第16章 波动率微笑
Black-Scholes模型预测期权市场价格的准确程度如何呢？交易者们在现实中确实是利用Black-Scholes模型来决定一个期权的价格吗？实际中资产价格真的服从对数正态分布吗？在本章中，我们将着手解答这些问题。我们将解释交易者们确实频繁使用Black-Scholes模型，但是与Black与Scholes的原先意图不完全一样。因为，交易者们在期权定价中，允许波动率依附于执行价格和有效期。
所谓的波动率微笑曲线是一个图，它反映了隐含波动率作为执行价格函数的关系。本章中我们将描述交易者们在股权和外汇市场使用的波动率微笑。我们将解释波动率微笑与未来资产价格服从风险中性概率分布这一假设之间的关系。我们也将讨论期权交易者是如何允许波动率成为期权有效期的函数，并讨论如何使用波动率集合来进行定价。
16.1 回顾看跌期权与看涨期权的平价关系
为了理解波动率微笑，我们从第9章中的看跌期权与看涨期权的平价关系开始。这是欧式看涨期权的价格c与欧式看跌期权的价格p之间的关系：
该看涨期权和看跌期权有相同的执行价格K和相同的到期日T，变量S0是标的资产当前的价格，r是T期限的无风险利率，q是资产的收益率。
看跌期权与看涨期权的平价关系建立在相对简单的无套利机会假设之上。该关系的推导中，并不需要对未来的资产价格概率分布做出任何假设。不管资产价格服从还是不服从对数概率分布，这个关系都是成立的。
假设PBS和CBS是基于某个特定的波动率值，以Black-Scholes模型计算出来的欧式看跌和看涨期权价值。进一步假设Pmkt和Pmkt分别为这些期权的市场价值。因为Black-Scholes模型的解也存在看跌期权与看涨期权的平价关系，我们得到
将以上两个式子相减，得到
该公式说明了，对于执行价格和有效期相同的欧式看跌期权和看涨期权，以Black-Scholes模型计算的欧式看跌期权价值的美元误差和以Black-Scholes模型计算的欧式看涨期权价值的美元误差正好相等。
假设这个看跌期权的隐含波动率为22%。这说明在Black-Scholes模型以22%波动率计算时，PBS=Pmkt。此时，根据公式（16.2），有CBS=Cmkt以相应的看涨期权的隐含波动率也同样为22%。这个讨论说明执行价格和有效期间相同的欧式看涨期权和欧式看跌期权的隐含波动率总是相同的。也就是说，对于给定的执行价格和有效期间，以Black-Scholes模型定价欧式看跌期权时要用到的正确的波动率，和相应的欧式看涨期权定价中要用到的正确的波动率是一样的。这对于美式期权也是近似正确的。所以，当交易者们谈到隐含波动率与执行价格或有效期之间的关系时，不需要声明他们考虑的是看涨期权还是看跌期权。对于看涨期权和看跌期权，上述的关系是相同的。
[例16.1] 澳元的价值为$0.60。美国和澳大利亚的无风险利率分别为5%p.a.与10%p.a.。有效期为1年、执行价格为$0.59的基于澳元的欧式看涨期权的市价为0.0236。以DerivaGem计算的该看涨期权的隐含波动率为14.5%。不存在套利机会时，公式（16.1）中的看跌期权与看涨期权的平价关系中，我们应该设q等于外汇无风险利率。所以，有效期为1年、执行价格为$0.59的欧式看跌期权的价格p应该满足
即p=0.0419。以DerivaGem可以算出价格如此的看跌期权的隐含波动率也是14.5%，这就是我们希望得到的结果。
16.2 外汇期权
交易者们使用的典型的外汇期权波动率微笑如图16.1所示。期权处于两平状态时，波动率相对很低。移动到虚值状态或实值状态时，波动率变得越来越高。
在本章附录中，我们将解释如何从期权的波动率微笑中推导期权到期之时，在未来时间资产价格的风险中性概率分布。我们将它称为隐含分布（implied distribu-tion）。图16.1中波动率微笑所对应的概率分布如图16.2中的实线部分。与隐含分布具有相同均值和标准差的对数正态分布如图16.2中的虚线部分。我们可以看到隐含分布的尾部比对数正态分布的尾部更厚。
为了解释图16.1与图16.2是相互一致的，首先考虑具有高执行价格K2的深度虚值看涨期权。汇率上升到K2以上时，期权才会执行。图16.2中可以看到，在隐含分布中这样的概率比对数正态分布中要高。我们可以知道根据隐含分布得到的期权价格相对更高。而相对较高的价格会伴随相对较高的隐含波动率，这与图16.1中观察到的结果一致。所以对于执行价格高的期权，两个图是相互一致的。再考虑具有低执行价格K1的深度虚值看跌期权。汇率下降到K1以下时，期权才会执行。图16.2中可以看到，在隐含分布中这样的概率还是比对数正态分布中要高。我们可以知道根据隐含分布得到的期权价格相对更高。而相对较高的价格会伴随相对较高的隐含波动率，这与图16.1中观察到的结果一致。
实证结果
我们已经看到，交易者们使用外汇期权的波动率微笑说明对数正态分布会低估汇率极端移动的概率。为了检验是否真的是这样，表16.1中检验了10年中12种不同的汇率的每日变化。获取该表的第一个步骤是计算每种汇率的每日变化百分比的标准差。下一步是记录实际变化百分比超过1个标准差的频度，超过2个标准差的频度，依此类推。最后一步是计算变化百分比服从正态分布时，上述的频度是多少（对数正态分布模型中每日变化百分比近似服从正态分布）。
每日变化超过3个标准差的次数等于1.34%的天数。对数正态分布模型预测的上述值只有0.27%的天数。每日变化超过4、5以及6个标准差的次数分别为0.29%、0.08%以及0.03%的天数。而对数正态分布模型预测的是，这样的事情几乎不会发生。所以，该表说明了更厚尾部的确存在，交易者们使用的波动率微笑是可信的。商业剪影16.1中讲述了我们可以先于其他竞争者进行如表16.1中的分析，以便获利。
外汇期权的波动率微笑的原因
为什么汇率不服从对数正态分布？一种资产价格服从对数正态分布的两个条件是：
1.资产的波动率是常数
2.资产价格平滑变动，没有跳跃
商业剪影16.1 从外汇期权中获得利润
假设大多数市场参与者认为汇率是服从对数正态分布的，他们可能对基于某种汇率的期权都使用相同的波动率。你刚刚完成了表16.1中的分析，发现对数正态分布并不能很好地描述汇率。此时你应该怎么办呢？
答案是你应该买入很多不同货币的深度虚值看涨期权和看跌期权，然后等待。这些期权将相对便宜，相比对数正态分布模型给出的预测，这些期权中的很多会接近于获利状态。你的损益现值平均来说会大于这些期权的成本。
20世纪80年代中期，一部分交易员发现了汇率概率分布具有厚尾部。而其他人还是认为Black-Scholes的对数正态分布假设是正确的。一小部分见多识广的交易员执行了上面描述的策略，获得了很多利润。到了20世纪80年代末，所有人都意识到了外汇期权应该用一种特别的波动率微笑定价，上述的交易机会随之消失。
现实中，汇率并不满足这两个条件。汇率的波动率不是常数，而且汇率经常发生跳跃。非常数波动率以及跳跃的存在使得极端情况发生的可能性变大。跳跃和非常数波动率的影响程度依赖于期权的有效期。随着期权有效期变长，非常数波动率对于价格的影响比例更为显著，而非常数波动率对于波动率微笑的影响比例变得不显著。随着期权有效期变长，跳跃对于价格以及波动率微笑的影响变得不显著。当我们考虑足够长期限的期权时，跳跃的影响倾向于相互抵消，股价存在跳跃时的汇率概率分布与股价平滑变动时的汇率概率分布儿乎是相同的。
16.3 权益性期权
Rubinstein（1985，1994）、Jackwerth和Rubinstein（1996）研究过权益性期权的波动率微笑。1987年之前没有代表性的波动率微笑。到了1987年，交易者们开始用如图16.3所述的波动率微笑来定价权益性期权（基于单种股票以及股票指数）。它被称为波动率偏斜（volatility skew），随着执行价格上升，波动率下降。用来定价低执行价格期权（即深度虚值看跌期权或深度实值看涨期权）的波动率远远高于用来定价高执行价格期权（即深度实值看跌期权或深度虚值看涨期权）的波动率。
权益性期权的波动率微笑相应的隐含分布如图16.4中的实线部分。具有相同均值和标准差的对数正态分布的隐含分布如图16.4中的虚线部分。可以看到隐含分布比对数正态分布左尾部更厚，而右尾部更薄。
为了解释图16.3与图16.4是相互一致的，如分析图16.1与图16.2一样，我们考虑深度虚值期权。图16.4中可以看到在隐含分布中执行价格为K2深度虚值看涨期权价格，比对数正态分布时计算的价格要低。这是因为当且仅当股票价格到达K2以上时期权损益才会实现，而这样的概率在隐含分布中比对数正态分布中要低。因此，在隐含分布给出的期权价格相对更低。较低价格伴随较低的隐含波动率，而这就是我们在图16.4中观察到的结果。再考虑执行价格为K1的深度虚值看跌期权。当且仅当股票价格达到K1以下时，期权损益才会实现。图16.3中可以看到，这种概率在隐含分布中比在对数正态分布中要高。所以，隐含分布给出的期权价格比对数正态分布中要高，也具有更高的隐含波动率。而这也就是我们在图16.3中观察到的结果。
权益性期权的波动率微笑的原因
对于权益性期权的波动率微笑的形状解释和杠杆有关。随着一家公司的权益价值降低，该公司的杠杆率上升。那么，该权益资产的风险更大，其波动率也上升。而随着一家公司的权益价值上升，该公司的杠杆率降低。那么，该权益资产的风险减少，其波动率也下降。所以，权益资产的波动率是价格的减函数，且和图16.3、16.4相一致。另一种解释是崩盘恐惧症（参见商业剪影16.2）。
商业剪影16.2 崩盘恐俱症
有趣的是，图16.3中的权益性资产的波动率微笑模式是在1987年10月股市崩溃之后出现的。1987年10月之前，隐含波动率依附于执行价格的程度没有那么明显。因此，Mark Rubinstein提出权益性资产的波动率微笑形状的一个原因是“崩盘恐惧症”。交易员们担心类似于1987年10月的崩溃再次出现，所以他们按上述的波动率微笑定价。
有一些实证结果也支持这一解释。S&P500的下降中波动率偏斜倾向于陡峭。而S&P上升的时候，偏斜就不那么陡峭了。
16.4 波动率期限结构和波动率集合
除了波动率微笑，交易者们在定价期权时也使用波动率期限结构。也就是说，在两平期权的定价中使用的波动率依赖于期权的有效期。当历史上短期波动率较低时，波动率一般是期限的增函数。这是因为，大家预期波动率会上升。类似地，当历史上短期波动率较高时，波动率一般是期限的减函数。这是因为，大家预期波动率会下降。
波动率集合（volatility surface）是把波动率微笑和波动率期限结构结合起来制成波动率表格，以便给任一执行价格和任一期限的期权定价。表16.2中给出了外汇期权定价中可能使用的波动率集合的一个例子。
表16.2中，一个尺度是执行价格，而另外一个尺度是期限。表的主体中给出了以Black-Scholes模型计算的隐含波动率。在一个给定时间，表中的一些项可能对应于存在可靠市场数据的期权。这些期权的隐含波动率直接从它们的市场价格计算得出，并被输入到该表中去。表中的其他项由线性插值方法得出。
当需要为一个新发行的期权定价时，金融工程师们通常从该表中寻找合适的波动率。例如，对执行价格为1.05的9个月期期权进行估值时，金融工程师们会对表16.2中的13.4和14.0进行线性插值，得到13.7%的波动率。接下来，可以在Black-Scholes模型或二叉树图中使用这个波动率了。
波动率微笑的形状依赖于期权的期限。表16.2中可以看到，随着期权的期限增加，波动率微笑变得不显著。定义T为有效期限，F0为资产的远期价格。一些金融工程师倾向于定义波动率微笑为隐含波动率和
之间的函数关系，而不是隐含波动率和K之间的函数关系。这种情况下，波动率微笑不是那么依赖于有效期限。
模型的作用
如果交易者准备对每种期权使用不同的波动率，所使用的定价模型的重要性何在呢？实际上，Black-Scholes模型不过是常用的、能保证一种期权的定价和其他交易活跃的期权的市价相互一致的一种插值工具。如果交易者们不使用Black-Scholes模型而使用另外的可行模型，那么波动率集合和波动率微笑的形状可能会有所改变。而有理由相信，市场中报出的期权的美元价格不会有多少变化。
16.5 套期保值参数
波动率微笑的引入会使得套期保值参数的计算变得更为复杂。Derman描述过交易者们有时使用的一系列波动率体系或经验法则。最简单的一个法则是stickystrike。其中假设从今天过渡到明天时，一个期权的隐含波动率保持不变。那么，对于一个期权使用的波动率是该期权当前的隐含波动率时，以black-scholes假设计算出来的套期保值参数是正确的。
一个更为复杂的法则是所谓的sticky delta。其中假设我们今天观察到的期权价格与S/K之间的关系式在明天也是成立的。这里假设，随着标的资产价格的变化，相应期权的隐含波动率的变化是反映期权的价值状况（即实值或虚值的程度）的。sticky delta法则下，第15章中给出的套期保值参数计算公式不再适用。例如，看涨期权的Della为
其中，CBS是以资产价格S和隐含波动率σimp的函数表示的期权的Black-Scholes价格。考虑该公式对权益性看涨期权的Delta有什么影响。图16.3中可以知道，波动率是执行价格K的减函数。那么，波动率也可以看作是S/K的增函数.因此，在stickydelta规则中，波动率随着资产价格上升而上升，则
结果是得到的Delta值比Black-Scholes假设下得到的Delta值要大。
我们可以看到sticky strike rule与sticky delta rule所对应的模型不是内部一致的（除了波动率微笑曲线在所有期限都是平坦的）。和波动率微笑完全一致的一种模型是所谓的隐含波动率函数（implied volatility function）模型或隐含树图（implied tree）模型。我们将在第24章中解释这些模型。
现实中，银行等金融机构设法保证，它们对于能经常观察到的一些波动率集合变化的风险暴露降到一定水平以下。确定这些变化的一种方法是主成分分析法，将在第18章中讨论。
16.6 预期价格有一次大幅波动
现在，我们用一个例子来看权益性市场中不寻常的波动率微笑是怎么发生的。假设一种股票现价为$50，几天后会发布一则重要的信息，预期这种发布的影响是股价会上升$8或者下降$8（该宣告可能和接管企图或者某个重要的诉讼裁决有关）。那么，比如说，1个月后，股价的概率分布会是两个对数正态分布的组合，第一个对应于好消息，第二个对应于坏消息。图16.5中描述了这种情况。实线部分是1个月后股价组合的对数正态分布，虚线部分是具有相同均值和标准差的对数正态概率分布。
正确的概率分布是双峰的（而不是对数正态分布）。研究双峰股价分布特点的一个简单途径是考虑二项式分布的极端情况。我们接下来进行这样的研究。
假设股票现价为$50，而且已经知道1个月后价格会达到$42或$58。进一步假设无风险利率为12%p.a.。图16.6中描述了这种情况。可以用第11章的二叉树模型估值期权，这里，u=1.16，d=0.84，a=1.0101，p=0.5314。一系列不同期权的估值结果如表16.3中的数据。第一列给出了可能的执行价格；第二列给出了1个月期欧式看涨期权的价格；第三列给出了1个月期欧式看跌期权的价格；第四列给出了隐含波动率（如16.1节的讲述，相同执行价格和相同有效期的欧式看涨期权和欧式看跌期权的隐含波动率是相同的）。图16.7画出了相应的波动率微笑。它的形状和“皱眉”相似（和外汇期权的波动率微笑形状正好相反），当我们往虚值或实值状态移动时，波动率减小。这种情况下，运用执行价格为50的期权价格得到的隐含波动率，将会高估执行价格为44或56的期权价格。
小 结
Black-Scholes模型及其扩展形式中假定，未来某个时间的标的资产价格服从对数正态分布。交易者们有时不使用这一假设。交易者们假设权益性资产价格的概率分布比对数正态概率分布左尾部更厚、右尾部更薄。交易者们也假设汇率的概率分布比对数正态概率分布，左尾部和右尾部都更厚。
交易者们利用波动率微笑来处理非对数正态分布的情况。波动率微笑定义一个期权的隐含波动率与执行价格之间的关系。对于权益性期权，波动率微笑是向下倾斜的。也就是说，虚值看跌期权和实值看涨期权具有较高的隐含波动率，而虚值看涨期权和实值看跌期权具有较低的隐含波动率。对于外汇期权，波动率微笑呈现U形。虚值期权与实值期权比两平期权具有更高的隐含波动率。
交易者们也使用波动率期限结构。其中，期权的隐含波动率依赖于期权的期限。波动率微笑和波动率期限结构结合起来可以做出波动率集合表。这样，可以将隐含波动率定义为执行价格和有效期限的函数。
参考读物
Bakshi，G.，C.Cao，and Z.Chen.“Empirical Performance of Alternative Option Pricing Models，”Journal of Finance，52，No.5（December 1997）：2004-49.
Bates，D.S.“Post-'87 Crash Fears in the S&P Futures Market，”Journal of Econometrics，94（January/February 2000）：181-238.
Derman，E.“Regimes of Volatility，Risk，April 1999：55-59.
Ederington，L.H.，and W.Guan.”Why Are Those Options Smiling，“Journal of Derivatives，10，2（2002）：9-34.
Jackwerth，J.C.，and M.Rubinstein.” Recovering Probability Distributions from Option Prices，“Journal of Finance，51（December 1996）：1611-31.
Lauterbach，B.，and P.Schultz.“Pricing Warrants：An Empirical Study of the Black Scholes Model and Its Alternatives，”Journal of Finance，4，No.4（September 1990）：1181-1210.
Melick，W.R.，and C.P.Thomas.“Recoveringan Asset's Implied Probability Density Function from Option Prices：An Application to Crude Oil during the GulfCrisis，”Journal of Financial and Quantitative Analysis，32，1（March 1997）：91-115.
Rubinstein，M.“Nonparametric Tests of Alternative Option Pricing Models Using All Reported Trades and Quotes on the 30 Most Active CBOE Option Classes from August 23，1976.through August31，1978，”Journal of Finance，40（June 1985）：455-80.
Rubinstein，M.“NtImplied Binomial Trees，”Journal of Finance，49，3（July 1994）：771-818.
Xu，X.，and S.J.Taylor.“The Term Structure of Volatility Implied by Foreign Exchange Options，”Journal of Financial and Quantitative Analysis，29（1994）：57-74.
附 录
从波动率微笑曲线确定隐含的风险中性分布
执行价格为K，有效期为T的一项资产的欧式看涨期权的价格可以表示如下：
Breeden和Litzenberger于1978年得出的这一结果，可以通过波动率微笑估算风险中性概率分布。假设C1、C2、C3为欧式看涨期权的价格，有效期均为T，执行价格分别为K-δ、K和K+δ。假定δ足够小，g（K）可近似估算为：
