第五节 VaR 模型及其在风险管理中的应用

第五节  VaR模型及其在风险管理中的应用

VaR方法是由J.P.Morgan公司率先提出的。当时J.P.Morgan总裁Weatherstone要求其下属每天下午在当天交易结束后的4点15分给他一份报告，说明公司在未来24小时总体上的潜在损失是多大。为了满足这一要求，J.P.Morgan的风险管理人员开发了一种能够测量不同交易、不同业务部分市场风险，并将这些风险集成为一个数的风险测量方法－VaR。VaR（Value at Risk）称为“风险中的价值”、“在险价值”或“风险价值”。VaR方法利用统计思想对风险进行估值，是指在市场正常波动下，某一金融资产或证券组合的最大可能损失。更为确切的定义是：在一定的概率（置信）水平和给定的条件下，某一金融资产或证券组合在未来特定的一段时间内（如一天、一周、一年）的最大可能损失，可表示为

其中为证券组合在持有期内的损失，VaR为置信水平β下处于风险中的价值。换而言之，在某个确定的概率下，损失不会超过VaR。例如：一个组合持有一天，，置信水平β＝95% ，VaR等于100万美元，其含义是：该组合在1天中只有5%的时间里损失超过100万美元。

在上述定义中包含了两个基本因素：“特定的一段时间”和“给定的条件”。前者可以是一天、两天、一周或一月等等，后者可以是经济条件、市场条件、上市公司及所处行业、信誉条件和概率条件等等。概率条件是VaR中的一个基本条件，也是最普通使用的条件，它的发布与天气预报的发布相类似。如果以下式表示目标期间末的投资组合价值：

其中，W表示目标期末资产价值；W0表示目标期初投资额；R表示投资回报率。那么，在给定置信度水平β下，期末最小投资组合价值可表示为：

其中，表示置信度水平β下期末最小投资组合价值；表示置信度水平β下期末最小资产投资回报率。根据（4.5.2）和（4.5.3）式，在置信度水平β下，VaR可表示为：

其中，E（W）表示期末投资组合价值的期望值；E（R）表示投资组合期末收益期望值。（2.1.4）式是以期望值为基础的VaR值（VαR1），如果以绝对损失为基础表示 VaR值（VaR2），则有：

 

1.VaR 模型的理论综述

早在1990年，国外学者就开始了对VaR的研究，主要包括对VaR的分析评价以及在各个领域的应用两个方面。1994年10月J.P.Morgan公布了RiskMetrics体系，对VaR模型的原理和计算方法进行了系统的总结，是国际上对VaR研究走向成熟的标志。RiskMetrics（1995）在其第一版技术文件中对VaR的原理做了详细的阐述，包括参数法、历史模拟法、蒙特卡罗模拟法等具体模型原理的说明；RiskMetrics（1996）与Reuters联手完成了第二版的技术文件，文件在第一版技术文件基础上对非线性期权头寸的风险计量方法与如何处理实际分布的非正态性进行了补充；RiskMetrics（1999，2001）分别就理论界与实务界所提出的问题与建议进行了研究与改进工作。

Jorion（1996）将VaR定义为在正常市场条件下，给定一定的时间区间和置信度水平下预期的最大损失。VaR提供了关于市场风险的综合性度量，是具有挑战性的现代统计学和应用数学问题。在他的专著中，重点介绍了风险测度方法，VaR的监管、开发和运用VaR系统测度交易和投资过程中的风险，作为绩效评价工具的VaR以及实施安全风险管理系统的步骤等几个方面。

Hendricks（1996）对参数化方法、历史模拟法、蒙特卡罗模拟法进行了实证研究比较。Bouchaud和Potters（1999）提出如何利用金融资产波动的非正态特性去简单地计算复杂的非线性组合的VaR。Dowd（1999）提出了不是对整个资产组合收益率分布建模，而是只对收益率尾部分布超过某一较大坎值（Threshold）的数据进行建模进而计算VaR值的极值模型。Li（1999）在原有二阶中心矩的基础上提出用分布的三阶中心矩、四阶中心矩确定置信区间的方法。结论认为可以建立置信区间与分布的二阶、三阶、四阶中心矩的函数关系，置信区间与四阶中心矩正相关，与三阶中心矩绝对值负相关。文章以汇率日数据为样本对12种主要汇率进行了返回测试，结果发现模型能够比基于正态分布假设的模型更好地捕获极端情况。Campbell，Huisman和Koedijk （2001）将VaR风险管理模型应用于资产组合选择和资本资产定价，通过理论推导得出在资产组合收益率呈正态分布且无风险利率为零的假设条件下，基于VaR风险管理模型的资产组合选择将会得出和均值－方差模型完全一致的结论，而且还通过实证分析对基于历史模拟VaR风险管理模型的资产组合选择结果，同基于收益率正态分布假设的均值方差模型资产组合选择结果进行对比。Kaplanski与Kroll（2001）建立了一个基于VaR的均衡资产定价模型，并提出用VaR-Beta（VB）来衡量单个资产在均衡时的风险。他们通过实证研究指出，VaR-Beta比传统的Beta有更大的解释能力。

此外，很多学者介绍了VaR被交易商、非金融机构、机构投资者、银行及保险公司监管者以及外汇交易部门监管者广泛应用于投资组合、金融衍生工具、市场风险和信用风险的分析中。Stambaugh（1996）将VaR的作用概括为：提供了风险的共同语言；允许更有效和一致的内部风险管理、风险头寸限额设定和评价；为外部监管提供了一种机制；给投资者提供了一种可理解的风险评估工具。Alexander和Baptista（2001）将VaR与均值－方差联系起来分析，检验均值VaR组合选择标准是否与效用最大化一致。他们的结论是这种分析与效用最大化基本一致。但是，风险回避型的代理人如果采用均值－方差分析，他事实上是选择了具有更高方差的组合，因为将VaR作为均值－方差分析中风险的度量，会发现其风险高于方差本身度量的结果。Sentana（2001）解释了基金经理在均值－方差框架并满足VaR约束的条件下如何进行投资决策。Shmlur（2000）认为，作为种一绩效评价工具，VaR能够用于根据风险调整投资及交易的绩效。首先，VaR使管理者能够根据交易所冒的风险来调整相应的获利状况；其次，风险调整还为在追逐利益的过程中不可避免地带来“道德风险”的问题提供了一种解决方法。Helmut（2001）对VaR在设置风险限额与配置资本中的应用进行了研究。文章认为VaR可以帮助交易员认识到所要从事的交易所承担的风险是多少，从而可以避免风险过度承担情况的出现。另外由于VaR作为一个通用的标准可以用于各个不同部门、交易前台的风险比较，从而可以根据各部门、交易前台的风险收益情况实现经济资本的合理分配。

随着国际上对金融风险管理的重视和国外学者在VaR方面研究的逐步深入，1997年以来国内也开始了对VaR的研究。国内的文章主要集中于介绍国外学者的研究成果，即VaR的概述与测算上，对VaR在我国具体领域应用的研究正逐年深入。

1997年至2000年理论界刚刚引人VaR，研究大都是围绕VaR基本原理展开的。我国学者对VaR方法的研究，最早始于郑文通（1997）的《金融风险管理的VaR方法及其应用》一文全面地介绍了VaR方法的产生背景、计算方法、VaR方法的用途及引入中国的必要性。姚刚（1998）简单介绍了组合VaR值的计算方法，并初步探讨了参数法处理线性与非线性资产定价模型的区别。黄海（1998）初步探讨了VaR对我国投资银行市场风险管理的借鉴意义，文章认为VaR在控制交易所承担的市场风险、建立合理的激励机制方面可以起到重要作用。刘宇飞（1999）在这方面的研究做得比较全面，介绍了VaR模型的基本内容，在此基础之上着重论述了其在金融监管中的应用。

2000年至今，国内对VaR的研究有了众多实质性进展，许多学者将VaR运用于我国股票市场实证研究，并且对模型的改进进行了创新性的尝试和有益的探索，目前关于VaR在我国具体领域应用的研究正在逐步深入。

杜海涛（2000）用VaR度量市场指数和单个证券的风险、基金管理人员绩效评价及确定配股价格等方面进行了阐述，他认为沪深两市的指数收益率都服从正态分布，在这一前提下计算了95%置信度下的VaR值并进行模型检验，其结论是VaR模型对风险的拟合结果较好。范英（2000）系统地讨论了计算VaR的指数加权移动平均方法（EWMA），结合我国沪深两市综合指数的实际数据，分别计算了沪深两市的最优衰减因子，并在此基础上估计了大盘的风险值，得出了我国股票市场的波动性比较大的结论。王春峰、万海晖、张维（2000）指出用蒙特卡罗模拟法计算VaR值所存在的缺陷，并提出用基于马尔科夫链蒙特卡罗（Markov Chain Monte Carlo，简称MCMC）的VaR计算方法。陈忠阳（2001）对VaR做了较全面的介绍，并对VaR在我国金融市场中的应用做了简要的分析，指出将VaR运用于我国金融市场风险计量会面临数据长度有限、资产收益关联度的稳定性较差、资产收益的厚尾特征等问题。陈守东和俞世典（2002）分别将基于正态分布、t分布、GED分布的GARCH（1,1）模型引人VaR，对我国沪市、深市指数风险计量进行了实证分析，结论认为基于GARCH-t和GARCH-GED 的VaR模型具有更好的预测效果。陈学华、杨辉耀（2002）以基金为例将传统的绩效考评方法与基于VaR的绩效考评方法RAROC做了实证比较，结论认为RAROC能更客观地反映风险调整后的收益情况。

邹建军、张宗益、秦拯（2003）主要讨论了VaR模型中有关波动率的估计方法，通过拉格朗日检验发现上海股市的日收益率服从ARCH过程，然后分别采用GARCH（1,1）模型、RiskMetrics和移动平均法预测上海股市日收益率的波动性，计算每天的VaR值。后来检验表明GARCH（1,1）模型比RiskMetrics和移动平均法更准确地反映我国上海股市的风险。彭寿康（2003）比较了历史模拟方法、一般正态分布模型、加权正态模型和Logistic分布模型，得出了历史模拟方法和Logistic分布模型的预测能力要优于一般正态分布模型和加权正态模型的结论。姚京、李仲飞（2004）根据均值－方差模型的框架，建立了用VaR代替方差模型的内在联系。作为模型的扩展还分别考虑了存在无风险资产、负债和非正态分布时的情形，此外还讨论了均值－VaR模型有效边界的一些性质。彭海伟、吴启芳（2004）针对标准差衡量风险中的缺陷，考虑了下方风险和收益波动的时变性，对计算Sharpe值时的风险测度进行了调整。郑振龙、王保合（2005）在传统单纯采用极值理论描述股票收益尾部特征的基础上，把ARMA-AGARCH模型和极值理论有机结合起来，利用ARMA-AGARCH模型捕获股票收益数据中的自相关和异方差现象，采用GMM估计模型参数，获得近似独立同分布的残差序列，再利用传统的极值理论对经过ARMA-AGARCH 模型筛选过的残差进行极值分析，并采用Bootstrap方法给出了极值理论估计出的VaR和ES在某一置信水平a下的置信区间，改进了似然比率法估计置信区间时，极值事件的小样本而造成的估计误差。

2.VaR的优缺点与应用

VaR方法有许多优点，包括：（1）VaR可以测量不同市场因子，不同金融工具构成的复杂证券组合和不同业务部门的总体市场风险暴露；（2）由于VaR提供了一个统一的方法来测量风险，因此为高层管理者比较不同业务部门的风险暴露大小，基于风险调整的绩效评估、资本配置、风险限额设置等，提供了一个简单可行的方法；（3）VaR概念简单、理解容易；（4）VaR充分考虑了不同资产价格变化之间的相关性，这可以体现出投资组合分散化对降低风险的贡献；（5）适合监管部门的风险监管。

同时它也存在一些缺陷，如：（1）它是一种向后看的方法（backward-looking）——对未来的损失是基于历史数据，并假定变量间过去的关系在未来保持不变。显然，有些情况下，这并不符合实际；（2）VaR是在特定的假设条件下进行的，如数据分布的正态性等，有时这些假定与现实可能不符；（3）VaR的计算有时非常复杂；（4）VaR只是市场处于正常变动下市场风险的有效测量（它不能处理金融市场处于极端价格变动的情形，如股市崩盘等），从理论上讲，这些缺陷的根源不在VaR自身，而在于其所依据的统计方法。

由于VaR的众多优点，近十几年来，它获得了广泛应用，范围涉及证券公司、投资银行、商业银行、养老基金及非金融企业等。纽约大学的专家学者调查指出，60%的被调查养老基金使用VaR。除了直接在风险测量方面的应用，VaR在风险管理中也有非常广泛的用途。这些用途包括： （1）确定内部风险资本需求和设定风险限额。利用VaR可以确定金融机构在整体上为抵御市场风险所需要的内部风险资本需求，并为交易员或业务部门设置风险限额，以防止过度损失投机行为。金融机构为防止某一交易员或业务部门的风险过度承担，通常对其进行限制；（2）绩效评估。传统方法对交易员和业务部门的绩效评估在很大程度上取决于总回报。在金融投资中，高收益总是伴随着高风险。因此简单基于回报的绩效可能导致交易员过度承担风险。为此必须引人风险因素，在绩效评估中综合考虑收益和风险，采用经过风险调整后的回报测量。其中一种广泛应用的方法是用“风险调整的资本回报”指标RAROC 取代资本指标ROC（Return of Capital），其中：RAROC＝资本收益（ROC）/VaR 。显然，RAROC表明了损失1个单位资本所带来的回报大小，有效地测量了获得收益的风险效率。这样有助于抑制过度的投机行为，使其在最小风险条件下为公司谋取最大的收益；（3）金融监管。VaR在风险测量与管理中的巨大优点已为国际金融监管当局认可和接受，1990年以来的许多金融监管法案和原则都充分强调了基于VaR的风险监管方法。典型的包括：巴塞尔委员会的巴塞尔银行有效监管核心原则、欧盟的资本充足度法令、美国财务会计标准委员会制定的FAS119号准则、美国证券和交易委员会（SEC）所衍生产品市场风险披露要求等。

3.VaR 的计算方法

VaR本质上是对金融资产组合价值波动的统计测量，其核心在于构造金融资产组合价值变化的概率分布。基本思想仍然是利用金融资产组合价值的历史波动信息来推断未来情形，只不过对未来价值波动的推断给出的不是一个确定值，而是一个模率分布。在大多数情况下，由于金融机构的金融资产组合往往包含种类繁多的金融工具，直接估算组合的未来损益分布几乎是不可能的，特别是对于衍生产品而言。因此通常将金融资产组合映射为一系列“市场因子”（Market Factors）的组合。所谓映射（Maping），就是通过市场因子的变化来估计证券组合的未来损益分布（或概率密度函数）。市场因子是指影响金融工具价值或价值变化的利率、汇率、股指及商品价格等基础市场变量。基于上述基本思想，VaR计算的基本步骤包括：辨识市场因子，将证券组合中的每一证券价值用市场因子表示（映射）；推测市场因子未来某一时期（如一天）的变化情景；由市场因子的未来情景估测证券组合的未来价值（盯市，Market to the Market）；求出损益分布，在给定置信度下计算出VaR值。这里，计算的关键有两点：一是对市场因子未来变化的推测，二是证券组合价值与市场因子间的关系（线性、非线性）。本文主要从对市场因子未来变化的推测这一角度来讨论，而根据推测市场因子未来变化的方法不同度量VaR值的方法最初主要有两种：一种是方差/协方差矩阵法（即分析方法），另一种是模拟方法（指历史模拟方法和蒙特卡罗模拟法）。

（1）分析方法。

分析方法是在假定市场因子的变化服从多元正态分布情形下，利用正态分布的统计特性简化的计算方法。方差/协方差矩阵法（Variance/Co-variance Matrix Method），由于组合的标准方差归根到底需要通过个别资产的方差/协方差矩阵度量，这一方法因此得名。美国J.P.摩根公司设计推出的RiskMetrics是这类模型的代表。RiskMetrics中假定预期收益R的概率分布为N（μ，σ2） ，使得VaR 的计算可进一步简化。当预期收益R的概率分布为N（μ，σ2） 时，满足：

则

其中，μ表示预期收益的均值；σ表示预期收益的标准差；f（g）表示收益概率分布的密度函数；Φ（g）表示标准正态分布累积函数。以Zα表示标准正态偏离，有：

其中Zα>0。由于通常为负值，可以将上式修改如下：

用积分形式表示以上推导：

于是，VaR的计算则转换为求Zα，并使其左边的面积等于1一α的问题，利用累积标准正态分布表，然后变换等式，求得，并代人VaR的表达式（4.5.9）和（4.5.10）式，即可求得VaR值如下。

以期望值为基础的VaR值为：

以绝对损失为基础表示VaR值为：

在后面的研究或实证分析中，主要使用以期望值为基础的VaR值概念，即等式（4.5.11）。当持有大量金融资产作为组合投资时，单一资产VaR的估算方法就远远不能满足要求了，开发投资组合VaR的估算方法因此就成了大势所趋。投资组合VaR估算方法与单一资产VaR估算方法类似，为了描述资产组合价值分布特征，人们建立了不同的模型，从而形成了不同的VaR体系，德尔塔正态模型就是其中重要的一个。它是在假设资产收益率是风险因素的线性函数（或德尔塔函数），并假设风险因素符合正态分布的基础上建立起来的，它是以方差—协方差为基础的传统投资组合分析的直接应用。

我们已经知道，在收益率服从正态分布的前提条件下，单一证券（VaR表示的是损失值，我们用其绝对值来表示），其中W0为期初的投资价值（初始投资额），Zα为由置信度确定的分位数，σ为收益率的标准差。当为投资组合时，假设包括N种资产，投资组合的收益率是其资产因子的线性组合，定义权重，其中Wi是资产i的价值，W0是资产组合的价值。令W代表权重的列向量，R是包括单个资产收益率的列向量，则组合的回报率可表示为，根据统计学的标准理论，投资组合的方差为

这个表达式不仅描述了单个证券的风险，也描述了所有的协方差。随着资产数量的增加，把所有的协方差都写下来变得非常困难，如果用矩阵的形式就很容易了，方差可表示为

其中表示协方差矩阵。如果我们假设初始投资额W0为单位1，这对VaR值的计算并不影响， W0仅相当于一个乘数因子。在德尔塔正态模型中，所有单个证券的收益率都被假设为正态分布，这使问题变得非常简单，因为投资组合收益率（一个正态随机变量的线性组合）也是正态分布的。接着我们将置信水平α转化为正态分布分位数Zα。当α＝95% 时，Zα=1.65；当α＝99%时，Zα=2.33；则投资组合的VaR为：

（2）历史模拟方法。

在VaR的各种计算方法中，最简单和直观的就是历史模拟法。历史模拟法的核心在于根据市场因子的历史样本变化模拟评判组合的未来损益分布，利用分位数给出一定置信度下的VaR估计。历史模拟方法是一种非参数方法，它不需要假定市场因子的统计分布，因此可以较好地处理非正态分布；该方法是一种全值估计，可有效地处理非线性组合（如包含期权的组合）。此外，该方法简单直观，易于解释，常被监管者选作计算资本充足性的基本方法。事实上，该方法是1993年8月巴塞尔委员会制定的银行充足性资本协议的基础。

就历史模拟法而言，市场因子模型采用的是历史模拟的方法一一用给定历史时期上所观察到的市场因子的变化，来表示市场因子的未来变化；在估计模型中，历史模拟法采用的是全值估计方法，即根据市场因子的未来价格水平对头寸进行重新估值，计算出头寸的价值变化（损益） ；最后，在历史模拟法中，将组合的损益从最小到最大排序，得到损益分布，通过给定置信度下的分位数求出VaR。如对于有1000个的可能损益情况，95%的置信度对应的分位数为组合的第50个最大损益值。

下面详细说明。考虑一个证券组合VP，其市场因子为F（i）（i= 1,2 ，…，n），用历史模拟法计算其95%置信度下的日度VaR，可以得到市场因子价格的100个日度变化：

假定这100个变化在未来的一天都可能出现。于是，对于每一个市场因子，将市场因子的当前值F（i）和观测到的变化向量相加，可以得到市场因子的未来可能价格水平，以向量AF（i）n来表示：

根据相关的定价公式，可以计算出市场因子当前价值和未来的可能价值。于是，可求出组合的未来损益：

将损益从小到大排列，得出组合的未来损益分布，根据95%置信度下的分位数（由于有100个变化样本，则95%的分位数对应的是第5个最不利的变化），可以求出VaR的值。

下面给出历史模拟法的主要计算步骤：

第一，映射，即首先识别出基础的市场因子，收集市场因子适当时期的历史数据（典型的是3到5年的日数据），并用市场因子表示出证券组合中各个金融工具的盯市价值〔对于包含期权的组合，可使用Black-Scholes或Garman- Kohlhagen公式计算）。

第二，根据市场因子过去N＋1个时期的价格时间序列，计算市场因子过去N＋1个时期价格水平的实际变化（得到N个变化水平）。假定未来的价格变化与过去完全相似，即过去N＋1个时期价格的N个变化在未来都可能出现，这样结合市场因子的当前价格水平可以直接估计（模拟）市场因子未来一个时期的N种可能价格水平。

第三，利用证券定价公式，根据模拟出的市场因子的未来N种可能价格水平，求出证券组合的N种未来盯市价值，并与当前市场因子的证券组合价值比较，得到证券组合未来的N个潜在损益——损益分布。

第四，根据损益分布，通过分位数求出给定置信度下的VaR。这种方法由于采用市场因子的历史价格模拟其未来可能价格水平，因此称为历史模拟法。

（3）蒙特卡罗模拟法。

基于蒙特卡罗模拟的VaR计算，原理与历史模拟法类似，基于历史模拟法的VaR计算，是基于市场因子的历史实际价格变化得到组合损益的n个可能结果，从而在观测到的损益分布基础上通过分位数计算VaR。基于蒙特卡罗模拟的VaR计算与历史模拟法不同之处在于市场因子的变化不是来自于历史观测值，而是通过随机数模拟得到。其基本思想是重复模拟金融变量的随机过程，使模拟值包括大部分可能情况，这样通过模拟就可以得到组合价值的整体分布情况，在此基础上就可以求出VaR。

基于蒙特卡罗模拟的VaR计算可分为以下步骤：

第一步，情景产生，选择市场因子变化的随机过程和分布，估计其中相应的参数；模拟市场因子的变化路径，建立市场因子未来变化的情景。

第二步，组合估值，当模拟出市场因子的价格变化路径后，就可以对市场因子的每个情景，利用定价公式或其他近似方法估计组合的价值及其变化，从而得出组合价值变化的分布。

第三步，估计VaR，根据组合价值变化分布的模拟结果，由分位数估计出特定置信度下的VaR。

近年来Monte Carlo模拟法成为学术界研究VaR计算的主流方法。但Monte Carlo模拟法存在两个重要缺陷：计算效率低，维数高、静态性缺陷。前者在模拟方法中普遍存在，后者则因传统的Monte Carlo模拟法采用抽样方法产生随机序列，均值和协方差矩阵不变，而经济中的变量都具有时变性，用静态的方法处理时变变量必然会产生一定的偏差，而且传统的Monte Carlo 模拟法难于从高维的概率分布函数中抽样。