第8章 非理性的至上法则

卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）于1855年逝世，享年78岁。在生命的最后27年里，他只有一次离开了他在格丁根（Gottingen）的家。实际上，因为他讨厌旅行，他拒绝了许多欧洲著名大学授予他的教授头衔和许多荣誉。

和许多生活在他之前和之后的数学家一样，高斯在孩童时代就是一个天才——他的父亲对此并不高兴，而他的母亲却十分引以为豪。高斯的父亲是一个粗俗的劳工，根本不欣赏儿子智力上的早熟，更没有为高斯创造一个良好的成长环境，反而还使生活更加困苦不堪。而他的母亲总是设法保护他，并且鼓励他进步；高斯在他母亲的有生之年一直保持着对母亲深深的挚爱。

高斯的传记作者列举了高斯的许多平凡故事，但这些故事可以说都是数学的奇迹，在那个年代，大多数人连24除以12都计算不出来。高斯在数字方面的记忆力十分惊人，他能记住整个对数表格，这样便于他时刻使用。在他18岁的时候，他发现了十七边的几何图形；而这种发现在2 000年前伟大的希腊数学家的时代之后再也没有人进行过。他的博士论文《有关每个单变量有理整数函数都可以分解为一阶或二阶因子的新证明》被数学家们认为是代数学的基本理论。这个概念不是新的，但是这个证明却是新的。

高斯作为数学家的声望使他成为世界级的杰出人物。1807年，当法国军队逼近格丁根时，拿破仑命令他的军队不要毁坏这座城市，因为“史上最伟大的数学家居住在该城中”。这是拿破仑亲和的一面。但是，名望是一把双刃剑。当法国人受到胜利的刺激后，他们决定向德国人征收罚金，他们向高斯征收2 000法郎的罚金。这相当于今天5 000美元的购买力——这对于一个大学教授来说的确是一项重重的罚金。他的一位富有的朋友向他提供援手，但是高斯拒绝了。在高斯还未来得及第二次拒绝帮助时，一位法国著名的数学家替他支付了这笔罚金，这位数学家是皮埃尔·西蒙·德·拉普拉斯（Pierre Simon de Laplace）侯爵（1749—1827）。拉普拉斯宣布他做这件好事的原因是因为他认为比他小29岁的高斯是“世界上最伟大的数学家”，这个评价仅比拿破仑对高斯的评价低了一点点。后来，一位匿名的高斯钦佩者又送给他1 000法郎，用于对拉普拉斯的部分还款。

拉普拉斯是一位颇具色彩的人物，他值得我们暂时跑题来提一提他，我们将在第12章再次谈到他。

高斯当时的研究涉及了概率理论的一些领域，而拉普拉斯已经关注这些领域很多年了。和高斯一样，拉普拉斯在数学方面也是一个少年天才，并且对天文十分着迷。但是就如我们将看到的一样，他们俩的相似之处就到此为止了。拉普拉斯的教授生涯跨越法国革命时期、拿破仑时代和君主复辟时期。在那个时期，任何立志达到巅峰的人都需要有非同寻常的策略。拉普拉斯就是既有抱负又有灵活的策略，并最终达到巅峰的人。

1784年，国王任命拉普拉斯担任皇家火炮部队的检察官，这个职位有很高的薪水。但是当共和时期到来时，拉普拉斯立刻宣布他“极其憎恨皇家体制”。在拿破仑当政之后，他立刻宣布他强烈拥护新领袖，为此拿破仑任命他为内政部长，并授予他伯爵头衔。由于这个在法国最受尊敬的科学家的加盟，拿破仑年轻政府的受尊敬程度也得到了提高。但是由于拿破仑决定把拉普拉斯的职位交给他弟弟，所以仅仅6周之后，他解雇了拉普拉斯，并宣称：“他还不如一个只着眼于小事的平庸官员，而且他将吹毛求疵的风气带到了政务之中。”对于学者来说，离权力之位如此之近已经足够了。

后来，拉普拉斯得到了报仇的机会。他曾将其比较权威的著作《概率理论分析》一书的1812年版本献给“伟大的拿破仑”，但是在1814年的版本中，他删去了献辞。相反，他将政治风潮中的变化和他论文的课题联系到了一起，他写道：“梦想统治世界的帝国注定会失败的，精通概率积分的人可以以很高的概率预测出这一点。”路易十八夺权后，也重用拉普拉斯——他将拉普拉斯封为侯爵。

和拉普拉斯不同，高斯过着隐居的生活，甚至过于深居简出。他不愿发表他的大量重要的数学研究——这样导致许多其他数学家不得不重复进行他已完成的工作。而且，在他发表的著作中也只注重于结果，而不是他的方法论，这使得其他数学家不得不重新寻找他结论的得出方法。高斯的传记作者之一埃里克·坦普尔·贝尔（Eric Temple Bell）认为，如果高斯乐于交流的话，数学将比现在进步50年；“如果高斯笔记本中那些被埋藏了几年甚至几十年的东西能及时发表的话，那么至少能打造出半打伟大的著作”。

名望和深居简出使得高斯成为一个无药可救的自傲的知识分子。虽然他的主要成就体现在数字理论上，而且费马对此也十分着迷，但是他并没有利用费马的前瞻性工作。他没有采纳费马的“最后定理”，而100年来这个定理对数学家们来说是一项有趣的挑战。高斯说：“我对孤立的命题不感兴趣，因为我可以轻易地列举大量这样的命题，它们既不会被证明，也不会被推翻。”

这并不是空洞的吹嘘。1801年，24岁的高斯已经发表了《算术研究》（Disquisi-tiones Arithmeticae）一书，这本书以优美的拉丁文写就，它是数字理论领域中的一本具有开创性、历史性的伟大著作。这本书中的很多内容对非数学家的读者来说是很难理解的，但是他所写的东西对他自己来说就是美妙的音乐。他发现数字理论具有“神奇的魅力”，他陶醉于发现，然后证明数字间关系的普遍性。例如：

或者，就总体来说，前n个奇数之和等于n2。这样前100个奇数之和，从1～199，等于1002，也就是10 000；那么从1～999的间的奇数之和等于250 000。

不过高斯也的确有一些行动显示了他的理论研究工作具有重要的应用意义。1800年，一位意大利的天文学家发现了一颗新的行星——从技术上讲是一颗小行星——他将其命名为谷神星（Ceres）。一年后，高斯着手计算它的运行轨道。高斯已经计算出了月历表，人们可以通过这个表格计算出任何一年复活节的日期。高斯的主要动力是想赢得公众的声望，而且高斯也想象那些著名的数学前辈一样——从托勒密到伽利略、牛顿——进行天体力学方面的研究，并且他希望在天文学方面的研究能够超越他的同辈和赞助人——拉普拉斯。无论如何，由于缺少相关数据和谷神星环绕太阳运行的速度，计算谷神星运行轨道这个特别的问题本身就十分令人着迷。

在经过狂热般的计算之后，他得出了极其准确地答案，他能在任何时候准确预测出谷神星所在的位置。在计算过程中，他充分掌握了天体力学方面的计算技巧，他仅需1～2个小时的时间就能准确计算出彗星运行的轨道，而这种计算，其他的科学家需要3～4天的时间。

高斯对他在天文学方面的成就尤感自豪，他认为他正踏着他自己的英雄牛顿的步伐前进着。由于他对牛顿的发现极为崇拜，所以他对关于牛顿发现万有引力定律的灵感来源于砸在头上的苹果的说法极为气愤。高斯对这个传说的评价如下：

无聊！一个愚蠢而又爱多管闲事的人曾经问牛顿是如何发现万有引力定律的。牛顿发现他面对的是一个低智商的人，并且想摆脱那个人的纠缠，于是牛顿回答说是砸到头上的苹果给了自己灵感。这个人恍然大悟，满意地离开了。

高斯总体上对人类抱有悲观的观点，他反对广泛流行的民族主义情绪和对战争的称颂，并且他将战争视为“不可思议的疯狂”。他厌世的生活态度大概就是他长期待在家中的原因。

高斯对风险管理没有特别的兴趣，但是他对概率、大数问题和抽样调查中所引发的技术问题很感兴趣。抽样调查是由雅各布·伯努利首先研究，并由穆瓦夫尔和贝叶斯进行深入发展的。虽然他缺乏对风险管理的兴趣，但是他在该领域所取得的成就却是现代风险控制管理理论的核心。

高斯对研究概率的最早尝试出现在一本名为《运动理论》（Theoria Motus）的书中，这本书是有关天体运动的，于1809年出版。在书中，高斯解释了如何根据诸多独立的在观察中频繁出现的轨迹来估计天体运行的轨道。1810年，拉普拉斯注意到了这本书，他对此书怀有极大的热情，并着手解释书中大部分高斯没有阐述清楚的内容。

高斯对概率论最有价值的贡献却来自于另一个与概率完全无关领域的研究成果，这个领域就是地线测量，利用地球的曲线率来提高地理测量的准确度。因为地球是圆的，所以地表上两点间的距离和直线上两点间的距离是不同的，其差异在几英里之内是无关紧要的，但是如果差异超过10英里以上就是比较重要的事情了。

1816年，高斯受邀指挥一次巴伐利亚州的大地测量，并将这一结果与由他人完成的丹麦和德国北部的测量结果结合在一起。这项任务对于像高斯这样墨守成规的学者来说并不是一件有趣的事情，因为他不得不在户外崎岖不平的山地中工作并试着和市政官员以及其他的他认为智商不如他的人沟通——这其中包括同辈的科学家们。最终，这项研究一直延续到1848年才结束，当结果发表时，足足有16卷之多。

由于我们不可能去测量地球的每一寸土地，所以大地测量是由根据所研究地区的样本距离所做出的估计值构成的。当高斯分析这些估计值的分布时，他发现它们具有很强的多样性，但是，随着估计值数目的增加，它们又好像群集在中心点的周围。这个中心点是所有观察者的均值——统计术语；观察值也在均值的两侧成对称的分布。高斯所选用的测量值越多，这个图像越清晰，并且越来越像穆瓦夫尔83年前所得到的钟形曲线。

风险和测量地球曲线率间的联系，比其所显现出来的要紧密得多。高斯日复一日地在巴伐利亚山脉周围进行一个又一个地质测量，他想借此估计出地球的曲线率，直到后来，他积累了大量的测量数据。这就像是我们借鉴过去的经验来判断事物将来向一个方向而不是另一个方向发展的概率一样，高斯必须考察由其观察值所形成的模型，并以此来判断地球的曲线率是如何影响巴伐利亚地区不同点间的距离的。通过观测观察值是如何分布在其均值周围，他能判断出他所观察结果的准确性。

高斯试图解决的问题就是我们在进行风险决策时所问问题的变异。平均来说，4月份的纽约将会出现多少场阵雨呢？如果我们去纽约进行一周的度假，那么我们不带雨衣而又不被雨淋的几率是多大呢？如果我们开车横穿美国，那么在3 000英里的路程中发生车祸的风险是多大呢？明年股市下跌超过10%的风险又有多大呢？

我们现在对高斯在回答这些问题时所形成的结构十分熟悉，我们很少会停下来想它是从哪来的。如果没有这个结构，我们不会有系统的方法并借此来决定是否承担某种风险，或是评估我们所面临的风险。我们不能判断手中信息的准确性，也无法预估事件出现的概率——例如下雨、85岁老人死亡的可能、股市下跌20%、俄国人在戴维斯杯比赛中的胜利、民主国会的产生、安全带的失效以及非法公司发现油井的可能等。

这个过程是从钟形曲线开始的，它主要的目的不是显示准确性而是显示错误。如果我们对所要测量的事物做出的估计都是正确的话，那么我们所进行的研究就结束了。如果人类、大象、兰花、刀嘴海雀和其同类都完全一样的话，那么地球上的生命将和今天所见的截然不同。但是生命是相似事物而不是相同事物的集合；没有一个个体能够作为一般性的完美例子。通过展示正态分布，钟形曲线将混乱变为有序。弗朗西斯·高尔顿（我们将在下一章中详细谈到他）曾这样描述正态分布：

“误差频率的法则”……在平静时，占统治地位，但是在极其混乱的场合下却完全丧失了自己。混乱的场合越大，更加完美的事物会摇摆不定。这就是非理性至上法则。当你掌握了大量混乱的样本……就可以证明在那里一直潜藏着一个确定的、完美的规律性法则。

我们中的大多数是在学校首次接触到钟形曲线的。老师们通常“根据曲线”来给试卷打分，而不是根据绝对的基础评分——这个是得A的试卷，那个是得C+的试卷。一般的学生会得到平均的分数，例如B-或C+或80%。稍差或稍好的学生所得的分数会对称分布在平均分数的两侧。即使所有的试卷都很优秀或都很糟糕，它们中最好的试卷将得A，最差的试卷将得D，而其他试卷的分数将在两者之间。

在许多自然现象中，如一群人的身高或他们中指的长度，都会呈正态分布形态。就像高尔顿指出的，要想让观察值正态分布或是对称分布在其均值的两侧，有两个条件是必需的：第一，要有尽可能多的观察值；第二，这些观察值彼此独立，就像掷骰子一样。无序总是在先，有序在后。

如果选取彼此不独立的样本数据，那么人们会犯下严重的错误。1936年，一本名为《文学摘要》（Literary Digest）的杂志（现在这个杂志已经不存在）进行了一次民意预测投票，对即将到来的富兰克林·罗斯福和艾尔弗雷德·兰登（Alfred Landon）之间总统选举的结果进行预测。该杂志以可回寄明信片的方式发放了一千万张选票，他们通过电话簿和汽车登记记录来选取寄送选票人员的名单。结果，有很高比例的选票被收回，其中59%的人看好兰登，而41%的人则认为罗斯福会赢。在选举日当天，兰登仅获得了39%的选票，而罗斯福却获得了61%的选票。原因在于在20世纪30年代拥有电话和汽车的人们不足以成为美国选民的随机样本数据——他们选举的偏好由他们所处的环境决定，而当时大多数人无法在这种环境中生活。

彼此间真正独立的观察值能为概率提供大量的有用信息。我们以掷骰子为例。一个骰子6个面中每个面出现的几率是相同的。如果我们画一幅图来显示在一次掷骰子中每面出现的概率，那么对每个面来说我们将得到一条在1/6处的直线。这个图形和正态曲线完全不同，而这一次投掷的样本所能告诉我们的是骰子每面上印有一个特定的数字，但是仅此而已。我们就和盲人摸象一样。

现在让我们连续掷6次骰子，然后看看发生了什么。（我利用电脑完成了6次投掷，但我能确保数字是随机的。）第一组6次抛掷骰子中，我们得到四个5，一个6和一个4，平均点数正好是5.0点。第二组抛掷的结果却是一个大杂烩：我们得到三个6，两个4和一个2，平均点数是4.7。到目前为止，我们仅得到这些信息。

在进行了10组这样的抛掷后，每组的均值开始聚集在3.5周围，而3.5恰好是1+2+3+4+5+6即骰子6个面数字的平均值——而这也正是掷两粒骰子的数学预期值的一半。我们所得的10组平均数中，有6个在3.5之下，4个在3.5之上。第二个10组的测试结果十分繁杂：有3个均值在3之下，4个在4之上；4.5之上和2.5之下各有一个。

实验的下一步是计算第一个10组抛掷中每组6掷的平均数。虽然10组中每组的分布都与众不同，但是这些均值的平均值是3.48！这个均值再次得到了确认，但是其标准差0.82，比我想要的要大。换言之，10组实验中有7组的均值在3.48+0.82和3.48-0.82之间，也就是4.30和2.66之间；而其余的离这个均值就很远了。

然后，我利用电脑模拟了256次这样的6掷实验。第一组256次的试验均值是3.49，几乎达到了目标值；标准偏差值也降到了0.69。有2/3的实验均值在4.18和2.80之间，仅有10%的实验均值在2.5之下或4.5之上，超过半数的均值在3.0和4.0之间。

电脑继续模拟该实验，又重复进行了10组256次的实验。这10组实验的结果平均后所得的总平均值为3.499。（我对结果保留了3位小数来说明它极其接近实际均值3.5。）但是最吸引人的变化是标准差降到仅仅0.044。这样，10组样本试验的均值中，有7个在3.455～3.543的窄幅区间内。并且，这10个均值中，有5个低于3.5，5个高于3.5。这几乎接近完美。

正如雅各布所发现的那样，数量是非常重要的。他关于这个观点的特别论述——平均值的均值可以神奇般地减少与总平均值间的离差——就是我们现在所称的中心极限定理。这个定理最早是由拉普拉斯在1809年的一本书中提出的，这本书完成并出版一年后，即1810年，他开始研读高斯的《运动理论》一书。

平均数的平均值所揭示的东西更有趣。我还是以刚才所描述的骰子实验开始。通常来说，在每次抛掷中，骰子6个面每面出现的几率是相同的，然而，这个分布的图形是扁平的，与正态分布的图形截然不同。随着计算机一遍又一遍地重复掷骰子的实验，我们积累了大量的样本数据，这样我们就能收集到越来越多有关骰子特性的信息了。

6次抛掷骰子所得数字的均值几乎不会接近1或6，它们大多数会在2和3之间或4和5之间。这个结构恰好是卡达诺在250年前，在他摸索概率法则时，为其赌友们所计算出来的东西。一个骰子抛掷多次所得数的均值是3.5。因此，多次抛掷两个骰子所得数的均值应为3.5的2倍，即7.0。正像卡达诺阐述的那样，在我们从7向其两侧的远端数字2和12移动的过程中，所经过数字出现的频率在逐步变小。

正态分布形态形成了绝大部分风险管理体系的核心。正态分布是保险业所研究的全部，因为芝加哥的火灾是不会由亚特兰大的火灾引起的，某时某地某个人的死亡和另一时刻另一地点另一个人的死亡是无关的。由于保险公司将不同性别不同年龄段的上百万人选作样本，预期寿命就会呈正态曲线分布。这样，人寿保险公司就能对不同群体得出可靠的预期寿命估计值。他们不仅能估计出平均预期寿命，而且还能估计出实际情况每年变动的范围。通过利用附加数据对这些估计值提炼后，这些保险公司能够计算出更加准确的平均寿命估计值，这些附加数据通常包括就医历史、吸烟习惯、住所情况、职业行为等。

有时，正态分布所提供的信息比仅仅作为样本数据可靠性的度量更为重要。当观察值彼此间相关时，也就是说一个事件发生的概率由其之前发生的事件所决定，那么虽然存在一定的可能性，但是绝大多数情况下正态分布是不可能出现的。在这种情况下，观察值不会在其均值周围呈对称分布。

这样的例子有利于我们进行反向推理。如果独立性是正态分布的必要条件，我们可以假设如果观察值能够呈正态分布，那么可以证明观察值之间是彼此独立的。现在我们开始问一些有趣的问题了。

股票价格的变化和正态分布到底有多相像呢？一些研究股市行为的权威人士坚持认为股票的价格是随机变化的——它们好像和漫无目的，毫无计划，举步蹒跚的醉鬼试图抓住街灯柱一样。他们认为股票价格和轮盘赌的轮盘以及一对骰子一样没有记忆性，并且每个观察值和其之前的观察值彼此独立。今天价格的变化就是它准备发生的值，和一分钟前、昨天、前天甚至大前天发生的价格无关。

判断股票价格是否真正彼此独立的最好方法是：观察其变化值是否呈正态分布。实际上，有足够有力的证据来证明股票价格的变化呈正态分布，这个结果并不令人吃惊。资本市场的流动性和竞争性和我们人类一样。在这个市场中，每个投资者都试图在智商上超越他人，新的信息很快就会反映在价格中。如果通用汽车公司公布了令人失望的收益报告，而默克公司宣布发明了一种新药，当投资者们思考这些消息时，股票的价格不会停滞不前。没有投资者能够容忍让他人先动手。因此他们往往是一起行动，这样通用汽车和默克公司的股票价格立刻会发生变化，并达到能反映这个新消息的水平。但是新的信息是以随机的方式出现的，因此股票价格的变化也是不可预测的。

支持这个观点的有趣证据是由20世纪50年代的哈里·罗伯特（Harry Roberts）提供的，罗伯特是芝加哥大学的教授。罗伯特教授通过电脑抽取了一系列随机数据，这些数据在股市价格变化时，具有相同的平均数和标准差。然后他做出一张图表用来显示这些随机数据的连续变化。这些结果形成的图形同股市分析家们所用来预测股市方向的图形完全相同。真实的价格运动和电脑抽取的随机数据是相同的。也许股票价格真的没有记忆性。

图8-1显示了标准普尔500指数的月、季、年变化的百分比，标准普尔500是职业投资者最喜爱的一种股票指数。数据的时间段是从1926年1月～1995年12月，总计840个月280个季度70年的观察值。

虽然这3张图表各不相同，但是它们有两个共同的特点：第一，就像J.P.摩根的名言——“市场是波动的。”股票市场是一个多变的领域，在向上或向下两个方向上会发生无数的事情。第二，观察值在零以上的数目比在零以下的数目多——平均而言，股票市场是上涨多于下跌的。

正态分布为随机游动假设提供了更加严格的测试。但是有一个条件十分重要：即使随机游动是对现实股票市场的正确描述，也就是说，即使股票价格的变化呈完美的正态分布形态，其平均值也不为零。这种趋势向上的偏见并不令人惊奇。从长期来看，普通股票持有者的财富随经济的增长以及公司收益和盈利的增长而增加，既然多数股票价格运动是上涨多于下跌，那么股票价格的平均变化应该是大于零的。

实际上，股票价格的平均涨幅（不包括红利收入）为每年7.7%，标准偏差为19.3%。如果未来是过去的克隆，这就意味着在任何一年中，股票价格有2/3的时间是在+27.0%～-12.1%的范围内变动。虽然一年中仅有2.5%（1/40）的时间股票的价格变化会超过+46.4%，但是令人安心的是，一年中也仅有2.5%的时间，价格变化会低于-31.6%。

在这个特定的历史样本中，70年里有47年股票价格是上涨的，或者说每三年中有两年是上涨的。而其余的23年里股票价格是下跌的，在这23年中，有10年（差不多是下跌时间的一半）的时间，股票下跌的幅度超过了一个标准差，即超过了12.1%。实际上，在这糟糕的22年中，平均损失达到了-15.2%。

请注意这3张图表的刻度各不相同。在纵轴上的刻度显示的是观察值的数目，而这3张图中的观察值数目显然是不同的——在任何给定的时间跨度中，月份数要多于季度数，而季度数多于年度数。横轴上所显示的结果的范围也是不同的。因为股票价格在一年内变化的幅度要大于一个季度内变化的幅度，而一个季度内变化的幅度又要大于一个月内变化的幅度。横轴上每个刻度所代表的数字是对该数字和其左边数字间变化的度量。

让我们首先研究一下840个月的价格变化图（图8-1a）。每个月的平均变化率是+0.6%。如果我们为了修正随着时间的变化股市自然上涨的偏差，我们就从每个观察值中减去0.6%，那么平均变化就是+0.000 000 000 000 000 02%，这样，有50.6%的月平均变化值在此之上，而49.4%的月平均变化值在此之下。第一个占总月份1/4的204个月的观察均值在中心点之下，为-2.78%，而第三个占总月份1/4的204个月的观察均值在中心点之上，为+2.91。这种正态分布的对称性显现得十分完美。

月变化的随机特性也由少量月份的变化显示出来。在这些月中，股票市场变动的方向同其前一个月的变动方向相同。连续2个月内股票价格变动方向相同的时间占总时间段的一半，而连续5个月内价格变动的方向都相同的时间仅占总时间段的9%。

股价变化的月图表和正态曲线形态极为相似。但是我们要注意到图表边缘的少量大幅度的变化值，正态曲线中是不会有这些不规则的凸起的。

现在我们来看一下280季度的图表（图8-1b）。这个图表的形态也类似正态曲线。但是它的离散值却很大，在它的图表边缘也出现了由于剧烈变化而产生的凸起。在20世纪30年代，有两个季度股票价格的下跌超过了1/3，同时还有两个季度股票的价格几乎上涨了90%。在这两年的动荡岁月后，股市趋于平静。自从第二次世界大战以来，股价季度变化极值在+25%～-25%的范围内变动。

股价的平均季变化率为+2.0%，但是其标准差为12.1%，从这我们可以看出，2%的变化幅度并不是我们所期望的季度间变化的典型幅度。在总时间段中，有45%的季度变化值低于平均值2.0%，而55%的季度的变化值高于均值2%。

在这3张图表中，70年观察值的图表（图8-1c）是最工整的，但是该图表横轴上的刻度值显示了股价的大量剧烈变化，该刻度值是季度图表横轴刻度值的4倍。

刻度上的不同不仅从技术上方便了3张图表间不同时间段的比较，这些刻度还显示了更为重要的东西。某个投资者购买并持有股票70年，那么最终的结果是很好的；而期望每3个月就盈利2%的投资者显然是个傻瓜。（注意这里我用了过去时态，因为我们无法保证股市历史记录能够反映未来的情况。）

因此，股票市场的历史记录产生了某种类似随机游动的痕迹，至少根据这840个月的观察值我们可以得出这一点。因为如果股票价格变化不像掷骰子那样彼此间独立的话，那么这些数据就不会以这种方式分布在其均值周围。在对向上变化进行修正后，向上和向下变化的可能性是大体相同的；超过一个月的相同变化是很少的；股价在整个时间内的变动率十分接近理论上计算得出的变动率。

假设我们利用雅各布·伯努利的“未来和历史相似”的观点作为约束条件，我们就能够计算出在任意一个月中股票价格变动某个指定量的风险。例如，标准普尔指数股价月平均变化率为0.6%，标准差为5.8%。如果股价变化呈随机分布，则在任何一个月中，有68%的可能性股票价格的变化不会低于-5.2%或者高于+6.4%。假设我们想知道股票价格在任何一个月下跌的概率，我们可以计算得出这个概率是45%——或者说不到一半的时间。但是在任何一个月中股价下跌超过10%的概率仅为3.5%，这意味着每30个月才可能出现一次这种情况；那么每隔15个月股价就可能出现一次上涨或下跌10%的情况。

巧合的是，840个月的观察值中有33个月，也就是总时间段的4%，其观察值和平均值+0.6%间有两个单位标准差以上的距离，即低于-11%或高于+12.2%。虽然33个月剧烈振荡的变化比我们在这个随机系列观察值中所期望的剧烈振荡变化数目要少，但是其中的21次剧烈振荡是在下跌一边的；而通过概率计算出的结果应为16或17。对一个内在趋势是向上的股市而言，在816个月的区间中，出现股价暴跌的次数不应多于16次或17次。

就极端变化而言，股市不是随机游动的。在极端变化的情况下，股市是在毁灭财富，而不是创造财富。股票市场是一个多风险的地方。

到此时，我们已经讲述了许多关于数字方面的故事了。在我们研究从古印度人、阿拉伯人和希腊人到19世纪的高斯和拉普拉斯所进行的创新工作的过程中，数学家们都占据了中心位置。概率取代了不确定性成为我们的主要论题。

现在是改变场景的时候了。现实生活和帕奇奥利的球类赌博游戏不同，也就是不同于一系列独立的、不相关的事件组合。股票市场看上去很像一种随机游动，但这种相似并非完美。在某些场合下，平均数是很有用的指南，但是在很多情况下它也会产生误导。还有些时候，数字根本没用，我们仅能通过猜测来摸索未来。

这并不意味着数字在现实生活中是没有用的。这其中的技巧在于培养一种感觉，用来判断何时事件间是相关联的，何时是不相关联的。所以现在我们有一组新的问题需要回答。

例如，700万人口和一头大象，是哪一个定义了被炸弹击中的风险？我们应该使用下面哪一个平均数来定义股票市场的正常表现：是1926～1995年间的股价月平均变化率+0.6%，1930～1940年间平均每月变化0.1%这个微小的均值，还是1954～1964年间每月变化+1.0%这个诱人的平均值？

换言之，我们用“正常”这个词表示什么？用特定的平均值来描述“正常”会有怎样的表现呢？平均值作为行为的指标具有多大程度上的力度和稳定性呢？当观察值远离历史的均值时，它们将来回归这个均值的可能性有多大呢？如果它们的确回归到了均值，它们是停留在均值上还是突破均值？

股票市场连续上涨5个月的罕见情况又能说明什么呢？上涨的股票一定会下跌吗？在股票下跌之前一定要经历峰顶吗？一个陷入困境的公司重新走向正轨的可能性有多大？狂躁病人会很快转为抑郁吗，反之亦然吗？干旱季节什么时候结束？成功就在困境之后吗？

所有这些问题的答案取决于区分正常和非正常的能力。承担更多的风险要取决于从正常的背离中所产生的机会。当分析师们对我们说他们所看好的股票被“低估”时，他们意味着投资者可以通过现在购买股票并等待其回归正常来获利。另一方面，精神上的抑郁和狂躁状态有时会终其一生。1932年，即使胡佛总统和他的顾问们坚信政府的干预只会延缓经济本身的复苏，但是那一年经济并没能摆脱困境。

人们对“正常”这个概念发现的东西不如对“平均”这个概念发现的东西多。但是英国维多利亚时代的业余科学家高尔顿在高斯及其前辈所创建的基础上发展了“平均”的概念——也就是正态分布，并创建了一个新的结构，人们借此可以区分可度量的风险和只能凭猜测去预测未来的不确定性事物。

高尔顿不是一个寻求永恒真理的科学家。他是一个很实际的人，热衷于科学，但仅仅是一个业余爱好者而已。然而他的创新和成就在数学和日常生活决策方面有着长久的影响。