第22章    奇异期权

如欧式或美式看涨期权和看跌期权这样的衍生品被称为标准型产品（plain vanilla product）。它们有明确的标准化性质，交易也非常活跃。交易所或经纪人经常报出这些衍生品的价格和隐含波动率。OTC市场令人兴奋的地方是金融工程师创造出了很多非标准化的产品。这些衍生证券被称为奇异期权（exotic options或exotics）。虽然奇异期权通常只占据证券组合的一个很小部分，但因为它们能比标准型产品带来更高的收益率，投资银行很重视奇异期权。

开发奇异期权的原因有好几种。有时，它们是为了满足真实市场中对冲策略的要求；有时，由于税收、会计、法律或监管等相关原因，财务主管、基金经理或金融机构需要奇异期权；有时，为了设计相应的衍生品来预测某个特定市场变量未来的潜在移动；投资银行偶尔设计出比其他财务主管或基金经理没注意到的更具有吸引力的奇异期权。

在本章中，我们描述不同种类的奇异期权，并讨论它们的估值方法。这一节中的奇异期权分类法，类似于1991和1992年《风险》杂志中刊登的由Eric Reiner和Mark Rubinstein撰写的优秀系列文章中的分类法。本章中，我们假设标的资产以利率q支付红利收益。如第14章所述，对股票指数期权，我们设定q等于该指数的红利收益率；对货币期权，设定q值为外汇无风险利率；对期货期权，设定冬值为国内无风险利率。本章中讨论的大部分期权可用Deriva Gem软件进行估值。

22.1     一揽子组合期权

一揽子组合期权（packages）是由标准欧式看涨期权、标准欧式看跌期权、远期合约、现金及标的资产本身构成的证券组合。我们在第10章中讨论过多种类型的揽子组合期权：牛市价差期权、熊市价差期权、蝶式价差期权、跨式期权、宽跨式期权等。

交易员们经常喜欢设计具有零初始成本的一揽子组合期权。一个例子是范围远期合约。图22.1中给出了范围远期合约多头情况和空头情况的损益。一个范围远期合约空头由一个具有低执行价格K₁的看跌期权多头和一个具有高执行价格K₂的看涨期权空头构成。这样就能保证该期权到期之时，可以以K₁和K₂之间的价格卖出标的资产。一个范围远期合约多头由一个具有低执行价格K₁的看跌期权空头和一个具有高执行价格K₂的看涨期权多头构成。这样就能保证该期权到期之时，可以以K₁和K₂之间的价格买入标的资产。合约初始时刻，看涨期权的价值通常等于看跌期权的价值。当K₁和K₂值比较相近的时候，到期时资产的买入或卖出价格变得更为确定。极限情况下，即K₁=K₂的时候，范围远期合约变成普通的远期合约。

不需要任何成本，就能把支付延迟到合约到期时刻，那么任何衍生品都能转换成零成本产品。考虑一个欧式看涨期权。当支付发生在零时刻的时候，期权成本是c。那么，支付发生在期权到期时刻T时，期权成本是c=ce^rT，于是损益状态为max（S_T-K，0）-A或max（S_T-K-A，-A）。当执行价格K等于远期价格时，延迟支付期权又可称为中止式远期、波士顿期权、可选退出的远期和可撤销远期。

22.2    非标准美式期权

标准美式期权在有效期内任何时间均可行使期权且执行价格总是相同的。而实际中，OTC市场中交易的美式期权不一定总是具有这些标准特征。例如：

1.有一种非标准美式期权称为百慕大期权。在这种期权中，提前执行只限于期权有效期内的几个特定日期。

2.提前执行只限于期权有效期内某个部分时间。例如，合约签订时可能规定不能提前执行的“锁定期”。

3.执行价格在期权有效期内随着时间变化而发生变化。

公司发行的基于公司股票的权证中，经常出现一些或全部上述特征。例如，某个7年期的权证，在第3年到第7年中的一些特定日期，才允许执行；第3年到第4年中执行价格是$30，而在随后两年中执行价格为$32，在最后一年执行价格为$33。

通常可以利用二叉树图估值非标准美式期权。在每个节点上，根据期权的特殊条款检验提前执行的情况（如果发生）。

22.3    远期生效期权

远期生效期权（forward start options）是在未来某时刻开始的期权。在商业剪影8.3中讨论过的管理层期权就是一种远期生效期权。这是因为公司答应（明确地或默认地）给雇员在未来时刻提供两平期权。

考虑一种远期生效欧式看涨两平期权，在T₁时刻该期权启动，到期日为T₂。假设在零时刻的标的资产价格为S₀，在T₁时刻的标的资产价格为S₁。为了对该期权进行估值，我们从第13、14章中讲述过的欧式期权定价公式中得知处于两平状态的看涨期权与资产价格成正比。因此T₁时刻的远期生效期权价值为cS₁/S₀，其中c是持续时间为T₂-T₁的处于两平状态期权在零时刻的价值。使用风险中性评估法，在零时刻的远期生效期权价值为：

22.4    复合期权

复合期权是基于期权的期权。复合期权主要有四种类型：基于某个看涨期权的看涨期权，基于某个看涨期权的看跌期权，基于某个看跌期权的看涨期权，基于某个看跌期权的看跌期权。复合期权有两个执行价格和两个到期日。例如，考虑如下基于某个看涨期权的看涨期权情形，在第一个执行日T₁，复合期权的持有人必须付清第一笔执行价格K₁，并获得某个看涨期权。该看涨期权给予持有人以第二个执行价格K₂在第二个执行日T₂购买标的资产的权利。只有当第二个到期日的期权价值大于第一个执行价格时，复合期权可在第一个执行日行使期权。

当通常的几何布朗运动假设成立时，欧式复合期权可以用二维正态分布的积分解析形式来估值。所用符号如前所述，零时刻基于某个看涨期权的欧式看涨期权价值为：

22.5    后定选择权

后定选择权（或任选期权，chooser option，有时称为“任你选择”）具有如下的特征：经过一段指定时期后，持有人能选择期权，或者是看涨期权或者是看跌期权。假设做出选择的时刻为孔，此时任选期权的价值为：

max（c，p）

其中，c为任选期权的标的看涨期权价值，而p为任选期权的标的看跌期权价值。

如果任选期权的两个标的期权都是欧式的且具有相同执行价格，则可运用看跌期权和看涨期权之间的平价关系来获得估值公式。假定S₁为T₁时刻的股票价格，K为执行价格，T₂为标的期权的到期日，r为无风险利率。则看跌期权与看涨期权之间的平价关系式意味着：

这表明任选期权是一种一揽子组合期权，它由以下两部分构成：

这样一来，就可以对它进行估值了。

更复杂的任选期权可以允许看涨期权和看跌期权的执行价格与到期日不同。如果这样的话，它们就不再是一揽子组合期权了，但是具有像复合期权那样的特性。

22.6    障碍期权

障碍期权的损益依附于标的资产的价格在一段特定时期内，是否达到了某个特定水平。

通常有许多种不同类型的障碍期权在场外市场进行交易。它们吸引了一些市场参与者，因为它们通常比常规的期权便宜。这些障碍期权可以归为敲出期权和敲入期权这两类。敲出期权是这样一种期权，即当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权作废。敲入期权是这样一种期权，即只有当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权得以存在。

公式（14.4）和公式（14.5）说明，零时刻常规看涨期权和看跌期权的价值为：

一个下跌敲出看涨期权（down-and-outcall）是一种敲出期权。它是一个常规看涨期权，但如果资产价格达到某个障碍水平H，则该期权作废。障碍水平低F初始资产价格。相应的敲入期权是下跌敲入看涨期权。它是一个常规看涨期权，但只有当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权得以存在。

如果H小于或等于执行价格K，在零时刻的下跌敲入看涨期权的价值为：

由于一份常规看涨期权的价值等于一份相应的下跌敲入看涨期权价值和一份下跌敲出看涨期权价值之和，因此一份下跌敲出看涨期权价值等于一份常规看涨期权价值减去相应的下跌敲入看涨期权的价值：

上升敲出看涨期权（up-and-out call）是一个常规看涨期权，但如果资产价格达到某个障碍水平反，则该期权作废，其中H大于当前资产价格。上升敲入看涨期权是一个常规看涨期权，但只有当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权得以存在。当H小于等于K，上升敲出看涨期权的价值c_ω为零，上升敲入看涨期权的价值c为c_ω。当H大于等于K时：

看跌障碍期权的定义类似于看涨障碍期权。上升敲出看跌期权是一个常规看跌期权，但如果资产价格达到某个障碍水平H，则该期权作废，其中H大于当前资产价格。上升敲入看跌期权是一个常规看跌期权，但只有当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权得以存在。当障碍水平H大于或等于K时，它们的价格为：

一个下跌敲出看跌期权是一个看跌期权，当达到某个低于当前资产价格的障碍水平H时，则该期权作废。下跌敲入看跌期权是一个看跌期权，只有当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权得以存在。当障碍水平大于执行价格时，p_d0=（）和p_d1=p。当障碍小于执行价格时：

所有这些估值中都使用了通常的假设，即资产价格在未来时刻的概率分布是对数正态分布（应看到，障碍期权的价格有时对这个对数正态分布假设很敏感）障碍期权还有一个重要问题是：在检验资产价格是否达到障碍水平时，观测资产价格S的频率为多少。在这一节所给出的解析公式假设S为连续观测值，有时实际中也的确如此。合约中经常声明对S进行定期观测。例如，每天中午12点观测一次。对于标的资产价格是离散观测值的情况，布罗迪、格拉瑟曼和库给出了一种调整我们上面给出那些公式的方法。对于上升敲入期权和上升敲出期权，障碍水平H替代成

障碍期权的性质非常不同于普通期权。例如，有时，其Vega可以是负值，，当资产价格接近于障碍水平时，考虑一个上升敲出看涨期权。如果波动率上升，那么达到障碍水平的概率也上升。因此，这种情况下，波动率上升，则障碍期权价格下降

22.7    两值期权

两值期权是具有不连续收益的期权。一个简单的例子是现金或无价值看涨期权在T时刻，标的资产价格低于执行价格时该期权一文不值，而当标的资产价格超过执行价格时，该期权支付一个固定数额Q，在风险中性世界中，期权到期时标的价格超过执行价格的概率为N（d₂）。那么现金或无价值看涨期权的价值就是Qe^-rTN（d₂）。现金或无价值看跌期权和现金或无价值看涨期权类似。标的资产价格超过执行价格时该期权一文不值，而当标的资产价格低于执行价格时该期权支付一个固定数额Q。现金或无价值看跌期权的价值就是Qe^-rTN（-d₂）。

另一种两值期权是资产或无价值看涨期权。若标的资产价格在期权到期时低于执行价格则期权一文不值，若标的资产价格在期权到期时超过执行价格，则支付等于标的资产价格本身的款额。资产或无价值看涨期权的价值为S₀e^-qTN（d₁）。资产或无价值看跌期权中标的资产价格超过执行价格时该期权一文不值，而当标的资产价格低于执行价格时，支付等于标的资产价格本身的款额。资产或无价值看跌期权的价值就是S₀e^-qTN（d₁）。

一个常规欧式看涨期权等价于一个资产或无价值看涨期权多头头寸和一个现金或无价值看涨期权（此时，基于现金或无价值看涨期权的损益等于执行价格）空头头寸的组合。类似地，一个常规欧式看跌期权等价于一个现金或无价值看跌期权多头头寸和一个资产或无价值看跌期权（此时，基于现金或无价值看跌期权的损益等于执行价格）空头头寸的组合。

22.8    回望期权

回望期权的损益依附于期权有效期内资产达到的最大或最小价格。欧式回望看涨期权的损益，等于最后资产价格超过期权有效期内资产达到的最低价格的那个量。欧式回望看跌期权的损益，等于期权有效期内资产达到的最高价格超过最后资产价格的那个量。

欧式回望期权的定价公式已经推导出来了。零时刻的欧式回望看涨期权的价值为：

回望看涨期权定义为持有者能够以期权有效期内所能达到的最低价格购买标的资产。同样地，回望看跌期权定义为持有者能够以期权有效期内所能达到的最高价格出售标的资产。回望期权中的标的资产通常是商品。就像障碍期权那样，回望期权价值对用以计算最大或最小资产价格时的观测频率敏感。以上公式假设资产价格是连续观测的。对于资产价格是不连续观测值的情况，Broadie、Glasserman和Kou给出了一种调整我们上面给出那些公式的方法。

22.9    叫停期权

叫停期权（shout option）是一种欧式期权，期权有效期内持有者可以向期权卖方“叫停”一次。期权到期之时，期权持有者的损益是欧式期权的一般损益与叫停时刻的内在价值中价值更大的那一个，假设执行价格为$50，看涨期权的持有者在标的资产价格为$60时发出了叫停。如果到期时最终资产价格小于$60，持有者的收益为$10。如果最终资产价格大于$60，持有者的收益为该最终价格超过$50的部分。

叫停期权的一些性质和回望期权类似，而相比之下，叫停期权非常的便宜。如果持有者在T时刻资产价格为S_T时发出了叫停，那么期权的损益为

其中，和之前一样，K表示执行价格，S_T表示T时刻资产价格。如果丁时刻持有者发出叫停，则该期权的价值为S_T-K的现值加上执行价格为S_T的欧式期权的价值。后者可以用Black-Scholes公式计算出来、

可以按常用的方法建立标的资产的二叉树图或三叉树图来估值叫停期权。在树图进行倒推计算时，我们需要在每个节点上计算叫停时的期权价值以及不叫停时的期权价值。两者中间较大者就是该节点上的期权价格。因此，叫停期权的估值过程和普通美式期权一样。

22.10    亚式期权

亚式期权的损益依附于有效期至少为期权有效期中的一部分的标的资产平均价格。平均价格看涨期权的损益是max（0，S_ave-K），平均价格看跌期权的损益为max（0，K-S_ave），其中是按预定平均时期计算的标的资产的平均价值。平均价格期权比常规期权便宜，并有说法认为它比常规期权更适合公司财务主管的某些需求。假设一家美国公司的财务主管期望在明年内平稳地收到来自澳大利亚子公司的一份1亿澳元的现金流。他可能对一种能保证该年内平均汇率高于某一水平的期权感兴趣。平均价格看跌期权能比常规看跌期权更好地满足这一要求。

另一种类型的亚式期权是平均执行价格期权。平均执行价格看涨期权损益为max（0，S_T-S_ave），而平均执行价格看跌期权损益为max（0，S_ave-S_T）。平均执行价格期权可以保证购买在一段时间内频繁交易资产所支付的平均价格低于最终价格。另外，它能保证销售在一段时间内频繁交易资产所收取的平均价格高于最终价格。

若假定标的资产价格S服从对数正态分布，且S_ave是S的儿何平均值，就可获得欧式平均价格期权的定价解析计算公式。这是因为一系列对数正态分布变量的几何

更普遍的情况是亚式期权定义为算术平均值，然而没有精确的解析定价公式。这是因为一系列对数正态分布的算术平均值分布没有可解析处理的特性。然而，该分布近似对数正态分布，对基于算术值的平均价格期权的定价我们有一种近似的解析方法。我们在风险中性世界中，精确地计算算术平均的概率分布的前二阶矩，然后再假定算术平均的分布是具有相同阶矩的对数正态分布。

考虑一个新发行的亚式期权，在T时刻提供基于0时刻到T时刻的算术平均值的亚式期权损益。当q≠r时（对于q=r的情况），观察风险中性世界中，算术平均的一阶矩M₁与二阶矩M₂可以定义为：

如果我们假设平均资产价格服从对数正态分布，我们可以把平均价格期权看作为期货期权，就可以利用公式（14.16）和公式（14.17）。这时应该设

[例22.2]    考虑一个新发行的基于不付红利股票的平均价格看涨期权，股票价格为50，执行价格为50，股票价格波动率为年利率40%，无风险利率是年利率10%，有效期限为1年。此时，S₀=50，K=50，r=0.1，q=0，σ=0.4，T=1。如果平均值是几何平均，我们可以像常规期权那样为该期权估值，波动率为即23.09%，股票收益率为（0.1+0.4²/6）/2，即6.33%。该期权的价值为5.13。如果平均值是算术平均，我们首先计算M₁=52.59和M₂=2922.76。当我们假设平均值服从对数正态分布时，该期权和期货期权的价值一样。根据公式（22.1）和公式（22.2），得到F₀=52.59以及σ=23.54%。DerivaGem软件计算出来的该期权价值为5.62。

上面给出的M₁和M₂的计算公式基于的假设是，平均值是由资产价格的连续观测值计算出来的。本章附录中讲述了当平均值是由资产价格的离散观测值计算出来的时候，如何得到M₁和M₂。

通过调整上述分析，我们可以处理当期权不是新发行的，及已经观察到决定平均值的一些价格的情况。假设正在取平均时期是由已经观测到价格的长度为t₁的时期和未来的长度为t₂的时期（期权的剩余期限）构成。假设在第一个时期的平均资产价格为成。则平均价格看涨期权的收益为：

22.11    一项资产换取另一项资产的期权

一项资产换取另一项资产的期权（有时也称为交换期权）包括多种内容。从美国投资者的观点来看，使用澳元购买日元的期权是把一种外币资产交换成为另一种外币资产的期权。股票投标是将一种股票交换为另一种股票的期权。

考虑在T时刻放弃价值U_T的资产而换回价值V_T的资产的欧式期权。该期权的损益为Margrabe

Margrabe率先给出了这种期权的定价公式。假设资产价格U和K都遵循几何布朗运动，其波动率为σ_U和σ_K。更进一步假设U和K之间的瞬态相关系数为ρ，且U和V提供的收益率为q_U和q_V。在零时刻该期权的定价为：

在第25章中将证明上述结论。有意思的是公式（22.3）是独立于无风险利率r的。这是因为当r上升时，风险中性世界中的两种资产价格增长率都上升了，但这被贴现率的上升精确地抵消了。变量是V/U的波动率。与公式（14.4）比较后可以看出，这个期权的价格与U₀份基于价值为的资产的欧式看涨期权价格相同，其执行价格为1.0，无风险利率为q_U，资产红利收益率为q_V。Mark Rubinstein说明，同类美式期权在进行估价时可表示出类似的性质。它可视为U₀份美式期权，该美式期权以1.0美元的执行价格购买价值V/U的资产，无风险利率为q_U，资产红利收益率为q_V。这个期权可以用第17章所述的二叉树图方法来估值。

获得两个资产中较好或较差资产的期权，可以看作是由两个资产之一的某个资产头寸加上将其交换为另一个资产的期权所组成：

22.12    包含几种资产的期权

包含两种或更多风险资产的期权，有时也称作为彩虹期权。一个例子是第5章中提到的在CBOT交易的债券期货合约。允许空头方在交割时可以从大量不同的债券中进行选择。

最流行的含几种资产的期权是篮子期权。该期权的损益依附于某个资产组合（或篮子）的价值。资产通常为单种股票、股票指数或货币。欧式篮子期权可由蒙特卡罗模拟方法进行估值，其中要假设这些资产遵循相关的几何布朗运动。一个更迅速的方法是，在风险中性世界中计算期权到期之时篮子的前两阶矩，再假设篮子价值在这一时刻服从对数正态分布。那么，可以将这种期权看作是期货期权，根据公式（22.1）和公式（22.2）得到的参数进行计算。本章附录讲述如何从两个资产的波动率和它们之间的相关系数，求得未来某一时刻篮子价值的前两阶矩。通常从历史数据估计相关系数。

22.13    静态期权复制

如果我们使用第15章中的方法来对奇异期权进行套期保值，则我们会发现有些情况容易处理，而其他情况中处理非常难，因为存在不连续性（参照商业剪影22.1）。对难处理的情况，可以适用所谓的静态期权复制方法。这涉及寻找某个活跃的可交易期权的组合，并在所考虑的条件下近似复制奇异期权。卖空这个头寸就可以对冲了。基于静态期权复制的基本原则如下：如果在某个确定的边界条件下两个组合的价值相等，那么它们在边界内所有内在点的价值也相同。

考虑如下例子，一个9个月期的基于不支付红利股票的上升敲出看涨期权，股票现价为50，执行价格为50，障碍水平为60，无风险年利率为10%，年波动率为30%。假设f（S，t）为时间£股价为S时的期权的价值。为了构造复制的组合，我们可以使用在（S，t）空间内的任何边界。我们选择了处理起来较为方便的边界，如图22.2中描述。这一边界由S=60和t=0.75组成。边界上，上升敲出看涨期权的价值为

有很多方法可以使我们用常规期权来近似满足这个边界条件。满足第一个边界条件的现成工具是一个常规的执行价格为50的9个月期的欧式看涨期权。因此，进入复制组合中的第一个工具很可能是一个单位的该期权（我们称此期权为期权A）。那么随后进行的一种方法如下：我们将期权的有效期分成许多个时间步长，然后在每个步长的开始选择满足第二个边界条件的期权。

假设我们选择3个月为时间步长。我们选择的下一个工具应当使得第二个边界条件在t=0.5时满足。换句话说，在t=0.5和S=60时，它应当使完全复制的组合价值为零。该期权应当有这样的特性：在条件已经匹配满足的情况下，它在第一个边界上的值为零。一种可能是某个常规的9个月期的欧式看涨期权，执行价格为60（我们将此期权称为期权B）。Black-Scholes公式说明：当S=60时，在6个月点上，它的价值为4.33。它们也说明了在该点上期权A的头寸价值为11.54。那么，我们所需要的期权B的头寸为-11.54/4.33=-2.66。

商业剪影22.1    奇异期权的Delta套期保值更京易还是更推

如第15章所述，我们对奇异期权套期保值时，可以创造Delta中性头寸，频繁进行再调整来维持Delta中性化。此时，我们会发现一些奇异期权比标准型期权更容易处理，而其他一些则非常难处理。

一种非常容易套期保值的奇异期权是平均价格期权，其中计算平均值的期限为期权的总期限。随着时间变化，我们可以观测更多的可用于最后平均值计算中的资产价格。这说明，随着时间变化，我们对损益的不确定性降低。因此，该期权也越来越容易套期保值。最后几天中，该期权的Delta总是接近于零，因为这段期间内的价格变化对损益的影响很小。

相反地，障碍期权的套期保值非常难。考虑一个货币的下跌敲出看涨期权，汇率超过障碍水平0.0005。如果触击到障碍水平，期权作废。如果没触击到障碍水平，期权价值可能很高。障碍期权的Delta的不连续性使得传统套期保值策略很难执行。

接下来，我们考虑在t=0.25时匹配满足第二个边界条件的情况。所用的期权应当具有如下特性：在所有至今为止已经满足的边界上，该期权价值为零。一种可能是某个常规的6个月期的欧式看涨期权，执行价格为60（我们将此期权称为期权C）。当S=60时，在3个月时间点上，它的价值为4.33。期权A和期权B的头寸在该点上价值为-4.21。那么我们所需要的期权C的头寸为4.21/4.33=0.97。

最后，我们在t=0点满足第二个边界条件。为此，我们使用某个常规的3个月期的执行价格为60的欧式期权（我们将此期权称为期权D）。与上面类似，计算期权D所需要的头寸为0.28。

在表22.1中总结了我们选择的证券组合（也可以参照DerivaGem Application Builder的Sample Application F）。刚开始，它的价值为0.73（即零时刻，股票价格为50时）。将此结果与本章前面给出的上升敲出看涨期权的解析解0.31做比较。复制组合价值并不精确等于上升敲出看涨期权价值，这是因为它只在第二边界上的3个点上与后者匹配。如果我们运用同样的策略，在第二个边界上如果有18个点相匹配（使用每半个月到期的期权），复制组合的价值减少到0.38。如果有100个点相匹配，复制组合的价值进一步减少到0.32。

为了对某个衍生证券进行套期保值，我们使满足边界条件的组合处于空头。在Delta套期保值上的优势是，它不需要频繁地进行头寸的再调整。范围更加广泛的衍生证券都可以使用静态复制方法。使用者在选择需满足的边界条件和所使用的期权上有很大的灵活性。但是，当该边界的任一部分满足时，使用者必须将该组合拆散。

小    结

奇异期权是其支配收益的规则比标准期权更加复杂的一类期权。我们已讨论了12种不同类型的奇异期权：一揽子组合期权、非标准美式期权、远期生效期权、复合期权、任选期权、障碍期权、两值期权、回望期权、叫停期权、亚式期权、资产交换期权以及包含多种资产的期权。我们已经讨论过，如何沿用第13章的Black-Scholes定价公式的基本假设，对这些奇异期权进行定价。有一些是可以进行解析方式定价，但需采用比常规欧式看涨期权和看跌期权复杂得多的公式来运算。还有一些可以通过近似解析公式定价，再有一些可以通过第17章中的数值方法的扩展形式进行定价。我们将在第24章中给出更多估值奇异期权的数值方法。

有些奇异期权比起相应的常规期权来说更易于对冲；而另一些就难得多。一般来说，亚式期权更易于对冲，因为越接近到期日，期权的收益就越确定。障碍期权就难以对冲了，因为障碍期权的Delta值可能是不连续的。对冲奇异期权的一种方法是静态期权复制方法，找到一个常规期权的组合，在一些边界上，这些常规期权价值与奇异期权的价值吻合。通过卖空这个组合来对冲该奇异期权。

参考读物

Clewlow，L.，and C.Strickland，Exotic Options：The State of the Art.London：Thomson Business Press，1997.

Derman，E.，D.Ergener，and I.Kani，“Static Options Replication，”Journal of Derivatives，2.4（Summer 1995）：78-95.

Derman，E.，I.Kani，and N.Chriss，“Static Options Replication，”Journal of Derivatives，1，4（Summer 1994）：6-14.

Geske，R.，“The Valuation of Compound Options，”Journal of Financial Economics，7（1979）：63-81.

Goldman，B.，H.Sosin，and M.A.Gatto，“Path Dependent Options：Buyatthe Low，Sellatthe High，”Journal of Finance，34（December 1979）：1111-27.

Margrabe，W..“The Valueofan Option to Exchange One Asset for Another，”Journal of Finance，33（March 1978）：177-86.

Milevsky，M.A.，and S.E.Posner，“Asian Options：The Sum of Lognormals and the Reciprocal Gamma Distribution”Journal of Financial and Quantitative Analysis，33，3（September 1998），409-22.

Ritchken，P.“On Pricing Barrier Options，”Journal of Derivatives，3，2（Winter 1995）：19-28.

RitchkenP.，L.Sankarasubramanian.and A.M.Vijh，“The Valuation of Path Dependent Contractson the Average，”Management Science，39（1993）：1202-13.

Rubinstein，M.，and E.Reiner，“Breaking Downthe Barriers，Risk，September（1991）：28-35.

Rubinstein，M.，”Double Trouble，Risk，December，“January（1991/1992）：53-56.

Rubinstein，M.，”One for Another，“Risk，July/August（1991）：30-32.

Rubinstein，M.，” Options for the Undecided，“Risk，April（1991）：70-73.

Rubinstein，M.，“PayNow，ChooseLater，”Risk、February（1991）：44-47.

Rubinstein，M.，“Somewhere Over the Rainbow，”Risk，November（1991）：63-66.

Rubinstein，M.，“Twoin One，”Risk May（1991）：49.

Rubinstein，M.，and E.Reiner，“Unscrambling the Binary Code，”Risk，October 1991：75-83.

Stulz，R.M.，“Optionson the Minimumor Maximum of Two Assets，”Journal of Financial Economics，10（1982）：161-85.

Turnbull，S.M.，and L.M.Wakeman，“A Quick Algorithm for Pricing European Average Options，”Journal of Financial and Quantitative Analysis，26（September 1991）：377-89.

Zhang，P.G.，Exotic Options：A Guide to Second Generation Options，2nd edn.Singapore：World Scientific，1998.

附    录

亚式期权和篮子期权价格的前二阶矩的计算

首先考虑如何计算风险中性世界中未来T时刻的篮子期权价值的前二阶矩。假设篮子里面的每个资产价格都服从对数正态分布。定义：

亚式期权

我们现在考虑如何计算风险中性世界的资产价格算术平均值的前二阶矩，其中平均值由离散观测值计算。假设T_i（1≤i≤m）时刻观测资产价格，我们重新定义变量如下：