风险计量指标:波动性

我们通常以标准差( standard deviation) 来衡量波动性( volatil ity) 。标准差衡量的是数据的离散程度。当回报离期望值(期望值通常是历史平均回报)越分散，标准差就越高。为了说明标准差到底是什么，我们假设回报呈正态分布①（正态分布的意思是，回报数据呈钟形分布，即离均值越近的区间数据更多,离均值越远，数据越少。在金融学的一系列计算里我们常常使用正态分布假设，原因是这更接近现实情况，同时还能大大简化我们对许多统计指标的计算(一个正态分布由两个值来定义:均值和标准差)。然而在现实中，很多市场和回报数据并不是正态分布，而是很多值都离均值很远。在这种情况下，采用正态分布假设就会低估数据离散的程度，从而导致对极端事件发生的可能性估计不足。一个经典的例子就是1987年10月19日的股票市场大崩盘。我们在第2章讨论过，如果采用正态分布假设的话这个大崩盘根本不可能发生。在这里我们是从理论上讨论正态分布以及依此对未来回报进行估计，而不是讨论正态分布假设是不是一个合理的假设。）。在此假设之下，问报数据应该有68% 的机会落在离均值正负一个标准差的区间内，有95% 的机会会落在离均值正负两个标准差的区间内。举例说.如果有两个基金经理，他们的平均投资回报都是15%( 即未来投资回报的期望值是15%). 但是标准差却大为不同， 一个是5%. 另一个是20% 。表4-1 比较了这两个基金经理的业绩情况。

虽然这两个基金经理的平均回报(即未来期望回报)都是15% ，但是B 经理的未来业绩不确定性更大。有95% 的可能性A 经理的年回报会在5% 到25% 的范围。因此，对于A 经理来讲，即便在最差的情况下(在95% 这个统计水平内)，其回报仍然很可能会大于+5% 。相反，相同的95% 概率范围却导致了B 经理的年回报可能会很高，达到55% 但也可能会巨亏，达到一25% 。在这个意义上，波动性高说明未来不确定性高，从而风险更高。通常，当投资者提到低风险基金的时候，他们指的是波动性较低(即年化标准差较低)的基金。

实质上，标准差描绘的是期望回报的不确定。这一点非常直观，标准差低就说明实际回报数据不会偏离期望回报值太远，而我们是用历史数据平均值来估计期望回报的。当然，这里隐含的假设是，过去回报是未来回报的最佳估计。相反，当标准差高的时候，这表明实际回报和期望回报之间会有巨大的差异和不确定性。同时，从某种意义上来说，标准差衡量的是未来回报平均偏离均值多少。对偏离均值越远的回报，它给予更高的权重，这个描述提供了我们对标准差的另一种直观阐释①（标准差的计算在任何数据表程序里都能找到。但是如果读者很想知道标准差是如何计算的，下面就是其计算的步骤。

(1)把过去回报(例如过去每个月的回报)——与平均回报相减。

(2)对上述的每一个差进行平方并加总。

(3)除以N-1,N是回报的个数。

(4)开平方。

(5)假设上面我们采用的是每月回报。那么把上面第4步计算出来的标准差乘以12的开平方以得到年化的标准差。在第2步我们对每一-一个差进行平方，其目的是让负数差和正数差对计算结果的影响方向一致。同时，也使得大的差异得到更高的权重。而第4步则对平方进行反向操作。标准差的公式可以表示为:

在这个公式里，凡是每个月t 的回报， M 是均值， N 是回报的个数。）。

值得注意的是，标准差只是衡量回报的波动性但是却未必反映了亏损的可能性。假设有一个基金，每个月都亏损1%。这个基金的标准差为0(因为回报没有波动)，但是却绝对会亏钱。①（这个古怪的例子是密尔特●巴尔( Milt Baehr)在我们多年前一次谈话中给出的，他是对冲基金Pertrac 的创始人。）

让我们看看标准差是如何用于测量未来回报的95%的可能性区间的。图4-1 画出了一个真实存在的基金的净资产价值(NAV)，我们把这个基金叫X基金。虽然X基金有着很高的波动性，即10%月标准差，年化35%，但是由于12个月回报均值达到79%，这个高波动性便不成问题了。同时，X基金的业绩一直都很强劲，它在超过70%的月份都是盈利的，只有2个月亏损超过4%，同时最大跌幅(即股票峰值与低谷之差)也仅仅是15%，只持续了1个月。X基金的回报和标准差数据表明，有95%的概率任何12个月的回报都会在9%和149%之间，即[79%+/-(2X35%)]。虽然这个概率区间范围如此之大都是拜高波动性所赐，但是即使是在这个范围的底部，也说明有95% 的概率任何12 个月的回报至少是9% 。

图4-2 里面我们加多了一个月的数据。因为这一个月的额外数据，最近12 个月的回报均值从89% 下降到了-66% !这个-66% 的回报远远低于我们刚才说的以95% 的概率以及标准差推导出的区间底部，即9% 。那么到底发生了什么事?为何用标准差计算出来的区间底部无法正确计量现实低值？