第二节 二叉树定价模型
Black - Scholes 期权定价模型虽然有许多优点，但是它的推导过程复杂，要理解该模型的推导结果必须有一定的数学功底，且假设条件过多，特别是不适用于对美式期权进行定价。所以， Black - Scholes 期权定价模型问世后不久，罗斯(S. A. Ross) 便开始研究标的资产价格服从非正态分布的期权定价模型。1976 年，罗斯和约翰·考科斯(J. C. Cox) 在《金融经济学杂志》上发表论文《基于另类随机过程的期权定价》，提出了风险中性定价理论。
1979 年，罗斯、考科斯和马克·鲁宾斯坦( Mark Rubinstein ) 在《金融经济学杂志》上发表论文《期权定价:一种简化的方法》，提出了一种简单的对离散时间的期权定价方法，被称为Cox - Ross - Rubinstein 二项式期权定价模型，也称为二叉树期权定价模型。
二叉树期权定价模型和Black - Scholes 期权定价模型，是相互补充的。二叉树期权定价模型推导比较简单，更适合说明期权定价的基本概念。二叉树期权定价模型建立在一个基本假设基础上，即在给定的时间间隔内，证券的价格运动有两个可能的方向:上涨或者下跌。虽然这一假设非常简单，但由于可以把一个给定的时间段细分为更小的时间单位，因而二叉树期权定价模型适用于处理更为复杂的期权。
随着要考虑的价格变动数目的增加，二叉树期权定价模型的分布函数就越来越趋向于正态分布，和Black - Scholes 期权定价模型相一致。二叉树期权定价模型主要用于计算美式期权的价值，其优点是简化了期权定价的计算，简单直观，不需要太多的数学知识就可以应用。
一、风险中性定价理论
风险中性定价原理是指在对资产进行定价时，资产的风险与其价格无关，或定价过程中不考虑资产的风险。
[例5-3] 某股票当前的市场价格为100 元，根据该股票的风险特征，其必要收益率为10% ，如果市场上的元风险利率为5% ，则1 年后到期的远期股票价格应该是110 元还是105 元?
如果1 年后到期的股票的远期价格为110 元，交易中以无风险利率借入资金100元，买入该股票，同时按110 元卖出该股票1 年后到期的远期合约。
1 年后，无论股票价格涨跌，该交易者均可将持有的股票按110 元卖给远期买入者，然后将105 元归还资金贷出方，此策略可使交易者获得5 元的无风险套利收益。所以，该股票远期价格应该等于105 元而不是110 元。即资产的远期价格应该按无风险利率确定而不是按预期收益确定。
因此，任何资产的远期价格应该等于该资产的现值按无风险收益进行投资的终值，或任何资产的现值等于该资产的远期价格按无风险利率贴现的现值。
即期价格和远期价格所涉及的资金成本或贴现率与资产风险无关，且标的资产未来上涨和下跌的概率由无风险利率决定，此结论即为风险中性定价原理。
二、二叉树定价模型的假设和适应情形
二叉树期权定价模型假设标的资产价格波动只有两个方向，即向上或向下，且假设在整个考察期内，标的资产价格每次向上(或向下)波动的概率和幅度不变。
二叉树模型将考察的存续期分为若干阶段，根据标的资产价格的历史波动率模拟出标的资产价格在整个存续期内所有可能的变化路径，按照标的资产价格与执行价格的关系得出每一路径上的每一节点的期权价格，最后根据概率和贴现率计算出期权的价格。对于美式期权，由于可以提前行权，每一节点上期权的理论价格应为期权行权收益和用贴现法计算出的期权价格两者较大者。
基于风险中性定价原理，二叉树模型可以对标的资产远期价格进行预期，且可以对价格变动为离散型的欧式期权、美式期权进行定价。
三、利用二叉树模型对欧式期权进行定价
(一) 标的资产不支付收益的欧式期权的价格
1. 欧式看涨期权的价格
(1) 利用二叉树模型的基本方法确定看涨期权的价格。在当前t 时刻，标的资产的价格为S ， 经过时间( T-t) 后，价格或上升至孔，或下跌至孔，如图5-1 所示。假设无风险利率为r ，求T 时期到期、行权价格为K 的该标的资产看涨期权的价格以及上涨概率p 。
该标的资产看涨期权的现价为C ，当标的资产价格为Stt 或Sd 时，看涨期权的价格或上涨至Cu，或下跌至Cd ， 期权价格关系如图5 -2 所示。
其中u 和d 称为上涨和下跌因子，或称上升系数和下跌系数， u 和d 分别为:
(T - t) 时间后的远期价格应该等于每一种远期价格可能的加权平均，即期价格等于远期价格按无风险利率进行贴现的现值:
整理式(5-6) ，可得无风险利率r ， 标的资产价格上涨的概率ρ 与上涨因子和下跌因子之间的关系:
根据式(5-7) ，可得标的资产在时间(T-t) 时上涨的概率ρ 和下跌的概率1 -p 的表达式:
通过公式(5-8) 和(5-9) 可见，标的资产价格上涨和下跌的概率取决于无风险利率和标的资产上涨和下跌因子，与资产的风险无关。
当标的资产价格上涨至Su 时，看涨期权的价格为Cu ;标的资产价格下跌至Sd 时，看涨期权的价格为Cd 。
看涨期权在( T-t) 时的价格应该等于Cu 和Cd 的加权平均，看涨期权当前的价格等于( T-t) 时的远期价格按无风险利率进行贴现的现值，即:
如果无风险利率为连续复利，看涨期权的价格为:
[例5 -4] T 为0 时刻股票价格为10 元， T 为1 时刻股票价格上涨至12元的概率为70% ，下跌至7 元的概率为30% 。假设无风险年利率为4 %( 非连续复利) ， 计算T 为0 时刻、执行价格为10 元的该标的股票的欧式看涨期权的价格。
由题中条件可知， 股票在1年后有两种可能的结果一一12 元和7 元。当股票价格等于12 元时， 看涨期权的价格应该等于2 元;当股票价格等于7 元时， 看涨期权的价格应该等于0 。
上涨和下跌因子u 和d 分别为1.2 和0.7 ， 题中虽然给定了上涨和下跌的概率，但应根据元风险利率和上涨及下跌因子重新计算。
该标的欧式看涨期权当前的价格C = 0.68 x 2/1.04 = 1.31 (元)
标的资产不支付收益的美式看涨期权的价格等于欧式看涨期权的价格。
(2) 使用复制策略确定看涨期权的价格。某交易者拥有资金C ，考虑以下两种策略:
策略A: 购买一张价格等于C 的看涨期权， 初始持仓头寸为C；
策略B: 借入成本为r 的无风险资产L ， 和自有资金C 一并用于购买△份价格等于S 的标的资产，初始持仓头寸为L+ △S。
如果定价合理，策略A 和策略B 的价值应该相等，看涨期权的价格为:
在(T-t) 时期权到期，标的资产价格上涨至Su 或下跌至Sd 看涨期权的价格将上涨至Cu 或下跌至Cd ， 公式(5 - 1 )为:
将△和L 值带入式(5-12) ，即可得到看涨期权的价格。
【例5 -5】使用复制策略计算例5 -4 中看涨期权的价格。
两种方法所得结果相同。
计算结果中△ 大于0 ， L 小于0 ，表明策略B 中，资金为空头，即借入资金，标的资产为多头。
2. 欧式看跌期权的价格
( 1 ) 利用二叉树模型的基本方法确定看跌期权的价格。当标的资产的价格上涨至Su和下跌至Sd 时，看跌期权的价格分别为Pu和Pd， 如图5-3 所示。
式中上涨和下跌的概率ρ 和1 -ρ 的计算与看涨期权相同。
如果无风险利率为连续复利形式，看跌期权的价格为:
【例5-6】假设一年期无风险利率为3% ，某公司股票的当前价格S= 8元，一年后其价格有两种可能的结果: 上涨至12 元，或下跌至6 元，计算执行价格为10 元的该标的欧式看跌期权的价格。
根据以上条件， u = 12/8 = 1.5 , d = 6/8 = 0.75 ;当S 分别为12 元和6元时，看跌期权价格分别为0 和4 元。
(2) 使用复制策略确定看跌期权的价格。某交易者拥有资金P ， 考虑以下两种策略:
策略A: 购买一张价格等于P 的看跌期权，初始持仓头寸为P;
策略B: 卖空A 份价格等于S 的标的资产，将所得资金和自有资金P 进行无风险投资，得到无风险资产L ， 策略B 的初始持仓头寸为L + △S 。
如果定价合理，策略A 和策略B 的价值应该相等，看跌期权的价格为:
在(T - t) 时期权到期，标的资产价格上涨至Su或下跌至Sd，看跌期权的价格将下跌至Pu或上涨至Pd，式(5-17) 为:
将△ 和L 值带入式(5-17) ，即可得到看跌期权的价格。
【例5 -7】使用复制策略计算例5-6 中看跌期权的价格。
两种方法所得结果相同。
计算结果中△小于0 ， L 大于0 ，表明策略B 中，无风险资产L 为多头，标的资产为空头。
3. 上涨和下跌因子u 和d 的估计方法。如果标的资产按年计算的方差为σ2， (T-t) 时间段的方差为(T-t) σ2 ，标准差为σ ( T-t) 0.5 ，则上涨和下跌因子u 和d 分别为:
u=1+ σ. (T - t) 0.5
d=1-σ . (T - t) 0.5
当波动率为连续复利的形式时，上涨和下跌的因子的表达式如下:
[例5 -8] 某股票当前价格为20 元，以复利测算的该股票历史年波动率为20% ，连续复利的年无风险利率为5% ，请用二叉树模型计算6 个月后到期、执行价格为20 元的该股票的欧式看涨和看跌期权的价格(该股票在期权剩余期限内不支付股息)。
根据以上条件，该股票的上涨和下跌因子分别为:
标的资产6 个月以后的价格Su和Sd 分别为:
或采用复制策略:
如果标的资产收益率服从正态分布，假设置信度为95% ，置信水平，也称为显著水平为1-95%= 0.05 , Z0.05/2 对应的正态分布值为1.96 ， 则标的资产价格上下限的因子u 和d 分别为:
(二) 标的资产支付收益的欧式期权的价格
1. 欧式看涨期权的价格。
( 1 ) 利用二叉树模型的基本方法确定看涨期权的价格。当标的资产以连续复利的形式支付收益率q ， 且无风险资产的收益也以连续复利方式支付，资产价格的增长率和即期价格的贴现率为r - q。1 单位资产的即期价格和远期价格的关系如下:
标的资产上涨和下跌概率p 和1-ρ 分别为:
如果标的资产以非连续复利的方式支付收益，收益率为q ， 且无风险资产的收益也为非连续复利方式支付，看涨期权的定价公式如下:
(2) 使用复制策略确定看涨期权的价格。由式(5-12) 可知，看涨期权的价格C=L+△S ， 当标的资产以连续复利方式支付收益，收益率为q ，期权到期日才，标的资产价格上涨至Su 或下跌至Sd看涨期权的价格分别为:
将△ 和L 带入公式(5-12) ，即可得到标的资产以连续复利方式支付收益的看涨期权价格。
2. 欧式看跌期权的价格
(1) 利用二叉树模型基本方法确定看跌期权价格。当标的资产以连续复利的形式支付收益率q ， 且无风险资产的收益也为连续复利方式支付时，资产价格的增长率和即期价格的贴现率为r-q 。标的资产上涨和下跌的概率由公式(5-18) 和(5-19) 确定，看跌期权的价格为:
如果标的资产以非连续复利的方式支付收益，收益率为q ， 且无风险资产的收益也为非连续复利方式支付，看跌期权的定价公式如下:
(2) 使用复制策略确定看跌期权的价格。由公式(5 - 17) 可知， 看跌期权的价格P=L+△S ， 当标的资产以连续复利方式支付收益时，收益率为q ，期权到期日才，标的资产价格上涨至Su或下跌至Sd，看跌期权的价格分别为:
将△ 和L 带入公式(5-17) ，即可得到标的资产以连续复利方式支付收益的看跌期权的价格。
四、资产价格的树型结构
以上得出的欧式期权定价模型，是基于比较简单的树结构，即时间段无论长短，如1 年或半年，均按一期考虑。树结构只有一层，而现实情况可将时间按一期考虑，也可将时间分为多期，如将1 年分为4 期或12 期，每期称为一个步进。时间间隔越短、步进数越多，对未来节点价格的预期准确性也越高。
在二叉树定价模型假设的基础上，增加假设:在整个考察期内，标的资产价格每次向上(或向下)波动的概率和幅度不变，即各步进的概率ρ 和上涨及下跌因子是相等的。
首先计算上涨和下跌因子u 和d ， 以及上涨和下跌的概率p 和1 -ρ ，然后计算最后节点上标的资产价格和对应期权价格，根据后面各节点上期权价格推出前面节点期权价格，最后得到期权现值，即期权价格。
[例5 -9] 按两步进计算例5-8 中看涨和看跌期权的价格。
期权的剩余期限为6 个月，如果分两步进计算，每个步进涵盖3 个月的时间，树结构参见图5-4 。
首先计算股票每个步进(3 个月)的上涨和下跌因子以及各节点股票的价格:
在以上数据的基础上，先计算最后一个步进期权的价格，然后逐级计算，最终计算出起点期权的价格，即期权的现价。
对于执行价格等于20 元的看涨期权，期权到期时，标的资产价格为Su1u2、Su1d2、Sd1u2和Sd1d2时，期权的价格分别为4.42 、0 、0 、0 。
第一步进看涨期权的价格 Cu1=p× Cu1u2/er×3×12=2.25
Cd1=0
C=ρ × Cu1/er×3×12=1.24
对于执行价格等于20 元的看跌期权，期权到期时，标的资产价格为Su1u2、Su1d2、Sd1u2和Sd1d2时，期权的价格分别为0 、0 、0 、3.63 。
第二步进看涨期权的价格Pd1 =(1-ρ) x Pd1d2/ er×3×12=2.25
Pu1 =0
P = (1-ρ) x Pd1/ er×3×12= 0.76
分两步进计算的看涨和看跌期权的价格，比例5-15 用一个步进计算的看涨和看跌期权的价格低。
五、利用二叉树模型对美式期极进行定价
在标的资产不支付收益情况下，美式看涨船权不应该提前行权，美式看涨期权的价格与欧式看涨期权的价格应该相等，因此标的资产不支付收益的美式看涨期权定价可由公式(5-1 )得出。
美式看跌期极和标的资产支付收益的美式看涨期权均有可能被提前执行，美式期权的价格与欧式期权的价格可能不相等，以上情形下使用二叉树模型对美式期权进行定价，对行权和不行权分别进行考虑。
【例5 -10】 某股票当前价格为100 元，该股票历史年波动率经测算为20% ，年无风险利率是5% ，该股票元股息，请用二叉树模型对6 个月以后到期(按两步进考虑)、执行价格为102 元的该股票的美式看跌期权进行定价(以复利计算) 。
上涨和下跌因子u 和d 分别为:
期权到期时对应标的资产价格为Su1u2、Su1d2、Sd1d2，执行价格为102 元的看跌期权的价格分别为Pu1u2=0、Pu1d2=Pd1u2=102 -100 =2 (元)、Pd1d2=102 -81.87 =20.13 (元)，然后向前计算各节点期权的价格。
然后比较在第一层和第二层各节点上行权，还是继续持有期权，哪种策略更为有利，按有利的情形确定期权价格。标的资产价格、对应和计算的期权价格以及行权和持有期权等的比较见表5 -1 。
表中P 的计算:
表中可见，在第二层各节点上，当标的资产价格为110.52 元时，交易者的行权收益为0 ，而此节点计算出的期权价格为0.91 元，所以该节点上的价格取0.91 元;当标的资产为90.48 元时，行权收益为11.52 元(102 -90.48) ，而此节点计算的期权价格为10.25 元，所以该节点上价格取11.52元，看跌期权各节点的价格如图5-5 所示。
六、其他期权定价模型
(一) 三叉树期权定价模型
二叉树期权定价模型假设标的资产价格波动只有两个方向，即向上或向下; 而三叉树期权定价模型假设标的资产价格波动方向有三个，即向上、向下和水平，如图5-6 所示。
在使用二叉树模型对期权定价时，为提高计算精确度，往往需要尽可能减小每个步进的时间跨度，这样步进的数量就会相应增加。如果步进数量很多，则通常需利用计算机编程。随着每个步进时间跨度的不断减小和步进数量的不断增多，计算量将呈指数级增长，相应的计算速度将越来越慢。B. Kamrad 、P. P. Boyal 和Y. Tian 等各自独立地研究了风险中性条件下的三叉树模型方法，其和二叉树模型的根本区别在于假定每个步进下标的资产价格有三种可能变化状态。在步进数量相同的情况下， 三叉树模型所能产生的标的资产可能的价格数量要比二叉树模型多得多，因此计算的复杂程度更高，但结果的准确度也应该相应提高。
(二) 非参数定价方法
Black - Scholes 期权定价模型的应用基础是标的资产价格变化服从几何布朗运动(对数正态分布) ，继而导出期权定价公式。非参数定价方法指的是标的资产价格(或标的指数)未来随时间的演化并不受任何分布函数形式限制，而是利用数学上的数据匹配密度函数方法构造它的非参数估计，进而计算期权的均衡价格。以股指期权为例，首先根据股票价格指数的历史走势利用数学方法构造它的非参数估计，之后在此基础上计算以该股票价格指数为标的的指数期权均衡价格。
（三 )有限元方法
由于期权价格与标的资产价格与时间有关，公式(5-5) 给出了期权价格或衍生资产的价格所满足的微分方程。有限元方法是一种微分方程的数值解法，在将整个时间区间分成大量小时间段以后在每个小时间段内用微分方法一步一步得到数值结果。在期权的具体条件给定，即微分方程式(5-5)的边界条件给定以后，通过有限元方法可以在数值上得到期权价格随标的资产价格的时间演化过程。因此，有限元方法和二叉树模型对于美式期权定价一样特别有效。