附录一 布莱克一斯科尔斯期权定价公式
任何金融资产的公平价格是它的预期价值。例如，一只股票其价格达到40元的概率为30% ,价格达到50元的概率为70%，那么，此时的股票公平价格应该是;
(0.30×40)+ (0.70x50)=47 (元)
同样的原理也适用于期权。一种期权到期时的公平价格就是该期权可能获得的每一种价格乘以产生这种价格的概率，然后加总求得。在上述所举简例中，只有两个非连续的结果。但是，期权可能具有任意价格，所以就不能采用非连续概率分布面必须采用连续概率分布。在非连续分布条件下，某种特定结果的概率可以直接从分布高度估算得出。而在连续分布条件下，某一特定范围内的结果可以根据分布曲线以下的面积来确定，
由看涨期权的定义可知，期权到期时的期望值为:
这两个问题的答案都可以从金融资产价格的对数正态分布中求出。图X.1与图X.2都同样是对数正态价格分布，但图X.1更突出了价格超过120时的分布特点。如果我们要对某种协定价格为120的期权定价，这种特点就值得注意。
图中阴影部分占整个图形面积的34%，所以最终价格超过120 的概率就是0.34。阴影部分的期望值为 137.894。如果连续复利率为12%，那么，协定价格为120 的期权的公平价格是:
实际上，这恰恰是布莱克——斯科尔斯模型所揭示的期权价值。
0.34和137.894 的数值是如何计算得出的?要推导出概率P的表达式相当容易，但是要求出
的期望表达式就相当困难。所以，在这里我们仅说明概率是如何计算出来的，但不说明如何推导出期望表达式;对后者，我们仅仅给出最终结果。将两个表达式合并整理即可求出布莱克——斯科尔斯模型本身。
要求期权到期时基础资产价格ST超过某种关键价格x的概率P,与求出同一时期中收益超过某种关键值rx的概率是同样的原理。 这一问题更容易解决，因为收益遵循正态分布，而正态分布要比对数正态分布更容易处理。回顾一下收益被定义为相对价格的对数，也就是说我们求解的概率P必须满足:
其中S0表示期权开始时的基础资产价格。
一般而言，正态分布变量x超过某种关键值xcm的概率由下式给出:
新变量r不仅仅是表达式
的一种方便而简练的符号表达，r实际上还是无风险连续复利率。人们可能会感到不解:无风险连续复利率是用于对风险性投资如期权进行估值，解答这一问题要取决于风险中立化理论。
风险中立化理论的基础在于将期权与一定比例的基础资产组合构造出无风险资产组合的可能性。事实上，这种方法是双向式期权定价模型的基础。无风险资产组合是指不管发生何种变化都会导致同样金融结果的资产组合,所以对未来的现金流加以贴现时应该采用无风险利率。对于这样一种资产组合，投资者的风险偏好就无关紧要，因为无论是由厌恶风险的投资者，还是由风险中立的投资者对这种资产进行估值，其结果都相同。鉴于风险中立投资者所采用的无风险利率在估算资产组合价值时比较容易，所以我们也采用无风险利率。
注意，风险中立化理论实际上并不意味着所有金融资产是以方程式(G)中隐含的无风险利率增长。风险中立化理论是说，无论我们是选择无风险利率还是选择某种高于无风险利率的利率，所求得的期权价格是相同的。如果选择较高的利率，则基础资产以较快的連率增长，但这种基础资产的期权所产生的收益也就必须以较高的利率进行贴现，结果这两种效应就互为抵消。
考察这一问题的另一角度是回顾一下期权价格的确定与基础资产价格成比例，将基础资产价格和期权协定价格翻倍，则期权价格也会增加一倍。如果基础资产价格的降低是由于厌恶风险的投资者在贴现未来现金流时应用了某一特定的高利率，那么期权的价格也会降低，因为它是按基础资产价格成比例变化而求出，但这仅仅是说应该如此。出于连贯起见，该投资者同样应以这种高利率对未来的期权收益现金流进行贴现。
现在，我们得到:
这就是著名的布莱克一斯科尔斯模型。这一简单公式使得计算看涨期权的公平价格成为可能。前面的推导已经证明这一表达式可用于估算期权的期望现值，但公式是以价格遵循对数正态分布的关键假设为基础的。
作为举例,图X.3和图X.4表示蒙特卡罗模拟的结果。金融资产的价格变化特点由计算机进行上万次的模拟，每一次模拟时，收益样本是从平均值为μ=10%和标准偏差σ=20%的正态分布中随机抽取。如果在某一次抽样试验中收益为p，那么在一段时间t之后的价格S1就可以由
给定，如果S,>x，则期权的现值就是
，否则就是0。
模拟总是从初始价格100开始，模拟试验产生的一年后的价格分布如图X.3所示。分布曲线的平均值等于112.75 ,标准偏差为22.77，与方程式( 10.7)所预计的非常接近，与图X.2所揭示的理论分布也极为相近。基础资产价格低于120的概率为0.66，与公式（J）所预计的理论数值0.66(1.00-0.34)相同。
期权价格的相应分布由图X.4表示。模拟表明期权到期时损价的概率是66%。余下的33%就是期权到期时溢价的概率，数值范围从零至110之间。这一广大分布的平均值是5. 40，恰好是利用方程( M)即布莱克一斯科尔斯(简称B- S)模型计算得出的价格。
由此可见，只要从收益为正态分布的假设出发，只须利用非常简单的代数方法，蒙特卡罗模拟就可求出期权的期望值，其结果与B-S模型求出的结果相同。