第二节  期权价格范围

本节在分析期权特点和性质的基础上，对期权价格进行估计，得出期权价格的合理范围，即期权价格的上下限。如果市场价格超出最高上限或低于最低下限，便出现套利机会。

但本部分探讨的期权价格取值范围，是在不考虑交易戚本的情况下得到的。实际交易中，期权的市场价格如果超过价格上限加上交易成本，或低于价格下限减去交易成本，便存在套利机会。不同类型的期权，如看涨期权或看跌期权、美式期权或欧式期权，期权价格上下限不同。

此外，在期权有效期内标的资产是否支付收益也会影响期权价格上下限。标的资产支付收益的情况包括股票股息、债券利息和基金分红等。

债券交易通常采用净价报价，全价结算，即债券的市场价格不含有应计利息（最近一次利息支付日至交易日时间段的利息），结算时买方向卖方支付债券的应计利息。所以债券付息不影响债券价格，也不影响以债券为标的的期权价格。因此，对债券类期权价格上下限的分析，不考虑债券付息情况。

如果上市公司承诺未来支付股息，则股票市场价格中应该包含预计支付的股息，上市公司分红会影响股票价格，也会影响相关股票价格指数。但对于标的资产为股票价格指数和股指期货合约的期权，标的资产持有人并不能获得上市公司分红，因此对相关期权价格上下限的分析也不考虑标的股票分红的影响。由于ETF基金也涉及分红，所以分析期权价格时应考虑红利的影响。

所以，标的资产支付收益对期权价格上下限的影响只涉及股票期权，包括单只股票期权和ETF期权，对股指期权的价格分析均为标的资产不支付收益的情形。

一、期权价格上限

（一）看涨期权的价格上限

1. 标的资产不支付收益的情形。在期权有效期内，如果预期标的资产不支付收益，美式看涨期权多头不应该提前行权（分析证明见下节），美式期权的价格与欧式期权的价格应该相等。

交易者直接购买标的资产，其最大损失为购买标的资产的费用。交易者购买看涨期权，只是取得按执行价格购买标的资产的权利。当期权价格高于标的资产的市场价格时，交易者不如直接购买标的资产。

因此，看涨期权的价格不应该超过标的资产的市场价格。即：

看涨期权的价格上限为：C=c≤S₀                                                                                        （3-1）

式中：C、c分别为美式和欧式看涨期权的市场价格（美式为大写、欧式为小写）；S0为建仓时标的资产的市场价格。

2. 标的资产支付收益的情形。对于单只股票期权和ETF期权，假设标的资产在期权有效期内支付收益的现值为D。

欧式期权多头只能在期权到期日行权，即一定在标的资产支付收益后行权。

如果交易者以S₀购买标的资产并在期权有效期内一直持有，则购买标的资产的成本减至S_o-D，看涨期权的价格不应该超过购买标的资产的成本。

所以，欧式看涨期权的价格上限为：c≤S₀-D                                                         （3-2）

公式（3-2）显示，标的资产支付收益，可使看涨期权的价值降低。

如果期权有效期内标的资产支付收益，则美式看涨期权多头有可能提前行权（分析证明见下节），美式看涨期权多头的机会大于欧式看涨期权多头。因此，美式期权的价格不应该低于欧式期权的价格，即：C≥c。

（二）看跌期权的价格上限

1. 标的资产不支付收益的情形。交易者购买看跌期权，便取得了按执行价格出售标的资产的权利；同时表明，交易者通过持有看跌期权多头出售标的资产，最高售价为执行价格，所以，看跌期权的价格不应该超过执行价格。

因此，看跌期权的价格上限为：P≤K                                                                      （3-3）

由于欧式期权多头只能在到期时行权，即只有在到期时才能得到执行价格，所以，公式（3-3）为美式看跌期权的价格上限，欧式看跌期权的价格不应该高于执行价格贴现至交易日时的现值（考虑连续复利形式）。

因此，欧式看跌期权的价格上限为：p≤Ke^-r（T-t）                                                            （3-4）

式中：P、p分别为美式和欧式看跌期权的市场价格（美式为大写、欧式为小写）；K为期权的执行价格；r为无风险利率；T-t为交易日t至期权到期日T的期限，即期权的剩余期限。

2. 标的资产支付收益的情形。依据公式（3-4）可知，不支付收益的欧式看跌期权的最高价值为执行价格的现值。对于股票期权，如果标的资产支付收益的话，持有看跌期权同时持有标的股票或ETF基金，还可以得到标的股票或基金的红利。

因此，标的资产支付收益的欧式看跌期权的价格上限为：

p≤Ke^-r（T-t）+D                                                                                                    （3-5）

公式（3-5）显示，标的资产支付收益可提升看跌期权的价值。

同样，美式看跌期权的价格不应该低于欧式看跌期权的价格，即：

P≥p

二、期权价格下限

（一）看涨期权的价格下限

首先，期权的价格不会小于0，然后分析下面的情形。

1. 标的资产不支付收益的情形。对于标的资产不支付收益的看涨期权，美式期权不会提前行权，所以美式期权的价值与欧式期权的价值应该相等。

分析以下组合：

组合A：一张执行价格为K、标的资产为一张股指期货合约的欧式看涨期权多头和金额为Ke^-r（T-t）的现金。

组合B：一张价值为S₀的标的股指期货合约。

将组合A的现金Ke^-r（T-t）以无风险利率投资，至期权到期日，现金的价值变为K，标的股指期货合约的价格为S_T。

期权到期时，如果S_T>K，执行看涨期权，支付K得到标的股指期货合约或标的股指期货交割结算价ST，组合A的价值等于组合B的价值。

如果S_T≤K，看涨期权不被执行，组合A的价值为K，大于等于组合B的价值。

由此可见，期权到期时，组合A的价值总是大于等于组合B的价值，期初也应该如此。

因此有：c+Ke^-r（T-t）≥S₀，或c≥S₀-Ke^-r（T-t）。

如果S₀-Ke^-r（T-t）<0，则c≥S₀。

以上分析可得看涨期权的价格下限，为：

C=c≥max｛S₀-ke^-r（T-t），0｝                                                                                            （3-6）

【例3-5】2015年2月16日，上证50ETF的收盘价为2.394元，如果年无风险利率为4%，该日收盘时，510 050C1 503M02 500合约的价格下限为多少？

上证50ETF期权为欧式期权，2015年3月到期的期权合约的最后交易日、到期日和行权日为2015年3月25日。3月合约剩余期限为37天，T-t=37/365（年），该看涨期权的价格下限为：

S₀-Ke^-r（T-t）=2.394-2.5×e-4%×37/365=-0.0 959

所以该看涨期权的价格下限为0，自c≥0。

2. 标的资产支付收益的情形。对于欧式期权，由于期极多头只能在期权到期日行权，如果在期权有效期内标的资产支付收益，持有人一定可以得到支付的收益，假设每份资产收益的现值为D。

首先分析欧式期权的价格下限，考虑以下组合：

组合A：一张在T时刻到期（距当前时间T-t）、执行价格为K、标的资产为一手股票的看涨期权多头和金额为N（D+Ke^r（T-t））的现金。将现金进行无风险投资，投资收益率为年利率r（连续复利形式），在期权到期日才，现金的本利和为N（De^r（T-t）+K）。

组合B：一手价值为N·S₀的组合A中看涨期权的标的股票。

其中，N为一于股票的股数，假设期权的合约规模等于1手股票数。

期权到期时，组合B的价值为N（S_T+De^r（T-t））

对于组合A，如果S_T>K，执行看涨期权，支付N·K得到一手价值为N·S_T的股票，组合A的价值为N（S_T+De^r（T-t），等于组合B的价值；如果S_T≤K，放弃执行看涨期权，组合A的价值为N（K+De^r（T-t），大于等于组合B的价值。

由此可见，组合A的期末价值总是大于等于组合B的价值。

因此有：c+D+Ke^-r（T-t）≥S₀，或c≥S₀-Ke^-r（T-t）-D

如果S₀-ke^-r（T-t）-D<0，则c≥0

由此得欧式看涨期权的价格下限，为：

c≥max{S₀-Ke^-r（T-t）-D，0}                                                                                             （3-7）

同样的，美式看涨期权价格不应低于欧式看涨期权的价格。即C≥c。

【例3-6】招商银行2015年3月19日公布了2014年的利润分配预案，为10派6.7元（含税），该银行每年利润分配时间为下年的6月初或7月初，利润预案通常都会被股东大会通过，所以，利润分配预案公布后便意味着该公司会在6月初或7月初支付股息，对该标的的期权，即该银行H股的看涨和看跌期权的价格上下限会产生影响。预案公布时香港交易所上市交易的该股票期权有3月、4月、5月、6月、9月、12月和下年的3月合约。在合约有效期内，3月、4月、5月合约标的股票持有人得不到股息，所以股票分红不影响3月、4月、5月到期合约的定价，在对6月、9月、12月和下年3月合约进行定价时，需考虑标的股票分红的影响。

（二）看跌期权的价格下限

1. 标的资产不支付收益的情形。某交易者按市场价格S₀买入标的资产，同时买入该标的执行价格为K的看跌期权，并立刻将标的资产卖出。在不考虑交易费用的情况下，交易者损益为K-S₀-P。该损益不应该大于0，否则存在套利机会（不考虑交易成本）；如果损益小于0，交易者以当前价格买进看跌期权会有一定亏损，但交易者看空标的资产后市。如果标的资产价格下跌，期权的价格将上涨，交易者会有获利机会。因此，损益小于等于0成立，即K-S₀-P≤0。

所以，美式看跌期权的价格下限为：P≥max{K-S₀，0}                                                                   （3-8）

由于欧式看跌期权只能在到期时行权，所以公式（3-8）中的执行价格应为执行价格的现值。

由此可得欧式看跌期权的价格下限：p≥max{Ke^-r（T-t）-S₀，0}                                                      （3-9）

证明公式（3-9），分析以下组合：

组合A：一张执行价格为K的欧式股指期货看跌期权多头和一张价值为S₀的标的期货合约。

组合B：金额为Ke^-r（T-t）的现金。

期权到期时：

如果S_T≥K，看跌期仅不被执行，组合A的价值为S_T，大于等于组合B的价值。

如果S_T<K，执行看跌期权，以执行价格将标的股指期货合约卖出，组合A的价值等于K，等于组合B的价值。

由此可见，组合A的期末价值总是大于等于组合B的价值。

所以有：p+S₀≥Ke^-r（T-t），p≥Ke^-r（T-t）-S₀

如果Ke^-r（T-t）-S₀<0，则p≥0

由此证明公式（3-9）成立。

2. 标的资产支付收益的情形。首先分析欧式看跌期权的价格下限，考虑以下组合：

组合A：一手价值为N·S₀的股票和一张执行价格为K的该股票看跌期权多头。

组合B：金额为N（D+Ke^-r（T-t））的现金。

其中，N、D以及期权合约规模与之前相关策略中的假设相同，且之后有相同情形时不再进行相关说明。

期权到期日才，组合B中的现金价值为N（K+De^r（T-t））。

对于组合A，在持有股票期间可获得每股现值为D的股息，并将获得的股息N·D以无风险利率进行投资，至期权到期时投资本利和为N·De^r（T-t）。

期权到期日才，如果S_T≥K，看跌期权不被执行，组合A价值为N（S_T+De^r（T-t），大于等于组合B的价值；如果S_T<K，执行看跌期权，得到售价N·K，组合价值为N（De^r（T-t）+K），等于组合B的价值。

由此可见，组合A的价值总是大于等于组合B的价值。

所以有：p+S₀≥D+Ke^-r（T-t），如果D+Ke^-r（T-t）-S₀<0，则p≥0。

由此得欧式看跌期权的价格下限：

p≥mαx{D+Ke^-r（T-t）-S₀，0}                                                                                                  （3-10）

同样，美式看跌期权价格不会低于欧式看跌期权价格，即：P≥p。

【例3-7】依据2015年2月16日的数据，计算510050P1503M02500合约的价格下限。

ETF 期权不涉及标的资产分红，所以对该看跌期权的定价公式应依据公式（3 -9） ，价格下限计算为：

p≥Ke^-r（T-t）-S₀=2.5×e^-4%×37/365-2.394=0.0959（元）