第一节 Black-Scholes模型
1973 年，费雪· 布莱克(fischer Black) 和迈伦·斯科尔斯(Myl'on Scholes)提出了Black - Scholes 期权定价模型(简称B - S 模型) ，对标的资产价格服从对数正态分布的期权进行定价。
数学家布莱克在家养病期间，金融投资家斯科尔斯找到了他，希望与他合作研究期权定价方法，在两人的共同努力下，推导出了复杂的Black -choles 期权定价模型。在同一时期，哈佛商学院罗伯特·默顿( Robert Merton ) 也推导出相同的公式以及其他与期权定价相关的结论。而且，两篇论文几乎在不同刊物上同时发表。然而，期权定价模型以布莱克和斯科尔斯命名，默顿最初并没有获得与布莱克和斯科尔斯同样的威望。所以，布莱克一斯科尔斯定价模型应该称为布莱克一斯科尔斯一默顿定价模型。并且，默顿扩展了原模型的内涵，使之同样可以运用于许多其他条件相似的金融衍生工具的定价。
Black - Scholes 期权定价模型问世之后成为金融经济学中的经典模型之一。1997 年10 月10 日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了默顿和斯科尔斯，同时肯定了布莱克的杰出贡献。不幸的是，费雪·布莱克已于J995 年去世，没能与其他两位共享诺贝尔经济学奖。
一、B-S 模型的假设
Black - Scholes 期权定价模型基于以下假设:
1. 标的资产价格行为服从对数正态分布;
2. 标的资产价格变化具有固定的预期年收益率μ 和波动率σ( 标准差) ;
3. 期权定价模型中普及的贴现率为元风险利率，且在期权有效期内，无风险利率为常数;
4. 市场元摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割;
5. 金融资产在期权有效期内不支付收益;
6. 期权在到期前不可执行，即期权为欧式期权;
7. 不存在无风险套利机会。
二、B-S 期权定价公式
(一) 标的资产不支付收益的欧式看涨期权定价公式
对式(5-1) 的理解:
第一，从Black - Scholes 期权定价模型推导过程可知， N (d2 ) 是风险中性世界中期权时标的资产价格Sr大于执行价格K 的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率， e-rt（T-t）KN(d2) 是K 的风险中性期望值的现值。SN (d1) =e-r(T-t) STN (d1) 是Sr的风险中性期望值的现值。
第二，依据复制策略，C = △S + L ( 参见式5-12) , N (d1) = △，是复制策略中标的资产的数量， SN (d1) 则是标的资产的市值， -e-r(T-t)KN(d2 ) 是复制策略中负债的价值。
第三，从金融工程角度看，欧式看涨期权可以分拆成资产或无价值看涨期权( Asset - or - noting caIl option) 多头和现金或无价值看涨期权(cash -or - nothing option) 空头之和，其中的现金支付金额等于执行价格。SN(d1) 是资产或元价值看涨期权的价值，-e-r(T-t)KN(d2 )是K 份现金或无价值看涨期权空头的价值。
[例5 -1] 2015 年1 月22 日，招商银行H 股的价格为18.32 港元。假设招商银行H 股的价格遵循几何布朗运动，根据历史波动率预期的波动率为20% ，香港无风险连续复利年利率为4% ，求2015 年3 月到期、执行价格为17.5 港元的该股票看涨期权的价格。内地银行股公布利润分配方案的时间大约是次年的3 月，利润分配时间通常为6-7 月，所以在该期权有效期内标的股票不会分红。
期权当时的实际价格为1.59 港元，比较该定价模型得到的定价结果，期权价格被高估了。
但也有可能是由于定价公式中参数选用错误而导致定价出现偏差。一种可能是标的资产价格变化与假设情况不附，另一种可能的结果是标的资产价格波动率估计偏低，如果按照波动率30% 重新对期权进行定价，期权价格为1.49 港元，期权市场价格仍有一定程度的高估，但与期权理论价格基本接近。所以，如果假设与实际情况不符，或估计参数错误，都会造成错误的定价结果。
(二) 标的资产不支付收益的欧式看跌期权定价公式
根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系， p=c-S0+ke-r(T-t) ，可以得到无收益资产欧式看肤期权的定价公式:
由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，所以美式看跌期权要用蒙特卡罗模拟、二叉树和有限差分三种数值方法以及解析近似方法求出。
【例5 -2】利用例5-1 数据，计算相同标的、相同执行价格的看跌期权的价格。
N (-d1) = 1 - N (d1) = 1 - 0.746 = 0.254
N(-d2 ) = 1 - N( d2 ) = 1 - 0.718 = 0.282
P=17.5e - 4%x(67/365 ) x 0.282-18.32 x 0.254 =0.25
该看跌期权的实际价格为0.78 港元，比较该定价模型得到的定价结果，期权同样被高估了。
按照波动率30% 重新对期权进行定价，期权价格为0.52 港元， 期权市场价格仍有一定程度的高估，但偏差减小。
三、B - S定价模型的发展
(一) 标的资产支付收益的欧式期权的定价公式
标的资产支付收益的现值为I 时，用(S - I )代替公式(5-1 )和( 5-2 ) 中的S 即为支付固定收益资产的欧式看涨和看跌期权的定价公式。当标的资产的收益为按连续复利计算的固定收益率q ( 单位为年)时，
用se-(r-q)(T-t ) 代替公式(5-1 )和(5-2) 中的Se-r(T-t ) 即为标的资产支付收益率为q 的欧式看涨和看跌期权的定价公式。
标的资产支付连续固定收益率q 的欧式看涨和看跌期权的定价公式为:
(二) 标的资产支付收益的美式期权的定价公式
1. 标的资产支付收益的美式看涨期权的定价公式。标的资产不支付收益的美式看涨期权与欧式看涨期权的价格应该相等，所以公式(5-1 )同样适用对标的资产不支付收益的美式看涨期权的定价。
当标的资产支付收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，可以用下面的方法进行计算:首先分析提前执行美式看涨期权是否合理。若不合理，则买方不会提前行权，可按欧式期权处理; 若在tn 提前执行有可能是合理的，则要分别计算在T 时刻和tn 时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。
2. 美式看跌期权的定价公式。标的资产不支付收益的美式看跌期权有可能提前行权。对于标的资产支付收益的情形，虽然收益可使美式看跌期权提前执行的可能性减小，但仍不排除提前执行的可能性，因此美式看跌期权的价值不同于欧式看跌期权，它只能通过较复杂的数值方法来求出。
所以， Black - Scholes 不适用于对美式期权，特别是对美式看跌期权进行定价。
四、Black - Scholes 微分方程
式中: f一一衍生资产或组合的价格; r一一无风险利率; S一一标的资产的价格; 6一一标的资产价格波动率。该方程适用于价格取决于标的资产价格S 的所有衍生金融工具的定价。
五、Black - Scholes 期权定价公式的问题
使用Black - Scholes 期权定价模型对期权进行定价，通常会高估方差高的期权，低估方差低的期权;高估实值期权的价格，低估虚值期权的价格。
此外，使用Black - Scholes 期权模型还可能出现以下问题:
1. 计算错误;
2 . 期权市场价格偏离均衡;
3. 使用的参数错误，例如，例5-1 、例5-2 中，改变波动率后期权价值便有较大改变;
4. Black - Scholes 期权定价模型建立在众多假定基础上，而假设与市场实际情况有较大偏差。