第26章 ​利率衍生证券：标准市场模型

第26章    利率衍生证券：标准市场模型

利率衍生证券是其收益在某种程度上依附于利率水平的金融工具。在20世纪80年代和90年代早期，OTC市场和场内交易市场的利率衍生证券的成交量迅速增加，已经开发出许多新产品以满足最终客户的需要。对衍生证券从业人员的一个重要挑战是找出强有力的定价方法以及对冲该产品的方法。

利率衍生证券的估值比股票和外汇衍生证券的估值要困难得多。原因如下：

1.单个利率的行为过程比股票价格或汇率的行为过程复杂得多

2.对许多衍生产品估值而言，有必要开发出描述整个零息票收益率曲线行为过程的模型

3.在收益率曲线上不同点的波动率是不同的

4.这些利率既用于贴现，又用于定义衍生证券的收益状况

本章中我们考虑三种最受欢迎的OTC利率期权产品：债券期权、利率上限/下限以及互换期权。我们将给出估值这些产品的标准市场模型，并利用第25章中的分析来说明这些模型是内部一致的。

26.1    Black模型

自从1973年Black-Scholes公式首次公布以来，该公式已成为非常普遍的工具。正如在第14章所述，该模型经过扩展之后，可为外汇期权、指数期权以及期货期权估值。交易员非常习惯于该模型的对数正态分布假设和描述不确定性的波动率，为了使该模型适用于利率衍生证券，出现各种扩展该模型的做法也就不奇怪了。

本章中我们将讨论三种最流行的利率衍生证券（债券期权、利率上限/下限以及互换期权），并描述如何利用Black-Scholes模型的标的变量对数正态分布假设，对这些衍生证券进行定价。我们将使用的模型通常被称为Black模型，因为它的结构和Fischer Black的基于商品期货的期权（参见14.8节）估值模型结构类似。这一模型中，如果期货合约和期权合约的到期日相同，那么在期权到期日期货价格等于即期价格。这说明，该模型可以给出现货期权的价格以及期货期权的价格。

利用Black模型为欧式期权定价

考虑一个基于价格为V的变量的欧式看涨期权（变量V并不一定是可交易证券的价格）。定义：

T：期权到期期限

F：在期限为T的一个合约中的V的远期价格

F0：0时刻的F值

K：期权的执行价格

P（t，T）：T时刻支付$1的零息票债券在t时刻的价格

VT：在时刻T时V的价值

σ：F的波动率

估值期权的步骤如下：

在时刻T，期权的损益状态是max（VT-K，0）。根据第13章附录，对于VT的对数正态分布假设说明预期损益为

从现在开始我们将这一模型称为Black模型。Black模型的一个重要特征是，我们不需要在推导当中假设V或F服从几何布朗运动，我们只需假设VT在T时刻服从对数正态分布。参数σ通常被称为F的波动率或是V的远期波动率。但是它只有一个作用，就是根据以下关系式决定InVT的标准差：

波动率参数不决定其他时刻（即不是T时刻）的InV的标准差。

延迟支付

考虑损益是从变量V在T时刻的值计算的，而损益实际发生的时间在更晚的一个时刻T*。我们可以扩展Black模型来处理这种情况。预期损益应该从T*时刻贴现到现在，而不是T时刻。所以，方程（26.1）和方程（26.2）变成

Black模型的有效性

很容易看到，当利率是不变的或者是确定的，以Black模型处理是非常恰当的。这种情况下，如第5章所述，V的远期价格和其期货价格相同。根据14.7节的内容，在风险中性世界，有E（ST）=F0。

当利率为随机变量时，方程（26.1）到方程（26.4）的推导中存在两个问题：

1.为什么我们设定E（VT）等于V的远期价格F0，这并不和期货价格相等

2.在贴现时，我们忽略了利率是随机变化的

实际上，这两个假设具有相互抵消的效应。利用Black模型定价债券期权、利率上限/下限以及互换期权时，我们利用25.4节中的结论来说明当利率是随机变量时，方程（26.1）到方程（26.4）也是准确的。因此，Black模型有强大的理论基础以及很高的适用性。

26.2    债券期权

债券期权是在未来一个确定日期按一个确定价格购买或出售某个债券的选择权利。除了在OTC市场中的交易，债券期权也常常被嵌入发行的债券，使得这些债券对于发行者和潜在购买者更有吸引力。

嵌入债券的期权

嵌入债券的期权的一个例子是可提前赎回债券（callablebond）。可提前赎回债券包含了允许发债公司在未来某一时间以预先确定价格购回债券的条款。这种债券的持有者出售给发行者一个看涨期权。在该期权中的执行价格即赎回价格是该债券发行者必须支付给该债券持有者的预先确定价格。可提前赎回债券在债券有效期内的前几年通常不能赎回（这就是所谓的锁定期）。之后，随着到期H临近，赎回价格通常是减少的。例如，某个10年期可提前赎回债券，前2年没有赎回的权利。之后，该债券的发行者有权在第3年和第4年按110的价格，在第5年和第6年按107.5的价格，在第7年和第8年按106的价格，在第9年和第10年按103的价格赎回。这个看涨期权的价值包含在债券所报出的收益率中。附有赎回条款债券提供了比没有赎回条款债券更高的收益率。

嵌入债券的期权的另一个例子是可回售债券（puttable bond）。可回售债券包括允许持有者在未来某一时间内以预先确定价格提前退还债券收回现金的条款。这种债券的持有者不但购买了债券本身而且还购买了债券的看跌期权。对持有者而言，由于看跌期权增加了债券的价值，附有回售条款的债券提供的收益率比没有回售条款的债券的收益率低。一个简单的可回售债券的例子是，某个10年期债券的持有者有权在第5年末得到偿还（这样的债券有时被称为可撤销债券）。

贷款以及存款票据也经常有嵌入债券的期权。例如，某个金融机构的5年期固定利率存款它包含了债券的美式看跌期权，在任何时刻都可以被赎回而不用支付任何罚金（存款票据是投资者在任意时刻有权按面值退还给金融机构的债券）。贷款和抵押中的提前偿还权利可以看作是债券的看涨期权。

最后我们需要注意，银行或金融机构所做的贷款承诺是基于债券的看跌期权。例如，考虑如下情况：银行向某个潜在的借款人报出5年期的利率为每年5%的报价，并声明随后2个月这个利率报价一直有效。客户实际上取得了在随后2个月内，随时向金融机构按面值出售息票5%的5年期债券的权利。

欧式债券期权

很多OTC市场交易的债券期权以及某些嵌入债券的期权都是欧式的。我们现在考虑估值这些欧式期权的标准市场模型。

 其中，B0是0时刻的债券价格，I是期权有效期内所支付息票的现值。在这个公式中，即期债券价格和远期债券价格都是现金价格，而不是报价价格。在第6.2节中解释了债券现金价格和债券报价之间的关系。

在方程（26.5）和方程（26.6）中的执行价格K应该是现金执行价格。为了正确选择K的值，准确确定期权的条款很重要。如果执行价格定义为期权履约时交换该债券的现金量，K应该设定等于这个执行价格。更常见的情况是，执行价格定义为期权履约时该债券相应的报价，K应该设定等于执行价格加上截止到期权到期日的应计利息。交易员将债券的报价看作为“净价”（clean price）,而将现金价格看作为“全价”（dirty price）。

［例26.1］    考虑一个10个月期欧式看涨期权，标的证券是有效期9.75年的债券，面值为$1000（当期权到期时，该债券的有效期为8年11个月）。假设当前现金债券价格为$960，执行价格为$1000，10个月期无风险利率为每年10%，在10个月内该债券远期价格的波动率为每年9%。债券息票率为10%，每半年支付一次，预计在3个月后和9个月后各支付$50息票（这意味着应计利息为$25，报价为$935）。我们假设3个月期和9个月期的无风险利率分别为每年9.0%和9.5%。因此，所付息票的现值为：

（b） 如果执行价格是执行时支付该债券的报价，由于期权的到期日是息票支付日之后的1个月，1个月的应计利息必须加到K中去。得到K的值为：

1000+50x0.16667=1008.33

在公式（26.5）中的其他参数不变［即，F0=939.68，P（0,T）=0.9200，σB=0.09，T=0.8333］。看涨期权的价格为$7.97。

图26.1说明债券价格对数的标准差如何随时间变化。今天的标准差为零，因为今天债券的价格没有不确定性。在债券的到期日标准差也是零，因为我们知道到期时债券价格将等于它的面值。在今天和债券到期日之间，标准差开始是增加的，然后减少。

在为债券的欧式期权进行估值时，所使用的波动率σB为：

标的债券不变而期权有效期变长时会发生什么情况呢？图26.2说明σB作为期权有效期限的函数的一种典型模式。一般来说，随着期权有效期限的增加，σB减少。

收益率的波动率

债券期权报价所对应的波动率常常是收益率波动率而不是价格波动率。市场运用在第4章所引入的久期概念，将报价的收益率波动率转换为价格波动率。假设D是第4章所定义期权的标的远期债券在期权到期时的修正久期。那么，远期债券价格FB的变化量△FB与其远期收益率yF的变化量△yF之间的关系是：

波动率表示一个变量价值的变化百分比的标准差。上述关系式说明，在Black模型中使用的远期债券价格波动率σB与对应的远期债券收益率波动率σy之间有近似的相关关系，公式如下：

其中，y0是yF的初始值。当债券期权报价给出收益率的波动率时，隐含的假设常常是：使用公式（26.8）将该波动率转换为价格波动率，然后将它与公式（26.5）或公式（26.6）联立起来，得到一个价格。考虑一个看涨期权的标的债券，期权到期之时该债券的修正久期是5年，远期收益率为8%，经纪人报出的远期收益率波动率为20%。这说明当波动率变量σB为

5x0.08x0.2=0.08

即为8%p.a.时，经纪人的报价所对应的期权的市价等于方程（26.5）给出的价格。图26.2说明远期债券波动率取决于所考虑的期权。我们刚才定义的远期收益率波动率则更接近于常数，这就是交易者们喜欢使用远期收益率波动率的原因。

附于本书的DerivaGem软件中选择Bond_Options工作表，再选择Black European为Pricing Model,，那么就可以使用Black模型定价欧式债券期权了。使用者可以输入特定的收益率波动率，收益率波动率的处理方法和我们在上面描述的一样。执行价格可以是现金价格或者是报价价格。

[例26.2]    考虑一个欧式债券看跌期权，债券期限为10年，本金为100,息票率为8%p.a.,每半年支付一次息票。期权有效期为2.25年，期权执行价格为115“远期收益率波动率为20%。零息率曲线是乎坦的，年利率5%，按连续复利计算。DerivaGem给出的债券报价为122.84。当执行价格为报价价格时，期权价格为2.37。当执行价格为现金价格时，期权价格为$1.74（注意，DerivaGem给出的价格和手算的价格可能不完全一致。这是因为DerivaGem软件假设每年有365天，并且它自动把时间近似到最接近的天数。）。

模型的理论解释

在25.4节中，我们给出了估值衍生证券时可以替代常规风险中性估值假设的其他一些假设。其中一种是“关于T时刻到期的零息票债券的远期风险中性世界"。我们证明过：

1.任意衍生证券的现价等于该世界中它的T时刻的期望值乘以零息票债券在T时刻的价格[参照方程（25.20）]

2.这个世界中，任意变量（除了利率）在T时刻的期望值等于它的远期值（参照方程25.21）

第一个结论说明基于T时刻到期的债券的看涨期权的价格为：

其中，BT是T时刻的债券价格，ET表示“关于T时刻到期的零息票债券的远期风险中性世界”中的期望。第二个结论说明

利用方程（26.10），这个结果可以简化为方程（26.5）中的Black模型。设定了期望债券价格等于远期债券价格，我们就可以把当前的T年期利率作为贴现率。

26.3    利率上限和下限

在场外交易市场金融机构提供的普通利率期权是利率上限。为了理解利率上限，首先考虑一个浮动利率票据，其中利率水平定期地被重新设定为LIBOR。重新设定之间的时间间隔被称为循环期限（tenor）。假设循环期限为3个月。上述票据的前3个月的利率等于初始时的3个月的LIBOR；接下来3个月的票据利率被设定为是3个月时点观测到的市场普遍的3个月LIBOR。如此等等。

设计利率上限是为了提供某种保险，保证浮动利率票据的利息率不超过某一确定的利率水平。这个利率水平被称为上限利率（caps rate）。假设本金为1000万美元，循环期限为3个月，利率上限的有效期为3年，上限利率为4%（因为每季度进行支付，该上限利率是每季度计一次复利计算的）。该利率上限提供了保险，保证浮动利率票据的利息率不超过4%。

我们忽略日算惯例并假设每个支付日之间正好相隔0.25年。在本节最后，我们将考虑日算惯例。假设在某一特定重设日，3个月的LIBOR为5%。那么，3个月后需要支付的浮动利率票据的利息为

0.25x0.05x$10000000=$125000

如果，3个月的LIBOR为4%，则需要支付的利息为

0.25x0.04x$10000000=$100000

因此，利率上限的损益为$25000.注意，损益并不是在观测到5%的重设日实现的。损益是在3个月后实现的。这反映了利率观测时刻到对应的支付实现时刻之间的时间滞后。

利率上限有效期内的每个重设日，我们观测LIBOR。如果LIBOR小于4%，3个月后利率上限不提供损益。如果LIBOR大于4%，损益等于LIBOR超过上限利率的部分乘以1/4再乘以本金1000万美元。注意，利率上限通常被设计为，初始LIBOR不会在第一个重设日就发生损益，即使初始LIBOR大于利率上限。我们的例子中，利率上限的有效期为5年。所以，一共有19个重设日（第0.25年、第0.50年、第0.75年、…、第4.75年）和19个利率上限的潜在损益（第0.50年、第0.75年、第1.00年、…、第5.00年）。

利率上限可看作为利率期权的组合

我们现在考虑一个利率上限，有效期为T，本金为L，上限利率为Rk。假设重设日分别为t1，t2，…，tn并且定义tn+1=T。定义Rk为tk（1≤k≤n）时刻观察到的tk至tk+1期间的利率。在tk+1=1，2，…，n）时刻，利率上限的损益为

其中，δk=tk+1-tk。Rk和Rk的复利计算频率等于重设频率。

利率上限可看作为债券期权的组合

利率上限也可以看作是一个基于零息票债券的看跌期权组合，这些看跌期权的收益出现在计算它们的那个时刻。公式（26.11）中的tk+1时刻的损益等价于4时刻的：

是一个在tk+1时刻提供损益L（1+Rkδk）的零息票债券在tk时刻的价值。因此式（26.12）中的表达式就是一个到期期限为tk的、基于在tk+1I时刻到期的零息票债券看跌期权的收益，该零息票债券的面值为L（1+Rkδk），看跌期权的执行价格为L。这就证明了利率上限可看作是一个基于零息票债券的欧式看跌期权的组合。

利率下限和利率双限

利率下限和利率双限（有时叫作地板一顶板协议）的定义与利率上限相似。利率下限在标的浮动利率票据的利息率下降到一个下限水平以下时，提供损益。使用上面已经定义的符号，tk+1（k=1，2，…n）时刻，利率下限的损益为

类似于利率上限的讨论，一个利率下限是一个基于利率的看跌期权的组合或是一个基于零息票债券的看涨期权的组合。组成利率下限的单个期权被称为floorlet。利率双限被设计为，保证标的浮动利率票据的利息率保持在一个上限和下限水平之间。一个利率双限是由一个利率上限的多头和一个利率下限的空头组合而成的。在构造利率双限时，通常使得初始利率上限的价格等于初始利率下限的价格，于是利率双限的净成本为零。

如商业剪影26.1所述，利率上限和利率下限之间存在一种看跌一看涨平价关系。

利率上限和利率下限的估值

正如式（26.11）所示，对应于tk时刻所观察的利率看涨期权元给出了tk+1时刻的损益为：

商业剪影26.1    利率上限和利率下限之间的看趺——看涨平价关系

利率上限和下限的价格之间存在一种看跌一看涨平价关系：

利率上限价值=利率下限价值+互换价值

这一关系式中，利率上限和利率下限有相同的执行价格Rk。互换是一个接受LIBOR、支付固定利率Rk且第一个重设日不进行支付交换的协议。三个金融工具的有效期和支付频率都相同。

为了解释这一结论，我们考虑利率上限多头和利率下限空头的组合。在LIBOR大于Rk的期间内，利率上限提供现金流LIBOR-Rk。在LIBOR小于治的期间内，利率下限空头提供现金流-（Rk-LIBOR）=LIBOR-Rk。因此所有情形下，该组合提供的现金流为LI-BOR-RK。这就等价于互换的现金流。因此，利率上限的价值减去利率下限的价值应该等于互换的价值。

我们需要注意，互换通常被设计为，0时刻的LIBOR决定第一个重设日的支付量。利率上限和下限被设计为第一个重设日不进行支付。因此，我们在上述关系式中定义的互换在第一个重设日不进行支付。

如果假设利率Rk服从对数正态分布，波动率为σk，公式（26.3）给出了这个利率看涨期权元的价值为：


FK为在tk与tk+1时刻期间的远期利率。从（26.4）式得到对应的利率下限估值的表达式为：



（DerivaGem给出的利率看涨期权元的价格是$5.146。这是因为其中假定一年为365日，并且把时间近似到相近的天数）

每个利率上限的利率看涨期权元必须使用公式（26.13）分别进行估值。一种方法是对每个利率看涨期权元使用不同的波动率。于是这些波动率称之为即期波动率（spot volatility）。另一种方法是对所有的组成任何特定利率上限的利率看涨期权元都使用相同的波动率，但按利率上限有效期限的不同来改变这个波动率。于是，所使用的这些波动率称之为单一波动率（flat volatility）。市场上所报出的波动率通常是单一波动率。然而，许多交易员喜欢使用即期波动率，因为这可使得他们识别被低估或高估的利率看涨期权元。欧洲美元期货期权非常类似于利率看涨期权元，人们经常将基于3个月期LIBOR的利率看涨期权元所使用的即期波动率与从欧洲美元期货期权价格中计算的波动率进行比较。

即期波动率和单一波动率

图26.3表示了即期波动率和单一波动率作为到期日函数的一种典型模式（在即期波动率情况下，到期日是利率看涨期权元的到期日；在单一波动率情况下，到期日是利率上限的到期日）。单一波动率类似于即期波动率的累积平均值，因此表现出较小的变动。如图26.3所示，我们通常观测到某种波动率的“弓状隆起”。“弓状隆起”的顶峰大约出现在2年到3年处。无论是期权价格所隐含的波动率还是从历史数据计算的波动率，都可以观测到这种“弓状隆起”现象。对“弓状隆起”存在的原因，至今还没有提出令人信服的解释。一种可能的原因如下：零息率曲线中短期限的利率由中央银行控制。相反地，2年期和3年期利率在很大程度上取决于交易者的行为。这些交易者可能对于他们观察到短期利率做出过度的反应，结果导致相应的利率的波动率比短期利率的波动率高。对于大于2年或3年的利率，第28章将讨论利率的均值回复特性使得相应的波动率降低。

市场上提供适用于利率上限和下限的单一隐含波动率数据表。报价给出的金融工具通常处于平价状态。这说明上限/下限利率等于一个与利率上限具有相同支付日互换的互换率。表26.1表示了经纪人在美元市场中的一个典型报价。利率上限的循环期限为3个月，利率上限的有效期在年之间。这些数据正好展示了图26.3中的“弓状隆起”。

模型的理论解释

从Black模型中我们可以知道，在“关于tk+1时刻到期的零息票债券的远期风险中性世界”中，利率看涨期权元是内部一致的。25.4节中的分析说明：

1.任意证券的现价等于上述世界中该证券的tk+1时刻的期望价值乘以tk+1时刻到期的零息票债券的价格[参照方程（25.20）]

2.tk时刻到tk+1时刻之间的利率期望值等于该世界中的远期利率[参照方程（25.22）]

使用前面定义过的符号，第一个结论说明，一个在tk+1时刻提供损益的利率看涨期权元的价格为

根据第13章附录，假定Rk服从对数正态分布时，上式变成

结合这些结果，就能得到方程（26.13）中的利率上限定价模型。设定了预期利率等于远期利率，我们就可以把市场中观察到的当前的tk+1期限利率作为贴现率。

DerivaGem软件的使用

使用附于本书的DerivaGem软件，可以以Black模型定价利率上限以及利率下限。在Cap_and_Swap_Option工作表选择Underlying Type为Cap/Floor,选择Pricing Model为Black-European。输入零息率曲线时用连续复利计算的利率。需要输入利率上限开始时刻以及到期时刻、单一波动率以及利率上限循环期限（即为tenor）。软件在计算支付日时，从利率上限的到期时刻开始进行倒推计算。初始利率看涨期权元/利率看跌期权元覆盖的期限被假设为，正常期限乘以0.5〜1.5之间的值所得到的期限。例如，假设利率上限覆盖的期限是1.22〜2.80年，结算频率为每个季度。那么一共有6个利率看涨期权元，它们覆盖的期限依次为2.55〜2.8。年、2.30〜2.55年、2.05〜2.30年、1.80~2.05年、1.55-1.80年、1.22〜1.55年。

日算惯例的影响

本节中给出过的公式中没有考虑日算惯例（对于日算惯例的说明，参见6.1节）。假设上限利率Rk是以实际天数/360方式表示的（符合美国的一般情况）。那么，我们公式中的时间间隔δk应该替换成ak，这是tk-tk+1的时间期限的实际年限。基于实际天数/360方式，支付日之间相隔92天，因此ak=92/360=0.2521。我们也要以实际天数/360方式表示远期利率Fk。那么我们应该解如下方程：

 这些影响和把Rk从实际天数/360方式变换到实际天数/实际天数方式、基于实际天数/实际天数方式计算Fk是一样的,，换句话说，这种影响和将上限利率的报价乘以365/360或366/360得到Rk，并通过解出以下方程来计算Fk是一样的：

26.4    欧式互换期权

互换的期权或互换期权是基于利率互换的期权，它是另一种大众化的利率期权。它们给予持有者一个在未来某个确定时间进行某个确定利率互换的权利（当然持有者并不是必须执行这个权利）。许多向其公司客户提供利率互换合约的大型金融机构，也准备向其客户出售或从客户处购买互换期权。如商业剪影26.2所述，互换期权可以视为一种债券期权。为了说明互换期权是如何使用的，考虑如下例子：某公司已知在6个月后要签署一个5年期浮动利率贷款协议，它希望将浮动利息支付方式换成固定利息支付方式以使该贷款转化为固定利率贷款（参照第7章中关于如何以这种方式使用互换的讨论）。支付一定的代价后，该公司可以获得一项互换期权，即：对6个月后开始的5年期贷款，该公司具有收取6个月期LIBOR浮动利息支付某个确定的固定利息（比如年率8%）的权利。如果6个月后发现常规的5年期互换的固定利率小于年利率8%，则公司将不执行互换期权而选择按通常的方式签署一项互换协议。然而，如果以上的固定利率大于年利率8%，公司将选择执行互换期权，并获得比市场的互换具有更有利条款的一项互换。

当互换期权以刚才所描述的方式使用时，互换期权为公司提供了担保，即保证在某个未来时间内公司为某个贷款所支付的固定利率将不会超过某个水平。互换期权也是不同于远期互换（有时叫作延迟互换）的另一种方法。远期互换不必事先支付成本，但不利之处在于公司要承担签署某个互换协议的义务。而互换期权可使公司在利率向有利方向变动时获益而在利率向不利方向变动时受到保护。互换期权与远期互换之间的区别类似于外汇期权和外汇远期合约之间的区别。

商业剪影26.2    互换期权和债券期权

回想在第7章中，利率互换可看作是把固定利率债券换成浮动利率债券的协议。在互换的开始，浮动利率债券的价值总是等于互换的本金金额。因此，一个互换期权可以看作是一个把固定利率债券换成互换的本金的期权，即典型的债券期权。

如果一个互换期权给予它的持有者支付固定利息和收取浮动利息的权利，它就是一个执行价格等于本金的基于固定利率债券的看跌期权。如果一个互换期权给予它的持有者支付浮动利息和收取固定利息的权利，它就是一个执行价格等于本金的基于固定利率债券的看涨期权。

欧式互换期权的估值

第7章中已经解释过，在某个特定时刻、特定期限的互换率是相同期限的刚发行的互换中与LIBOR进行交换的（中间市场的）固定利率。欧式互换期权的定价模型中，通常假设期权到期日的互换率是对数正态分布的。考虑如下互换期权：有一个利率互换在T年后开始，持续n年，我们具有对这个互换支付固定利率sk收取LIBOR的权利。我们假设该互换名义本金为L，每年支付m次。

第7章中说明过，日算惯例会使得每个支付日的固定利率支付额数有些不同。在这里，我们忽略这种日算惯例的影响，假定互换的每次固定支付额数为固定利率乘以L/M。本节最后，我们将考虑日算惯例的影响。

假设T时刻开始的n年期互换的互换率为sT。将固定利率为sT的互换现金流与固定利率为Sk的互换现金流进行比较，我们看到该互换期权的收益由一系列的现金流组成，这些现金流等于：

在互换有效期限n年内每年接收m次现金流。假设这些互换支付日依次为T1，T2…，Tmn，单位是年（从今天开始）。（如下等式近似成立：Tk=T+k/m,）每个现金流是执行价格为sk的、基于sT的看涨期权的收益。

运用方程（26.3），在Ti时刻收到的现金流价值是：


其中

如果互换期权给持有者收取固定利率sk而不是支付服sk的权利，该互换期权的收益为：

这是一个基于sT的看跌期权。和前面一样，在Ti时刻（1≤i≤mn）收取收益。公式（26.4）给出互换期权的价值为：

[例26.4]    假设LIBOR收益率曲线是平坦的，年利率6%，按连续复利计息。考虑如下互换期权，持有者具有在5年后开始为3年期互换支付6.2%的权利。远期互换率的波动率是20%。每半年支付一次，本金为$100。在这种情况下：

年利率为6%的连续复利转换为按半年计复利的结果是6.09%。在这个例子中，

即$2.07（这与DerivaGem软件给出的价格相同）。

经纪人的报价

经纪人提供欧式互换期权的隐含波动率数据表。报价给出的金融工具通常处于平价状态。这说明执行互换率等于远期互换率。表26.2表示了经纪人在美元市场中的一个典型报价。期权的期限在纵坐标给出，变化幅度从1个月到5年不同。期权到期之时的标的互换的剩余期限在横坐标给出，从1年到10年不同。表中的“1年”列显示出了“弓状隆起”，与之前利率上限中所论述的类似。移动到基于更长剩余期限的互换期权，“弓状隆起”还存在，但其程度明显减弱。

互换期权模型的理论解释

我们可以证明在“关于年金A的远期风险中性世界”中互换期权的Black模型是内部一致的。25.4节中的分析说明：

1.上述世界中，任意证券的现价等于年金的现价乘以

在该世界中的期望值［参见方程（25.25）］

2.T时刻互换率的期望值等于远期互换率［参见方程（25.24）］

第一个结论说明，互换期权的价格为

第二个结论说明EA（sT）等于s0。结合两个结论，我们可以得到方程（26.15）中的互换期权定价公式。设定了互换率的期望值等于远期互换率，我们在贴现的时候就能把利率当作一个常数。

日算惯例的影响

我们现在考虑日算惯例，给出更为准确的定价公式。互换期权中标的互换的固定利率以实际天数/365或30/360方式表述日算惯例。假设T0=T，并且对所应用的日算惯例，Ti-1至Ti期间的实际年限为ai（例如，如果对应于3月1日，Ti对应于9月1日，并且日算惯例为实际天数/365，则ai=184/365=0.5041）。定义年金因子A如下：

此时，我们给出的定价公式是正确的。

根据方程（25.23），为了得到互换率s0，可以解如下的方程：

26.5    一般结论

我们已经给出了Black模型的三种不同形式：关于债券期权的、关于利率上限的以及关于互换期权的。三个模型都是内部-致的，但这些模型相互之间并不一致。例如，当债券的未来价格是对数正态分布时，未来零息率和未来互换率并不是对数正态分布的；当未来零息率是对数正态分布时，债券的未来价格和未来互换率并不是对数正态分布的。

我们已经得到的结论可以被一般化：

1.考虑依附于T时刻某个变量观测值的任一金融工具，它在T时刻提供损益。它的现价为P（0，T）乘以预期损益，该期望值是在该标的变量的期望值等于该变量远期价格的世界中计算的

2.考虑在T*时刻提供损益的任一金融一工具，它依附于T时刻观测到的T至T*期的利率。它的现价为P（0，T*）乘以预期损益，该期望值是在该标的利率的期望值等于远期利率的世界中计算的

3.考虑以年金形式提供损益的任一金融工具。作为T时刻的n年期互换率的函数，我们假设年金额数在T时刻决定。我们也假设年金持续n年，年金的支付日与互换的支付日相同。金融工具的价值等于A乘以年预期损益，其中，（a）A是每年支付$1的年金的现价；（b）在一个未来互换率的期望值等于远期互换率的世界中计算期望

第一个结论是欧式债券期权模型的一般推广；第二个结论是利率上限/下限模型的一般推广；第三个结论是互换期权模型的一般推广。

26.6    利率衍生品的套期保值

本节中讨论如何扩展第15章中关于套期保值参数的结论，以便进行利率衍生证券的套期保值。利率衍生证券的情况中，Delta风险是零息率曲线移动所带来的风险因为零息率曲线的移动方式有很多种，可以计算很多Delta。举其中的一些例子：

1.计算零息率曲线平行移动1个基点的影响。它有时被表示成DV01

2.计算与零息率曲线构建相关的金融工具的报价有小幅度变化时，产生什么影响

3.把零息率曲线（或远期利率曲线）分成儿个部分（或桶）。计算某个“桶”中的利率移动1个基点的影响，剩下的初始期限结构保持不变（在商业剪影6.3中已经描述过）

4.执行18.9节中的主成分分析过程。对于前几个主成分因子的每一个变化计算对应的Delta值。那么，第一个Delta值衡量零息率曲线的小幅度近似平行移动的影响；第二个Delta值衡量零息率曲线的小幅度旋转的影响。如此等等

实际应用中，交易者们喜欢使用第二个方法。他们认为如果零息率曲线变化，惟一的原因就是用来计算零息率曲线的某个金融工具的报价变化了。所以，他们集中精力处理与这些金融工具价格变化相关的风险暴露。

当计算多个Delta测度时，也有很多可能的Gamma测度。假设10个金融工具用来计算零息率曲线，我们根据这些金融工具每一个报价变化计算相应的Delia测度。Gamma是衍生证券的二阶导数，它的表达式为a2Ⅱ/axiaxj。其中Ⅱ是证券组合价值。xi有10种选择，xj也有10种选择，一共产生55个不同的Gamma测度。这可能引起“信息过多”。一种方法是忽略交叉Gamma，只考虑10个当i=j时的衍生证券的1阶导数。另一种方法是计算单个Gamma测度，即求证券组合价值对于零息率曲线平行移动的二阶导数。再一种可行的方法是，通过主成分分析，只对前两个主成分因子求相应的Gamma值。

利率衍生证券组合的Vega衡量证券组合的价值对于波动率变化的暴露。一种方法是，对于所有利率上限以及欧式互换期权的Black波动率的小幅变化，计算证券组合价值受到的影响。但是，这里假定了一个因子驱动了所有波动率，导致处理过于简单化。更好的一个方法是，对于利率上限和欧式互换期权的波动率变化进行主成分分析，并对前两三个主成分因子求相应的Vega值。

小    结

Black模型提供了一种为欧式利率期权进行估值的普遍方法。Black模型的本质是假设期权中标的变量的价值在期权到期时是对数正态分布的。在欧式债券期权情况下，Black模型假设标的债券的价格在期权到期日是对数正态分布。对利率上限，Black模型假设组成利率上限的每个利率看涨期权元的标的利率是对数正态分布的。在互换期权的情况下，Black模型假设标的互换率是对数正态分布的。三个形式的模型都是内部一致的，但不同形式之间并不相互一致。

使用Black模型计算预期损益时，假设变量的期望值等于其远期值，并以当前在市场观察到的零息率贴现预期损益。这对于我们在本章考虑的“标准型”金融工具是正确的。但是，下一章中我们将看到这并不适用于所有的情况。

参考读物

Black，F.，“The Pricing of Commodity Contracts，”Journal of Financial Economics，3（March 1976）:167-79.