第一节 期权的风险参数

目前国际金融市场上不同因素对期权价格的影响分别用不同的希腊字母表示，包括标的物价格、距离到期日时间、波动率、利率等对期权价格的影响。以上因素对期权价格的影响分别用Delta 、Th eta 、Vega 、Rho 、Gamma等表示。

期权价格风险主要发生在卖权上，裸看涨期权和看跌期权均存在较大的价格风险。与其他金融工具对冲目的相似，期权的价格风险也可以采取相应的措施加以规避或对冲。期权的风险参数可用于调整和控制期权及组合的价格风险。

一、期权的Delta

(一) Delta 的含义和计算

期权或资产组合的Delta (三角形或8) 被定义为期权或资产组合价格变动对其标的资产价格变动的比率，数学上看是期权价值对标的资产价格的偏导数，是期权价格与标的资产价格关系曲线的斜率。

式中: f一一期权或资产组合的价格; S一一标的资产的价格。

Delta 可通过二叉树无套利定价模型求得，也可通过Black - Scholes 期权定价模型求得。

利用Black - Scholes 期权定价模型，不支付红利的看涨和看跌期权的A计算如下:

如果标的资产支付收益，且收益率为q ， (7-1 ) 和(7-2) 分别为:

式中d₁的计算参见Black - Scholes 期权定价模型。

N(d₁) 由正态分布表查得。

(二) 期权的Delta 风险

期权的Delta 风险是指标的资产价格变化引起的期权价格的波动。不仅期权有Delta 风险，远期、期货等衍生产品同样也有Delta 风险。对于金融资产，通常情况下，期货和远期与标的资产的价格关系为: F = Se^r（T-t） 。所以，远期合约和期货合约的△=e^r（T-t）原生标的资产的 △= 1。

看涨期权Oelta 值随标的资产价格变化的情形见图7-1 。

通过调整期权或资产的Della 值，使组合头寸的Delta 等于0，Delta 为0的投资组合被称为Delta 中性。Delta 中性的组合不存在Delta 风险，即组合头寸的价值不随标的资产价格变化而变化。

(三) 期权Delta 的取值范围和期权各要素对Delta 值的影响

1. 期权Delta 取值范围。从计算公式看出， 期权Delta 绝对值的范围在0~1 之间，欧式看涨期权的Delta 值总是大于0 小于1 ， 而看跌期权的Delta值位于-1~0 之间， 这意味着标的资产价格变动总是大于由其引起的期权价格的变动。

Delta 的线性特征: 对于一个组合价值为TI 的投资组合，组合的Delta 值等于每种资产的Delta 的线性和， 即:

其中， Wi表示组合中包含的第i 种期权的数量。Delta 值大于0 的投资组合被称为牛市组合， Delta 值小于0 被称为熊市组合。

2. 标的资产价格与期权Delta 的关系。标的资产价格与看涨和看跌期权Delta 的关系见图7-2 (a) 和图7-2 (b) 。

(1) 对于看涨期权，当期权处于深度虚值，多头几乎不存在行权机会，期权价格非常小，且几乎不随标的资产价格上涨而上涨。当期权虚值程度减弱时，期权价格会随着标的资产价格上涨而上涨， 且上涨速度会加快， 期权的Delta 值不断增大。

当标的资产价格接近行权价格， 即期权接近平值时，标的资产价格稍稍变动都会导致期权虚值和实值的转换， 因此在上涨接近执行价格时期权价格随标的资产价格上涨程度加大，期权的上涨速度加快，期权的Delta 值变大，在平值附近时Delta 最大。

标的资产价格在行权价格以上时，随着标的资产价格的上涨，期权价格会随之上涨。当标的资产价格超过行权价格很多，即期权处于深度实值时，标的资产价格进一步上涨将变得困难，期权价格接近内在价值，期权价格与标的资产价格上涨幅度保持一致， Delta 值趋近于1 ，期权价格随标的物价格上涨速度减慢， 即Delta 增大速度变缓。

所以，对于看涨期权， 随着标的资产价格上涨， Delta 变化的速度有一个先变大再变小的过程，接近执行价格时的Delta 变动速度最快。

(2) 对于看跌期权，由于标的物价格变动方向与期权价格变动方向相反，所以看跌期权的Delta 为负值。随着标的资产价格的下跌， 期仅Delta的绝对值不断增大，即标的物价格下跌，期权价格上涨，标的物价格接近执行价格时Delta 值变化速度最快。

由于期权Delta 的绝对值在0~1 之间，所以期权价格变化的绝对值始终小于标的资产价格变化值。

[例7-1] 看涨期权和看跌期权Delta 与标的资产价格的关系实例，上证50ETF 期权为例。

2015 年2 月26 日， 2015 年3 月到期、执行价格为2. 5 元的上证50ETF期权的基本参数如下:

K=2.5 元，剩余期限37 天， T - t = 37/365 年，假设无风险年利率r=4% ，标的资产价格年波动率(也是资产的标准差)σ= 25%，用Black -Scholes 期权定价模型计算的看涨期权和看跌期权Delta 与标的资产价格关系见图7-3 (a) 和图7-3 (b) 。

图7-3 可见，标的资产价格越高，看涨期权的Delta 值越大，最大为1 ;看跌期权Delta 的绝对值越大，最大为1 。

3. 到期时间对期权Delta 的影响。期权剩余期权对看涨期权和看跌期权Delta 的影响见图7-4 ( a ) 和图7-4 ( b ) 。

(1) 对于看涨期权，S_实值>S_平值> S_虚值，由于S 越高期权的Delta 值越大，所以△_实值> △_平值> △_虚值 。对于实值期权，随着到期日临近其Delta 不断增大，直至等于1 ; 对于虚值期权，随着到期日临近Delta 不断变小。例如，一个处于深度实值的期权，在其他条件不变的情况下，随着到期日临近，其处于实值以上的概率会越来越大，期权价格变化和标的资产价格变化趋于一致， Delta 趋于1。

对于虚值看涨期权， 随着到期日临近标的物价格涨到执行价格以上的可能性越小，因此，越接近到期其Delta 越小，而且随时间推移期权的时间价值加速下降， 标的资产价格变化已难影响到期权价格，期权的Delta 值趋于零或等于零。

对于平值看涨期权，无论何时，其价格向上或向下的概率基本相同，因此平值期权的Oelta 理论上等于0.5 。但是由于标的资产价格不可能小于0 ，其价格上行的空间要远大于价格下行的空间，因此标的资产价格略低于执行价格时看涨期权的Delta 值等于0.5 ， 平值看涨期权的Delta 会略高于0.5。

例7-1 中， 当标的资产价格等于2.5 元时，平值看涨期权的Delta 等于0.536 ，标的资产价格等于2.482 元的虚值看涨期权的Delta 等于0.5 。平值期权的Delta 是近似线性的，在到期日Del ta 接近0.5 。

(2) 对于看跌期权， Delta 小于0 ，S实值>S平值> S虚值，S越低期权Delta值的绝对值越大，考虑绝对值，△实值>△平值>△虚值。对于实值期权，随着到期日的临近其Delta 的绝对值不断增大，直至等于1 ;对于虚值期权，随着到期日的临近Delta 由负值向0 趋近。

对于平值看跌期权，理论上Delta 的绝对值等于0.5 。同样，由于标的资产价格不可能小于0 ， 其价格上行的空间要远大于价格下行的空间，因此标的资产略低于执行价格时看跌期权Delta 的绝对值等于0.5 ，平值看跌期权Delta 的绝对值会略低于0.5 。例7-1 中， 当标的资产价格等于2.5 元时，平值看跌期权的Delta 等于-0.464 ，标的资产价格等于2.482 元的实值看跌期权的Delta 等于-0.5。

4. 波动率对期权Delta 的影响。之前对Oelta 的讨论都是基于Black -Scholes 期权定价模型，基于波动率不变的前提，但是标的资产价格波动率对期权价格有一定影响，所以对期权的Delta 也会产生影响。

波动率对看涨期权价格的影响见图7-5。

标的资产的波动率越小，看涨期权的时间价值较低，因此在虚值状态期权价格对标的资产价格的变动并不敏感， Delta 会很小，但是在实值状态，期权的Delta 值会变得很大。

标的资产波动率高时，期权处于虚值状态的情形对标的资产价格的变化会相对敏感，而在实值状态下反应相对迟钝。

(四) Delta 在风险管理中的应用一一Delta 对冲

1. 利用Delta 计算对冲期权头寸风险的套保比率

[例7 -2] 2015 年2 月16 日，上证50ETF 的收盘价为2. 394 元。某金融机构以0.0429 元的价格卖出700 张该标的2015 年3 月到期、执行价格为2.5 元的看涨期权，收入30.03 万元。该期权的剩余期限为37 天(0.1014年) ，标的基金的期望收益率为20% ，年波动率为25% ，假设无风险年利率为4% 。计算该金融机构期权头寸的Delta ，并据此分析金融机构看涨期权空头的风险、设计风险对冲策略。

该例基本信息包括: S₀ = 2.394 元， K = 2.5 元， r = 4 % ， σ= 25% , T-t = 37 天=0.1014 年， μ=20% 。

根据Black - Scholes 期权定价模型:

该看涨期权的△=N(d₁）=0. 325

700 张期权的△=0. 325 x700 x 10000 =2275000

金融机构700 张看涨期权空头头寸的Delta = -0.325 x 700 x 0 000

                                                                = -2275000

Delta 为0.325 ， 表明期权价格变化是标的基金价格变化的0.325 倍。当标的基金价格上涨10% 时，金融机构看涨期权空头排仓的价值将减少544 635 元(10% x2. 394 x2 275000); 当标的基金价格下跌10% 元时，金融机构看涨期权空头持仓的价值将增加544 635 元。

以上分析可见，金融机构所持期权总头寸的变化等于标的基金价格变化的Delta 倍，但方向相反。

标的资产的Delta 为1 ，即每份基金的Delta 等于1 ，因此， 2275 000 份基金多头的Delta 为2275 000 ，可与期权头寸的D elta 抵消。

所以，金融机构买入2 275 000 份基金，使用资金5 446 350 元(2275000 x2.394) ，可实现对冲700 张看涨期权空头风险的目的。

当基金价格上涨1元，由2.394 元上涨至3.394 元时，期权价格应该由0.0429 元上涨至0.3679 元(0.0429 + 0.325) , 700 张期权空头损失2275000元( 0.325 x700 x 10000); 而基金多头盈利2275000 元( 1 x 2 275 000 ) 。如果基金价格由2.394 元下跌1 元至1.394 元时，基金多头亏损2275000元，而期权价格不会下跌0 . 3250 元，即期权价格最多跌至最低值0.0001元，或没有交易。如果期权价格下跌至最低价0.0001 元， 700 张期权空头盈利299600 元( 0.0428 x700 x 10 000 ) 。由此可见，标的基金大幅下跌时，看张期权空头盈利不会继续增加，最大盈利为权利金。

以上情况看出，标的基金价格在一定范围内变化时，无论上涨还是下跌，组合均可实现盈亏相抵;但由于期权空头最大盈利为期权费，所以标的基金大幅下跌时，期权空头盈利将不能弥补标的基金多头损失。因此，需要通过不断调整组合头寸，才能实现对冲期权空头持仓风险的目的。

2. Delta 动态调整。期权头寸的Delta 会随着标的资产价格的变化而变化，如果希望组合的Delta 中性，即期权组合的价格不随标的资产价格变化而变化，需要不断调整组合的标的资产头寸，以使得组合头寸的Delta 始终为0 。

【例7-3】依据例7 -2 数据， 考虑资金戚本和标的基金价格变化的动态调整策略。

买入标的基金的初始资金=2.394 x2275 000 =5446350 (元)

考虑持有至期权到期， 如果借入资金的成本为4% :

需支付利息= 5546350x4% x(37/ 365) =22083.83 (元)

1天后标的基金的价格上涨至2.411 元，剩余时间为36 天( 0. 0986年)， Delta 计算如下:

对冲期权空头头寸所需标的基金数= 0.355 x 700 x 10000

                                                   = 2485 000 (份)

由于Delta 提高，所以对冲期权空头头寸所需标的基金数增加， 需增持210000 份(2485000 -2275000) 。

需补充资金=210000 x2.411 =506310 (元)

不含利息支出的累计现金流= 5443650 + 506310 = 5952660 (元)

增加利息支出=5063 10 x4% x36/365 =1997.497 (元)

根据标的基金的市场数据和对应的Delta 值，对冲策略的调整见表7-1 。

表7-1 可见，期权头寸的Delta 随标的资产价格变化而变化，投资者的Delta 策略(或Delta 中性状态)只能维持短暂的时间，为持续保持组合头寸的Delta 中性，需不断调整组合中的标的资产数量，直至期权到期。

Delta 动态调整的特点:

第一，要维持Delta 中性就要根据标的资产价格的变化而导致的Della值的变化对标的资产持仓进行调整。

第二，当使用标的资产空头对冲看跌期权空头风险时，标的资产价格上涨时期权Delta 的绝对值减少，需买入一定量的标的资产头寸保持组合的DelLa 中性;当标的资产价格下跌时Delat 绝对值增大，需卖出更多的标的资产头寸对冲看跌期权空头风险。

因此， DelLa 动态调整的缺陷是追涨杀跌。

由于Delta 度量的是标的资产价格变化引起的期权价格近似变化，在标的资产价格变化很小时，所得到的期权价格变化的结果较为近似;当标的资产价格变化幅度较大时，依据Delat 得到的期权价格变化结果与实际变化差距较大。为更准确地度量标的资产价格变化对期权价格的影响，引入期权的Gamma (r)指标。

二、期权的Gamma (r)

(一) Gamma (r) 的含义和计算

期权的Gamma 是指期权或资产组合的Delta 变化与标的资产价格变化的比率，是期权或资产组合关于标的资产价格的二级偏导数。Gamma 也被称作期权价格与标的资产价格关系曲线的曲率。

式中，II一一期权或资产的价格; S一一标的资产的价格。

N' (d₁) 的计算公式为:

例7-2 中期权头寸的Gamma 值等于1.889 ，表明当基金价格变化△S时，理论上期权的价格应变化0.325△S , Delta 变化1.889△S 。

Gamma 是度量Delta 对标的资产价格波动敏感度的指标， Gamma 风险是指标的资产价格波动引起的期权Delta 的波动。当Gamma 的绝对值较大时，表明Delta 对标的资产价格被动十分敏感，标的资产的微小变动会导致期权价格的大幅变动，期权的Gamma 风险很大，此时若不对Delta 中性投资组合的持仓进行调整就将产生较大的价格风险。调整的目标是使组合头寸的Gamma 等于0 ， Gamma 为0 的投资组合被称为Gamma 中性。

(二) 期权Gamma 取值范围和期权各要素对Gamma 的影响

1. Gamma 的特点和取值范围

第一，同一标的资产的看涨期权和看跌期权的Gamma 相等。

第二，随着标的资产价格的增长DelLa 值是不断变大的，所以Delta 对标的资产价格的偏导数应为一个正值，即Gamma 值总是大于0 。

第三，之前对Delta 的分析可知，当标的资产价格在执行价格附近时，期权Delta 的变动最快。所以平值期权的Gamma 最大。

第四，对于期权多头，无论是看涨期权还是看跌期权， Gamrna 值均大于0; 反之，对于期权空头，无论是看涨期权还是看跌期权， Gamma 值均小于0 。买入期权又被称为买入Gamma ， Gamma 为正值，买入期权即期权多头，买入Gamma 包括买入看涨期权卖出和买入看跌期权;卖出期权被称为卖出Gamma ， Gamma 为负值，卖出Gamma 包括卖出看涨期权和卖出看跌期权。

第五，与Delta 一样，资产组合的Gamma 值等于组合内各种衍生证券Gamrna 值的总和。对于远期、期货等收益曲线为线性的金融工具，其Garnrna为0 。

2. 标的资产价格与期权Gamma 的关系

标的资产价格与期权Gamma 的关系也是期权Delat 对标的资产价格波动的敏感度。

由于期权接近平值时Delta 变化最快，所以接近平值期权的Gamma 值最大。

[例7-4] 看涨期权和看跌期权Gamma 与标的资产价格的关系实例。

续例7-1 ，用Black - Scholes 期权定价模型计算的看涨期权和看跌期权Gamma 与标的资产价格关系见图7-6 。

由图7-6 可见，在平值附近，期权的Gamma 最大，但并不是平值期权的Gamma 最大。该例中，执行价格为2.5 元，标的资产价格等于2.465 元时Gamma 最大，为2. 605 元，而标的资产价格等于2.5 元的平值期权的Gamma 为1.9965 。正如对Delta 的分析，在接近平值时，期权价格随标的资产价格变化最快。

3. 到期时间对Gamma 的影响。实值、平值、虚值期权受到期时间变化的影响不同。依据Delta 和标的资产价格的关系，随着标的资产价格的提高， Delta 的变化速度是先大后小，在平值期权附近Delta 变化速度最大，所以接近平值时的Gamma 值最大，虚值期权的Gamma 高于与虚值程度相当的实值期权的Gamma 。

对于平值期权，期权价格会紧随标的资产价格变动而变动，越临近到期， Delta 变化越剧烈，其Gamma 越高。因此平值期权在临近到期时， Gamma的数值会变得很大。

当期权的到期时间还有很远时，标的资产价格变化对期权价格的影响相对较小， DelLa 随时间变化十分缓慢而稳定，相对应的Gamma 也比较稳定且数值不大。

Gamma 也可用来估计一个Delta 中性的资产组合当价格变化时该资产组合价格的变动。

实值、虚值和平值期权的Gamma 与期权剩余期限的关系见图7-7。

(三) Gamma 在风险管理中的应用一一Gamma 对冲

规避资产组合的价格风险，不仅要保持Delta 中性， Della 对标的资产变化比较敏感时，还要保持组合的Gamma 中性。

由于标的资产及其衍生出来的期货和远期合约的Gamma (二阶导数)等于0 ，所以不能通过它们来改变资产组合的Gamma 。

要实现Gamma 中性，只有使用价格与标的资产价格呈非线性关系的工具如期权进行对冲。当在组合中加入新的期权合约时，也改变了资产组合的Delta值。为了使资产组合重新实现Delta 中性，还需要计算新的Delta 值并利用标的资产或者标的资产的远期(期货)合约来对冲，以实现新的Delta 中性状态。

Gamma 中性策略可以看作是Delta 中性策略的一个补充。当标的资产价格变动较小的时候， Delta 中性即可为资产组合提供足够的保护;但是当标的资产价格发生较大的变化时，则需要利用Gamma 中性来提供额外的保护。

[例7 -5] 如果某Delta 中性的资产组合的Gamma 值为-4500 ，相同标的资产的看涨期权的Gamma 值为1.5，Delta 值为0.51， 请构建Delta 中性和Gamma 中性的组合。

由于证券组合的Gamma 值为负，所以交易者可先购入期权使Gamma 中性，然后计算加入新的期权多头后整个资产组合的Delta 值，再选择相应数量与方向的标的资产进行Della 对冲。

如果实现该例的Gamma 中性，需要买进3 000 份(4500/1.5 )该标的资产的期权，看涨和看跌均可。如果买进看涨期权，买入期权后，新的组合的Delta 值为1530 (0.51 x3 000) 。为r实现新组合的Delta 中性，需要卖空1530份标的资产，由于标的资产的Gamma 为0 ，所以卖空标的资产不影响组合的Gamma 值。因此，通过以上策略，实现了组合的Oelta 中性和Gamma 中性。

与Delta 对冲类似， Gamma 对冲也只能保持短时间的Gamma 中性，要完全对冲 Gamma 风险也需要进行功态调整。

[例7-6] 如果某Della 中性的资产组合的Ga mma 为-10 000 ， 当资产价格在极短的时间内发生-1或者+1 的变动，该资产组合的价值将变动多少?如何构建Oelta 中性和Gamma 中性的组合?

利用泰勒展开式， Gamma 和 Delta 的关系为:

对于△ =0 的组合，当ds = -1 或+1 时:

该资产组合价值的变动值= ( 1/2) x 10 000 x 1² = 5 000

为对冲组合的Gamma 风险，买进10 000 份组合对应资产的看涨期权或看跌期权均可。如果采用看涨期权多头来实现Gamma 中性，新组合的Delta 会大于0 ，需卖出一定i韭注的标的资产来实现Oelta 中，性; 如果采用看跌期权多头来实现Gamma中性，新组合的Delta 会小于0，需买进一定量的标的资产来实现Delta中性。卖出或买进的标的资产的数量由看涨或看跌期权的DelLa 值决定。

三、期权的Theta (6)

(一) Theta 的含义和计算

期权或资产组合的Theta 是指在其他条件不变时，期权或资产组合价值变化与时间变化的比率:

Theta 也被称为时间的损耗。对于一个无股息股票的欧式看涨期权，根据Black - Scholes 模型，期权的Theta 为:

在分析Theta 时，时间通常以天为单位，因此Theta 为在其他条件不变时，在一天过后期权或资产组合价值的变化，即剩余期限每缩短一天期权或资产组合价值的增减。Theta 大于零表示剩余期限减少一天，期权或组合价值的增加值;反之， Theta 小于零表示剩余期限减少一天期权或组合的减少值。上面计算公式中的参数通常是以年计的，所以，如果计算每日历天Theta ，将计算结果除以365；如果计算交易日Theta ，将计算结果除以252 。

(二) Theta 的取值范围和期权相关要素的关系

1. Theta 的取值范围和特点。

第一， Theta 的损耗是非线性的，越临近到期日其损耗越快。

第二， Theta 用来衡量资产组合时间损耗的速度。随着组合持有时间的增长，到期日越来越近，期权的时间价值越来越小，因此买权和卖权多头的Theta 值通常为负数。随着时间流逝，期权空头方将得到时间价值，所以买权和卖权空头的Theta 值一般为正数。对于不支付红利的欧式看跌期权，存在时间价值小于零的情形，此情形下买权和卖权多头的Theta 大于零。例如，与例7-1 基本数据相同的上证50ETF 期权，用Black - Scholes 期权定价模型计算的结果为，看涨期权的Theta 均小于等于0 。标的基金价格等于2.185 元时， 看跌期权的Theta 等于0; 标的基金价格大于2.185 元时，Theta小于0; 标的基金价格小于2.185 元的实值看跌期权的Theta 大于0 。

2. 标的资产价格与Theta 的关系。

Theta 与标的资产价格的关系见图7-8 。

Theta 和标的资产价格关系与Gamma 和标的资产价格关系十分相似，在实际运用中Theta 经常被当作是Gamma 的镜像。对于Delta 中性的投资组合， Gamma 和Theta 是近似互为相反的两个值。当买入期权，也就是买入了Gamma ，但同时也就要承担时间价值即Theta 的损失，也就是卖出了Theta ，因此这两者的操作是不可能同向的。

实值、虚值和平值期权的Theta ;

对于深度实值看涨期权，随着剩余期限的缩短，期权时间价值衰减速度加快， Theta 绝对值变大;随着到期日的临近，期权的时间价值趋于0 ，期权价格逐渐接近内在价值，期权价格不再随期限缩短而衰减。Theta 的绝对值逐渐减小并趋于固定值。

依据Black - Scholes 期权定价模型期权所得到的Theta 计算公式，当T-t 趋于0 时，对于处于深度实值和深度虚值的期权，公式的第一项为0[ N'(d₁)趋于0 ] 。深度实值看涨期权第二项中的N (d₂ ) 趋于1 ， e^-rT趋于1 ，第二项趋于rk 。所以，深度实值看涨期权Theta 值随着到期日的临近逐渐趋于固定值- rk 。

当期权处于深度虚值状态时，无论看涨期权还是看跌期权，期权内在价值为0 。随着剩余期限缩短，期权时间价值衰减速度加快， Theta 绝对值变大; 随着到期日临近，期权的时间价值和价格均趋于0 ，期权价格不再随剩余期权的缩短而衰减， Theta 的绝对值逐渐减小并趋于0 。

对于深度虚值看涨(看跌)期权， Theta 计算公式中的第二项N (d₂ ) [ N( - d₂ ) ] 也趋于0 ，所以随着到期日的临近，深度虚值期权的Theta 趋于0 。对于平值期权，标的资产价格的任何变动都会带来期权价格的波动，但随着剩余期限缩短，期权多头的机会减少，期权时间价值衰减速度加快，越接近到期，衰减速度越快， Theta 绝对值越大。另据对Theta 计算公式的分析，接近平值时，计算公式的第一项将变得很大[分子中的N' (d₁)不为0 ，而分母趋于0 ]，所以平值期权Theta 的绝对值在临近到期时会加速变大。

3. 期权的到期时间与Theta 的关系。深度实值看跌期权与实值看涨期权相似，随着到期日临近，期权时间价值趋于0 ，期权价格逐渐接近内在价值，期权价格不再随期限缩短而衰减。Theta 的绝对值逐渐减小并趋于固定值。Thela 计算公式中第二项的N ( -d₂ ) 趋于1 ，期权的Theta 趋于rk 。所以，深度实值看跌期权Theta 值随着到期口的临近逐渐趋于固定值rk。由于深度实值看跌期权的Theta 大于0 ，此情形下期权价格随着剩余期限的缩短而增加(该结论适用于不支付红利资产的深度实值欧式看跌期权) 。

实值、虚值、平值看涨期权的Theta 与到期期限的关系见图7-9 。

[例7-7] 计算例7 -2 期权的Theta 。例7-2 的相关数据: 基金价格为2.394 元， K =2.5 元， r =4% , T = 37 天(0.1014 年) ， σ=25% 。计算该欧式看涨期权的Theta (标的股票不支付股利) 。

每日历天的Theta = -0.368/365 = -0.00101

每交易日的Theta = - 0.368/252 = - 0.00146

表明剩余期限每缩短一个交易日，期权的价值便降低0.00146。

四、Delta (△) , Theta (θ) 和Gamma (r) 之间的关系

Delta 是标的资产价格每变动1 个单位期权价格的变化值。

Gamma 是标的资产价格每变动1个单位期权Delta 的变化值。

Theta 是假设标的资产与其他参数不变期权价格每天的变化值。

当期权的Theta 为负时， Gamma 为正; 反之依然。由于在其他条件不变的情况下，期权的价值会随着期限的缩短而降低，通常情况下，买权的Theta 为负值，而Gamma 为正值。

依据Black - Scholes 模型，标的资产不支付收益的期权和由衍生产品组成的资产组合的价格满足下式:

上式表明，当Theta 很大并为正时，期权或资产组合的Gamma 很大但为负，反之亦然。同时也表明，对于Delta 中性的组合，可以将Theta 作为Gamrna 的近似。

五、期权的Vega (v)

(一) Vega 的含义和计算

在研究Delta 、Theta 和Gamrna 时，均假设期权的标的资产或构成资产组合的证券波动率为常数。但实际上，波动率会随时间变化，这意味着期权或资产组合的价值既会随标的资产价格与期限的变化而变化，也会随波动率变化而变化。

期权和资产组合的Vage 被定义为期权或资产组合价值变化与标的资产波动率变化的比率。

无股息股票的欧式看涨和看跌期权的Vega:

【例7-8】 计算例7-2 期权的Vega 。

期权利标的股票的基本数据为: S = 2.394 元， K = 2.5 元， T-t =0.1014 年， N' (d₁ ) = 0.360 。

该结果表明，当标的股票的波动率变化1% 时，期权价格将变化0.274% (0.274 x 1 % ) 。

(二) Vega (时的取值范围以及相关要素对Vega 的影响

1. Vega (v)的取值范围和特点。

第一，在其他条件不变的情况下，标的资产的波动率越高，多头的机会越大，期权的价值越高。所以，对于期权多头，不论是看涨期权还是看跌期权， Vega 都是正值;而期权空头的Vega 为负值。Vega 值为正表明波动率增大期权价值提高， Vega 值为负表明波动率降低期权价值提高。

第二，标的资产以及标的资产的远期合约、期货合约的Vega 值均为0 。

第三，如果资产组合的Vega 的绝对值很大，表明该组合的价值对波动率变化非常敏感;而Vega 的绝对值很小时，表明波动率的变化对资产组合价值的影响很小。

2. 标的资产价格与Vega 的关系。

标的资产价格接近执行价格时，期权的Vega 最大。这是由于，当标的资产价格接近执行价格时，波动率稍稍改变都将引起期权从实值到虚值之间的转换，因此期权趋于平值时， Vega 值最大。对于深度实值或深度虚值的期权，波动率的变动并不能引起期权价值太大变动， Vega 值较低。标的资产价格与Vega 的关系见图7-10 。

3. 期权的到期时间与Vega 的关系。

当距离到期时间比较长，标的资产的波动率发生变动，标的资产价格会有充分的时间发生改变，从而影响期权价格，因此距离到期时间越长Vega越大。当临近到期，即使波动率变大，也无足够时间让标的资产价格发生变化，因此当接近到期时Vega 值会迅速减少。实值、虚值和平值期权的Vega与到期时间的关系见图7-11 。

(三) Vega (v)对冲

如同对冲Gamma 风险一样，要改变资产组合的Vega ，必须使用那些Vega 不等于零的工具，比如期权。当调整期权头寸使资产组合处于Vega 中性状态时，新期权头寸会同时改变资产组合的Gamma 值与Delta 值。因此，若套期保值者要使Delta 中性的资产组合同时达到Gamma 中性和Vega 中性，至少要使用同一标的资产的两种期权。

同样的，一个Gamma 中性的资产组合一般不会是Vega 中性，反之亦然。投资者要想使一个资产组合同时达到Gamma 和Vega 中性，就必须引入与标的资产有关的两种不同衍生产品才能达到目的。

【例7-9】例7 -6 中，资产组合的Delta 中性， Gamma 为-10 000 ，如果Vega 为- 16000 。表7-2 所列的期权可以用来交易。构建Vega 中性、Delta 中性和Gamma 均为中性的组合。

购买8000 份期权1 会使组合头寸的Vega 中性，但同时会使Delta 增至4800 , Gamma 从- 10 000 变为- 1 000。

为了保证资产组合的Gamma 中性同时Vega 也中性，可以通过下列组合实现:

-10000 +0.5W₁+0.8W₂ =0

- 16000 + 2.0 W₁ + 1.2 W₂ = 0

解得W₁ = 800 , W₂ = 12000 ，即在组合中加入800 份期权1和12000 份期权2 ，可使组合的Gαmmα 和Vega 均中性，此时组合的Delta 为6480 。卖出6480 份标的资产，可使组合的Delta 仍然保持中性。

六、期权的Rho

( 一) Rho 的含义和计算

期权或资产组合的Rho 为期权或资产组合价值变化与利率变化的比率。

Rho 用于衡量当其他变量保持不变时，资产组合价值对于利率变化的敏感性。对于无股息股票的欧式看涨期权和看跌期权，Rho 由以下公式给出:

【例7-10】对例7-2 给出的看涨期权的数据，计算Rho 值。

期权相关数据: K =2.5 元， T-t =0.1014 年， r=4% , N(d₂ ) =0.297

Rho=K(T-t)e^{r(T-t )} N(d₁) =2.5 x 0.1014 x e^{0.04x 0.1014}X 0.297 = 0.0756

对应的看跌期权的Rho 值为:

Rho = - K( T-t) e^r(T-t) N( - d₂) = - 2.5 x 0.x1014 x^{e0.04x 0.1014} X (1-0.297)

       = -0.1789

计算结果表明，当利率增加1% 时，看涨期权价格相应增加0.0756%(1% x 0.0756); 看跌期权的价格下跌0.1789% 。

Rho 的计算是在假设利率变化而其他变量保持不变时，期权价格的改变。当利率改变时，如果标的资产价格发生较大变动，所得到的Rho 的前提与实际情况有较大出入，因此，与其他风险指标相比， Rho 的应用价值稍差。

构造以上风险指标的中性组合，开始时，期权或资产组合的一个或者几个风险变量是中性的，随着标的资产价格的变化，或期权剩余期权的缩短、利率及波动率的影响等，会改变指标的中性状况。即使能够使Delta 、Gamma、Vega 、Tbeta 、Rho 都达到中性状态，也只能是某一时刻的中性，其针对的只是价格发生微小变化的情况。当价格发生剧烈变动时，这些变量并不适用，或要进行动态调整。