。

那么，在一些均衡模型中把短期利率的漂移率表示为时间的函数，就能把均衡模型转换成无套利模型。我们接下来介绍Ho-Lee模型、Hull-White模型（单因子以及双因子）以及Black-Karasinski模型。

Ho-Lee模型

Ho-Lee在1986年的论文中首先提出了期限结构的无套利模型。他们用债券价格二叉树图的形式提出了该模型。模型有两个参数：短期利率标准差和该短期利率风险的市场价格。模型的连续时间极限被表示为：

其中短期利率的瞬态标准差σ是常数，而Θ（t）是为了保证模型与初始期限结构一致而选择的时间函数。变量Θ（t）定义了在t时刻r的平均运动方向，它独立于r的值。有趣的是，当模型用来定价利率衍生证券时，Ho-Lee模型中与风险市场价格有关的参数是一个不相关的变量。这类似于在股票期权定价中的风险偏好无关性的情形。

利用如下的解析公式可以计算出变量θ（t）：

其中，F（0，t）是0时刻观察到的t期限的瞬态远期利率，下标t表示对t的偏导数。Θ（t）的近似值等于Ft（0，t），这意味着短期利率未来运动的平均方向近似等于瞬态远期利率曲线的斜率。Ho-Lee模型如图28.3所示，远期利率曲线的斜率定义了在任何指定时刻短期利率正在运动的平均方向。施加这个斜率的量是正态分布随机输出量。

在Ho-Lee模型中，零息票债券和基于零息票债券的欧式期权可以求出估值解析式子。用短期利率表示的t时刻的零息票债券价格的表达式是：

在这些公式中，设定今天是时间零点。时间t和T是指未来一般时间，其中T≥t。因此，根据t时刻短期利率及今天债券的价格，这些方程定义了在未来t时刻的零息票债券的价格。今天债券价格可以通过今天的期限结构计算出来。

Hull-White（单因子）模型

在1990年发表的一篇论文中，Hull和White探讨了Vasicek和Cox、Ingersoll和Ross模型的扩展情况，并提供了一个精确符合初始期限结构的模型。他们建议的Vasicek模型的一个扩展形式是：

其中a和σ是常数。我们将把它称作Hull-White模型。与Ho-Lee模型一样，Hull和White模型以速率a向均值回复。另外，Hull和White模型与Vasicek模型类似，具有依赖时间的回复水平。在t时刻，短期利率以a的速度回复到Θ（t）/a。Ho-Lee模型是a=0时Hull-White模型的特例。

与Ho-Lee模型类似，该模型具有同样程度的解析易用性。从初始期限结构可计算Θ（t）函数如下：

这个方程中的最后一项通常很小。如果我们忽略这一项，该方程就说明在t时刻r过程的漂移是Ft（0，t）+a[F（0，t）-r]。这说明平均而言，r近似等于初始瞬态远期利率曲线的斜率。当它偏离该曲线时，它以a的速率回复到该曲线。图28.4中解释了这一模型。

Hull-White模型中t时刻的债券价格由下式给出：

其中


根据t时刻短期利率及今天债券的价格，方程（28.15）、（28.16）和方程（28.17）定义了在未来t时刻的零息票债券的价格。今天债券价格可以通过今天的期限结构计算出来。

Black-Karasinski模型

Ho-Lee模型和Hull-White模型的缺点是短期利率r可能是负值。Black和Karasinski提出了保证利率是正值的模型：

变量Inr遵循的过程和Hull-White模型中r遵循的过程相同。Ho-Lee模型和Hull-White模型中某个未来时刻的r值服从正态分布，Black-Karasinski模型中服从对数正态分布。

Black-Karasinski模型在解析方面不像Ho-Lee模型和Hull-White模型那样易于处理。例如，该模型中不能给出债券价值关于r的解析公式。

Hull-White双因子模型

和双因子均衡模型类似，Brennan和Schwartz提出了如下的无套利模型：

如上面单因子模型中的情况，根据初始期限结构选择参数Θ（t）。（随机变量u是r的回复水平的一个组成部分，并且随机变量u以速率b拉向0水平。参数a、b、σ1和σ2都是常数，dz1和dz2是维纳过程，两者的瞬态相关系数为ρ。

上述模型比r的单因子模型更充分解释了期限结构移动模式以及波动率模式。关于该模型的更多细节，参照作者网页中的技术说明14。

28.4    债券期权

我们到现在为止讲述过的有些模型中，对零息票债券的期权可以进行解析估值。Vasicek模型、Ho-Lee模型以及Hull-White模型中，在零时间点，基于到期期限为s、零息票债券的到期期限为T的看涨期权价格为：

Cox、Ingersoll和Ross模型（28.2节中描述过）也有对应的零息票债券期权的定价公式。公式中需要对非中心卡方分布求积分。

附息债券期权

r的单因子模型中，当r下降时，所有零息票债券的价格上升；而r上升时，所有零息票债券的价格下降。因此，利用单因子模型，欧式附息债券期权可以表示为欧式零息票债券期权的总和。分析过程如下：

1.计算r的临界值r*，使得期权到期之时的附息债券价格和期权的执行价格相同

2.计算组成附息债券的零息票债券期权的价格。每个期权的执行价格被设定为等于相应的零息票债券在T时刻r=r*时的价值

3.设定附息债券期权的价格等于第2步中计算的零息票债券期权的价格总和

那么，我们可以在Vasicek、Cox、IngersollxRoss、Ho-Lee模型以及Hull-White模型中利用上述过程对附息债券期权进行定价。如商业剪影26.2所述，一个欧式互换期权可视为一种附息债券期权。那么，也可以用上述过程进行定价。对于上述过程的更多细节，参见作者网页中的技术说明15。

28.5    波动率结构

我们已经看到的几个模型都对应于不同的波动率环境。图28.5中，我们可以看到Ho-Lee模型、Hull-White单因子模型和Hull-White双因子模型中的3个月远期利率的波动率与其期限之间的关系。假设利率期限结构是平的。

在Ho-Lee模型中，3个月远期利率的波动率对于所有期限都是一样的。Hull-White单因子模型中，由于均值回复效应，3个月远期利率的波动率是关于期限的减函数。在Hull-White双因子模型中，选择了恰当的参数之后，3个月远期利率的波动率呈现“弓状隆起”，这与实证结果相符，也与26.3中讨论过的利率上限隐含波动率的情况相符。

28.6    利率树图

利率树图是短期利率随机过程的离散时间的表达式，它类似于股票价格遵循的离散时间表达式——股票价格树图。如果在树图中的时间步长为△t，在树图中的利率是连续计复利的△t期利率。当构造树图时，通常假设△t期利率R遵循与对应连续时间模型中瞬态利率r同样的随机过程。在利率树图和股票价格树图之间的主要区别在于进行贴现的方式。在股票价格树图中，通常假设在每个节点（或时间函数）贴现率相同。在利率树图中，每个节点的贴现率都在变化。

事实证明，使用利率三叉树图比使用二叉树图更方便。三叉树图主要的优点是它提供了一个额外的自由度，因此，用树图表示利率过程中诸如均值回复这些特性更容易。正如在第17.8节所指出的，使用三叉树图方法等价于使用外推有限差分方法。

三叉树图应用的说明

为说明如何使用利率三叉树图为衍生证券估值，我们考虑图28.6所示的简单例子。这是一个两步树图，每个步长的时间长度是1年，即△t=1年。我们假设在每个节点上升、持平和下降的概率分别为0.25、0.50和0.25。在图中的每个节点，上面的数字为假设的△t期利率。

利用该树图为这样一个衍生证券估值，该衍生证券在第二个时间步长末给出的收益为：

其中R是△t期的利率。每个节点下面的数字为计算出的该衍生证券的价值。在最后一个节点，衍生证券的价值等于收益。例如在节点E，价值为100x（0.14-0.11）=3。对更早的节点，利用第11章和第17章所述的滚动回推的方法，可以计算出该衍生证券的价值。在节点B，1年期利率是12%。用这个值进行贴现，从节点E、F和G衍生证券的价值可得到节点B的价值为：

非标准化分支

有时对标准分支模式进行调整是非常有用的，图28.6中所有节点都是使用了标准分支模式。图28.7中给出了三种分支模式。标准分支模式如图28.7（a）所示。标准分支模式是“上升一个单位/持平/下降一个单位”。与这不一样的另一种模式是“上升两个单位/上升一个单位/持平”，这种模式如图28.7（b）所示。当利率很小时，考虑均值回复是有益的。第三种分支模式如图28.7（c）所示，是“持平/下降一个单位/下降两个单位”。当利率很大时，考虑均值回复是有益的。在下一章节我们说明不同分支方法的应用。

28.7    构造树图的一般方法

Hull和White提出了构造三叉树图以表示单因子模型广泛应用的两步骤方法。本节中，我们首先解释该方法如何应用于方程（28.13）中的Hull-White模型，然后说明该方法如何扩展来表示其他模型。

第一个步骤


假设△t期利率R遵循的过程和r一样：

显然，在△t趋近于零的的情况下，这是合理的。为该模型构造树图的第一步是为变量R*构造树图，其初始值为零，并遵循如下过程：

理论研究表明：从误差最小化的角度看，上述的△R是很好的选择。

在这种方法的第一个步骤中，我们的目的是构造一个类似于图28.8所示的关于R*树图。为此，我们必须决定图28.7中哪个三分支方法应该在每个节点使用。这将决定整个树图的几何形状。一旦做完这些，一定可计算出每个分支的概率。

定义（i，j）为t=i△t和的节点R*=j△R（i为正整数，j为正整数或负整数）。在某个节点所使用的分支方法必须使得所有三个概率都为正值。大多数情况下图28.7（a）的分支方法是合适的。当a>0，对足够大的j值，有必要从图28.7（a）的分支转换到图28.7（c）的分支。类似地，当j值是足够大的负值时，有必要从图（a）的分支转换到图28.7（b）的分支。定义jmax为我们从图28.7（a）分支转换到图28.7（c）分支的j的值，jmax为我们从图28.7（a）分支转换到图28.7（b）分支的j的值。Hull和White证明：如果我们设定jmax大于等于0.184/（a△t）的最小整数，设定jmax等于-jmax，这些概率总是正的。定义pu、pm和pd为从节点散发出来的最高、居中和最低分支的概率。选择这些概率以给出在下一个时间间隔△t内R*的预期变化及该变化的方差。概率的总和必须为1，这得到3个概率的三个公式。

之前已经讲述过，R*在△t时间段内的变化的均值为-aR*△t，变化的方差σ2△t。在节点（i，j）上，R*=j△r。如果节点（i，j）的分支模式如图28.7（a）所示，该节点上的pu、pm和pd，应该满足以下三个公式：

注意，在图28.8中每个节点的概率仅只依赖于j。例如，在节点B的概率与在节点F的概率相同。更进一步地，树图是对称的。在节点D的概率是节点B概率的镜像值。

第二个步骤

构造树图的第二个步骤是将R*的树图转换为R的树图。通过取代R*树图上的节点使其精确满足初始的利率期限结构，可以得到R的树图。定义

我们反复迭代计算α序列，以便完全匹配初始期限结构。定义αi为α（i△t），这是R树图中R在i△t时刻的值减去相应的r*树图中R*在i△t时刻的值。定义Qi,j为某个证券的现值，如果达到节点（i，j）该证券收益$1，在其他节点则为零。通过初始期限结构精确匹配的方式使用前面的推导，可以计算出αi和Qi,j的值。

第二个步骤的说明

对初始期限结构，该债券价格应该是e-0.04512x2=0.9137。将Q的值代入公式（28.21），我们得到

这意味着在R的利率树图中，在△t时刻中心节点对应的利率为5.20%（参见图28.9所示）。

下一步是计算Q2,2、Q2,1、Q2,0、Q2,-1、Q2,-1和Q2,-2的值。利用前面计算出的Q值，可以简化计算过程。举Q2,1为例。这是某个证券的值，如果达到节点F该证券收益$1，在其他节点则为零。只有通过节点B和节点C才可达到节点F。这两个节点的利率分别为6.937%和5.205%。B-F分支和C-F分支所对应的概率分别为0.6566和0.1667，因此，在节点F支付$1的某个债券在节点B的价值为0.6566e-0.06937。节点C的价值为0.1667e-0.05205。因此，变量Q2,1是0.6566e-0.06937乘以在节点B收取$1的现值，加上0.1667e-005205乘以在节点C收取$1的现值，即：

在构造图28.9所示R树图的最后一步是计算α2。之后，就可以计算出Q3,j，接着，计算α3，依此类推。

α和Q的表达式

为了更正式表示该方法，我们假设已经决定了Qi,j的值，其中i≤m（m≥0）。下一步就是决定αm，以使该树图正确地为在（m+1）△t时刻到期的零息票债券定价。在节点（i，j）的利率是αm+j△R，所以在（m+1）△t时刻到期的零息票债券的价格为：

其中q（k，j）是从节点（m，k）运动到节点（m+1，j）的概率，求和是对所有的非零k值进行的。

扩展到其他模型

刚才简要描述的方法可以扩展到如下更一般形式的模型中：

这一类模型具有符合任何期限结构的特性。

和之前一样，我们假设△t期利率R遵循的过程和r一样：

第一个步骤是构造x*的树图，其中x*遵循的过程和x一样，但Θ（t）=0以及x*的初始值为0，此时的构造方法与已经描述过的构造图28.8树图方法相同。

正如图28.9中所示，然后我们用αi替换i△t在时刻的节点，使得它们与初始期限结构精确符合。通过归纳确定αi和Qi,j的公式，与f（R）=R时确定这些值的公式略为不同。设第一个节点上的Q值，Q0.0为1。假设当i≤m（m≥0）时的Qi,j已经确定。下一步是决定αm，以使该树图正确地为（m+1）△t时刻到期的零息票债券定价。定义g作为f的反函数，所以在m△t时刻第j个节点的△t期利率为：

其中q（k，j）是从节点（m，k）运动到节点（m+1，j）的概率，求和是对所有的非零k值进行的。

图28.10给出了将该方法运用于如下模型时的结果：

选择f（r）

当f（r）=r时，我们就获得方程（28.13）中的Hull-While模型；当f（r）=Inr时，我们获得方程（28.18）中的Black-Karasinski模型。绝大多数情况下，上述两个模型很适合处理交易活跃的如利率上限，以及欧式互换期权的金融工具的市场数据。f（r）=r模型的主要优点是它允汗解析处理。它的主要缺点是利率可能是负值。绝大多数情况下，该模型中利率是负值的发生概率非常小，但是一些分析师们有时不愿意使用利率可能是负值的模型。f（r）=Inr模型不存在解析公式，但是它的优点是保证利率是正值。它还有一个优点是交易者们通常信任从对数正态分布模型得到的σ序列，而不是从正态分布模型得到的σ序列。

对于利率水平比较低的国家，选择令人满意的模型可能是比较棘手的问题。正态分布模型是不合理的，因为初始利率较低时，未来利率也有可能是负值。对数正态分布模型也是不合理的，因为在利率水平比较低时，相比利率水平较高的情况，利率的波动率（即对数正态分布模型中的参数σ）很高（例如，短期利率小于1%时，100%的波动率也很有可能；而短期利率大于4%时，20%的波动率是比较恰当的）。这种情况下有一种方法是，对小于1%的r，使用对数正态分布模型；而对大于4%的r，使用正态分布模型。

将解析计算结果与树图结合起来

当为f（r）=r的Hull-White模型构造树图时，可以使用28.3节的解析结果得到完整的期限结构和在每个节点的欧式期权价格。在Hull-White树图中的利率是△t期的利率R，而不是瞬态短期利率r，了解这一点很重要。

根据方程（28.15）、（28.16）和方程（28.17），我们可以得到

因此，我们可以利用方程（28.25）计算债券价格，而不是方程（28.15）。

[例28.1]     作为该模型应用的一个例子，我们使用表28.2的零息率数据。利用线性插值方法得到表中所示期限之间的利率数据点。

利用零息率为3年（3x365天）期限的基于9年（9x365天）到期期限的零息票债券的欧式看跌期权进行估值。假设利率遵循Hull-White（f（r）=r）模型。执行价格为63，a=0.1，σ-=0.01。我们构造3年的树图，利用前面章节所述的方法可解析计算在最后节点的零息票债券价格如表28.3所示，从树图方法得到的结果与期权的解析计算价格一致。

这个例子较好地检验了该模型的一个应用，因为在期权到期之后，零息率曲线的梯度立即发生很大的变化。在树图的构造和使用过程中，一个小的误差有可能对得到的期权价值产生很大的影响（参照DerivaGem Application Builder软件中的Sample Application G）。

美式债券期权树图

除了Black模型，附于本书的DerivaGem软件还可以运行正态分布模型和对数正态分布模型，这样可以估值欧式债券期权、利率上限/下限以及欧式互换期权。此外，还可以估值美式债券期权。图28.11表示了软件中估值基于10年期债券的1.5年有效期美式看涨期权得到的树图，时间步个数为4，使用了对数正态分布模型。对数正态分布中使用的参数值为a=5%和σ=20%。标的债券持续10年，本金为100.年息票率为5%，每半年支付一次息票。收益率曲线是平坦的，年利率5%。执行价格为105。如26.2节所述，执行价格可以是现金价格或者是报价价格。在这里执行价格是报价价格，树图上的债券价格是债券现金价格。每个节点上的应计利息在树图下面给出。执行价格的现金价格等于应计利息加上执行价格的报价价格。债券报价价格等于债券现金价格减去应计利息，该期权的损益等于债券现金价格减去现金执行价格。等价地，损益也等于债券报价价格减去执行价格的报价价格。

树图给出的期权价格为0.668。使用100个时间步，更大的树图给出的期权价格是0.699。图28.11中需要注意以下两点：

1.软件在计算期权到期期限时用整数天数计算。例如，输入的期权有效期为1.5年时，期权有效期被认为是1.5014年（即1年零183天）。

2.对数正态分布模型中，10年期债券的价格不能以解析公式给出。它是在比上述更复杂的树图中以数值方法滚动回推计算的。

28.8    校    准

到现在为止，我们假设了波动率参数a与σ是已知的。我们接下来讨论如何决定这些参数。这一过程被称为校准模型（calibrating model）。

从交易活跃的期权市场数据中决定这些波动率参数（例如，表26.1和26.2中经纪人给出的利率上限和互换期权的报价）。这些金融工具被称为校准金融工具（calibrating instrument）。第一步是选择拟合测度。假设有n个校准金融工具，则种广泛使用的拟合测度是：

其中，Ui是第i个校准金融工具的市场价格，Vi是模型给出的金融工具的价格。校准的目的是选择使拟合测度最小化的模型参数。

拟合测度的最小化可以使用Levenberg-Marquardt方法。当a或σ，或两者都是时间的函数时，罚函数通常被加进拟合测度，这样能较好处理时间函数。上述例子中，当σ是阶梯函数时，我们选择的目标函数应该是：

上式的第2项为σ从一个阶梯到下一个阶梯的大幅度变化提供“罚”。第3项为σ的高曲率提供“罚在经验基础上，找出能使σ函数的平滑度在适当水平的ω1,i和ω2,i。

选择校准金融工具要尽可能地与要估值的金融工具类似。例如，假设我们要估值百慕大式互换期权，该互换期权的有效期为10年，在第5年至第9年之间的互换支付日中期权可以执行，并进入从今天算起10年期的一个互换。最接近的校准金融工具有5x5、6x4、7x3、8X2、9x1欧式互换期权（一个nxm欧式互换期权是有效期为n年期权，标的互换在期权到期之后m年后才到期）。

把a、σ，或两者表示为时间的函数，这种处理的一个优点是模型可以更精确地定价市场中交易活跃的金融工具。缺点是其中的波动率结构并不是稳定的。模型给出的未来波动率期限结构可能和当前市场中观察到的波动率期限结构非常不一样。

一种稍微不同的校准方法是利用所有可行的校准金融工具，计算“整体拟合最优”的参数a和σ，把参数σ固定在它的最优值，这一模型就可以像Black-Scholes一样地运用。期权价格与参数σ之间存在一对一的关系式。模型可以将表26.1和表6.2转变成隐含σ序列的表。定价某个衍生证券时，这些表可用来选择定价最适合的σ。

28.9    运用单因子模型进行套期保值

我们在26.6节中概述了对冲利率衍生证券组合的一些一般方法。这些对冲方法可以和本章中的期限结构模型结合使用。delta、gamma以及vega的计算，会使零息率曲线利率期限结构或波动率环境发生小变化，所以需重新计算证券组合的价值。

注意，虽然我们在定价利率衍生证券时经常假设只存在一个因子，但这并不是说对冲时也只存在一个因子。例如，我们对于收益率曲线的很多不同移动，计算相应的delta，而这种曲线移动并不局限于模型所对应的移动种类。我们也考虑模型中不可能发生的期限结构的变化，这就是所谓的外推模型套期保值（outside model hedging），这也是交易员们使用的标准手段。事实上，只要利用好很简单的单因子模型，也可以得到非常可信的金融工具的价格。但是，好的对冲操作中一定要直接或间接地考虑很多因素。

小    结

在金融领域中使用的传统的期限结构模型是所谓的均衡模型。在理解经济变量之间的潜在关系方面，它们是有用的，但缺点是初始期限结构是模型的输出量而不是模型的输入量。当在为衍生证券估值时，所使用的模型与在市场上观测到的初始期限结构一致是很重要的。无套利模型是具有上述特性的模型。它们将初始期限结构看作为已知量，并定义期限结构演变的方式。

本章中描述了一系列短期利率的单因子无套利模型。这些模型功能强大，可以和任意初始零息率集合一起使用。最简单的是Ho-Lee模型。它的优点是它可用解析方法来处理。其主要缺点是它隐含着在所有时间所有利率的可变性相同的假设。Hull-White模型是包括均值回复的Ho-Lee模型的另一种形式。该模型在保持解析特性条件下，允许对波动率环境进行更充分的描述。对数正态分布的单因子模型的优点是它们避免了负利率的可能性，但不幸的是，它们无法用解析方法求解。

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