第18章 ​在险值

第18章    在险值

在第15章中，我们分析了从不同角度描述一个衍生证券组合风险的一系列参数，例如delta、gamma和vega。通常，一家金融机构每天对它暴露于每个市场变量的风险计算这些参数值。这样的市场变量常常有数百种或上千种。所以，进行delta-gamma-vega分析每天产生数量巨大的不同的风险参数。如果交易员只是负责管理金融机构中依赖某个特定市场变量的投资组合部分的话，这些风险参数提供的信息对他是有价值的。但是它们不能度量金融机构面临的总风险。

在险值（VaR）是一个全面衡量金融投资组合风险的单一参数。它已经被公司财务主管和基金经理以及金融机构广泛应用。中央银行监管机构也利用VaR来决定一家银行需要保有多少资本，以便反映它所承受的市场风险。

本章中我们会解释VaR方法，并且介绍两种主要的计算途径。它们分别是历史模拟方法和建模计算方法。

18.1    VaR参数

当使用在险值方法的时候，我们感兴趣的是得出如下的论断：“我们有百分之X的可能在将来的N天里的损失不会超过V美元。”这里的变量V是投资组合的VaR。它是关于两个变量的函数：时间长度（N天）和置信度（X%）。我们有X%的把握在将来的N天里损失不会超过这个水平。银行监管部门要求银行计算N=10，X=99时的VaR（参见商业剪影18.1的讨论）。

商业剪影18.1    监管机枸如何使用VaR

巴塞尔银行监督管理委员会是世界银行监管机构，定期在瑞士的巴塞尔开会。1988年它发布了被大家称为T988年巴塞尔资本协定”（The 1988 BIS Accord）［简单称为"协定”（The Accord）］的文件。这是监管机构针对银行信用风险计算银行应该保有的相关资本的协议。几年后，巴塞尔委员会发布了“1996年修正案”（The 1996 Amendment），自1998年开始实行。其中要求银行除了信用风险之外，还要为市场风险保留相应资本。该修正案中区分了交易账册和银行账册。银行账册主要记录贷款项目，不进行管理和会计目的的定期再评估。交易账册中记录银行交易的许多不同种类的金融工具（股票、债券、互换、远期合约、期权等等），该账册中的项目每日进行再评估。

“1996年巴塞尔修正案”中计算交易账册相关资本的时候，用N=10、X=99的VaR度量。这说明，我们侧重于反复评估10天期限内，发生的概率只有1%的损失。修正案要求银行持有上述VaR值（还要根据特殊风险进行调整）乘以K的资本。监管机构基于整个银行业状况选择乘数K，而K要大于等于3.0。经过测试，对于VaR估值程序非常优秀的银行，监管机构要求的k是最低值3.0；而对于其他银行，监管机构要求的K可能比这个值要高。

通常，如果时间长度为N天，置信度为X%，VaR就是接下来N天中投资组合的价值变化的分布在第（100-X）个百分点所对应的损失。例如，如果N=5，X=97，VaR是在接下来的5天中投资组合价值的变化分布的第3个百分点。图18.1描述的是投资组合价值变化近似正态分布情况下的VaR。

VaR是一个很有吸引力的参数，因为它易于理解。事实上，它给出了一个简单的问题“情况会变得多糟糕？”所有高级主管都想知道这个问题的答案。把投资组合所有的市场变量的所有套期保值参数统一成一个参数，能够带来很大的方便。

如果我们认同以单个参数描述投资组合风险是非常有用的，那么一个有意义的问题是VaR是否是最好的选择。一些研究者曾经提出VaR可能会促使交易员选择回报分布类似图18.2所示的投资组合。图18.1和图18.2所示的投资组合有相同的VaR，但是由于后者的潜在损失更高，图18.2的投资组合风险更大。

处理上述问题的一种参数是条件在险值（Conditional VaR，C-VaR）。VaR关注“情况会变得多糟？”，而C-VaR关注“如果情况变糟，我们预计会损失多少？”C-VaR是我们处于分布左尾部（100-X）%的情况下，N天的时间长度中的预期损失。例如，X=99，N=10，C-VaR是假设最坏的情况有1%的可能发生时，10天内我们的平均损失。

虽然VaR存在一些缺点，VaR（而不是C-VaR）仍然是在监管机构和风险管理中最流行的参数。本章接下来的内容中将主要介绍如何计算VaR。

时间长度

理论上，VaR有两个参数：N为时间长度，用天数来衡量；X为置信度。实际计算时分析师通常先设N恒为1。这是因为没有足够的数据来直接估计时间跨度超过1天的市场变量的变化。通常的假设是：

如果投资组合的价值变化在随后几天里的分布，遵循均值为0的正态分布，而且相互独立，则该公式严格成立。其他情况下该公式是一个近似。

18.2    历史模拟方法

历史模拟是一种估算VaR的通用方法。它是直接利用过去的数据来预测将来可能发生的变化。假设我们利用时间长度为1天，置信度为99%，以及过去500天的数据来计算一个投资组合的VaR。第一步是确定影响这个投资组合的市场变量。通常这些变量包括汇率、股价、利率等等。然后，我们搜集这些市场变量在过去500天里的变动数据。我们可以得到500个今天到明天可能发生的情景。第一种情景下，假设所有变量的变化百分数都等同于我们在第1天收集的数据变化百分数；第二种情景下，假设所有变量的变化百分数都等同于我们在第2天收集的数据变化百分数。依此类推。对每种情景，我们计算今天到明天投资组合价值的美元变化。据此，它定义了投资组合价值的日变化值遵循的概率分布.损失排第5位的日变化值是该分布的第1个百分点。VaR的估计值就是概率分布的第1个百分点处的损失。假设过去500天能够很好地预示下一天的变化，那么我们有99%的把握损失不会超过所得的VaR值。

历史模拟方法可以用表18.1和表18.2来表示。表18.1给出了过去500天里的市场变量观测值。观测值来自每天某一特定时间点（通常为收盘时）。我们把包含第一份数据对应的天记为第0天；包含第二份数据对应的天记为第1天；依此类推。今天是第500天；明天是第501天。

表18.2给出了明天的市场变量值，其中假设了今明两天之间的变化百分数和第，-1天与第i天之间（1≤i≤500）的变化百分数相同。假设今天与明天之间市场变量的变化百分数等于第0天和第1天之间市场变量的变化百分数，那么明天的市场变量值就如表18.2中第1行所示；假设今天与明天之间市场变量的变化百分数等于第1天和第2天之间市场变量的变化百分数，那么明天的市场变量值就如表18.2中第2行所示；依此类推。表18.2的500行表示我们要考虑的500种情景。

定义vi为第i天的某个市场变量的值，并假设今天为第m天。第£种情景中，明天的市场变量值将为：

在我们的例子中，m=500，对第一个变量，今天的数值v500是25.85。同时v0=20.33，v1=20.78。由此可得在第一种情景中第一个市场变量的值为

表18.2的倒数第二列表示500种情形下所对应的明天的投资组合价值。假设今天的投资组合价值为2350万美元。我们可以针对各种不同情景计算今明两天之内的价值变化。对第一种情景，价值变化值是21万美元；对第二种情景，价值变化值是-38万美元。依此类推。

我们感兴趣的是投资组合价值变化遵循的分布的1%分界点。表18.2中总共有500种情况，所以我们可以从表最后一栏中找出排名第5的损失，就能得到上述百分点的估计值。另一种方法是所谓的极值理论（extreme value theory），该方法中平滑处理了分布的左端尾部数字，以便得到更为准确的分布的1%分界点。如前一节所述，置信度为99%的N天VaR

本例中的VaR估计值每天都应该用最新的过去500天的数据进行更新。比如，考虑在第501天发生的变化。我们可以得到所有市场变量的最新值并且能够计算出我们的投资组合要用的最新值。然后我们可以重复前述的过程来计算新的VaR。我们所用的市场变量数据是第1天到第501天的数据（我们可以得到所需的500个市场变量的变化百分数；第0天的市场变量值不再被使用）。类似地，在第502天我们使用第2到第502天的数据来计算VaR，依此类推。

18.3    建模计算方法

可以代替历史模拟方法的一个重要方法是建模计算方法。讲述该方法的细节之前，我们需要讨论相关波动率度量单位的一个问题。

每日波动率

在期权定价中，我们通常以年度量时间，而且某个资产的波动率通常表示成“年波动率”。当使用建模计算方法计算VaR的时候，我们通常以日来度量时间，资产的波动率通常表示成“日波动率”。

那么期权定价中的年波动率和VaR计算中的日波动率有什么联系呢？定义σyear为某个资产的年波动率，σday为该资产的相应的日波动率。假设每年有252个交易0，根据公式（13.2），我们可以将1年后资产的连续复利收益的标准差表示成σyear

因此，日波动率大约为年波动率的6%。

在13.4节中提过，σday近似等于1天后资产价格变化百分数的标准差。为了计算VaR，我们假定两者是完全相等的。我们就设资产价格（或其他任何变量）的日波动率等于1天后价格变化百分比的标准差。

接下来的几节中假设我们已经知道波动率与相关系数的估计值。在第19章中，我们将讨论如何求得这些估计值。

单资产案例

考虑最为简单的情形，证券组合只包括单种股票头寸，我们解释如何以建模计算方法得到VaR。我们考虑的证券组合包括1000万美元微软股份。我们设N=10，X=99，这样，我们关心的就是99%置信度下10天中的损失水平的上限。首先，我们以一天时间为单位进行研究。

我们假设微软股票的日波动率是2%（相当于年波动率为32%）。因为头寸的大小为1000万美元，那么该头寸价值的日变动的标准差就是1000万美元的2%，即20万美元。

在建模计算方法中普遍使用以下假设：某市场变量在考察的时间范围内的预期变化为零。这种假设并不严格成立，但还是比较合理。一个市场变量的价格在短时间内的预期变化与这种变化的标准差相比通常微不足道。举个例子来说，如果微软每年的预期回报率是20%，那么每天的回报率则是0.20/252，即约0.08%，而该回报率的标准差是2%。若以10天为时间单位，则预期回报率是0.08x10，即大约0.8%，而该回报率的标准差是即大约6.3%。

到现在为止，我们已经确定了微软股票证券组合价值在一天内变化的标准差为20万美元，均值为零（至少近似为零）。我们假设变化服从正态分布。在本书末尾的附表中可以查出N（-2.33）=0.01。这意味着一个正态分布变量值有1%的可能性会下降2.33个标准差以上。同样，这也意味着我们有99%的把握可以认为一正态分布变量不会下降2.33个标准差以上。所以，由1000万美元微软股票头寸组成的证券组合的1天99%置信度的VaR等于：

2.33x200000=$466000

接下来考虑由500万美元AT&T股票头寸组成的证券组合，我们假设AT&T的日波动率为1%（年波动率接近于16%）。使用与微软例子相似的计算过程，我们得出证券组合价值1天内变化的标准差是

两资产案例

现在考虑这样一个证券组合，它由1000万美元的微软股票和500万美元的AT&T股票组成。我们假设两种股票的回报率服从相关系数为0.3的二维正态分布。统计学中的一个标准结论是说，如果两个变量X和Y的标准差分别为σX和σY相关系数等于ρ，那么X+Y的标准差可以表示如下：

为了应用上述结论，我们定义X等于微软头寸价值在1天内的变化，而Y定义为AT&T头寸价值在1天内的变化，那么

分散化投资的好处

上面的例子中我们刚刚计算过：

1.微软股票组合10天99%的VaR是1473621美元

2.AT&T股票组合10天99%的VaR为368405美元

3.微软和AT&T股票证券组合10天99%的VaR是1622657美元

差额

（1473621+368405）-1622657=$219369

就代表分散投资的价值。如果微软和AT&T完全相关，那么有微软和AT&T组合资产的VaR就等于微软单种组合VaR和AT&T单种组合VaR的和。如果两者非完全相关，就可以分散部分风险。

18.4    线性模型

我们刚才讨论的例子简单地描述了应用线性模型计算VaR的方法。假设我们有价值为P的资产组合，它由n项资产组成，第i项资产的份额为αi（1≤i≤n)。我们将△xi定义成资产i在1天之内的回报。可以得出1天之内我们在资产i上投资价值的美元变化量为αi△xi，有

其中△P是1天内总资产组合价值的美元变化量。

在前一节所考虑过的例子中，我们将1000万美元投资在第一项资产（微软）上，将500万美元投资在第二项资产（AT&T）上。因此（以百万美元为单位）α1=10，α2=5，有

如果我们假设在等式（18.1）中的△xi服从多维正态分布，那么△P便服从正态分布。那么，为了求得VaR，我们需要计算的仅仅是△P的均值和标准差。与前一节一样，我们假设每个△xi的期望值为零，这意味着△P的均值也是零。

为计算得到△P的标准差，我们假设σi为第i项资产的日波动率，ρij为第i项资产收益和第j项资产收益之间的相关系数。也就是说σi是△xi的标准差，而ρij则是△xi和△xj的相关系数。△P的方差由σ2p表示，则

处理利率的方法

要将一个公司所面临的每一个债券价格或利率风险——定义成对应的市场变量是不可能的。因此，使用建模计算方法的时候，我们需要做出简化处理。一个可行方法是假设收益率曲线只发生平行移动。接下来我们只需定义一个市场变量：平行移动的幅度。一个债券组合的价值变化就可以用久期关系式计算出来：

△P=-DP△y

这里P是资产组合的价值，△P是一天内P的变化量，D是资产组合的修正久期，△y是一天中的平移幅度。

这种计算方法的准确度一般不太高。接下来通常要做的就是选择标准期限的零息债券作为市场变量：标准期限有1个月、3个月、6个月、1年、2年、5年、7年、10年和30年。为了计算VaR，资产组合内金融工具的所有现金流被映射分解为标准到期日的现金流。考虑100万美元的1.2年期长期债券头寸，息票率为6%，每半年支付一次息票。息票在0.2年、0.7年和1.2年支付，本金在1.2年支付。于是，我们第一步可以把这支债券分解为3万美元的0.2年期零息债券、3万美元的0.7年期零息债券和103万美元的1.2年期零息债券头寸。0.2年期债券的头寸可以由1个月期和3个月期零息债券头寸组合而成；0.7年期债券可以由6个月和1年期零息债券头寸组合而成；1.2年期零息债券头寸可以由1年期零息债券头寸和2年期零息债券头寸组合而成。结果在进行VaR计算时，1.2年期附息债券被分解为1个月期、3个月期、6个月期、1年期和2年期零息债券头寸的组合。

上述过程被称为现金流映射分解。本章附录中解释了这种方法。

线性模型的应用

线性模型的最简单的应用对象是不包含任何基于股票、债券、外汇和商品的衍生工具的资产组合。这种情况下资产组合价值变化量与组合中各资产价格的变化百分数呈线性关系。需要注意的是，为了计算VaR，所有的资产价格都以国内货币作为衡量单位。因此，一个美国大银行所考虑的市场变量很可能包括以美元衡量的Nikkei255指数，以美元衡量的10年期英镑零息债券的价格等等。

可以用线性模型处理的一种衍生品是购买外币的远期合约。假设合约在T时刻到期。我们可以将合约视为T时刻到期的外币零息债券与T时刻到期的国内零息债券的兑换。为了计算VaR，远期合约可被分解为外币债券的多头头寸和本币债券的空头头寸。每种债券都可以用现金流映射分解过程来处理。

接下来考虑利率互换。如第7章中所述，利率互换可视为浮动利率债券和固定利率债券的交换。固定利率债券是常规的附息债券，浮动利率债券在下一个付息日之后的即刻价值等于票面值。我们可以将其理解为到期日等于下个付息日的零息债券。所以，利率互换被简化成债券多头与空头的组合，每个债券可以用现金流映射分解过程来处理。

线性模型和期权

我们现在考虑存在期权的情况下如何运用线性模型。首先考虑由一种股票的期权组成的证券组合，该股票的现价是S。假设头寸的delta（以15章中给出的方法进行计算）是δ。因为δ是资产组合价值变化对于S变化的比率，则下式近似成立：

其中△S是股价1天之内的美元变化量，△P跟之前一样，是1天内证券组合价值的美元变化量。我们定义△x是1天内股价变化百分比，那么有

导出△P和△xi之间的近似线性关系。它们的关系如下：

其中αi=Siδi。于是等式（18.2）可以用来计算△P的标准差。

[例18.1]    考虑由微软和AT&T的期权组成的证券组合。微软期权的delta为1000，AT&T期权的delta为20000。微软股价是$120，AT&T股价是$30。根据等式（18.4），下式近似成立：

其中△x1和△x2是1天内微软和AT&T的回报，△P是资产组合价值的相应变化（假设资产组合包括12万美元的微软和60万美元的AT&T）。假设微软的日波动率是2%，AT&T的日波动率是1%，日变化之间的相关系数是0.3，△P的标准差（以千美元为单位）计算如下：

18.5    二次模型

当资产组合包含期权的时候，线性模型只是一种近似。线性模型不考虑资产组合的gamma。如第15章中所述，delta定义为资产组合价值对标的市场变量的变化率。gamma定义为delta对标的市场变量的变化率。gamma衡量组合价值和标的市场变量之间关系曲线的曲率。

图18.3描述了非零gamma对于资产组合价值概率分布的影响。当gamma为正的时候，概率分布倾向于正偏；当gamma是负的时候，概率分布倾向于负偏。图18.4和图18.5说明了产生这种结果的原因。图18.4描述了看涨期权多头的价值与标的资产价格之间的关系c看涨期权多头是正gamma值期权头寸的一个例子。图中显示当1天结束时刻的标的资产价格的概率分布为正态分布时，期权价格的概率分布正偏。图18.5表明看涨期权空头和标的资产价格之间的关系。看涨期权空头有负的gamma值。在本例中我们看到，在1天结束时标的资产价格的正态分布，对应于期权头寸价值的负偏分布。

资产组合的VaR严格依赖于证券组合价值概率分布的左半尾部。比如，我们使用的置信度为99%时，VaR可以由左半尾部1%分界点左边的部分衡量。如图18.3（a）和图18.4中的描述，正gamma资产组合比正态分布倾向于有更薄的左尾部。正态分布的假设下，我们计算出来的VaR会偏高。类似地，如图18.3（b）和图18.5中的描述，负gamma证券组合比正态分布倾向于有更厚的左尾部。正态分布的假设下，我们计算出来的VaR会偏低。

为了得到比线性模型结果更加准确的VaR估计值，我们可以同时使用delta和gamma参数，将△P与△xi联系起来。考虑基于价格为S的单个资产的证券组合。假设δ和γ分别为这项证券组合的delta和gamma。第15章附录中有以下等式：

更为一般地，考虑依附于n个标的市场变量的证券组合，而组合内的每个金融工具只依附于其中单个市场变量。公式（18.6）变成

其中，S是第i个市场变量的值，δi和γi分别是证券组合关于第i个市场变量的delta值和gamma值。当证券组合内的单个金融工具依赖于多个市场变量的时候，得到更为一般化的公式：

公式（18.7）用起来没有公式（18.5）方便。但是它可以用来计算△P的矩。利用统计学的Cornish-Fisher展开，根据上面计算的矩，可以估计概率分布的分界点。

18.6    蒙特卡罗模拟

除了上面所述的方法，我们可以在建模计算方法中执行蒙特卡罗模拟得出△P的概率分布。假设我们要计算一个证券组合一天的VaR。该方法的步骤如下：

1.利用当前的市场变量值，计算当前的证券组合价值

2.从多维正态分布抽取样本△xi10

3.根据△xi的样本值，计算今天结束之时的各个市场变量值

4.以常规方法，计算今天结束之时的证券组合价值

5.第4步中得到的价值减去第1步中得到的价值，得到△P的样本值

6.反复第2到第5步，建立△P的概率分布

VaR就等于△P概率分布中相应的分位点。例如，我们按上述的方法计算出了5000个不同的△P样本值。那么1天99%置信度的VaR就是最坏情况中排名第50的△P值；1天95%置信度的VaR是最坏情况中排名第250的值。依此类推。通常假定N天的VaR等于1天的VaR乘以。

蒙特卡罗模拟的缺点是计算过程比较慢，因为需要多次反复重估公司的整个证券组合（可能包括千百种不同的金融工具）。一种加快计算过程的方法是，假设公式（18.7）表示的是△F与△xi之间的关系。那么，在蒙特卡罗模拟中，我们可以直接从第2步跳到第5步，不需重新全面估值证券组合。这种方法有时被称为部分模拟方法。

18.7    不同方法之间的比较

我们至此讨论了两种估计VaR的方法：历史模拟方法和建模计算方法。建模计算方法的优点是可以很快产生结果，并且可以和波动率更新操作（在下一章中讲述）一起使用。建模计算方法的主要缺点是，它假定市场变量服从多维正态分布。实际上，市场变量的每日变化并不服从正态分布（参见表16.1中的例子）。

历史模拟方法的优点是历史数据决定市场变量的联合概率分布。该方法中也不需要现金流映射分解。历史模拟方法的主要缺点是计算过程慢，而且不能和波动率更新操作一起使用。

建模计算方法的一种缺陷是，对delta值较低的证券组合，它给出的结果不是很好。

18.8    压力测试与回溯检验

除了计算VaR，很多公司也对它们持有的证券组合进行压力测试。压力测试中估计的是，如果遭遇过去10~20年之间真实发生过的极端市场变动，证券组合会有什么样的表现。

例如，为了测试美国权益资产价格的剧烈变动产生的影响，公司会设定所有市场变量的变化百分比等于1987年10月19日（这一天，S&P500指数变动了22.3个标准差）的情况。如果认为选这一天太极端了的话，公司可以选择1988年1月8日（S&P500指数变动了6.8个标准差）这一天。为了测试英国利率剧烈变化的影响，公司会设定所有市场变量的变化百分比等于1992年4月10日（这一天，10年期债券收益率移动了7.7个标准差）的变化百分比。

压力测试中假想的情景有时由高级主管创造。一种方式是高级主管定期的会面以及“头脑风暴法”创造当前经济环境和全球不确定中可能产生的极端情景。

压力测试考虑了将来可能发生的极端状况（也就是按照通常的市场变量的概率分布假设，根本不可能发生的情形）。市场变量如果一天有5个标准差的移动，这可以被认为是极端情况。在正态分布假设下，这样的事情每7000年才能发生一次，而现实中，10年看到一两次5个标准差移动是不奇怪的事情。

不管用什么方法计算VaR，回溯检验（back testing，也称事后检验）是非常重要的。它检验过去的时间内的VaR估计值的表现。假设我们正在计算1天99%置信度的VaR。回溯检验中我们要观察一天损失超过1天99%的VaR值的频度。如果只有1%的天中发生这样的事情，我们就有理由信任我们使用的VaR计算方法。如果观察到7%的天中发生这样的事情，那么我们会认为VaR的计算方法存在问题。

18.9    主成分分析法

处理一组高度相关的市场变量引起的风险的一种方法是主成分分析法。这个方法中，根据市场变量的历史变化，找出能解释该变化的一组成分或因子。

举一个例子，可以很好地解释该方法。我们要考虑的市场变量是3个月到30年的10个美国国债利率。表18.3和表18.4中给出了Frye用1989~1995年的1543个每日观察值计算出来的结果。表18.3的第一列是这些利率的期限。表中后10列显示的是描述利率变化的10个因子（或为主成分）。标记为PC1的列中给出了第一个因子，大体上对应于收益率曲线的平行移动。一单位该因子使3个月期利率增加0.21个基点，6个月期利率增加0.26个基点，依此类推。标记为PC2的列中给出了第二个因子，对应于收益率曲线的旋转。3个月期到2年期的利率往一个方向移动，而3年期到30年期的利率往另外一个方向移动。第3个因子对应于收益率曲线的扭曲。收益率曲线的两头往相同方向移动，而中间部分往另一种方向移动。由某个主成分因子引起的利率变化称为因于载荷（factor loading）。在我们的例子中3个月期利率的第一个因子载荷为0.21。

因为例子中有10个利率和10个因子，通过解10个联立方程，特定一天的利率变化可以表示为这些因子的线性组合。特定一天的利率变化中某个因子占据的数量称为那一天该因子的因子得分（factor score）。

一个因子的重要程度以它的因子得分的标准差度量。表18.4中给出了上述例子中各个因子的得分的标准差，并以它们的重要程度进行了排列。表18.4中的数据是以基点表示的。第一个因子的数量等于1个标准差。因此，3个月期利率相应地移动0.21x17.49=3.67个基点，6个月期利率相应地移动0.26x17.49=4.55个基点，依此类推。

如何求得这些因子的技术细节超出了本书的范围。我们只需记住选择这些因子的时候会让它们的因子得分互不相关。例如，在上面的例子中，1543天内第一个因子的得分（平移的数量）和第二个因子的得分（旋转的数量）总是保持不相关。因子得分的方差（即标准差的平方）的总和等于数据的总方差。从表18.4可以知道，原数据的总方差（即3个月期利率观测值的方差的总和，6个月期利率观测值的方差的总和，依此类推）是

我们可以知道，第一个因子的方差占据原数据总方差的17.497367.9=83.1%；第二个因子的方差占据原数据总方差的（17.492+6.052）/367.9=93.1%；第三个因子的方差占据原数据总方差的2.8%。这说明前两三个因子解释了利率变化风险的大部分。所以，我们可以断定证券组合的利率风险依赖于这几个因子，而不必考虑全部10个利率。图18.6中画出了表18.3中三个最重要的因子的形状。

用主成分分析法计算VaR

为了说明如何利用主成分分析法计算VaR，考虑表18.5中证券组合，它暴露于利率变化风险。1年期利率的一个基点变化会引起证券组合价值增加1000万美元，2年期利率的一个基点变化会引起证券组合价值增加400万美元，如此等等。我们利用前两个主成分因子，建立利率变化模型（已经叙述过，前两个主成分因子可以解释90%以上的利率变化）。利用表18.3中数据，我们对于第一个主成分因子的暴露（以每因子得分基点个数对应的百万美元数量度量）是：

这两个因子得分不相关，而且它们的标准差如表18.4中数据。那么，△P的标准差为

因此，1天99%置信度的VaR为26.66x2.33=62.12。意到表18.5中的数据对于第一个因子的暴露很小，而对于第二个因子的暴露很大。所以只用某一个因子计算，VaR会被低估很多。如果使用18.4节的久期方法处理利率，则VaR会被低估很多，因为该方法只能捕捉收益率曲线的平行移动。

理论上，主成分分析法可以应用到利率以外的其他市场变量。假设一家金融机构暴露于一系列不同股票指数的变化风险。使用主成分分析法，可以确定描述指数变化的因子，而其中最重要的几个因子可以用来代替市场指数，进行VaR计算。主成分分析法的有效程度取决于这一组市场变量的相关程度。

在本章前面提过，计算VaR的时候，通常计算实际证券组合价值变化相对于市场变量的变化百分数（即△xi）。所以，在VaR计算当中，更为合适的方法是对市场变量变化百分数进行主成分分析法，而不是考察这些变量的实际变化。

小    结

计算VaR是为了得出如下判断：“我们有百分之X的可能在将来N天里的损失不会超过V美元。”这里的变量y是投资组合的VaR，X%为置信度，N天为时间长度。

一种计算VaR的方法是历史模拟方法。首先要建立过去时间内的所有相关市场变量每日变化的数据库。第一次模拟运算中假设市场变量的变化百分数和我们收集到的数据的第1天的数值变化的百分数相同；第二次模拟运算中假设市场变量的变化百分数和我们收集到的数据的第2天的数值变化的百分数相同；依此类推。对每次模拟运算计算证券组合价值变化△P，根据△P的概率分布的分位点计算VaR。

另一种方法是建模计算方法。基于以下两个假设，这个方法就变得非常直观。

1.证券组合价值变化（△P）依赖于市场变量变化线性组合

2.市场变量变化百分比服从多维正态分布

那么，△P服从正态分布，就能得到△P的标准差与波动率、标的市场变量相关系数之间的解析关系式。然后，可从我们熟悉的正态分布性质计算出VaR。

当证券组合包括期权的时候，△P并不依赖于市场变量变化的线性组合。从证券组合的gamma值，我们可以得到△P与市场变量变化之间的近似二次关系式。接着，利用蒙特卡罗模拟可以估计VaR。

下一章中，我们将讨论如何计算并监测波动率与相关系数。

参考读物

ArtznerP.，F.Delbaen，J.-M.Eber.and D.Heath.“Coherent Measures of Risk，”Mathematical Finance，9（1999）：203-28.

Basak，S.，and A.Shapiro.“Value-at-Risk-Based Risk Management：Optimal Policies and AssetPrices，”Review of Financial Studies，14，2（2001）：371-405.

Beder，T.“VaR：Seductive but Dangerous”Financial Analysts Journal，51，5（1995）：12-24.

Boudoukh，J.，M.Richardson，and R.Whitelaw.lt The Best of Both Worlds，”Risk，May 1998：64-67.

Dowd.K.Beyond Valueat Risk：The New Science of Risk Management.New York：Wiley，1998.

Duffie，D.，and J.Pan.“An Overview of Value at Risk，”Journal of Derivatives，4，3（Spring 1997）：7-49.

Embrechts，P.，C.Kluppelberg，and T.Mikosch.Modeling Extremal Events for Insurance and Finance.New York：Springer，1997.

Frye，J.“Principals of Risk：Finding VARthrough Factor-Based Interest Rate Scenarios”in VAR：Underst anding and Applying Valueat Risk，pp.275-88.London：Risk Publications，1997.

Hendricks，D.“Evaluation of Value-at-Risk Models Using Historical Economic Policy Review，Federal Reserve Bank of New York，2（April 1996）：39-69.

Hopper，G.“Valueat Risk：ANew Methodology for Measuring Portfolio Risk，”Business Review，Federal Reserve Bank of Philadelphia，July/August 1996：19-29.

HuaP.，and P.Wilmott，”Crash Courses，”Risk，June 1997：64-67.

Hull，J.C.，and A.White.“Valueat RiskWhen Daily Changes in Market Variables Are Not Normally Distributed，”Journal of Derivatives，5（Spring 1998）：9-19.

Hull，J.C.，and A.White.“Incorporating Volatility Updating into the Historical Simulation Method for Valueat Risk，”Journal of Risk，1，1（1998）：5-19.

Jackson，P.，D.J.Maude，and W.Perraudin.“Bank Capital and Value at Risk.”Journal of Derivatives，4，3（Spring 1997）：73-90.

Jamshidian，F.，and Y.Zhu.“Scenario Simulation Model：Theory and Methodology，”Finance and Stochastics.1（1997）：43-67.

Jorion，P.Value at Risk，2nd edn.Mc Graw-Hill，2001.

Longin，F.M.“Beyond the VaR，”Journal of Derivatives，8，4（Summer 2001）：36-48.

Marshall，C.，and M.SiegeL“Value at Risk：Implementinga Risk Measurement Standard，”Journal of Derivatives 4，3（Spring 1997）：91-111.

McNeil，A.J.“Extreme Value Theory for Risk Managers”in Internal Modeling and CADIIy London：Risk Books，1999.Seeal so： www.math.ethz.ch/〜mcneil.

Neftci，S.N.“Value at Risk Calculations，Extreme Events and Tail Estimation，”Journal of Derivatives，7，3（Spring 2000）：23-38.

Rich，D.“Second Generation VaR and Risk-Adjusted Returnon Capital，”Journal of Derivatives.10，4（Summer 2003）：51-61.

附    录

现金流映射分解

本附录中我们解释将现金流映射分解得到标准到期期限的一种方法。为了解释这个方法，我们考虑一个简单的例子。一个证券组合由单种长期债券的一个多头组成，国债的本金为1百万美元，0.8年后到期。我们假设该债券的息票率为10%，每半年支付一次息票。这说明该债券在0.3年后和0.8年后支付息票5万美元。0.8年后，债券也会将支付本金100万美元。因此，该长期国债头寸可理解为本金为5万美元的0.3年期零息票债券头寸和本金为105万美元的0.8年期零息票债券头寸。

0.3年期零息票债券的头寸被映射分解成等价的3个月期和6个月期的零息票债券。0.8年期零息票债券的头寸被映射分解成等价的6个月期和1年期的零息票债券。结果是，为了VaR的计算，0.8年期附息债券头寸被分解成3个月期、6个月期和1年期零息票债券的头寸。

映射分解方法

考虑0.8年后将收到的105万美元。我们假设零息率、债券价格的日波动率和债券收益之间的相关系数如表18.6的数据。

第一步是，对6个月期利率6.0%和1年期利率7.0%进行插值，得到0.8年期利率6.6%（所有利率是每年计一次复利的）。0.8年后收到的现金流105万美元的现值为：

我们也对6个月期债券的波动率0.1%和1年期债券的波动率0.2%进行插值，得到0.8年期债券的波动率0.16%。

假设我们对6个月期债券的现值分配α，对1年期债券的现值分配1-α。使用方程（18.2），并匹配方差，我们得到：

按普通方法求解这个二次方程，我们得到α=0.320337。这说明应该分配32.0337%的现值给6个月期零息票债券，应该分配67.9663%的现值给1年期零息票债券。因此，价值为$997662的0.8年期债券被替换成价值为

997662x0.320337=$319589

的6个月期债券和价值为

997662x0.679663=$678074

的1年期债券。

这种现金流映射分解操作的优点是，它可以保留现金流的价值和方差。而且我们可以看到，两个相邻的零息票债券被赋予的权数总是正的。

对于0.3年后将收到的现金流$50000，我们可以进行类似的计算。结果是，现金流的现值为$49189。它可以映射分解成价值为$37397的3个月期债券头寸和价值为$11793的6个月期债券头寸。