第三节 市场风险

第三节  市场风险

在诸多不同类型的金融风险中，金融市场风险不仅是所有企业都要面对的风险，而且也往往是其他类型风险的基础原因。自1973年“布雷顿森林体系”解体以来，全球范围内汇率、利率、股票价格和商品价格呈现出高度波动性，主要原因就在于全球金融市场从固定价格体系向浮动价格体系的转变，具体表现为：1973年，“布雷顿森林体系”这一维系世界外汇市场价格稳定的基本体制崩溃后，世界主要汇率自由浮动，引起汇率波动性急剧上升；1979年，美联储将货币政策的控制目标由原来的利率改为货币供应量，同时在20世纪80年代西方主要发达国家放弃利率管制，引发了利率波动性的大幅上升；两次石油危机及美国政府在80年代初对石油价格管制的取消，导致石油商品价格的剧烈波动，对各国经济造成极大的冲击，进一步引发了全球商品价格的剧烈波动；严重的通货膨胀及许多国家为解决其经济问题，所采用的货币、金融、外贸及宏观经济政策，导致了汇率、利率、股价和商品价格波动性加剧。这些力量使原本相对平静的经济金融环境发生了彻底的改变。

20世纪90年代以来，全球金融市场又发生了很大的变化惨不断出现大幅市场震荡，主要包括以下几方面：

第一，经济全球化与金融一体化趋势。

经济全球化导致企业市场和资源配置的全球化，各国金融市场的开放程度不断加深，资本在全球范围内大量、快速地自由流动，大大增强了全球经济、金融市场间的相互依存性，全球金融市场间的价格协动使任何地区金融市场的局部波动都会迅速波及、放大到其他市场。

第二，竞争与放松金融管制。

金融业的激烈竞争导致了金融创新浪潮，并由此引发的政府对金融业的放松管制，反过来又加剧了市场竞争，并为以衍生金融产品为核心的金融创新提供了内在动机和良好的环境。这一螺旋式的过程导致了金融市场不确定性和波动性的增加。

第三，技术进步。

信息技术、现代金融理论和金融工程技术的突破性进展，大大提高了国际金融市场中资金和信息的流通效率，提高了对复杂金融产品和交易的准确定价能力，从而导致金融市场的交易品种、交易量和交易速度的爆发性增长，金融市场的复杂性和不确定性也大为增加。

第四，金融创新与衍生金融产品的增长。

为规避金融风险、提高竞争力、逃避管制而展开的金融创新活动，在放松管制和技术进步的剌激下异常活跃，形成金融创新浪潮，导致了高风险的衍生金融市场的爆发性增长。事实上，衍生金融产品本身就是金融市场风险加剧的产物，其目的在于对基础金融市场如股票市场、债券市场、外汇市场、商品市场等存在的各种风险进行分解、组合、定价和交易。由于具有能根据顾客风险和收益偏好“量身定做”及低成本、高杠杆性等优点，衍生金融产品作为一种高效的金融风险管理工具为各种类型的企业大量使用。

1.市场风险与投资组合理论

金融学需要解决的一个核心问题是：如何把个人和机构所拥有的财富在各种资产中进行最优配置。解决这一问题的理论就是现代投资组合理论。现代投资组合理论的诞生以Markowitz（1952）提出的均值—方差模型为标志。该模型是在禁止融券和没有无风险借贷的假设下，以个别资产回报率的均值和方差找出投资组合的有效边界（Efficient Frontier），即一定回报率水平下方差最小或一定方差下回报率最大的投资组合。Markowitz模型的基本理论假设如下：

（1）一项资产的期望回报率是其未来一定时期内可能收益率的统计平均；

（2）单项资产或资产组合的风险由其回报率的方差或标准差描述；

（3）投资者按照其对投资所具有的期望回报和风险程度的估计做出投资决策，即投资者的效用函数是投资期望回报和风险函数；

（4）投资者坚持“最大化”原则，即给一定的风险水平，投资者将选择期望回报最高的资产或资产组合或给一定的期望回报，投资者选择风险最低的资产或资产组合。

投资者期望一定回报下，追求风险最小的投资组合，实际上就是求解下面的二次线性规划：

其中，ωi为投资权重，r为风险资产回报率向量，PR是证券投资组合的回报率，V为证券投资组合的方差协方差矩阵。

上述二次规划的求解就得到了风险资产的有效前沿。这一概念可用图4.3给予最好的解释。其中纵轴表示期望回报率，而横轴表示风险，以回报率的标准差来度量。图中阴影部分表示已给风险资产的所有可能的投资组合，每一个可能的风险资产都有一个确定的回报率和一个确定的风险水平。这样，每一个风险的投资组合都可由图上阴影中的一个点来表示。

图4.3中的有效集合是点A和B之间阴影区域的左上边界，也就是沿着AB曲线的区域。在这一有效前沿（Efficient Frontier）上的投资组合优于该边线下方的投资组合。具体地说，有效前沿上风险资产的投资组合比其他具有同一回报率水平的投资组合承担了更小的风险，或者说比其他同一风险的投资组合具有更高的期望回报率。例如投资组合C，它并不在有效的边界上，明显劣于在有效边界上的投资组合D和Ea投资组合D和C承担同一水平的风险，但D比C有更高的回报率，而E与C具有相同的期望回报率，但比C承担更小的风险。理性的投资者就这样偏好于持有有效的投资组合，即是在有效前沿上的而不是在其下方的那些风险资产的投资组合。

从1952年Markowitz提出均值－方差投资组合模型到现在，已经发表的研究投资组合理论的论文不仅数量众多，而且研究思路和研究方法各异。为了对研究现状有一个清晰的认识，侯成琪（2005）将投资组合理论的研究方法归纳为4种：第1种方法是以均值－方差模型为代表的收益－风险占优方法；第2种方法采用不确定性条件下的理性选择理论——期望效用最大化原则来解决投资组合选择问题；第3种方法是随机占优方法；第4种方法是从不同的角度提出选择最优组合的简便原则。前两种方法是主流的研究方法，具有统一的分析框架，而且形成了比较完整的理论体系。而第3种研究方法——随机占优方法，由于很难找到确定分散化投资策略的有效集的有效算法，所以不能成为投资组合模型的主流研究方法。第4种方法缺乏统一的分析框架，都是一些比较零散的研究，也不是投资组合的主流研究方法。在这4种研究方法中，随机占优方法与均值风险占优方法和期望效用原则两者之间建立一个桥梁——如果采用均值—风险占优方法建立的某个投资组合模型符合期望效用最大化原则，则这个模型不仅具有形式简单容易求解的优势，还具有理论上的价值。但是直接检验这个模型是否符合期望效用原则往往比较困难，而检验这个模型是否符合随机占优原则相对容易得多。由于随机占优原则建立在期望效用原则的基础上，所以可以通过检验均值一风险投资组合模型是否符合随机占优原则来检验该模型是否符合期望效用原则。

Markowitz（1952，1959）认为，在选择最优的投资组合时，所有的投资者都有两个共同的目标——他们希望投资的收益尽可能高，而投资的风险尽可能小。因此，可以用投资组合的收益和风险两个指标来定义有效组合和无效组合。这就是收益－风险标准（reward-risk criterion）或收益风险占优（reward-risk dominance），这是一种主流的研究方法。采用收益－风险占优方法解决投资组合选择问题使问题得到了很大程度的简化，因为只需要考虑收益和风险两个指标。与此同时，采用收益－风险占优方法解决投资组合选择问题的关键也在于如何度量投资组合的收益和风险。由于投资组合的收益率是一个随机变量，所以一般采用投资组合收益率的数学期望（也称为均值）度量投资组合的收益，因此收益—风险占优也被称为均值风险占优（mean-risk dominance）。但是，对于如何度量投资组合的风险这一问题，尚未达成共识，存在着各种各样的风险度量方法。Markowitz用投资组合收益率的方差度量投资组合的风险，建立均值－方差模型。但是，方差是一种对称的度量，对偏离均值的正离差和负离差同等对待。这是不合理的，因为对于投资者来说，收益率高于期望收益率并不算是风险，仅当收益率低于期望收益率时才会造成损失，才有风险，即投资者最关心的是下方风险（Downside Risk）。针对这个问题，Markowitz（1959）提出用半方差（Semi-variance）度量投资组合的风险，包括两种半方差度量：均值半方差和目标半方差。Bawa（1975）和Fishburn（1977）将半方差的思想进一步推广，提出了风险度量LPM（Lower Partial Moments）。在理论上，LPM具有非常大的优势，是最具代表性的下方风险度量方法，比如半方差、绝对离差和半绝对离差都可以看作LPM的特例，而且LPM是与随机占优相一致的，故在某一效用函数下与个人期望效用相一致。

这就意味着在均值相同的情况下，选择较小的LPM，就会实现较大的期望效用。但是因为其在计算上的困难，并没有在投资组合选择的实践中得到广泛应用。Grootveld和Hallerbach（1999）对这一问题进行了比较好的综述。Konno和Yamazaki（1991）提出用收益率的绝对离差（Absolute Deviation）来度量投资组合的风险。以上几种风险度量方法都是采用概率统计中表示离散程度的矩（moment）来度量投资组合的风险。

除此之外，还存在一些基于分位点的风险度量方法，其中最具代表性的就是在险价值VaR（Value at Risk）。Ahn、Boudoukh和Whitelaw（1999）研究了在给定股票头寸的条件下利用股票的卖出期权对静态VaR最小化的问题。此外，Litterman（2000）描述了基于边际VaR构造最优投资组合的方法，并称之为最优套期保值。Vorst（1999）研究了在VaR约束下决定具有期望收益最大化的资产组合。Kalin和Zagst（1999）则给出了从波动率或亏空约束模型得出VaR的方法。

最新的研究热点是将ES（Expected Shortfall）作为金融市场风险度量方法， Rockafellar和Uryasev（2000）提出了一种基于情境的使用ES的投资组合优化模型，考虑将ES作为用来替代VaR的一致性风险度量。他们称，优化模型在最小化ES的同时计算也可以得到VaR，同时在投资组合收益正态分布的情况下，最小ES的组合和最小VaR组合的投资权重相同。在动态环境下，则一般可以将ES限制转换为等价的VaR限制，相反也一样。Palmquist、Uryasev和Krokhmal （2001）进一步扩展了组合优化的ES最小化方法：与最小化ES相对应，它们也可用于ES约束下的最大化收益。他们利用一个人工变量，将ES约束问题简化为一个凸问题。而优化的结果自动使人工变量等于VaR，即在ES优化的同时得到VaR的值。

实际上，均值－方差分析可以视为不确定条件下的理性选择规则——期望效用原则的简化。Huang和Litzenberger（1988）证明了在一定的条件下（即效用函数为二次或资产回报率的分布服从正态分布），个体的期望效用函数能够仅仅表示为资产收益率均值和方差的函数，从而，投资者可以只把资产收益率的均值和方差作为选择的目标。因此其隐含有两个重要假设：

（1）资产回报率的分布服从正态分布。然而国内外许多实证研究如Peters（1991）、Lo（1991）和宿成建（2006）都表明，风险证券的回报率具有偏态和过度峰态等明显的非正态分布特征，风险证券的回报率不服从正态分布已经成为学界的一个共识。

（2）方差是一个有效度量风险的方法。对前一个假设的推翻，实际上也就推翻了本假设。因为当收益率的分布是偏态分布而不是对称分布的时候，回报率的数学期望不再是概率分布的中心，此时用二阶中心矩－方差来度量离散程度也就不合适。

但是不管如何，研究投资组合理论都是在Markowitz具有开创性的文献基础上进行的，均值－方差模型都是研究的逻辑起点，所有研究都是对均值－方差模型的改进和完善。因此遵循这一研究思路，如果把新的风险度量方法纳人投资组合管理的框架之内，就必须满足两个原则：一是风险度量方法本身必须是度量风险的有效方法，如没有“尾部风险”；二是风险度量方法必须要与期望效用最大化相一致。投资者可以通过根据风险度量值的大小对投资组合进行排序，而这一排序和个体期望效用的大小是一致的。

2.市场风险的度量

现有的风险度量理论大体经历了三个阶段。首先是以方差和风险因子为主要度量指标的传统风险度量阶段；其次是以现行国际标准风险度量工具VaR为代表的现代风险度量阶段；再次是以

ES为代表的内在一致风险度量阶段。金融机构在准确辨识和测量市场风险的基础上，根据其竞争优势及风险偏好，利用各种工具和技术对风险进行规避、防范与转移，以达到对市场风险管理的目的。而管理风险的关键在于度量风险，即将风险的特性定量化。面对包含各种各样复杂衍生金融工具的组合证券以及证券回报率不服从正态分布，方差等风险度量工具已不适应金融市场风险管理的需求。因此迫切需要一种既能处理非线性的金融资产，又能脱离正态分布假设的市场风险度量方法。在这个背景下，VaR方法便应运而生了。

众所周知，现行的国际标准风险管理工具VaR最初是由J.P.Morgan针对银行业务风险管理的需要而提出的。由于其具有用一个简单的货币数量度量风险的能力及其科学、实用、准确的特点，因而它的出现受到国际金融监管机构的普遍欢迎，并且与情景分析、压力测试和回溯测试等一系列技术形成了风险管理的VaR体系。

VaR相对来说是一种新的风险管理方法，但文献中已有许多关于VaR的不足及其局限性的研究。Beder（1995），Mckay和Keefer（1996），Brown（1997）和Holton（1997）都批评VaR的使用。VaR作为风险度量，在数学上的确存在一些缺陷，例如不具备可加性（sub-additivity）。这意味着组合的风险可能大于各组成部分的VaR之和，用VaR管理风险可能无法模拟分散化。在情境组合数量有限的情况下，VaR关于持有头寸的多极值函数是非光滑的，这使得难以对它进行控制和优化。

例如，VaR仅仅能告诉我们在一定的置信度下可能的最大损失，但在风险证券价格急剧下跌的情况下，并没有告诉我们真正最大的损失是多少。假设有A和B两种证券，两种证券的期望收益相同，但在95%的置信度下，A的VaR为4元，B的VaR为5元。很明显以VaR的度量，B证券比A证券更有风险。但是B最大的损失是8元，A最大的损失是15元。如果依照VaR来进行投资，那么就有可能给投资者一个错误的风险信息，进而误导投资者选择高风险的投资。因此，认为VaR存在“尾部风险”（tail risk）。Basak和Shapiro（2001）就曾指出，VaR忽略了潜在分布的尾部，如果使用VaR管理风险，则有可能实际上加剧损失的程度。但是他们没有给出“尾部风险”的定义。Yamai和Yoshiba（2002.c）第一次给出了“尾部风险”的公理化定义：假设投资组合能够被n阶随机占优排序，如果风险度量方法能与n阶随机占优相一致，则认为该风险度量方法不存在“尾部风险”。他们还证明，VaR与一阶随机占优相一致的，这就意味着在投资组合能够被一阶随机占优排序的情况下，VaR不存在“尾部风险”。但是令人惋惜的是，这个条件实在是太苛刻了，实际是很难满足的。

对VaR真正有力的批评来自Artzner（1997，1999）提出的一致性公理，其内容是：若某种风险度量方法满足次可加性（sub-additive）、正齐次性（positively homogeneous）、单调性（monotonous）和传递不变性（translation invariant）4个条件，则该风险度量是一致性风险度量方法（coherent risk measurement）。他们指出，只有满足一致性要求的风险度量方法才能作为投资组合管理工具，而VaR不满足次可加性。受Artzner一文的启发，以相似的风险度量作为替代，修正VaR的不良属性的研究也有了更新的进展，如expectedregret（ER）、expected shortfall（ES）等。Szego（2002）认为这些方法能够很好地度量风险。作为对VaR的替代，ES（expected shortfall）被证明了比VaR具有更好的性质，如它是证券投资组合权重的凸函数。因此，ES开始被引人投资组合管理模型，用来研究证券投资组合的最优投资比重。但是因为ES的估计必须要在已经得到某一置信度VaR的前提下才能得出，这无疑会加大数据的计算量，降低其在实践中的可行性。

3.波动率模型

金融风险是由金融资产价格的波动引起的，因此风险测量的核心是价格波动率的估计和预测。价格波动性指的是未来价格偏离其期望值的可能性。价格上涨是有利的偏离，价格下跌是不利的偏离，波动性越大，价格上涨或下跌的机会就越大。

统计学中常用方差和标准差来描述波动性。在金融学中，波动性是用收益率的标准差来度量的，而不是用价格的标准差来度量，因为收益率被认为由一个具有常数元条件均值和有限方差的平稳随机过程产生，有限方差表明波动性会趋于一个有限的常数，即均值回归；而价格的方差是无限的，会随着时间增长而增长，这是由价格的不平稳性决定的，即价格随机游走性质。

波动性描述的是资产收益率随时间变化的离散程度，大量实证研究结果表明，波动性具有以下特点：

第一，厚尾性（Fat Tail）。

Mandelbrot（1963）和Fama（1965）等学者发现资产收益具有高峰度的分布特征。在许多金融时间序列里，收益率的无条件分布密度与正态分布相比，具有很大的峰度和更厚的尾部。

第二，波动性群聚（Volatility Clustering）。

一个较大（较小）的波动往往跟随在另一个较大（较小）波动的后面，任意截取一段金融时间序列都会发现或高或低的波动率群聚现象。很多波动率模型都试图模拟这种群聚现象，如移动平均、ARCH 模型等。

第三，杠杆效应（Leverage Effect）。

Black（1976）发现标的资产价格的运动与波动性呈负相关，即负的回报要比正的回报导致更大的条件方差。

第四，长记忆性和持续性（Long Memory and Persistence）。

波动持续性是指一个较大或较小的波动会对未来一段时期内的波动产生影响，使这一时期的波动保持较大或较小。波动的长记忆性就是指其持续性。

第五，协同运动（Co-movement）。

协同运动是指两个或多个市场之间相互影响的一种现象。波动的协同性特征是指，当一个市场的波动性发生变化时，其他市场也会受其影响而相应发生变化（一般同向变化）。

最简单的波动率计算模型是静态波动率计算模型，最早由Markowitz提出，是传统的广为接受的度量风险方法。该模型假定在一定时期内资产收益的波动性保持不变，这样就可以采用这一时期内收益的样本标准差作为每一个收益的波动率。数学定义为，假设Pt为某资产组合在时刻t的即时价格，表示该组合从时刻t-1到时刻t的收益，t= 1,2 ，…，n，那么组合在这n个单位时间里的波动率就可以用这n个收益的样本标准差来估计：

其中表示样本均值。该方法的最大优点在于计算的简便性，由于方差具有良好的数学特性，组合的方差可以分解为组合中单个资产收益的方差和各个资产收益之间的协方差来求解。然而，实践证明资产收益的波动率在一定时期内并不是常数，而且经常变化，为了更好地反映波动率时变的特性，人们提出了动态波动模型来预测资产收益的波动率。

移动平均模型有两种类型，简单移动平均模型和指数加权移动平均模型。简单移动平均模型是将第t天的资产收益披动率，通过该天以前M天的收益率样本方差来估计：

通过移动窗口，增加预测日后一天的信息和去掉前第M天的信息来更新预测。该模型简单易行，但是忽略了观察值的动态顺序，将所有历史信息赋予相同的权重，实际上较旧的信息（比如M天前）对于今天的影响意义远不如近期的信息（比如昨天），越新的数据应该具有越高的相关性。此外，如果在M天前有一个较大的收益，那么当估计第t+1天的收益波动率时会去掉这个收益，这将严重影响披动率的估计。

指数加权移动平均模型（EWMA）的样本标准差为：

其中λ为衰减因子（Decay Factor），决定着波动率估计中各观察数据的相对权重，可以通过最大化似然估计值求出，正态分布的似然函数为：

通过模型迭代可得，对t时刻波动率的预测为:

EWMA模型可以看作是GARCH（1,1）模型的一个特例，即参数的。相对于GARCH模型而言，EWMA仅仅依赖于一个参数λ，实施起来比较容易。另外EWMA与GARCH一样，对于波动率的估计都是递归的，对于波动率的预测只基于前期的预测和最新观察到的结果，这就大大优于简单移动平均，因为后者要利用过去M天的收益信息才能建立预测。

大量的金融数据实证研究表明，不确定性和风险的方差是随时间变化的，传统的计量经济学模型关于独立同方差的假定已不适合于描述金融市场价格的变化规律，于是许多金融学家和计量经济学家开始尝试用不同的模型和方差来解决这一问题。其中具有代表性的是Engle（1982）提出的“条件异方差自回归模型”，它被认为是最集中地反映了方差的变化特点，从而广泛应用于经济领域的时间序列分析。此后Bollerslev、Engle、Lilien、Robbins等学者又先后对ARCH模型进行了改进，提出了GARCH 、ARCH-M等一系列推广模型。

ARCH模型描述了在前t-1期的信息集结定的条件下随机误差项ξt的分布。假设回归模型为：

如果随机干扰项服从以下过程：

则式（4.3.10）称为ARCH（q）模型，其中vt的独立同分布，E（vt）=0，D（vt）= 1，α0＞0，αi≥0，i=1 ，…，q ，以确保条件方差ht＞0，且保证过程平稳。

在ARCH回归模型中，t的条件方差是滞后误差项的增函数，因此较大的误差后面一般紧接着较大的误差。回归阶数q决定了冲击对于后续误差项方差的影响时间长度，q值越大，波动持续的时间也越长。

Bollerslev（1986）提出了条件方差的扩展形式即广义ARCH模型，GARCH（p，q）表示如下：

满足的α0＞ 0，αi≥0，i=1，…，q，βj≥0 ，j=1,…，p。为保证模型是平稳的，参数约束条件为。GARCH模型优于ARCH之处在于，可以用较为简单的GARCH模型来代表一个高阶ARCH模型，从而使得模型的识别和估计都变得较为容易。

股票市场的研究发现，股价下跌和上涨幅度相同时，下跌过程往往会伴随着更剧烈的波动性，波动性的这种非对称特征通常被称为“杠杆效应”。利用非对称模型能够比较充分地解释此类现象。

TARCH模型（Threshold ARCH）模型最早由Zakoian（1990）提出，具有如下形式的条件方差：

其中dt是一个名义变量：

引人dt，股价上涨信息（ξt＞0）和下跌信息（ξt＜0）对条件方差的作用效果不同。当股价上涨时dt=0，此时对条件方差的影响可用系数表示；当股价下跌时，系数表示为，可见波动是非对称的。

EGARCH模型（Exponential GARCH）由Nelson在1991年提出，模型的条件方差表达式为：

模型中条件方差采用了自然对数形式，表明ht非负且杠杆效应是指数型的。当φ≠0时信息作用是非对称的，而当φ＜0时杠杆效应显著。

4.概率分布

由于正态分布具有对称性、可加性、相关性容易测量的特点，因而在金融市场分析中占有极其重要地位。但是金融市场的大量实证表明，对数正态模型并不完全与历史回报数据性质相一致。

第二种分布是t分布。由于t分布的概率密度函数比正态分布具有更厚的尾部，因此可以用来描述回报的厚尾特性，以提高在较高置信水平下计算VaR的准确性。当自由度趋于元穷大时，t分布的概率密度函数就等于标准正态分布的概率密度函数，因此可以把t分布看作是广义的正态分布。但t分布缺乏正态分布优良的统计特征，另外多变量联合t分布比较难估计，这在很大程度上限制了t分布在金融市场中的广泛应用。

广义误差分布（GED）是一种更为灵活的分布形式，通过对参数v的调整变化拟合出不同的图形，其密度函数形式为:

其中为Gamma函数。参数v控制着分布形式，不同参数导致不同的分布形式，当v=2时，GED是正态分布；当v>2时，尾部比正态分布更薄；当v<2时，尾部比正态分布更厚。由此可见GED是一种比较复杂的分布形式。

5.极值理论和Copula函数

20世纪30年代初，Dodd（1923），Frechet（1927），Fisher和Tippet（1928）开始对极值理论进行研究。极值理论是一门用来分析和预测异常现象的或者小概率事件风险的模型技术，其重要意义在于评估极端事件的风险。随机极值现象曾受到许多学者的关注，如自然环境中百年不遇的洪水、地震、干旱等，这些事件常常打破自然界相对平衡状态，对自然界以及人类生活带来重大影响；在社会环境中也有极值现象发生，如经济金融领域中出现的股市价格与连续平滑波动完全不成比例的异常现象。这些异常事件的发生对人类生活、经济生活产生了重大影响。随着人类社会的发展，人们为了更好地了解自然和战胜自然，开始对这样的极值事件进行研究。Fisher和Tippet（1928）证明了极值极限分布的3大类型定理，为极值理论的发展研究奠定了基石；随后，Mises（1936）及Gendenko（1943）对极值理论进行了进一步研究，Gendenko给出了3大类型定理的严格证明及3类极限分布存在的充要条件。此后，极值理论有了进一步发展， Jenkinson（1955）将该理论应用于极值风险研究，研究了广义极值分布（Generalized Extreme Value Distribution）模型，进一步完善了—维极值分布模型。Pickands（1975）证明了经典极限定理，为80年代、90年代完善建模作出了巨大贡献。此外，在80年代，许多学者研究了非平稳序列的极值行为及相依现象。80年代中期，多变量极值理论的统计推断有了进一步的发展，而且成为目前极值理论研究的热点问题。一般来说，应用极值理论研究有两类主要的模型。比较早的一类是BMM（Block Maxima Model）模型，另一类是近年发展起来的POT（Peaks Over Threshold）模型。在POT模型中，应该进一步区分两类的分析。有基于Hill估计的半参数模型，还有基于广义帕累托分布（Generalized Pareto Distribution）的完全参数模型。本文将关注基于广义帕累托分布的完全参数模型方法，来描述极端情况下的损失。

最早的Copula函数是在概率统计理论中出现的，它的提出可追溯到Sklar（1959），此后Copula的概念又被Schweizer和Sklar（1983）中提到。随后Genest和Mackay（1986）等学者又对Copula理论进行了发展。Joe（1997）研究了多变量Copula理论、模型和相依结构，Nelsen（1999）则比较系统地介绍了Copula的定义、构建方法等。

尽管Copula函数不是一个很新的概念，但直到90年代后期Copula函数理论才得到重视并迅速发展。随着经济全球化和金融创新步伐的加快，金融市场的风险分析发展很快，原有的一些分析方法特别是基于线性相关的分析方法很不适应这一需求，自然地作为一种可以研究非线性、非对称相关的统计理论，Copula理论在国际上被迅速应用并很快发展起来。自Embreches等（1999）把Copula引入到金融数量分析以来，已经取得了许多有意义的成果。例如，Claudio（2002）对意大利股市收益率进行了Copula分析：Davide等（2004）用Copula对一些信用衍生品的定价和风险分析进行了研究，发现t-Copula较适合于金融资料分析；目前，Copula已成为风险分析的重要工具，由CSFB开发的CreditRisk＋和JP Morgan开发的Credi tMetrics都直接或间接的汲取了Copula的思想。国内学者从2002年开始Copula在金融资料分析中的研究。张尧庭（2002a,2002b）从理论上探讨了Copula在金融上应用的可行性；张明恒（2004）研究了多资产VaR的Copula计算方法；吴振翔等（2004，2006）研究了Copula相依结构下多资产的组合投资问题。但是由于在Archimedean Copula中，二维Copula和多维Copula之间是有本质差别的，复杂度也随着维数从2变到3而大大提高。因此，大多数研究都只局限在两变量间的相依分析。值得一提的是，Jondeau.E（2001）考查了多种Copula，发现t分布Copula能较好描述金融变数间的相关性，而t分布Copula作为一种椭圆Copula族函数则可以描述多变量之间的相依结构问题。

6.方差的讨论

投资者会选择回报尽可能高而风险尽可能小的投资组合。由于对用收益率的均值度量投资收益不存在异议，所以问题集中在如何度量风险上。主要从风险证券回报率所服从的概率分布的角度分析是否能够有效的度量风险。林德贝格勒维中心极限定理使得正态分布成为风险资产回报率的一个很好的渐进分布，而且正态分布具有良好的分析性质，所以首先分析在风险证券的回报率服从正态分布的条件下方差是否能够有效的度量风险。可以证明，在风险证券的回报率服从正态分布的条件下，方差是最好的风险度量。正态分布完全由其均值和方差决定，因此在证券回报率服从正态分布的情况下其他的风险度量也取决于收益率的均值和方差。由于投资组合模型是在收益一定的条件下求解风险最小的投资组合，也就是在收益率相等的投资组合中选择风险最小的投资组合，所以投资组合的风险取决于投资组合的方差。因此，在证券收益率服从正态分布的情况下，均值－方差模型与其他的均值－风险模型有相同的有效前沿。下面以ES和VaR为例证明这个结论。

假设存在n种风险资产，回报率向量R（r1，r2，…，rn）服从多元正态分布，一个证券投资组合χ（χ1，χ2，…， χn），均值为μ，方差，为n种风险资产回报率的方差协方差矩阵，α为置信度。可以推导出ES与σ成一比例关系。

其中Zα为标准正态分布α分位数。我们也可以从VaR的定义，很容易得知VaR也是与σ成比例关系的，即。因为在正态分布的假设下，对于某一给定的置信水平α，Zα和α是确定的值，所以ES、VaR和方差三者之间的关系就是确定的。所以，如果我们要选择投资证券，无论使用何种风险度量方式，最后的投资决策都是一致的。例如，假定证券A和证券B的期望收益相同，证券A的方差大于证券B的方差，投资结果是选择证券B，因为A更有风险。由于ES和VaR都与方差成比例关系，所以无论是选择ES还是VaR作为投资选择的准则，最后结果仍然是选择B。而如果用它们来管理证券组合和确定组合的最优投资比重，利用均值－方差模型所求出的证券投资组合的有效前沿，必将与均值－ES、均值一VaR所求得的有效前沿也是一致的。所以在证券回报率服从正态分布的情况下，均值－方差模型与均值－ES，均值－VaR模型有相同的有效前沿，而且均值－方差模型比其他的模型更易于分析和计算。因此，在证券回报率服从正态分布的情况下，考虑到计算的便利性，方差是最好的风险度量。

然而，国内外许多实证研究如Peters（1991）、Lo（1991）和宿成建（2006）都表明，风险证券的回报率具有偏态和过度峰态等明显的非正态分布特征，风险证券的回报率不服从正态分布已经成为学界的一个共识。在风险证券回报率服从具有偏态和过度峰态等特征的非正态分布的条件下，方差已经不适合用来度量投资组合的风险，原因如下：

第一，在概率统计中，方差是用来度量离散程度的二阶中心矩，这里的中心指随机变量的数学期望。当回报率的分布是偏态分布而不是对称分布的时候，回报率的数学期望不再是概率分布的中心，此时用二阶中心矩——方差来度量离散程度就不合适了。

第二，过度峰态表现出来的“厚尾”特征可能使方差发散。“厚尾”的含义是：当回报率较大时，其概率密度函数没有迅速衰减，从而积分不收敛，即方差发散或不存在。如果风险证券回报率的方差不存在，那么用方差度量风险显然是不合适的。

第三，方差是一种对称的风险度量，即对偏离均值的正离差和负离差同等对待。然而，对于投资者来说，收益率高于期望收益率并不算是风险，仅仅当收益率低于期望回报率时才会造成损失，才有风险。如果分布是对称的，对偏离均值的正离差和负离差同等对待并没有什么问题。但是，如果分布是偏态的，对偏离均值的正离差和负离差同等对待就不合适了。

第四，度量投资组合风险，如计算投资组合的方差，需要借助于所有风险资产回报率的联合分布。联合分布不仅要考虑每个风险资产的边际分布，还需要考虑证券收益率分布之间的相关结构。在方差度量投资组合风险时，证券收益率分布之间的相关结构是用协方差或线性相关系数来度量的。但是，在非正态分布的条件下，线性相关系数不能正确地度量随机变量之间的相关关系。

从上面的分析可以看出，对于均值－方差模型来说，正态分布假设是非常重要的，而且在风险资产的回报率服从正态分布的时候，方差才是最好的风险度量。然而国内外许多实证研究表明，风险资产回报率的经验分布不能通过正态性检验，具有偏态和过度峰态等明显的非正态分布特征。因此在风险资产回报率服从非正态分布的条件下研究投资组合理论是非常必要的，具有重要的理论意义和应用价值。

7.风险度量方式的选择

从前面的分析可知，一个投资组合的风险完全由损益的概率分布决定，但是直接通过对损益概率分布的比较，来对投资组合风险进行比较难度比较大，所以现有的风险度量都将一个投资组合的风险表示为一个标量。采用这种方式度量风险简便直观，但用一个标量代表一个概率分布必然会损失一部分信息。因为度量风险的目的并不完全相同，所需要的概率分布中的信息也就不完全相同，所以可以根据度量风险的目的不同，选择不同的风险度量方式。由于本文研究外汇储备的结构管理，因此需要从投资组合管理目的的角度研究如何度量风险。

首先分析进行组合投资的目的。组合投资的第一目标是获得事先设定的期望收益水平，而不是追求尽可能高的收益率。共同基金在募集说明书中一般会设定一个基金业绩比较基准，也就是期望回报水平，基金投资的目的是追求长期稳定超出业绩比较基准的投资回报，也就是使基金的收益率大于或等于这个基准收益率，否则就会遭到投资者的赎回。在以达到期望回报水平为首要目标的组合投资中，投资者需要管理损失的风险，使低于期望回报水平的风险尽可能小。对于投资者来说，能够带来高于期望收益水平的不确定性越大越好，因为这些不确定性会带来超额回报，当然不能够算作风险；但是另一方面，带来期望回报的不确定性越小越好，因为这些不确定性会带来损失。

投资者除了要管理一般情况下投资组合面临损失的风险，还必须规避极端的可能带来巨额损失的尾部风险。尾部风险虽然是所面临损失风险的一部分，但又与其有所不同；投资者可以容忍或者承担一定程度的下方风险，因为现实的风险资产收益率的概率分布都具有一定程度的对称性，承担风险是获取回报的代价；但是，投资者必须完全规避尾部风险，因为极端的尾部风险会带来投资者无法承受的巨额损失。

投资组合的管理关键在于实行良好的风险管理，而良好的风险管理则依赖于有效的市场风险度量方法。随着风险度量理论的发展，基于分位点的风险度量方法因其简单易操作，在学界和实践中均取得快速的推广，最为著名的当属VaR。VaR是一种被广泛接受的风险度量工具，2001年的巴塞尔委员会指定VaR模型作为银行标准的风险度量工具。它可以定义为在一定的置信水平下，某一资产或投资组合在未来特定时间内的最大损失，或者说是资产组合收益损失分布函数的分位数点。VaR关注的是，当资产组合回报低于期望回报的情况下，投资者能以某一概率确定其所管理的投资组合实际面临的损失最大为多少。

虽然VaR是一种概念上非常简单且现在应用极为广泛的风险度量方法，但是对它的批判却从来没有停止过。例如，VaR仅仅能告诉我们在一定的置信度下可能的最大损失，但在风险证券价格急剧下跌的情况下，并没有告诉我们真正最大的损失是多少。假设有A和B两种证券，两种证券的期望收益相同，但在95%的置信度下，A的VaR为4元，B的VaR 为5元。很明显以VaR的度量，B证券比A证券更有风险。但是B最大的损失是8元，A最大的损失是15元。如果依照VaR来进行投资，那么就有可能给投资者一个错误的风险信息，进而误导投资者选择高风险的投资。Basak和Shapiro（2001）就曾指出，VaR忽略了潜在分布的尾部，如果使用VaR管理风险，则有可能实际上加剧损失的程度。另外由于VaR不满足次可加性（Sub-additive），VaR不是证券投资权重的凸函数，因而大大增大了求解的计算量，甚至可能导致投资组合优化的结果为空。种种研究证明，VaR不适合作为投资组合优化的目标函数，学界开始研究对VaR 进行改进。作为对VaR的替代，ES拥有与VaR相同的优点，同时克服了VaR的固有缺陷，它可以用于衡量当损失超过VaR时的可能大小。ES最早由Artzner等（1999）提出，是指在损失超过VaR时的条件期望值。设X 是一个随机变化给定组合的回报率，则在某一置信度下的ES由下式给出：。为风险度量系统，ES至少在5个方面优于VaR： 第一，ES可以告诉我们发生尾部事件下预期损失；第二，基于ES的风险一收益决策规则比基于VaR的规则更加可靠；第三，ES是一致的（coherent）风险度量指标，因此满足次可加性；第四，ES不阻碍分散投资；第五，由于ES的次可加性，投资组合的风险表面函数是凸的，凸性可以保证基于ES的资产组合优化问题具有唯一的最优解。

8.回报率的边际分布

风险资产收益率的经验分布具有偏态和过度峰态等非正态分布特征，尤其是证券市场上经常出现剧烈波动的情形即“厚尾”特征，这种现象在我国新兴证券市场的基础上更为明显，使投资者面临巨大亏损的风险。在这种情况下，如何合理预期所持有资产的收益和损失风险就成为投资者关注的热点。在风险证券的回报率不服从正态分布的条件下仍然采用正态分布假设，并就此假设进行风险度量，将大大低估风险水平。随着在水文、地震灾害和工程等自然科学领域的成功应用，极值理论方法逐渐引起了保险和金融领域专家学者的广泛关注，并逐渐将该理论方法应用到这些领域的实践研究中，用其来刻画金融时间序列变量的动态变化特征。极值理论方法能够根据样本数据进行外推，克服了传统统计方法不能越过样本进行分析的缺陷。它并不假设风险资产回报率尾部的具体分布特征，只描述尾部收益的行为，而非极值的正确分布，很好地刻画出风险资产回报率“厚尾”特征。从概率分布的角度来看，研究极端收益率的发生规律就是研究收益率概率分布的尾部行为，极值理论的POT方法就是用广义Pareto分布来描述随机变量的尾部情况，因此该方法常出现在利用极值理论方法研究金融收益率和市场风险的文献中。

借助极值理论估计回报率变量的边缘分布，这是一个热点问题，已经有许多学者在这个领域作出了贡献。如Longin（1997）、Danielsson（1997）等。他们的工作主要集中于如何估计资产回报率的无条件分布。但是风险资产回报率时间序列存在波动聚集性，说明回报率序列存在极值相关性；除了波动的聚集性，回报率序列还常常表现出非平稳的特征，那么在利用极值理论方法分析回报率序列时该如何纳入这些时序特征呢？如果忽略这些时序特征，用无条件极值理论来描述回报率的尾部行为，就不能准确刻画回报率变量的边缘分布，导致估计风险度量出现误差。为了克服无条件极值理论的缺陷，基于条件分布的极值理论将时间序列分析方法与极值理论结合起来，把时序特征纳入了极值回报率变量的分析。Mcneil和Frey（2000）提出了基于GARCH族模型的极值理论分析方法。这种方法主张将金融时间序列变量的时序特征如条件波动纳入考虑的框架，首先利用GARCH族模型估计出当前时期的条件波动率、随机扰动等。其次应用极值理论描述随机扰动的尾部行为特征。这样经过GARCH族模型的处理，随机扰动没有了非平稳性和波动聚集等特征，那么利用极值理论描述的尾部行为特征就较为精确了。最后他们通过回溯测试（Backtesting）发现，这种方法相较于其他方法如无条件极值，具有更强的适应性和精确性。