第三节  看涨期权和看跌期权的价格关系

一、欧式看涨期权和看跌期权的平价关系

（一）标的资产不支付收益的情形

分析以下组合：

组合A：执行价格为K、标的资产为一张股指期货合约的欧式看跌期权多头和一张价值为S₀的标的股指期货合约。

组合B：一张执行价格、到期时间和标的资产与看跌期权均相同的欧式看涨期权多头和金额为Ke^-r（T-t）的现金。

期权到期时，如果S_T≥K，看跌期权不被执行，组合A的价值为S_T；执行看涨期权，支付K得到标的股指期货交割结算价S_T，组合A的价值等于组合B的价值。

如果S_T<K，执行看跌期权，以执行价格将标的期货合约卖出，组合A的价值为K；放弃执行看涨期权，组合B的价值也为K。

由此可见，组合A的期末价值总是等于组合B的价值。

因此有：c+Ke^-r（T-t）=p+S₀或c-p=S₀-Ke^-r（T-t）

c=p+S₀-Ke^-r（T-t）

P=c+Ke^-r（T-t）-S₀                                                                                                  （3-11）

由于S₀-K<S₀-Ke^-r（T-t），所以c-P>S₀-K。对于平值期权，S₀-K=0。因此，标的资产不支付收益时，平值欧式看涨期权的价格应该高于看跌期权的价格。

公式（3-11）即为预期标的资产不支付收益时，具有相同执行价格和到期时间的欧式看涨和看跌期权的平价关系，或欧式看涨和看跌期权的价差关系。

根据公式（3-11）看涨与看跌期权平价关系，可以得到以下结论：

①一个看涨期权多头和一定数量（Ke^-r（T-t））的现金资产，等价于一个看跌期权多头和标的资产多头构成的组合；

②一个看涨期权多头和一个看跌期权空头构成的组合，等价于标的资产多头和一定数量的现金资产（空头）；

③一个看涨期权多头等价于一个看跌期权多头和标的资产多头以及一定数量现金资产（空头）构成的组合；

④一个看跌期权多头等价于一个看涨期权多头和标的资产空头以及一定数量的现金资产构成的组合。

如果看涨与看跌期权的价格关系与S₀-Ke^-r（T-t）不等价，则可根据以上等价关系构建套利策略。

【例3-8】利用例3-6、例3-7的计算结果，依据510050C1503M02500合约和510050P1503M02500合约的价格关系，设计套利策略。

S₀-Ke^-r（T-t）=-0.0959（元），或Ke^-r（T-t）-S₀=0.0959=P-C=0.0959（元），即看跌与看涨期权的理论价差为0.0959元。

该日以上两期权的价格分别为0.0294元和0.1345元。

P-C=0.1345-0.0294=0.1051（元）

看跌与看涨期权的实际价差大于理论价差，存在套利机会。

根据看涨与看跌期权平价关系，P-C=Ke^-r（T-t）-S₀，而市场实际情况是P-C>Ke^-r（T-t）-S₀，或P-C+S₀-Ke^-r（T-t）>0。所以，如果建仓时卖出看跌期权和标的资产，同时买进看涨期权，一定有大于Ke^-r（T-t）的现金流，将现金流以无风险利率投资，期权到期时，该组合的收益必然大于0，即通过构建以上策略可获得无风险收益。

即当P-C>Ke^-r（T-t）-S₀时，构建一个由看跌期权空头和标的资产空头、看涨期权多头和一定数量现金资产构成的组合，该组合在期权到期时可以获得元风险套利收益。

建仓时：卖空标的基金（不考虑卖空需缴纳的保证金和融券成本），每份基金得到2.394元，一张期权对应的基金规模为10000份，所以需卖空10000份及10000份的整数倍，本例用对应1份标的基金的期权进行分析；同时卖出看跌期权，得到0.1345元；买进看涨期权，支付0.0294元。卖出看跌期权有标的基金空头担保，不需要缴纳保证金。上海证券交易所目前只对看涨期权空头与标的基金多头的组合，即对卖出看涨期权备兑开仓的，不要求看涨期权空头缴纳保证金，而对看跌期权空头与标的基金空头构成的组合，对看跌期权空头仍要求缴纳保证金。

建仓时现金流入=2.394+0.1345-0.0294=2.4991（元）

而Ke^-r（T-t）=2.4899（元），将现金流2.4991元以4%的无风险利率投资37天至期权到期。

37天后，2015年3月25日期权到期，则：

现金投资的本利和=2.4991×e^-r（T-t）=2.5093（元）

由于建仓时现金资产2.4991大于Ke^-r（T-t），所以现金流到期本利和为2.5093元，大于执行价格，高出部分等于元风险套利收益，高出越多，该策略的无风险套利收益越高。

如果标的基金价格在2.5元以上，看跌期权作废，交易者执行看涨期板，行权以2.5元买进标的基金，将标的基金空头持仓平仓，资金剩余0.0093元。

如果标的基金价格低于2.5元，看涨期权作废，看跌期权空头被指定履约时，交易者以2.5元买进标的基金，并将持有的标的基金空头平仓，剩余资金0.0093元。

到4标的基金价格等于2.5元时，看涨期权和看跌期权均作废，交易者在市场上按2.5元买进标的基金将所持空头平仓，剩余资金0.0093元。

所以，在不投入任何资金的情况下，期权到期日才，无论标的基金价格涨跌，交易者均可获得0.0093元无风险套利收益。

【例3-9】利用例3-6的市场数据，分析510050C1503M02400合约和510050P1503M02400合约的价格关系，并与市场价格进行比较，如果存在套利机会，设计套利策略并与例3-8的套利结果进行比较。

S₀-Ke^-r（T-t）=0.00372（元），所以，理论上，C-P=0.00372（元）

当日两期权的价格分别为0.0659元和0.073元，C-P=-0.0071（元），由于看涨期权与看跌期权价差与理论不符，所以存在套利机会。

理论上，P-C=Ke^-r（T-t）-S₀=-0.00372（元），而市场情况是P-C=0.0071（元），P-C>Ke^-r（T-t）-S₀，所以构建的套利策略应该与例3-8相同。

卖空标的基金，获得2.394元；同时卖出看跌期权，获得0.073元；买进看涨期权，支付0.0659元。

现金流入=2.394+0.073-0.0695=2.3975（元）

现金流入大于Ke^-r（T-t）=2.3903元，将2.3975元初始资金以4%的元风险利率投资至期权到期日。

2015年3月25日期权到期时，现金资产=2.3975×e^-r（T-t）=2.4072元。由于建仓时现金资产大于Ke^-r（T-t），所以，现金的到期本利和2.4072元大于执行价格，高出部分即为该策略的元风险套利收益。

如果标的基金价格在2.4元以上，看跌期权作废，交易者执行看涨期权，行权以2.4元买进标的基金，将标的基金空头持仓平仓，资金剩余0.0072元。

如果标的基金价格低于2.4元，看涨期权作废，看跌期权空头被指定履约时，交易者以2.4元买进标的基金，并将持有的标的基金空头平仓，剩余资金0.0072元。

当标的基金的价格等于2.4元时，看涨期权和看跌期权均作废，交易者在市场上按2.4元买进标的基金将所持空头平仓，剩余资金0.0072元。

所以，在不投入任何资金的情况下，期权到期日才，无论标的基金价格涨跌，交易者均可获得0.0072元的无风险套利收益。

比较例3-8和例3-9的套利机会。如果看跌期权与看涨期权的实际价差与标的资产价格的和大于Ke^-r（T-t），无风险套利收益取决于建仓时剩余资金以无风险投资后的本利和与期权执行价格的差，与执行价格的差越大，元风险收益越高。

以上两例能够实施的假设条件是：第一，卖空标的基金不存在障碍；第二，卖空标的基金不需要缴纳保证金；第三，不考虑标的基金和期权买卖的交易费用；第四，能够以元风险利率为4%进行借贷。

在分析无风险套利机会时，必须考虑卖空标的资产所需缴纳保证金的融资戚本、交易费用，以及交易者的借贷成本。如果将以上情形考虑在内后仍存在套利机会，在允许卖空的情况下可通过以上策略构建套利组合。

由于股票价格指数期权的标的不能卖空，所以以上策略只适用于股指期货期权、单只股票期权和ETF期权。

【例3-10】利用例3-8的数据，除看涨期权的市场价格不同，假设3月25日期权到期时的价格为0.0394元，设计套利策略并分析损益结果。

看涨与看跌期权的理论价差P-C=Ke^-r（T-t）-S₀=O.0956（元）

市场价差P-C=0.1345-0.0394=0.0951（元）

实际价差小于理论价差，存在套利机会。

由于P-C+S⁰<Ke^-r（T-t），所以，套利策略的构建为：建仓时，买进标的基金和看跌期权，同时卖出看涨期权。标的基金多头对看涨期权空头形成担保，所以不用缴纳保证金。

现金流=-2.394-0.1345+0.0394=-2.4891（元）

因此，以无风险利率借入该笔资金。

期权到期日才，需归还借入的资金=2.4891×e^r（T-t）=2.4992（元）

由于借入资金2.4891元小于Ke^-r（T-t），所以，2.4891e^r（T-t）<k，执行价格与2.4992元的差即为套利收益。

如果标的基金价格在2.5元以上，看跌期权作废，看涨期权空头被指定履约，交易者将持有的基金以2.5元卖出，归还所借资金本利和2.4992元，剩余0.00079元。

如果标的基金价格低于2.5元，看涨期权作废，交易者执行看跌期权，以2.5元将所持标的基金卖出，归还所借资金本利和2.4992元，剩余0.00079元。

当标的基金的价格等于2.5元时，看涨期权和看跌期权均作废，交易者在市场上按2.5元将所持标的基金卖出，归还所借资金本利和2.4992元，剩余0.00079元。

所以，在不投入任何资金的情况下，期权到期时，无论标的基金价格涨跌，交易者均可获得0.00079元的无风险套利收益。

例3-10所构建的策略较例3-8和例3-9易于实施。但必须在考虑交易成本、保证金要求借入资金的实际成本的前提下构建套利策略。如果P-C+S₀<Ke^-r（T-t），便可构建该套利组合，不等式差值越大，套利收益越高。

该策略对单只股票期权、ETF期权和股指期货期权均适用，到期月份相同的股指期货合约和股票价格指数期权由于到期日和交割结算价相同，且采用现金交割，当看涨期权和看跌期权的理论价差与实际价差与例3-10情形相同时，也可以构建该套利策略赚取元风险收益。

（二）标的资产支付收益的情形

分析以下组合：

组合A：一手价值为N·S₀的股票和一张执行价格为K的该股票欧式看跌期权多头。

组合B：一张执行价格、到期时间和标的股票与组合A中看跌期权均相同的欧式看涨期权多头和金额为"N（D+Ke^-r（T-t））"的现金。

期权到期时，如果S_T≥K，看跌期权不被执行，组合A的价值为N（De^r（T-t）+S_T）；执行看涨期权，支付N·K得到一手股票，组合B的价值为N（De^r（T-t）+S_T），等于组合A的价值。

如果S_T<K，组合A的价值为N（De^r（T-t）+K），等于组合B的价值。

因此，组合A的价值总是等于组合B的价值。

所以有：c+D+Ke^-r（T-t）=p+S₀，或c-p=S₀-D-Ke^-r（T-t）                                                                      （3-12）

公式（3-12）即为标的资产支付收益时，具有相同执行价格和到期时间的欧式看涨和看跌期权的平价关系。

二、美式看涨和看跌期权的价格关系

（一）标的资产不支付收益的情形

根据公式（3-11），欧式看涨和看跌期权的平价关系为：c-p=S₀-Ke^-r（T-t），由于标的资产不支付收益时，美式看涨期权的价格等于欧式看涨期权的价格，而美式看跌期权的价格大于等于欧式看跌期权的价格，由此可得美式看涨和看跌期权价差上限：

C-P≤S₀-Ke^-r（T-t）                                                                                                                                       （3一13）

下面分析美式看涨期权与看跌期权价差的下限，考虑以下组合：

组合A：一张价值为50的股指期货合约和一张执行价格为K的该标的美式看跌期权多头。

组合B：一张执行价格、到期时间和标的资产与看跌期权均相同的欧式看涨期权多头和金额为K的现金。

首先，考虑不提前执行美式看跌期权的情形：

期权到期时，如果S_T≥K，看跌期权不被执行，组合A的价值为ST；执行看涨期权，支付K得到标的期货合约或股指期货结算价，组合B的价值为Ke^-r（T-t）-K+S_T，高于组合A的价值。

如果S_T<K，执行看跌期权，卖出标的股指期货合约得到执行价格，组合A的价值为K；看涨期权不被执行，组合B的价值为Ke^r（T-t），高于组合A的价值。

所以，期权到期时，组合B的价值总是大于组合A的价值，那么S₀+p<c+K，或S₀-k<c-p。

考虑美式看跌期权多头提前在时间t₁行权的情形，此情形下K必然大于S_t1。

当K>S_t1时，执行看跌期权，组合A的价值为K；此情形不会执行看涨期权，由于期权没有到期，所以看涨期权的价格会大于等于0。因此，t₁时刻组合B的价值为C+Ke^r（T-t）高于组合A的价值。

因此，无论美式期权是否提前行权，无论标的资产价格高低，组合B的价值总是大于组合A的价值，即：c+K>P+S₀，或c-P>S₀-K。

当标的资产不支付收益时，美式看涨期权多头不应该提前行权，美式看涨期权的价值和欧式看涨期权的价值应该相等，即C=c。

由此可得美式看涨和看跌期权价差下限：C-P>S₀-K                                                                                                                    （3-14）

综合考虑公式（3-13）和（3-14），可得美式看涨和看跌期权价差的上下限：

S₀-K<C-P≤S₀-Ke^-r（T-t）                                                                                                                                                                                    （3-15）

（二）标的资产支付收益的情形

分析以下组合：

组合A：一手价值为N·S₀的股票和一张执行价格为K的该股票美式看跌期权多头。

组合B：一张执行价格、到期时间和标的股票与组合A中看跌期权均相同的欧式看涨期权多头和金额为N（D+K）的现金。

首先，分析期权多头不提前行权的情形，期权到期时：

如果S_T≥K，看跌期权不被执行，组合A的价值为N（De^r（T-t）+S_T）；执行看涨期权，支付N·K得到一手股票，组合8的价值为N（Ke^r（T-t）-K+De^r（T-t）+S_T），高于组合A的价值。

如果S_T<K，执行看跌期权，组合A的价值为N（K+De^r（T-t））；看涨期权不会被执行，组合B的价值为N（K+D）e^r（T-t），组合B的价值高于组合A的价值。

如果在时间t₁提前执行美式看跌期权，此种情形下，必然有S_t1<K。

当执行看跌期权时，组合A的价值为N·K或N（K+De^r（T-t）；看涨期权不会被执行，但由于尚未到期，所以看涨期权的价格会大于等于0。组合B的价值为N[c+（K+D）e^r（t1-t）]，组合B的价值大于等于组合A的价值。

以上分析表明，组合B的价值总是大于等于组合A的价值。

因此有：c+K+D≥P+S₀

由于美式看涨期权的价格总是大于等于欧式看涨期权的价格，所以用美式看涨期权的价格替代该式中欧式看涨期权的价格，该式也必然成立。

由此可得，美式看涨和看跌期权价差的下限：C-P≥S₀-K-D                                                                                                      （3-16）

根据公式（3-13），标的资产不支付收益的美式看涨和着跌期权价差上限为c-p≤S₀-Ke^-r（T-t），如果标的股票支付股息，可使看涨期权的价格降低、看跌期权的价格提高，所以，公式（3-13）也是标的资产支付收益的美式看涨和看跌期权价差上限的表达式。

因此，标的资产支付收益的美式看涨和看跌期权的价差上下限为：

S₀-K-D<C-P≤S₀-Ke^-r（T-t）                                                                                                                                                                                         （3-17）