第14章 股票指数期权、货币期权和期货期权
本章我们将着手解决股票指数期权、货币期权和期货期权的定价问题。首先我们将分析支付已知红利收益率股票的期权。然后，我们再说明股票指数、货币以及期货价格类似于支付已知红利收益率的股票。因此，对基于支付某一红利收益率股票期权的定价的基本结论，可以推广到基于其他标的资产的期权的定价问题。
14.1 支付已知红利收益率股票的计算结果
本节中我们介绍-个简单的规则，无红利支付股票的欧式期权的结论可以扩展到支付已知红利收益率股票的欧式期权的情况。
红利的支付使得股票价格在除权日的降低幅度等于红利的数额。所以红利收益率q的支付使得股票价格的增长率比不支付红利股票价格增长率减少了如如果支付连续红利收益率q的股票价格，从当前的S0增加到T时刻的sT，那么，没有红利支付股票价格将从当前的S0增加到T时刻的STeqT换个方式表达，也可以认为股票价格是从当前的S0e-qT或增加到T时刻的ST。
以上的分析说明，在以下两种情况下，我们得到T时刻股票价格的相同的概率分布：
1.股票价格开始为S0，该股票连续支付红利，红利收益率为q
2.股票价格开始为S0e-qT该股票不支付红利
这可得到一个简单的规则：当我们对有效期是T，支付已知红利收益率是q的股票的欧式期权进行估值时，我们可将股票现价从S0减小到S0e-qT，然后就像不支付红利股票的期权那样估值。
期权价格的下限
作为这个规则的第一个应用，考虑如何决定一个支付红利收益率q的股票的欧式期权价格上下限。将公式（9.1）中的S0替换成S0e-qT，我们可以看到，欧式看涨期权价格c的下限由下式给出：
为了得到欧式看跌期权的下限，类似地，我们简单地将公式（9.2）中的S0替换成S0e-qT，得到：
也可以根据无套利关系证明这些结论。
看跌期权与看涨期权之间的平价关系
将公式（9.3）的S0替换成S0e-qT，我们得到支付红利收益率为q的股票的看跌期权与看涨期权之间的平价关系：
也可以根据无套利关系证明这一结论。
14.2 期权定价公式
在Black-Scholes公式中以S0e-qT代替方程（13.20）和方程（13.21）中的S0，我们得到支付红利收益率为q的股票的欧式看跌期权的价格P以及欧式看涨期权的价格c：
这些结果最初是由Merton推导出的。如13.12节所述，在期权定价过程中，“红利”这个词应当被定义成在除权日，由红利支付引起的股票价格的减少额如果在期权有效期内红利收益率不是恒定的，只要令q等于期权有效期内平均年红利收益率，方程（14.4）和方程（14.5）仍然正确。红利收益率应该以连续复利计算（参见5.6节）。
微分方程与风险中性估值
为了更正式地证明方程（14.4）与方程（14.5）中的结果，我们可以求解期权价格必须满足的微分方程或者进行风险中性估值。
在13.6节的分析中考虑红利收益率q的影响，则微分方程（13.16）变成
同方程（13.16）一样，它不包含任何受风险偏好影响的变量。因此我们可以使用13.7节中阐述过的风险中性定价过程。
在风险中性世界中，股票的总收益率一定是厂，而红利提供的收益率是q，所以股票价格预期的增长率一定是r-q。那么股票价格的风险中性行为过程是
dS=（r-q）Sdt+σSdz （14.7）
因此，要为基于支付红利收益率q的股票的衍生证券定价，我们设定股票的预期增长率等于r-q，然后以贴现率r贴现预期损益。当股票价格预期的增长率是r-q的时候，T时刻股票预期价格为S0e（r-q）T。进行与第13章附录类似的分析，风险中性世界中的期望损益为：
其中d1和d2和之前定义的一样。把T时刻的损益以r贴现到现在，就可得到方程（14.4）。
二叉树
可以利用第11章中描述过的二叉树模型估值支付已知红利收益率股票的期权。为了匹配股价波动率，我们设
其中
这就是我们在11.9节中使用过的结果。
14.3 股票指数期权
如第8章所述，有些交易所交易股票指数期权。使用的一些指数大体上反映了股票市场整体的运动状况。其中一些反映了某种特殊行业股票（如：计算机技术、原油和天然气、运输以及电讯行业）的行情。
行情报价
表14.1为2004年2月5日星期四，《华尔街日报》货币与投资版刊载的道琼斯工业平均指数（DJX）和S&P500指数（SPX）的期权行情报价。《华尔街日报》也给出其他一系列指数，如纳斯达克100（NDX）、罗素200。（RUT）和S&P100（OEX）的期权行情报价。除了S&P100合约的期权是美式之外，芝加哥期权交易所内交易的所有指数期权都是欧式的。这些报价表示的是前一个交易日，即2004年2月4日星期三的最后成交价格。2004年2月4日，DJX和SPX的最后成交价格分别为104.71和1126.52。
一个指数期货合约规模为该指数乘以100（注意：用于指数期权中标的道琼斯指数是0.01乘以道琼斯指数的普通报价）。所有指数期权用现金结算。这就意味着，在执行期权时，一份看涨期权的持有者收入（S-K）x100的现金，而期权出售者支付这笔现金，其中S是在期权执行日收盘时的指数值，K是执行价格。同样，一份看跌期权的持有者收入（K-S）x100的现金，期权出售者支付这笔现金。
表14.1中可以看到，除了有效期相对短的期权之外，该交易所中还有期限更长的所谓长期股权预期证券（LEAPS）。首字母缩写词LEAPS意味着“长期股权预期证券”，最初由CBOE引入。LEAPS是期限可长达3年的场内交易期权（看表14.1时注意，设计LEAPS合约的时候，S&P指数已经除了10）。股票指数的LEAPS期权通常在12月份到期。正如第8章所述，CBOE和其他几家交易所也进行基于许多个股的LEAPS期权的交易，这些期权都在1月份到期。
CBOE还交易所谓的股票指数变通期权。正如第8章所述，在这些期权中，交易者可选择到期期限、执行价格以及美式期权还是欧式期权。
估 值
在第5章中估值指数期货的时候，我们提过指数可视为支付已知红利收益率的证券。估值指数期权时，我们沿用相同的假设。这说明式（14.1）和式（14.2）提供欧式指数期权价格的下限；方程（14.3）可以是欧式指数期权的看跌与看涨期权之间的平价关系；方程（14.4）和方程（14.5）可以用来为基于股票指数的欧式期权定价。这里，S0等于指数值，σ等于指数波动率，q等于期权有效期间内指数的平均年红利收益率（连续复利）。计算q的时候，应该只考虑除权日发生期权有效期内的红利。
在美国，除权日大多数是在2月份、5月份、8月份和11月份的第1周。因此，对于任一给定时间，正确的q值很大程度上依赖于期权的有效期限。在某些其他国家，这种季节性甚至更明显。比如在日本，所有的公司都倾向于相同的除权日。
[例14.1] 考虑一种S&P500的欧式看涨期权，还有2个月到期。指数的现值为930，执行价格为900，无风险利率为每年8%，指数波动率为每年20%o在第一个月和第二个月中期望得到的红利收益率分别是0.2%和0.3%。即在这个例子中，S0=930，K=900，r=0.08，σ=0.20，T=2/12。期权有效期内的总红利收益率为0.2%+0.3%=0.5%，即每年3%。因此，q=0.03，且
一份合约的费用为$5183。
如果期权的标的股票，其将要支付的红利的绝对数量是已知的（而非红利收益率已知），那么将最初的股票价格减去红利的现值就可以使用基本的Black-Scholes-Merton公式。这是第13章中提出的处理支付已知红利的股票的方法。对于成分股众多的股票指数，以上方法是难以实现的，因为该方法需要估计指数包含的每一种股票的红利收益。
二叉树
在某些情况下，在到期日前执行美式看涨指数期权和看跌指数期权是最优的，模仿11.9节的方法，可以利用二叉树估值美式指数期权。对于应用二叉树模型处理指数期权的例子，参照例11.1与图11.11。
证券组合保险
证券组合经理可以用指数期权控制他们的价格风险。假设当前一种指数值为S0。一位经理经营一种完全分散化的证券组合，该证券组合的β为1.0。β为1.0说明证券组合的收益正好反映了指数的收益。假设证券组合的红利收益率和指数的红利收益率相等，那么证券组合价值的变化将近似等于指数值的变化。每份S&P500合约的规模为该指数值乘以100。若对于证券组合中每100S0美元，经理买入一份执行价格为K的看跌期权合约，就可以保护证券组合的价值使其免受指数下降到K值以下而损失。例如，假设证券组合价值为50万美元，指数的值为1000点。证券组合的价值是指数的500倍。这位经理就可以通过买进5份执行价格为900点的看跌期权，使其证券组合在接下来的3个月中免受证券组合价值跌落到45万美元以下而损失。假设无风险利率为12%，指数的红利收益率为4%以及指数波动率为22%。期权的各个参数值为：
商业剪影14.1 我们可以确信长期中股票收益大于债券的收益吗？
人们经常说如果你是进行长期投资，那应该买股票而不是债券。考虑一个美国基金经理，他在劝服投资者购买可以反映S&P500的股票型基金作为长期投资。该经理给购买者推荐股票型基金的时候，也可能试图做一个担保，担保未来10年中该基金的收益率会比无风险利率债券的收益率要高。在美国，历史上的任何10年中，股票的确表现得比债券好。看起来，基金经理的推测不会偏离很大。
实际上，这类担保的成本出奇的昂贵。假设一个股票指数的当前值为1000，该指数的红利收益率为1%p.a.，指数的波动率为15%p.a.，10年期无风险利率为5%p.a.。为了超过债券的表现，指数的标的股票的年收益率应该大于5%p.a.。红利收益将提供1%p.a.o那么，股票的资本收益率应该超过4%p.a.。这说明，我们在10年后要求的指数水平至少在1000e0.01x10=1492以上。
未来10年中，指数上投资的$1000的收益率大于债券上投资的$1000的收益率，这样的担保等价于10年后以1，492卖出指数的权利。这是该指数的欧式看跌期权，在公式（14.5）中代入S0=1000，K=1492，r=5%，σ=15%，T=10和q=1%，就能得到该期权的价值。该看跌期权的价值为169.7。这说明基金经理设想的担保成本是基金金额的17%一这是完全不能忽略的！
S0=1000，K=900，r=0.12，σ=0.22，T=0.25，q=0.04
根据公式（14.5），期权的价值为$6.48。因此，证券组合保险的成本为5x100x6.48=$3240。
为说明这种保险操作所具有的作用，我们考虑3个月后指数下降到880点的情况。证券组合价值大约是44万美元，但是从期权中得到的收益为5x（900-880）x100=$10000，保证了证券组合的总价值仍为45万美元（考虑期权成本时为$446760）。
有时大家认为长期中股票的收益大于债券的收益。如果真的如此，执行价格等于债券组合未来价值的长期证券组合保险策略的期权成本就不会很大。但事实L，如商业剪影14.1所述，这是非常昂贵的。
证券组合β不为1.0的情况
如果预期证券组合的收益率不是所期望的正好等于某个指数的收益率时，我们可以利用资本资产定价模型。该模型中一个证券组合的超过无风险利率的预期超额收益率，等于β乘以市场指数超过无风险利率的超额收益率。考虑现价为50万美元的一种证券组合，它的β为2.0而非1.0。和前面一样，我们还是假设当前的S&P500指数值为1000，无风险利率为12%，指数红利收益率为4%。表14.2给出了3个月后指数价值和证券组合价值之间的预期关系。为说明得到表14.2所需要的计算过程，表14.3给出了3个月后指数价值为1040点时的相应计算。
若S0是指数的价值，对于证券组合中每100S0美元应当购买β份看跌期权。执行价格应当是当证券组合价值达到保险价值时所期望的指数价值。和之前β=1.0的例子一样，设本例中保险价值为45万美元。表14.2表明了购买的看跌期权的执行价格应为960点。期权的各个参数为
S=1000，K=960，r=0.12，σ=0.22，T=0.25，q=0.04
根据公式（14.5），得到期权的价格为$19.21。这种情况下，100S0=$100000，β=2.0，所以对证券组合里的每10万美元，需要购买2份看跌期权。因为证券组合的价值是50万美元，应该总共购买10份期权合约。因此，证券组合保险的总成本为10x100x19.21=$19210。
为证实确实达到了需要的结果，让我们看看如果指数的值下降到880点时会发生什么情况。如表14.2所示，证券组合的价值为37万美元。看跌期权的收益为（960-880）x10x100=$80000，这正是将证券组合经理的总价值由37万美元弥补到要求的水平45万美元所需要的数量（考虑期权成本，证券组合的价值为$430790）。
对冲成本随着证券组合β值的增加而增加有两个原因：一是需要更多的看跌期权；二是这些期权的执行价格更高。
14.4 货币期权
货币期权主要在场外市场交易。该市场的优点是可以进行大规模的货币期权交易，并且期权的执行价格、日期以及其他特性可以根据公司客户的特殊要求而订立。美国的费城交易所也可以进行欧式和美式货币期权的交易。但是场内市场的规模比场外市场小很多。
对一位打算对冲外汇头寸暴露的公司客户来讲，外汇期权方法是另一种比远期合约更引人注目的替代方法。在未来某一确定时间将收到英镑的某公司可以通过购买同一时间到期的英镑看跌期权来对冲风险。这样保证了英镑的价值将不会低于执行价格，而且允许该公司可以从任何有利的汇率变动中受益。类似地，在未来确定时间将支付英镑的某公司可以通过购买那个时刻到期的英镑看涨期权来对冲风险。这就保证了购买英镑的费用不会超过某一数额，并且允许该公司从有利的汇率变动中受益。远期合约锁定了将来的一笔交易的汇率而期权则提供了一种保险。当然，这种保险不是无偿的。进入远期市场交易无需费用而获得期权则需事先缴纳一笔费用。
估 值
为货币期权定价时，我们定义S0为即期汇率，即用美元表示的每一单位外币的价值。在5.10节中已经解释过，一种外币与一种支付已知红利收益的股票类似。外币的持有者收入的“红利收益率”等于外币无风险利率rf（用外币表示）。在公式（14.1）和式（14.2）中，将q替换成rf，欧式看涨期权价格c和看跌期权价格p为：
国内的利率r和国外的利率rf都为到期时刻T的利率。对一种货币看涨期权和看跌期权是对称的，一份以执行价格K出售A货币得到B货币的看跌期权等价于一份以执行价格1/K用A货币购买B货币的看涨期权。
[例14.2] 考虑一份4个月期的英镑欧式看涨期权。假设当前的即期汇率为$1.6000，执行价格为$1.6000，美国的无风险利率为每年8%，英国的无风险利率为每年11%，期权价格为4.3美分。即S0=1.6，K=1.6，r=0.08，rf=0.11，T=0.3333，c=0.043。可以通过试错法计算隐含波动率。波动率为20%时，期权价格为$0.0639；波动率为10%时，期权价格为$0.0285。依此类推。隐含波动率为14.1%。
由方程（5.9）得到T时刻到期的远期汇率F0为：
注意，在使用方程（14.9）和方程（14.10）估值基于即期汇率的欧式期权时，远期合约和期权的到期日必须相同。
二叉树
在某些时候，在到期日前执行美式货币期权是最优的。因此美式期权的价值比相应的欧式期权的价值要高一些。一般来说，高利率货币的看涨期权和低利率货币的看跌期权是最有可能提前执行的，这是因为我们预期高利率货币相对美元可能会贬值而低利率货币相对美元可能会升值。如11.9节中一样，可以运用二叉树模型估值美式货币期权。例11.2与图11.12中给出了有关货币期权估值的例子。
14.5 期货期权
如今在许多不同的交易所中交易基于期货合约的期权也称期货期权的交易。这些期权是美式的，被执行时需要交割一份标的期货合约。如果执行一份期货看涨期权，持有者将获得该期货合约的多头头寸，外加一笔数额等于最近的期货结算价格减去执行价格的现金。如果执行一份期货看跌期权，持有者将获得该期货合约的空头头寸，外加一笔数额等于执行价格减去最近的期货结算价格的现金。下面的例子中，我们可以看到看涨期货期权的有效损益等于执行时的期货价格减去执行价格；看跌期货期权的有效损益等于执行价格减去执行时的期货价格。
[例14.3] 假设一个投资者在8月15日拥有一份执行价格为每磅70美分的黄铜9月份期货看涨期权。一份黄铜期货规模为25000磅。假设9月份交割的黄铜期货价格当前为81美分，而且8月14日（最近的结算日）的收盘价格为80美分。如果执行该期权，投资者将收入
25000x（80-70）美分=$2500
再加上一个9月份购买25000磅黄铜期货合约的多头头寸。如果愿意的话，可以立即冲销期货头寸。这可以使投资者最终获得$2500的现金再加上
25000x（81-80）美分=$250
的金额，后者反映从上一次结算以来的期货价格变化。8月15日执行期权，则总收益为$2750，等于25000（F-K），其中尸是执行时的期货价格，K为执行价格。
[例14.4] 假设一个投资者拥有一份执行价格为每蒲式耳200美分的12月份到期的玉米期货的看跌期权。一份该玉米期货的合约规模为5000蒲式耳。假设当前在12月份交割的玉米期货价格为180美分，而且最近一次结算价格为179美分。如果执行该期权，投资者将收入
5000x（200-179）美分=$1050
再加上一个12月份出售5000蒲式耳玉米的期货合约的空头头寸。如果愿意的话，可以立即冲销期货头寸。这可以使投资者最终获得$1050的现金加上
5000x（180-179）美分=$50
的金额，后者反映从上一次结算以来的期货价格变化。执行期权的净收益为$1000，等于5000（F-K），其中F是执行时的期货价格，K为执行价格。
行情报价
期货期权以其标的期货的到期月报价，而不是期权本身的到期月。前面已经提过，期货期权是美式的。期权合约的到期日通常比标的期货合约的最早交割日要早几天或同时（例如，芝加哥期权交易所长期国债期货期权的到期日是：在期货合约到期月的前一个月、离月末至少相距2个交易日的那个星期五）。一个例外是芝加哥商品交易所的mid-curve欧洲美元合约，该合约中期权合约到期1年后或2年后期货合约到期。
表14.4给出了2004年2月5日《华尔街'日报》刊载的许多种期货期权的报价交易最广泛的是（以未平仓量衡量）基于玉米、大豆、棉花、世界白糖、原油、天然气、黄金、长期国债、中期国债、5年期中期国债、30天期联邦基金、欧洲美元、|年期与2年期mid-eurve欧洲美元、欧洲同业拆借利率、10年期长期德国政府债券以及S&P500的期权。
基于利率期货的期权
在美国，交易所提供的交易最活跃的利率期权是基于长期国债期货、中期国债期货以及欧洲美元期货的期权。表14.4给出了2004年2月4日上述金融工具的收盘价格。
长期国债期货期权是基于长期国债期货的期权。在第6章提过，一份长期国债期货的交割规模为价值10万美元的长期国债。长期国债期货期权的价格以标的长期国债账面价值的百分比报价，近似到1/64%。表14.4中可以看到，2004年2月4日，基于长期国债的3月看涨期货期权的报价为2-06，即债券本金的
执行价格为110。这说明一份合约的价格为$2093.75。中期国债期货期权的报价也是类似的。
欧洲美元期货期权是基于欧洲美元期货的期权。在第6章提过，当欧洲美元期货报价变化1个基点，即0.01%的时候，欧洲美元期货相应的损益为$25。类似地，在欧洲美元期货期权的报价中，1个基点代表$25。表14.4中《华尔街日报》的CME欧洲美元期货报价中，我们应该乘以10来得到CME报价相应的基点个数，例如.表14.4中，执行价格为98.25的CME3月份看涨期货期权的报价为5.90。这说明CME报价是59.0个基点，因此，一份合约的价格为59.0x$25=$1475.00。
利率期货期权的性质和本章中讲述的其他期货期权类似。例如，看涨期权的损益为max（F-K，0），其中F为执行时刻期货价格，K为执行价格。执行看涨期权的时候，除了现金损益，看涨期权持有者还可以得到期货多头，而看涨期权的出售者可以得到相应的期货空头。
债券价格上升的时候（即利率下降的时候），利率期货价格上升。而债券价格下降的时候（即利率上升的时候），利率期货价格下降。一位投资者认为短期利率将上升，他就可以买入欧洲美元期货的看跌期权进行投机。而一位投资者认为短期利率将下降，他就可以买入欧洲美元期货的看涨期权进行投机。一位投资者认为长期利率将上升，他就可以买入中长期国债期货的看跌期权进行投机。而一位投资者认为长期利率将下降，他就可以买入中长期国债期货的看涨期权进行投机。
[例14.5] 现在是2月份，6月欧洲美元期货价格为93.82（对应于3个月的欧洲美元利率为6.18%p.a.）。执行价格为94.00的基于该期货的看涨期权在CME的报价为0.1，即10个基点（对应于《华尔街日报》报价的1.00）。一位认为利率将下降的投资者可能对该合约感兴趣。假设短期利率的确下降了100个基点，投资者在欧洲美元期货价格为94.78（对应于3个月的欧洲美元利率为5.22%p.a.）的时候执行看涨期权，则损益为25x（94.78-94.00）=$1950。而合约的成本是1。x25=$250。因此投资者的净收益为$1700。
[例14.6] 现在是8月份，CBOT的12月长期国债期货报价为96-09（即96号=96.28125）。长期国债收益率大约为6.4%p.a.。一位投资者认为该收益率到12月份将下降，他可以选择买入执行价格为98的12月份看涨期权。假设该看涨期权的报价为1-04（即本金的
）。如果长期利率下降到6%p.a.，现长期国债期货价格上升到100-00，则投资者可以在每$100债券期货中获得净收益
100.00-98.00-1.0625=0.9375
因为每份期权合约规模为买卖面值为10万美元的债券，所以投资者在买入的每份期权合约中获得收益$937.50。
广泛使用期货期权的原因
那么有一个疑问，为什么大家会选择交易期货的期权而不是标的资产的期权呢？主要原因是很多情况下交易期货合约比交易资产本身流动性更强且更方便。进一步，通过期货交易所中的交易可以立即知道某个期货价格，而标的资产的即期价格也许不可能迅速得知。
考虑长期债券。长期债券期货市场比任何长期债券市场都为活跃。且CBOT交易中可以立即得知某个长期债券期货的价格，相反地，一个债券的当前市价只能通过联系一名或多名交易员才能得知。所以投资者们更愿意交割长期债券期货而不是长期债券，这并不奇怪。
交割基于商品的期货合约比交割标的商品本身更方便。例如，交割活猪期货合约比交割活猪本身更容易更方便。
期货期权的一个重要特点之一是执行该期权通常并不产生标的资产的交割，因为在大多数情况下，在交割前标的期货合约就已经冲销了。因此，期货期权通常以现金结算。这吸引了许多投资者，特别是那些资本有限，而当期权被执行时又难以筹措足够的资金购买标的资产的投资者。
人们有时也谈到期货期权的另一个优点，即在同一个交易所中，期货的交易池和期货期权合约的交易池彼此靠近。这方便了对冲、套利和投机。这也使得市场更有效率。
最后一点是：在许多情况下，期货期权比即期期权承担较低的交易费用。
看跌期权与看涨期权之间的平价关系
第9章中，我们推导了欧式股票看涨期权和看跌期权之间的平价关系。现在假设期货和远期合约损益完全相等，我们推导欧式期货看涨期权和看跌期权之间的平价关系。
考虑都是执行价格为K，T时刻到期的欧式期货看涨期权和欧式期货看跌期权。考虑以下两个证券组合：
组合A：一个欧式看涨期货期权加上数额为Ke-rT的现金
组合B：一个欧式看跌期货期权加上一个期货多头，再加上数额为F0e-rT的现金
组合A中，现金可以以无风险利率r投资，在T时刻增长到K。令FT为期权到期时的期货价格。如果FT>K，组合A中的看涨期权得到执行，组合A的价值为FT。如果西FT≤K，看涨期权不被执行，组合A的价值为K。因此，T时刻组合A的价值为
max（FT，K）
组合B中，现金可以以无风险利率投资，在T时刻增长到F0。看跌期权的损益为max（K-FT，0）。期货合约的损益为FT-F0。因此，T时刻组合B的价值为：
由此，T时刻两个证券组合的价值相同，而且不能提前执行期权，因此当前它们的价值也应该相等。组合A当前的价值为
其中c是期货看涨期权的价格。盯市操作使得组合B中的期货的现价为零.因此，组合B当前的价值为
除了股票价格被期货价格乘以e-rT的值替代，这与公式（9.3）中不支付红利股票欧式看涨和看跌期权之间的平价关系一样。
对于美式期权，看涨和看跌期权之间的平价关系为：
[例14.7] 假设一份6个月后交割、执行价格为$8.50的欧式白银期货看涨期权的价格为每盎司$0.56。设6个月后交割的白银期货价格现在是$8.00，6个月后到期的投资的无风险利率为每年10%。将方程（14.11）变形，可以得到与看涨期权具有相同到期日和执行价格的欧式白银期货看跌期权的价格为：
14.6 运用二叉树为期货期权估价
本节中比第11章更为正式地检验如何利用二叉树模型定价期货期权。期货期权与股票期权之间关键的不同点是，期货合约不涉及初始成本。
假设当前期货价格为30，且预期1个月后它将上升到33或下降到28。考虑执行价格为29的1个月期看涨期货期权，忽略每日结算。图14.1中描述了这种情况。如果期货价格变成33，则期权损益为4，期货合约价值为3。如果期货价格变成28，则期权损益为0，期货合约价值为-2。
为了进行无风险对冲，考虑一个包括一份期权合约空头和△份期货合约多头的证券组合。如果期货价格变成33，该组合的价值为3△-4；如果期货价格变成28，该组合的价值为-2△。两值相同时，该组合是无风险的。这时
3△-4=-2△
即△=0.8。
对于该△值，我们可以知道1个月后组合的价值将为3x0.8-4=-1.6。假设无风险利率为6%，则现在的组合的价值为
该组合包括1份期权合约空头和△份期货合约多头。因为当前期货合约价值为零，所以期权的现价应该是1.592。
一般结论
现在我们推导一般结果，设当前期货价格为F0，预期T期限后它将上升到F0u或下降到F0d。考虑时间期限末到期的一种衍生品，我们假设期货价格上升的时候，其损益为fu；期货价格下降的时候，其损益为fd。图14.2中总结了这种情况。
这种情况下的无风险证券组合包括1份期权合约空头以及△份期货合约多头，其中
在图14.1的数字例子中，u=1.1，d=0.9333，r=0.06，T=0.08333，fu=4及fd=0。根据公式（14.13），我们得到根据公式（14.12）得到
这个结果和之前得到的结果完全一样。
多个时间步的二叉树
实际应用中，美式期货期权中二叉树的使用方法和它在股票期权中的使用方法类似。在11.9节中已经解释过这些。对于具体例子，参照例11.3和图11.13。
14.7 风险中性世界中期货价格的增长率
有一个一般结论允许我们对期货期权进行类似于14.1节中的分析。这个结论是：风险中性世界中期货价格的行为和以国内无风险利率r为红利收益率的股票价格行为一致。
考察这个结论的时候，我们注意到第一条线索是期货价格二叉树模型中的p的表达式，类似于支付红利收益率q等于r的股票价格表达式。另一条线索是期货期权的看涨期权和看跌期权之间的平价关系，类似于支付红利收益率q等于r的股票的期权价格关系，其中q=r，股票价格用期货价格代替。
为了正式地证明该结论，我们计算风险中性世界中期货价格的增长率。定义Ft为t时刻的期货价格。如果我们现在买入一个期货合约，其价值为0。而在△t时刻（第一次进行盯市的时刻），期货多头提供的损益F△t-F0。如果r是0时刻的非常短时间段（△t期限）的利率，则风险中性估值方法给出的。时刻合约价值为
对任何T时刻都是成立的。
这说明，在风险中性世界中期货价格的预期增长率是零。根据公式（14.7），我们可以知道，期货价格的行为类似于红利收益率q等于r的股票价格。这是一般结论，不管对利率、波动率等做何种假设，它对任何期货价格都成立。
风险中性世界中，通常对期货价格F的行为过程做如下假设：
dF=σFdz （14.14）
其中σ是常数。
微分方程
从另一个角度看待期货价格的行为类似于红利收益率为q的股票价格，我们可以模仿13.6节中推导基于不支付红利收益率股票的衍生品的微分方程的过程，来推导基于期货价格的衍生品应该满足的微分方程。这就是
设q=r，上述方程的形式和方程（14.6）就一样了。这再次说明，估值衍生品时，对期货价格的处理方法可以和支付红利收益率r的股票一样，
14.8 期货期权估值的Black模型
通过扩展我们已经得到的结果，可以估值欧式期货期权。Fischer Black在1976年出版的一篇论文中，第一次提出了这样的定价模型。基本假设和第13章中我们讨论过的股票价格一样，期货价格也具有对数正态分布性质。只要用F0代替S0，并且q=r，方程（14.4）和方程（14.5）就给出了欧式看涨期货期权价格c和欧式看跌期货期权价格P：
且σ是期货价格的波动率。当持有成本和便利收益仅仅是时间的函数时，我们还可以证明期货价格的波动率和其标的资产价格的波动率是一样的。注意，Black模型中并不要求期权合约与期货合约要在同一时间到期。
[例14.8] 考虑一个原油的欧式看跌期货期权。期权到期日还有4个月，当前期货价格为$20，执行价格是$20，无风险利率是每年9%，期货价格的波动率是每年25%。在本例中，F0=20，K=20，r=0.09，T=4/12，σ=0.25.由于In（F0/K）=0，那么
14.9 期货期权与现货期权
在这一节中，我们比较具有相同执行价格和到期日的期货期权以及现货期权。基于现货的期权或现货期权是涉及在现货市场买卖标的资产的期权。
执行价格为K的欧式看涨现货期权的损益为
max（ST-K，0）
其中ST为期权到期时的现货价格。相同执行价格的欧式看涨期货期权的损益为
max（FT-K，0）
其中FT为期权到期时的期货价格。如果欧式期货期权合约与期货合约到期日相同，则FT=ST，期货期权和现货期权在理论上等价。如果欧式看涨期货期权合约比期货合约早日到期，则在正向市场（期货价格高于现货价格的市场）中，该期货期权比相应的现货期权价值更高。而在倒挂市场（期货价格低于现货价格的市场）中，该期货期权比相应的现货期权价值更低。
类似地，当期货期权合约与期货合约到期日相同，则欧式看跌期货期权和相应的现货期权等价。如果欧式看跌期货期权比期货合约早日到期，则在正向市场中该期货期权比相应的现货期权价值更低。而在倒挂市场中，该期货期权比相应的现货期权价值更高。
美式期权的结果
进行交易的期货期权实际上通常是美式的。假如无风险利率r为正，提前执行美式期货期权有时是最优的。因此，美式期货期权的价值要高于相应的欧式期货期权。
当期货合约与期权合约具有相同的到期日时，美式期货期权并不总是与相应的美式现货资产期权具有相同的价值。例如，假设有一种正向市场，在到期日之前期货价格总是高于现货价格。大多数股票指数、黄金、白银、低利率货币和一些商品就是这种情况。在正向市场，美式看涨期货期权的价值一定比相应的该现货资产的美式看涨期权价值高。这是因为，在有些情况下，美式期货期权可能会提前执行，这时它将为持有者提供更大的收益。同样，美式看跌期货期权的价值一定比相应的现货资产的美式看跌期权的价值要低。如果存在着-个倒挂市场，期货价格总是低于现货价格，例如高利率货币和某些商品的情况就是这样的，此时的状况就与上面的结论相反。在这个市场中，美式看涨期货期权的价值一定比相应的该现货资产的美式看涨期权的价值低，而美式看跌期货期权的价值一定比相应的现货资产的美式看跌期权的价值高。
当期货合约比期权合约到期晚或两者同时到期时，以上所述的美式期货期权和美式现货资产期权的差异仍然正确。实际上，期货合约到期越晚，两者的差异就越大。
小 结
基于无红利支付股票的欧式期权定价的Black-Scholes公式，可以推广到基于支付连续已知红利收益率的欧式期权定价。这个结果是很有用的，因为一些其他的期权的标的资产可以认为与支付连续红利收益率的股票类似。特别是：
1.指数与支付连续红利收益率的股票相似，其红利收益率是所有组成指数的股票的红利收益率的平均值
2.外币与支付连续红利收益率的股票相似，其红利收益率等于外国无风险利率
3.期货价格与支付连续红利收益率的股票相似，且红利收益率等于国内无风险利率
因此，Black-Scholes扩展后可以用来为指数、外币和期货合约的欧式期权定价。
指数期权用现金交割。在执行指数看涨期权时，其持有者获得了数额等于交易收盘时，指数超过执行价格的那部分收益。同样，在执行指数看跌期权时，其持有者获得了数额等于交易收盘时，执行价格超过收盘指数的那部分收益。指数期权可以用来对证券组合进行保险。如果证券组合的β为1.0，对于证券组合中每100S0美元应当购买一份看跌期权，这里S0是指数的值；当胃为其他值时，对于证券组合中每100S0美元应当购买胃份看跌期权，其中F是用资本资产定价模型计算的证券组合的beta值。所购买的看跌期权的执行价格应当反映出要求的保险水平。
在有组织的交易所和OTC市场都存在着货币期权的交易。公司的财务主管运用这些期权来对冲外汇头寸风险。比如，一个美国公司的财务主管已知在将来的某一时刻，他或她的公司将收入一笔英镑，他或她可以通过购买那一时刻到期的英镑看跌期权进行保值。同样，一个美国公司的财务主管已知在将来的某一时刻将支付一笔英镑，他或她可以通过购买那一时刻到期的英镑看涨期权进行保值。
期货期权要求在执行期权时交割标的期货合约。执行看涨期权时，持有者获得了一份期货合约的多头头寸，加上一笔数额等于期货价格减去执行价格的现金。同样，执行看跌期权时，持有者获得了一份期货合约的空头头寸，加上一笔数额等于执行价格减去期货价格的现金。进行交割的期货合约到期日通常比期权稍晚。如果我们假设两者到期日相同，欧式期货期权与相应的资产的欧式现货期权价值完全相同。但是对于美式期权这一结论不成立。若期货市场是正向的，美式期货看涨期权比标的资产的美式现货看涨期权价值高，而美式期货看跌期权比该标的资产的美式现货看跌期权价值低。若期货市场是倒挂市场，结果则相反。
参考读物
General
Merton，R.C.“Theory of Rational Option Pricing，”BellJournal of Economics and Management Science，4（Spring 1973）：141-83.
Bodie，Z.“On the Risk of Stocks in the Long Run，”Financial Analysts Journal，51，3（1995）：18-22.
On Optionson Currencies
Amin，K.，and R.A.Jarrow.Pricing Foreign Currency Options under Stochastic Interest Rates，“Journal of International Money and Finance，10（1991）：310-29.
Biger，N.，and J.C.Hull.”The Valuation of Currency Options，“Financial Management.12（Spring 1983）：2428.
Garman，M.B.，and S.W.Kohlhagen.“Foreign Currency Option Values”Journal of International Money and Finance，2（December 1983）：231-37.
Giddy，I.H.and G.Dufey.“Uses and Abuses of Currency Options，”Journal of Applied Corporate Finance，8，3（1995）：49-57.
Grabbe，J.O.“The Pricing of Call and Put Options on Foreign Exchange”Journal of International Money and Finance，2（December 1983）：239-53.
Jorion，P.“Predicting Volatility in the Foreign Exchange Market，”Journal of Finance50.2（1995）：507-28.
On Optionson Futures
Black，F.“The Pricing of Commodity Contracts，”Journal of Financial Economics，3（March1976）：167-79.
Hilliard，J.E.，and J.Reis.“Valuation of Commodity Futures and Options under Stochastic Convenience Yields，Interest Rates，and Jump Diffusions in the Spot，”Journal of Financial and Quantitative Analysis，33，1（March 1998）：61-86.
Miltersen，K.R.，and E.S.Schwartz.“Pricing of Options on Commodity Futures with Stochastic Term Structures of Convenience Yields and Interest Rates，”Journal of Financial and Quantitative Analysis，33，1（March 1998），33-59.