第二节 波动率和波动率微笑

标的资产价格波动率对期权价格影响较大，通过Vega 的计算，能够度量期权或资产组合价值变化与标的资产波动率变化的关系。本节介绍波动率的特征与期权价格的关系。

一、波动率的含义和类型

(一)波动率的含义和度量

期权的波动率是指期权标的资产价格的波动率。

标的资产价格波动率用其收益率的标准差来度量。波动率反映了标的资产价格变动的不确定性，是衡量标的资产价格变动快慢的尺度。资产收益率分为百分比收益率和对数收益率，对数收益率假设资产价格是连续变动的，与期权定价模型假设更为一致，因而此处的计算多采用对数收益率。对于波动率的时间长度选择，默认的时间长度是1年，如股票的波动率是指按连续复利计算的1年期股票收益率的标准差。

(二) 波动率的类型及作用

在使用Black - Scholes 模型对期权进行定价时，除波动率外，期权的剩余期限、无风险利率、期权的行权价格、标的资产的市场价格等参数都是可以确定的，只有波动率是不确定的。所以，对期权进行定价，最关键的是确定一个合理的波动率，因此，波动率在期权定价中起着决定性作用。波动率的类型有历史波动率、预期波动率、隐含波动率等。

1. 历史波动率。历史波动率通常是指标的资产的收益率在过去一段时间内的年化标准差。历史波动率是基于过去的统计分析而得出的，且假定未来是过去的延伸，通过计算标的资产过去一段时间的标准差获得。过去一段时间可以是最近的30 天、90 天或其他合适的天数。

2. 预期波动率。根据历史波动率和标的资产市场环境的变化对波动率进行预期， 得到的波动率即为预期波动率，是交易者认为合理的波动率，将此波动率及其他要素带入期权定价公式中即可得到期权的理论价格。

3. 隐含波动率。

(1) 隐含波动率的含义。标的资产价格、无风险利率、近期股息率、期权执行价格、期权剩余期限和波动率是影响期权价格的六个因素，把这六个参数代入公式就可以获得期权的理论价格。

如果将其他五个参数带入期权价格公式，根据期权的市场价格，可以反推出波动率，由此得到的波动率被称为隐含波动率。

期权价格是众多参与者竞争的结果， 反推出的隐含波动率反映了市场对于未来波动率的预期，交易员有时以隐含波动率报价，从这一方面来说，交易期权也是交易波动率。

(2) 隐含波动率对期权价格的估计。根据历史波动率可以对未来波动率作出预测，得到预期波动率。然后与隐含波动率进行比较， 如果隐含被动率远高于预期波动率，表明用期权价格推出的波动率过高，期权价格高估，隐含波动率变小的可能性较大;反之，如果隐含波动率低于历史波动率或预期波动率，表明期权的市场价格低于对应波动率的理论价格。

标的资产披动率提高，看涨期权和看跌期权多头的机会增大，买方愿意付出更多的价钱获得行权机会，所以期权的价格也越高。因此，看涨期权和看跌期权的价格与标的资产波动率正相关。当看涨期权和看跌期权价格提高时，以此推出的隐含波动率也会随之提高。

【例7 -11】 例5 -1 数据的基本信息如下:

2015 年1 月22 日，招商银行H 股的价格为18.32 港元，根据历史波动率估计的波动率，即预期的波动率为σ= 20% , r = 4% , T - t = 67 天， K =17.5 港元，标的股票在剩余期限内不支付红利，根据以上数据，用B-S 模型计算的看涨期权的价格为1.20 港元，当天该股票的市场价格为1.59 港元。根据以上信息，计算标的股票的隐含波动率。

将除预期波动率的其他信息和期权市场价格带入期权定价公式中，反推出该价格对应的标的资产的波动率。推算出的波动率= 34.41% ，即隐含波动率为34.41%。

如果预期的波动率是合理的，则期权价格应该等于1.2 港元，而市场价格为1.59 港元，表明期权价格被高估。而据此推出的隐含波动率也高于预期波动率或市场波动率。所以，当隐含波动率高于预期波动率时，表明期权市场价格被高估，有回归合理的可能。如果期权价格回归合理，隐含波动率会随之减小。

二、波动率微笑

( 一) 波动率微笑的含义

期权隐含波动率(Implied Votatility) 与行权价格(Strike Price) 之间的关系称为波动率微笑(Volalility Smiles) 。

"波动率微笑"的提法一开始是在外汇期权中引入的。之所以被称为"波动率微笑"，是因为虚值期权( Money) 和实值期权(In the Money) 的隐含波动率高于平值期权(At the Money) 的隐含波动率，使得隐含波动率曲线呈现出中间低两边高的向上的半月形，也就是微笑的嘴形，称为波动率微笑。见图7-12。

(二) 形成波动率微笑的原因

在用B - S 模型对期权进行定价时，标准B - S 模型假设标的资产价格服从对数正态分布，收益率服从正态分布。但实际上，金融资产的收益率呈尖峰肥尾特征，这种分布下，收益率出现极端情况的概率远高于正态分布的概率，因而传统模型低估了期权变为深度实值或深度虚值的概率，也低估了深度实值和深度虚值期权的价格。在此情形下，深度实值和深度虚值期权的理论价格往往低于期权的市场价格，由期权价格推出的隐含波动率高于预期波动率，即深度实值和l 深度虚值期权的隐含波动率存在溢价现象。

从市场看，平值期权以实值状态结束和以虚值状态结束的概率基本相同，其时间价值最大，供给和需求基本平衡，所以定价合理的可能性更大，隐含波动率滥价程度最低。深度实值期权的Delta 接近于1 ，在投资中需求量很大; 但是除非投资者预期标的资产价格会有一个根本性的变动，一般不会出售深度实值期权，供给量较小。因为此深度实值期权的溢价较高，其隐含波动率也较高。所以随着执行价格的提高，隐含波动率溢价增加，即深度实值和深度虚值期权的隐含波动率溢价较高。当市场价格大于理论价格时，根据市场价格得到的隐含波动率会大于相同条件下资产的实际波动率。市场价格高出理论价格越多，隐含波动率与实际波动率的差越大，即隐含波动率越大，被动率微笑特点越显著。

(三) 股票期权隐含波动率的特点和原因

与外汇期权不同，股票期权存在波动率倾斜， 即隐含波动率是执行价格的递减函数( 见图7-13 ) 。也就是说，执行价格较低的期权对应的隐含波动率远高于执行价格较高的期权。这表明与突发性的大幅上涨相比， 市场对于价格大幅下跌更为敏感。

股票期权波动率倾斜现象存在的一种解释是杠杆效应，当股票价格下跌时，杠杆效应增加，这意味着股票风险增大，因此波动率增加;股票价格的上涨会降低杠杆比率，从而降低投资风险，波动率减少。另外一种可能的原因是交易员对于股票市场暴肤的恐惧，希望对标的资产价格下降提供保护，也愿意付出较高的价格。

股票的被动率倾斜出现在1987 年股灾后。1987 年股市大崩溃后，由于交易员害怕市场会出现类似于1987 年的大跌，寻求保护的投资者不是卖出股指期货，而是买进指数看跌期权，市场对于保护性看跌期权的需求增加。此外，出售裸指数看跌期权所需的保证金也提高了，特别是对于作为裸看跌期权的主要提供者做市商，这样对于指数看跌期权的需求增加， 供给减少，导致虚值看跌期权较为昂贵，虚值看跌期权比虚值看涨期权和平值看跌期权贵。另外，机构交易者还通过出售虚值看涨期权为买入的指数看跌期权提供融资，导致看涨期权需求增加，虚值看涨期权变得便宜。所以，虚值看涨期权比平值看涨期权便宜。

(四) 股指期权隐含波动率的特点和原因

股指期权的隐含波动率比单个股票期权的隐含波动率要低，但股票期权作为保险工具，成本比股指期权要低。主要原因是: 经过波动率调整后，需要购买的指数期权数量更多，这使得购买保险的成本高于单个股票期权的成本。

三、波动率的应用

直接买卖与波动率指数相关的衍生品是利用波动率预期来获利的一种方式。此外，由于隐含波动率与期权价格高度相关，在影响期权的其他参数不变的情况下，期权价格与隐含波动率呈正比例关系。

期权价格与波动率正相关，无论是看涨期权还是看跌期权，波动率越大期权的价格越高。当波动率上升时，期权价格往往上涨; 当波动率下降时，期权价格往往下跌。当隐含波动率高于预期波动率时，预示着期权价格有被高估的可能;反之，当隐含波动率低于预期波动率时， 预示着期权价格有被低估的可能，也因此可以根据隐含波动率和预期被动率的关系买卖期权，并将买入期权称为买入波动率。