第19章    估计波动率和相关系数

本章中，我们将解释如何使用历史数据来估计当前的以及未来的波动率和相关系数。本章内容和VaR计算中的建模计算方法以及衍生证券估值都是有关联的、，计算VaR时，我们最感兴趣的是波动率和相关系数的当前水平。因为，我们在估计很短的时间段内证券组合价值的可能变化。估值衍生证券时，通常需要预测衍生证券整个有效期内的波动率和相关系数水平。

本章中考虑一些著名的模型，如指数加权移动平均（EWMA）、自回归条件异方差（ARCH）和一般自回归条件异方差（GARCH）模型。这些模型的独特之处在于，它们可以处理非常数的波动率与相关系数。一些时间段内，某个特定的波动率和相关系数可以相对较低，而另外一些时间段内这些波动率和相关系数也可以相对较高。这些模型捕捉波动率或相关系数跟随时间的改变。

19.1    估计波动率

定义σ_n为n天后的某个市场变量的波动率，由第n-1天结束之时估计得出。第n天的波动率的平方σ²_n被称为方差率（variance rate）。我们已经在13.4节中描述过从历史数据估计σ_n的标准方法。假设第i天结束之时，该市场变量值为S。定义变量u_i为第i天内（即第i-1天结束之时到第i天结束之时）的连续复利收益：

为了监测日波动率，通常对公式（19.1）做以下几种调整：

1.u_i被定义为第i-1天结束之时到第i天结束之时的市场变量的变化百分数，即

做这三种调整之后，计算出来的估计值不会发生多大变化，但是经过调整之后，方差率的计算公式被简化为

权数设计

公式（19.3）对u²_n-1，u²_n-2，…，u²_n-m，赋予同样的权数。我们的目标是估计当前的波动率水平σ_n。所以，给近期的数据赋予更大的权数是比较合理的。这样的一种模型是

变量α_i是赋予i天前的观测值的权数。α值都为正数。我们选择权数，使得当i>j时，α_i<α_j，即对于旧观测值赋予相对较小的权数。权数之和应该等于1，即

这就是著名的ARCH（m）模型。Engle首次提出了该模型。基于长期平均方差率和m个观测值可以估计方差。观测值的日期越早，赋予的权数越小。定义ω=γV_L，公式（19.5）中模型可以重写为：

接下来的两节中，我们讨论监测波动率的两种重要方法，其中利用了公式（19.4）和公式（19.5）中的思想。

19.2    指数加权移动平均模型

指数加权移动平均模型是公式（19.4）给出的模型的一个特殊情况。其中，随着时间倒退，权数α_i指数递减。这里有α_i+1=λα_i，其中λ是0~1之间的一个常数。

这样设计权数之后，可以得出更新波动率估计值的特别简单的公式。该公式为

第n天（第n-1天结束之时得到）的波动率估计值σ_n可以从σ_n（第n-2天结束之时得到的第n-1天的波动率的估计值）和u_n-1（最近的日价格变化百分数）计算出。

公式（19.7）中权数是指数递减的，为了解释这个结论，我们把σ²_n-1替换出来，得到

对于大的m，λ^mσ²_n-m项变得很小，可以忽略掉。此时，令α_i=（1-λ）λ^i-1公式（19.7）和公式（19.4）就相同了。随着时间倒退，u_i的权数以比率λ减小。每个权数等于λ乘以之前一个权数。

[例19.1]    假设λ是0.90。某个市场变量的第n-1天的波动率估计值为每日1%，且在第n-1天内市场变量价格上升了2%。也就是说σ²_n-1=0.01²=0.0001且u²_n-1=0.02²=0.0004。由公式（19.7）得出：

EWMA方法的一个有吸引力的性质是我们只需要储存较少的数据。任何一个时刻，我们只需记录方差率当前的估计值以及市场变量价值的最近一些观测值。当我们获得市场变量价值的最新观测值时，我们需要计算新的日变化百分数，并利用公式（19.7）来更新我们的方差率估计值。然后就可以删除旧的方差率估计值和旧的市场变量观测值。

EWMA方法被设计为跟踪波动率的变化。假设第n-1天，市场变量有一个大幅度变化，即u²_n-1较大。根据公式（19.7），这会引起当前波动率的估计值上升。λ值支配着日波动率估计值反映最近日变化百分数的情况。低的λ值下计算σ_n的时候，u²_n-1被赋予了非常大的权数。这种情况下，连续时间内估计的波动率自身的波动也会较大。高的λ值（即接近于1.0的值）下估计的日波动率反映日变化百分数最新信息的速度较慢。

由J.P.Morgan首次创建的RiskMetrics数据库在1994年公开使用。RiskMetrics数据库中，使用λ=0.94的EWMA模型来更新日波动率估计值。公司发现对于一系列不同的市场变量，该λ值可以给出的方差率预测值接近于最终实现方差率。在后续的25天当中，对u²_i赋予相同的权数，可计算出某一特定日期的实际方差率。

19.3    GARCH（1，1）模型

我们接着讨论Bollerslev在1986年首次提出的GARCH（1，1）模型。GARCH（1，1）模型与EWMA模型之间的区别类似于公式（19.4）与公式（19.5）的区别。在GARCH（1，1）模型中，σ²_n由长期平均方差率V_L、σ_n-1以及u_n-1计算出。GARCH（1，1）模型的公式为

其中，γ为V_L的权数，α为u²_n-1的权数，β为σ²_n-1的权数。因为权数之和为1，有

γ+α+β=1

EWMA模型是GARCH（1，1）模型的一个特殊情况，其中，γ=0，α=1-γ以及β=γ。

GARCH（1，1）模型中的“（1，1）”表示σ²_n是基于u²的最近观测值和方差率的最近估计值。一般的GARCH（p，q）模型中，根据u²的最新的p个观测值以及方差率的最新的q个估计值计算出σ²_n。目前为止，GARCH（1，1）模型是GARCH模型中最广泛使用的一个。

设ω=λV_L，则GARCH（1，1）模型可以重写为

估计参数的时候，常用模型的上述形式。一旦得到ω、α以及β的估计值，γ就等于1-α-β长期平均方差率V_L可以计算成少ω/γ。为了得到稳定的GARCH（1，1）过程，需要满足α+β<1，不然长期方差率的权数将是负值。

[例19.2]     假设从每日数据中估计到的GARCH（1，1）模型为

权    数

继续这样的替换，我们可以看到的u²_n-1权数为αβ^i-1。该权数以比率β指数递减。参数β可以解释为“衰减率”。它类似于EWMA模型中的λ。它定义了在求解当前方差率时，u的观测值的相对重要性。例如，如果β=0.9，u²_n-2的重要性是u²_n-1的90%；u²_n-3的重要性是u_n-1的81%。如此等等。GARCH（1，1）模型类似于EWMA模型，但不同的一点是，GARCH（1，1）模型中给过去的u²赋予指数递减的权数，也给长期平均波动率赋予一些权数。

均值回复

GARCH（1，1）模型中，当我们考查的时间越来越长时，方差率拉回到长期平均水平V_L。指定给V_L的权数为γ=1-α-β。所以，GARCH（1，1）模型等价于方差V满足以下随机过程的模型：

19.4    模型的选择

实际中，方差率倾向于均值回复。GARCH（1，1）模型有均值回复性质，但EWMA模型没有。所以理论上来看，GARCH（1，1）模型比EWMA模型更有吸引力。

在下一节中，我们将讨论如何最优拟合GARCH（1，1）模型中的参数ω、α和β。当参数ω为零的时候，GARCH（1，1）模型退化成EWMA模型。当模型经过最优拟合后计算出ω值为负数的时候，GARCH（1，1）模型不稳定，我们需要转到EWMA模型。

19.5    极大似然估计法

现在讨论如何从历史数据估计上述模型中的参数。我们要使用极大似然估计法，其中，我们选取参数来最大化这种数据真实发生的机会（或可能性）。

为了解释这个方法，我们先考虑一个简单的例子。假设我们在某天随机抽取了10种股票，发现其中一个股票的价格在当天有所下降，而其他9种股票的价格保持不变或有所上升。那么价格下降概率的最佳估计值应该是多少呢？很自然可以想到是0.1。现在我们看看极大似然估计法是否能给出这一结果。

假设价格下降的概率为p。一个股票价格下降，而其他9个股票价格不下降的概率为P（1-p）⁹（股价下降的概率为P，而不下降的概率为1-p）。极大似然估计法中，p的最佳估计值是将p（1-p）最大化对应的那个p值。把该式子关于p求导，并设其为零。则我们得到p=0.1能最大化该表达式的值。和我们想像的一样，p的极大似然估计为0.1。

估计常数方差

我们接下来的例子中根据变量X的m个观测值，以极大似然估计法估计变量X的方差，其中标的变量的分布是均值为零的正态分布。我们假设观测值为u₁、u₂、…、u_m，标的变量分布的均值为零。以v表示方差。u_i被观察到的可能性等于X=u_i时的X的概率密度函数，也就是：

根据极大似然估计法，v的最佳估计值就是使上述表达式最大化的v值。

求某个表达式的最大值等价于求该表达式对数的最大值。取公式（19.10）的对数，并忽略常数乘数因子，我们只需使下式最大化

估计GARCH（1，1）模型中的参数

我们现在讨论如何用极大似然估计法估计GARCH（1，1）模型的参数，也讨论极大似然估计法在其他波动率更新操作上的应用。定义第i天的方差估计值v_i=σ²_n：。我们假设u_i关于方差的条件概率分布为正态分布。那么，最佳的参数应该最大化以下表达式的值：

这与式（19.11）类似，只是v被代替成v_i。用迭代法可以求得使表达式（19.12）最大化的模型参数。

表19.1的电子数据表表示了计算GARCH（1，1）模型参数的过程。表中分析了1988年1月6日到1997年8月15日的日元汇率数据。表中的数据基于三个GARCH（1，1）模型参数（ω、α和β）的模拟估计值。第1列中记录了日期。第2列中计算天数。第3列中给出了第i天结束之时的汇率S。第4列中给出了第i-1天结束之时到第i天结束之时的汇率变化比例，ui=（S_i-S_i-1）/S_i-1。第5列表示了在第i-1天结束之时估计的第i天的方差率，v_i=σ²_i。在第3天开始方差的计算，首先设初始方差等于u²₂。随后的天中，使用公式（19.9）。第6列给出了似然参数-In（v_i）-u²_i/u_i。第5列与第6列中的数值基于当前ω、α和β的模拟估计值。我们感兴趣的是选择ω、α和β使第6列中的数据之和最大化。这涉及迭代算法。

相应的式（19.12）中函数的最大值为22063.5763。表19.1中的数据是在搜寻最佳ω、α和β值的最后迭代过程给出的。

例子中，长期方差率V_L为：

图19.1中显示了数据覆盖的10年期间，GARCH（1，1）模型给出的日元变化波动率。绝大部分时间里，波动率在每日0.4%〜0.8%之间。但某些时间上也有超过1%的时候。

另一种更加直观的估计GARCH（1，1）模型参数的方法是所谓的variance target-ing。该方法中设定长期平均方差率V_L等于从数据（或其他一些可信的变量值）得到的样本方差。那么，ω值就等于V_L（1-α-β），只需考虑剩下的两个参数了。根据表19.1中的数据，样本方差为0.00004341，等价于日波动率0.659%。设V_L等于样本方差，则将最大化表达式（19.12）值的α和β分别为0.0607和0.8990。此时，目标函数的值为22063.5274，和之前得到的22063.5763只有微小的差异。

使用EWMA模型的时候，参数估计过程相对比较简单。我们设ω=0，α=1-λ以及β=λ，也就只需估计一个参数。根据表19.1中的数据，使式（19.12）中的目标函数值最大的λ值为0.9686，相应的目标函数值为21995.8377。

使用GARCH（1，1）模型和EWMA模型的时候，可以使用Excel中的Solver程序来寻找满足极大似然估计的参数值。建立电子数据表的时候，如果我们设置待求的参数值大体相同的话，该程序可以更好地运行。例如，GARCH（1，1）模型的执行过程中，我们可以让单元A1、A2和A3分别相应于ωx10⁵、α和0.1/β。接着，我们可以设B1=A1/100000、B2=A2和B3=10*A3。我们用B1、B2和B3计算似然函数：而我们可以让Solver计算出当似然函数最大化时的A1、A2和A3。

模型的表现

GARCH模型中假设波动率随着时间变化而变化。某些期间内波动率相对较高，而其他期间内波动率相对较低。换句话说，u²_i高的时候，u²_i+1、u²_i+2、…也倾向于高；u²_i低的时候，u²_i+1、u²_i+2、…也倾向于低。我们接下来检验u²_i的自相关结构以检测上述的波动率变化方式的准确性。

我们假设u²_i确实是自相关的。如果GARCH模型没什么问题的话，应该能消除自相关。我们为了检测自相关是否被消除，考虑变量u²_i/σ²_i的自相关结构。如果该变量几乎不存在自相关，那么我们σ_i的模型在解释u²_i的自相关方面非常成功。

表19.2给出了对于日元/美元汇率数据进行上述分析的结果。第1列是计算自相关系数的时候考虑的滞后期数。第2列给出了u²_i的自相关系数。第3列给出了u²_i/σ²_i的自相关系数。表中可以看到对于1~15的滞后期数，u²_i都显示出了正的自相关。而u²_i/σ²_i有时显示出了正的自相关，有时显示出了负的自相关。而它的自相关系数都远小于u²_i的自相关系数。

由此可见，GARCH模型对数据做出了很好的解释°为了进行更为科学的计算，我们可以利用Ljung-Box统计量。如果某一个序列有m个观测值，它的Ljung-Box统计量为：

对于K=15，当Ljung-Box统计量大于25的时候，在95%置信度上拒绝自相关为零的假设。

表19.2中，u²_i序列的Ljung-Box统计量大约为123。这是存在自相关的有力证据。对于u²_i/σ²_i序列Ljung-Box统计量为8.2，可以认为GARCH模型消除了绝大部分的自相关。

19.6    利用GARCH（1，1）模型预测未来的波动率

第n天的方差率可从第n-1天结束之时估计得出。当使用GARCH（1，1）模型的时候，该值为

该公式利用了第n-1天结束之时存在的信息，预测了第n+t天的波动率。EWMA模型中，α+β=1，公式（19.13）说明未来方差率的期望等于当前的方差率。当α+β<1时，上面公式中的最后一项随着t增加而递减。图19.2描述了，当前的方差率不同于V_L时的方差率的预期轨迹。在前面提过，方差率显示均值回复特性，回复水平为V_L，回复比率为1-α-β。我们观察的时间足够长的时候，预测的未来方差率接近于V_L。以上分析再次强调了，为了使GARCH（1，1）过程稳定，应该有α+β<1。当α+β>1时，长期平均方差的权数是负值，以上过程呈现均值发散而不是均值回复。

在前面考虑的日元/美元汇率例子中，α+β=0.9602以及V_L=0.00004422。假设日方差率的当前估计值为0.00006（这等价于日波动率0.77%）。10天后的期望方差率为

0.00004422+0.9602¹⁰（0.00006-0.00004422）=0.00005473

期望波动率为每日0.74%，还是大于每天0.665%的长期波动率。但是，100天后的期望方差率为

波动率期限结构

假设现在是第n天。定义：

期权的有效期越长，该值越接近V_L。定义σ（T）为适合GARCH（1，1）模型中定价T天期期权的年波动率。假设一年有252天，σ（T）²是平均日方差率的252倍，

如第16章的讨论，通常使用基于相同资产的不同期权的市价计算波动率期限结构。它描述了期权的隐含波动率和有效期限之间的关系。公式（19.14）可以用来估汁基于GARCH（1，1）模型的波动率期限结构。估计出来的波动率期限结构不总是和实际的波动率期限结构相同。但是我们将看到，估计出的波动率期限结构可以用来预测实际的波动率期限结构对于波动率变化的反映情况。

当前的波动率高于长期波动率时，GARCH（1，1）模型估计出来的是向下倾斜的波动率期限结构。当前的波动率低于长期波动率时，GARCH（1，1）模型估计出来的是向上倾斜的波动率期限结构。在日元/美元汇率例子中，α=In（1/0.9602）=0.0406以及V_L=0.00004422。假设当前的日方差率V_L（0）的估计值为每日0.00006.根据公式（19.14），有

表19.4中给出了日元/美元汇率例子中，波动率变化对不同期限期权的影响。在这里我们同样设V（0）=0.00006，因此σ（0）=12.30%。该表中考虑的是瞬态波动率从每年12.30%变化到每年13.30%，即100个基点的变化。也就是说△σ（0）=0.01，即1%。

很多金融机构在决定账面资产对波动率变化的暴露程度时，做上述的分析。银行在计算Vega值时，并不设定隐含波动率全面上升1%，而是根据期权的期限选择波动率上升幅度。基于表19.4中的数据，对于10天期期权将考虑0.84%的波动率上升幅度，对于30天期期权将考虑0.61%的波动率上升幅度，对于50天期期权将考虑0.46%的波动率上升幅度，如此等等。

19.7    相关系数

到现在为止的讨论集中在如何估计和预测波动率。第18章中解释过，计算VaR的时候相关系数也是关键变量。这一节中我们将看到，相关系数估计值的更新操作类似于波动率估计值的更新操作。

变量X和Y的相关系数的定义如下：

其中σ_X和σ_Y分别为X和Y的标准差，cov（X，Y）为X和Y的协方差。X和Y之间的协方差定义为

其中μX和μ_Y分别为X和Y的均值，E表示期望。虽然相关系数的意义看起来比协方差的意义要直观，但在我们的分析中正是以协方差为基本变量。

定义x_i和y_i分别为第i-1天结束之时到第i天结束之时的X和Y的变化百分比：

其中X_i和Y_i分别为第i天结束之时的变量X和Y的值。我们也定义其他符号如下：

σ_x，n：变量X的日波动率，适用于第n天的估计值

σ_y，n：变量Y的日波动率，适用于第n天的估计值

cov_n：变量X和Y每日变化的协方差的估计值，第n天计算得到

第n天的X和Y的相关系数的估计值为

使用相同的权数并假设x_i和y_i的均值为零。公式（19.3）表明，可以从最近的m个观测值中估计X和Y的方差率。它们分别为：

 另一种更新协方差的方法是利用和公式（19.7）类似的EWMA模型。所以更新协方差估计值的公式为

利用类似于分析EWMA波动率模型中使用过的方法，我们可以看到赋予观测值x_iy_i的权数，随着时间倒退而下降。λ值越低，赋予最近观测值的权数也越高。

[例19.3]    假设λ=0.95且第n-1天的变量X和Y之间的相关系数的估计值为0.6。进一步假设，第n-1天的X和Y的波动率估计值分别为1%和2%。根据相关系数和协方差之间的关系式，第n-1天的X和Y之间的协方差估计值为

0.6x0.01x0.02=0.00012

假设第n-1天的X和Y的变化百分比分别为0.5%和2.5%。所以，第n天的方差和协方差将有如下的更新：

GARCH模型也可以用来更新协方差估计值以及预测协方差的未来水平。例如，更新协方差的GARCH（1，1）模型为

且长期平均协方差为ω（1-α-β）。可以推导类似于（19.13）和（19.14）的公式，以便预测未来协方差以及计算期权有效期间内的平均协方差。

协方差的一致性条件

一旦计算出所有方差和协方差，我们就能建立方差一协方差矩阵。当时i≠j时，矩阵的第（i，j）个元素是变量i和变量j的协方差。当i=j时，这个元素是变量i的方差。

不是所有方差一协方差矩阵都是内部一致的。一个NXN方差一协方差矩阵Ω内部一致的条件是：

对于所有Nx1向量ω，

其中是ω^T是ω的转置。满足这种性质的矩阵就是半正定的。

为了理解公式（19.17）的成立条件，假设ω^T是［ω₁，ω₂，… ，ω_n］。表达式ω^TΩω是ω₁x₁+ω₂x₂+…+ω_nx_n的方差，其中x_i是变量i的值，也就不可能是负值。

为了保证能产生半正定矩阵，方差和协方差的计算必须要一致。例如，如果对最近的m个观测值赋予相同权数计算出方差，则协方差也需要类似地求出。如果在利用EWMA模型更新方差的时候设定了λ=0.94，则在协方差的计算中也要做同样的设定。

一个内部不一致的方差一协方差矩阵的例子是

每个变量的方差为1，因此协方差等于相关系数值。第一个变量和第三个变量高度相关，第二个变量和第三个变量也高度相关。但是，第一个变量和第二个变量都不相关。这看起来有点奇怪。当我们设定ω等于（1，1，-1），我们将发现公式（19.17）中的条件不成立，所以该矩阵不是半正定的。

小    结

大多数广泛使用的期权定价模型，如Black-Scholes模型，其中假定标的资产的波动率是不变的。但是这一假设很不完美。现实中，一个资产的波动率与资产价格一样遵循随机过程。不同于资产价格，波动率并不是直接能观察到的。本章中讨论了跟踪波动率的当前水平的一些操作。

定义u_i为第i-1天结束之时到第i天结束之时的一个市场变量的变化百分数。该市场变量的方差率（即波动率的平方）可以计算为u²_i的加权平均。本章中讨论的操作的核心性质是，给不同的u²_i观测值赋予不同的权数。对最近的观测值赋予更大的权数。在EWMA模型和GARCH（1，1）模型中，观测值权数随着观测的时间倒退以指数方式衰减。GARCH（1，1）模型和EWMA模型不同的是，它给长期平均方差率也赋予权数，利用EWMA模型和GARCH（1，1）模型的结构，我们可以方便地预测方差率的未来水平。

极大似然估计法通常用来从历史数据估计GARCH（1，1）模型以及类似的其他模型的参数。这要用迭代计算来找出能使历史数据重演的可能性最大的参数。决定参数值之后，衡量模型的表现的方法是，考查模型消除u²_i自相关的程度。

对于每个被设计为跟踪方差变化的模型，我们都可以找到相应的模型来跟踪协方差。所以，根据我们讨论过的方法，可以更新计算VaR的方差一协方差矩阵。

参考读物

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