附录C 期权模型
布莱克一舒尔斯模型(Black-Scholes Model)
价值=pN(d1)一se-rtN (D2）
其中
式中 P—股票价格，
s—定约价;
t一所余时间，以年计；
r一现行无风险利率，通常是90天债券利率，
In—自然对数(natural logarithm) ；
N (d)—正态密度函数(normal density function);
v一波动率(年度化标准偏差)。
可以通过下面的多项式得出大致的正态密度函数。首先，计算出x, y和Z的价值。为了得出N (o):
x=1一z (1.330274y5-1.821256y4+1.781478y3一0.356538y2+0.3193815y)
然后N (o)=x如果o>0;或者N (o)=1一x如果o<0“希腊文”(Greeks)可以取这个模型公式的部分导数而计算出来。譬如:
其中，
二项式模型(Binomial Model)
许多人相信这个模型比布莱克一舒尔斯的模型更精确，因为它让使用模型的人能够规定他自己的价格分布。二项式模型要用到的计算比布莱克一舒尔斯的模型要多。不过，今天的电脑已经快到这种程度，已经不像从前那样再成为考虑的因素了。这个模型也被称为Cox-Ross-Rubinstein (C-R-R)二项式模型。
开始的时候，构建一个图C-1所显示那样的格阵。格阵的左侧代表了当前的股票价格。然后，用规定的概率来决定股票在格阵每一点王的价格。格阵的宽度代表了这个交易者从目前到到期日所要考虑的时间阶段(在实践中，可以使用50个时段来对一个期权进行评价)。
在这里举例的格阵里，股票假定只能有两种运动，在每一时段里，或者是上升20%，或者是下跌20%。此外，假定我们只考虑3个时段;在这个简单的例子里，在3个时段之后，股票一定是在172.8, 115.2, 76氏或者51.2。请注意，向上的每节是前一节的1.2倍，向下的每节是前一节的0.8倍。
到这个过程结束的时候，在这个格阵右面期权的价值相当容易决定。例如，如果我们想要对一个在这3个阶段后到期的、定约价为100的看涨期权作评价，那么我们可以看出，期权在到期时有如表C-1的价值。
现在，我们也想知道这些运动出现的概率有多大。C-R-R模型给了我们下面的公式来决定这一点:
P=(R一d）/（u一d）
式中 P—出现一个向上运动的概率;
R—erl
r一无风险利率;
t—到期前所剩下的年数;
u—一个向上运动的幅度;
a— 一个向下运动的幅度。
在我们简单的例子里，一个向上运动的幅度，u，是1.2 (20%的增长)，一个向下运动的幅度是0.8 (20%的减值)。此外，为了简单起见，假定R = 1.04。于是，我们可以计算出:
P=(1.04一0.8)/(1.2一0.8)=0.6
因此，P=0.60，所以有60%的机会这个股票在这个时段中会上升，当然，这就意味着它有40%的机会会下跌。这个股票上升的机会比下跌的大，其中有类似正态对数分布这样的东西存在。
图C-1总结了所有这些信息。在每一节上都显示了股票价格和它们每一个出现的概率(在括弧里的数字)。请注意，一个有两个输人量(一个从上面，一个从下面)的节点，它的概率等于前面节点概率的总和。
最后，我们可以使用这个信息来决定今天在最初节点上的看涨期权的价值。我们将到期时的内涵价值乘以在这一节点上的概率，对每一节点都进行这样的计算，再把它们加在一起。在这个例子里，这个看涨期权的价值(C)是
C=0.216 (172.80一100)+0.432 (115.20一100)+0.288 (0)+0.064 (0)
=15.72+6.57+0+0
=22.29
因此，这个3个时段的、定约价为100的看涨期权，当股票价格为100时，在这些假设之下，它的理论价值就是22.29 。
一般说来，C-R-R模型给了我们下面的公式，以决定一个看涨期权在任何一个节点上的价值。要做的只是知道这个看涨期权在后续节点上的价值。因此，在实际运用中，为了决定这个看涨期权在最初节点上的价值，我们从右面朝左面对这个格阵进行评价。
我们这样做的方法是使用C-R-R模型来决定理论看涨期权价值C:
式中 P— 一个向上运动的概率;
R—ert;
Cup—如果标的物向上运动“的话看涨期权的价值;
Cdown—如果标的物向下运动d的话看涨期权的价值。
如果我们从右向左对这个二项式进行评价的话，我们总是首先知道Cup和Cdown，因此，这个计算花不了多少时间。
于是，总结起来，我们首先使用对股票价格运动的假设，建立一个从左到右的格阵。然后，从右到左运作，使用刚才给出的公式，得出这个看涨期权自身的理论价值。
如果你想知道使用C-R-R模型的更多信息，你应当读一读约翰C.考克斯(John C. Cox)和马克·鲁宾斯坦(Mark Rubinstein)的((期权市场))( Options Markets, Prentice-Hall, 1985年版)。