第2章 像一二三那样简单

没有数字，就不会有几率，也不会有概率。没有几率和概率，对付风险的唯一方法就是祈求上天和命运。没有数字，风险就是一件很糟糕的事情。

我们生活在一个数字和计算的世界里，它包括从早上我们醒来时所瞥见的钟表，到晚间我们经常转换的电视频道，随着这一天的进行，我们要计算放入咖啡机的咖啡数量，要付给管家的钱数，要咨询昨天股票的价格，要拨打一个朋友的电话号码，要检查汽车中汽油的数量，要查看速度表的速度数，要触按办公大楼的电梯按钮，用密码打开办公室的门。就这样，这一天几乎还没有开始。

很难想象没有数字的时候是什么样子。但如果时光倒流，一个1 000年前受过良好教育的人闯入现代社会，他很可能不认识数字0，并且，即使参加三年级的数学测试，也不可能及格。即使是对一个生活在500年前的人，情况亦可能如此。

在西方，数字的故事开始于1202年。那时，沙特尔大教堂接近完工，约翰国王已经统治了英国3年。那一年，一本名叫《算盘书》（Liber Abaci）的书在意大利出版，该书又名《计算之书》（Book of the Abacus）。这本书共15章，全部是手写而成，因为几乎在300年之后印刷术才被发明。《算盘书》的作者是莱昂纳多·皮萨诺（Leonardo Pisano），他当时年仅27岁，但他十分幸运，因为他的书得到了当时罗马君主弗雷德里克二世的支持。从来没有其他的作者像他这样幸运。

莱昂纳多·皮萨诺一生中最为著名的是他的另一个名字斐波那契（Fibonacci），这个名字至今为人所知。他的父亲姓波那契（Bonacio），斐波那契是“波那契的儿子”的缩写。Bonacio在英文里的意思是笨蛋，而Fibonacci的意思是傻瓜。波那契可能比笨蛋好一些，因为他作为比萨市的领事出使过很多城市，而他的儿子莱昂纳多就肯定不是一个傻瓜了。

斐波那契是在访问布加时产生了撰写《算盘书》的想法。布加是一个繁华的阿尔及利亚城市，当时他的父亲作为比萨市的领事在那里任职。在布加，一位阿拉伯的数学家向斐波那契揭示了印度——阿拉伯数字体系的神奇之处，这个数字体系是在十字军东征圣地时由阿拉伯数学家引进到西方的。当斐波那契发现这个数字体系能够完成所有的计算时——其中一些计算是罗马字符所不能完成的，他开始学习所有与这个数字系统有关的东西。为了能向地中海地区有名的阿拉伯数学家学习，他遍访埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯。

最终，《算盘书》在各个方面都十分出色。这本书使人们看到了一个新的世界。在这个世界中，阿拉伯数字替代了希伯来、希腊以及罗马的数字体系，后者是用字母来进行计数和计算的。这本书很快受到了意大利和整个欧洲数学家们的追捧。

《算盘书》远远不是一本只是教授读写新数字的启蒙书。斐波那契一开始解释了如何从一个数字的数字数目来确定它是一个单位，还是10的倍数，抑或是100的倍数，等等。在后面的章节里，该书展示了数字更高级别的混合。那里，我们可以看到各种计算，包括所有的数字和分数、比例原则、平方根和更高次方根的抽取，甚至可以看到线性方程式和二次方程式的解决方法。

斐波那契的练习十分新颖，有独创性。如果这本书仅仅是处理与理论相关的一些问题，那么它就不会在数学专家这个小圈子之外获得如此广泛的关注。斐波那契将该书和实际应用结合起来。例如，他描写和阐述了许多革新，在这些革新中，新的数字使商业簿记变为可能。比如可以计算边际收益、货币兑换、重量和度量的转换等。他甚至讲述了利息支付的计算方法，虽然那时在许多地方还禁止发放高利贷。

《算盘书》还提供了一种激励。像弗雷德里克国王这样聪明且很有创造性的人都会欣赏这种激励。从1211～1250年是弗雷德里克的统治时期，虽然他在此时期十分残暴，并且迷恋权力，但是他的确对科学、艺术和国家哲学很感兴趣。在西西里，他摧毁了所有的私人要塞和世袭的城堡。他向牧师征税，并且禁止他们进入政府机构。他还建立了专制的官僚政治，废除了国内的通行税，撤销了限制进口的法规，并且打破了地区垄断。

弗雷德里克不能容忍对手的存在。他的祖父弗雷德里克·巴巴罗萨在1176年莱尼亚诺（Legnano）战役中曾被罗马教皇所羞辱，和他的祖父不一样，弗雷德里克在和罗马教皇的战争中得到了极大的快乐，而他的不妥协使他两次被教会驱逐。在第二次被逐出教会时，格里高利九世教皇要求弗雷德里克下台，并将其视为异教徒和反基督教徒。作为回应，弗雷德里克更加凶猛地进攻教皇的领地。与此同时，他的舰队俘虏了很多高级神职代表，这些人当时正前往罗马去参加罢免弗雷德里克的宗教大会。

弗雷德里克结交了许多当时有名的学者。他邀请他们中的许多人加入他在巴拉莫的王国。西西里最美丽的一些城堡就是由他建造的。在1224年，他创建了欧洲第一所大学，用来培训公职人员，使他们能够得到皇家颁发的执照。

弗雷德里克对《算盘书》特别着迷。在1220年他出访比萨市时，斐波那契受邀觐见。在面谈时，斐波那契解决了由弗雷德里克的一个幕僚学者提出的有关代数和三次方程式的问题。后来，斐波那契就这次会谈写了一本书，题为《正方形之书》（Liber Quadratorum，或The Book of Squares）。他把这本书献给了国王。

斐波那契最著名的要数他的《算盘书》中的一篇短文了。这篇短文，引发了数学界的一个奇迹，这篇短文讨论了关于1对兔子在1年内能够生育多少只兔子的问题。假设每个月每对兔子能生出1对兔子，并且兔子在它们2个月大的时候才能生育。斐波那契发现1年内由最初的1对兔子能够繁衍出233对后代。

他还发现了其他一些更有趣的事情。他假设第1对兔子到第2个月才生小兔，然后，每个月生1对小兔。到第4个月时，他们的前两个子女开始生育。这个进程开始后，每个月底时兔子的总对数如下：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144和233。每个连续的数字是前两个数字之和。如果持续生育100个月，兔子的总对数将是354 224 848 179 261 915 075。

斐波那契数列远远不只是一种消遣。将任何一个斐波那契数列中的数除以它后面的数，数字3后的结果总是0.625，数字89后的结果总是0.618；数字越大，小数位越多。用数字2之后的任何数除以它前面的数，其结果总是1.6，在144之后，其结果总是1.618。

希腊人知道这个比例，他们称其为“黄金分割”。帕德嫩神殿、扑克牌和信用卡的形状以及纽约的联合国总部大楼都使用了这个比例。绝大多数基督教堂的水平构件和垂直构件的交叉部位也采用了相同的比例：横木上端的长度是下端长度的61.8%倍。黄金分割也同样出现在自然界之中——在花朵的花纹上、在洋蓟的叶片上、在棕榈树的叶柄上都能发现黄金分割比例。对于正常比例的人来说，肚脐之上部分的长度和肚脐之下部分的长度之比也是黄金分割比例。我们每根手指（从指尖到手掌的部分）的各关节指骨长度的比也同样遵循黄金分割比例。

在一个更加传奇性的证明中，斐波那契比例对一个美丽的螺旋的比例和形状做出了解释。图2-1展示了螺旋是如何从一系列的正方形中演变出来的。这些连续相关的正方形的面积和斐波那契数列中的数字相同。演变过程从2个相同面积的小正方形开始，接下来，其相邻的正方形的面积是前两个正方形面积的2倍，接下来的正方形面积是第1、2个小正方形面积的3倍、5倍，依此类推。注意，这个序列产生了一系列具有黄金分割比例的矩形。然后，从最小的正方形开始，用1/4圆弧将这些正方形的对角按次序连接起来。

这个熟悉的螺旋会出现在某些银河中，出现在公羊的犄角中，出现在许多贝壳中，还会出现在前进的海浪中。若忽略最初的正方形的大小，虽然螺旋越来越大，但是这个结构一直保持原形态，没有任何改变。由此得出结论：形态是独立于成长的。著名记者威廉·霍弗（William Hoffer）曾经评论道：“这个巨大的黄金螺旋好像是在保持质量的前提下以自然的法则增加数量。”

许多人相信斐波那契数列能被用来进行广泛的预测，特别是用于股票市场的预测。由于这种预测经常命中，从而使人们对此数列更加热衷。斐波那契数列十分令人着迷，甚至在加利福尼亚的圣克拉拉大学内有一个美国斐波那契协会。这个协会从1962年开始，已经发表了上万份有关该课题的论文。

斐波那契的《算盘书》在衡量克服风险的关键因素的道路上迈出了伟大的第一步。但是人们还没有准备好将数字和风险联系在一起。在斐波那契的时代，绝大多数的人仍然认为风险源自于自然的多变性。在验证克服风险的技巧之前，人们不得不通过学习来识别人为的风险，并鼓起勇气和命运做斗争。这种验证至少还要持续200年。

仅仅通过回顾那个无法区分10和100的时代——虽然在这个时代，我们也能发现许多著名的革新者，我们就能充分赞赏斐波那契的伟大功绩。

穴居人这样的古人知道如何记录事物，但是他们没有太多的事情需要记录。他们将一段时间记录在石头或圆木上，并且记录他们所猎杀的动物的数量。太阳为他们记录时间，但他们很难界定5分钟或是半小时的时间。

对度量和计算的系统研究始于公元前一万年的某个时候。那时人类已经在由大河大江所冲刷成的盆地上定居下来，开始从事种植业。这些大江大河包括：幼发拉底河和底格里斯河、尼罗河、印度河、长江、密西西比河以及亚马逊河。这些河流不久就成为贸易和旅行的高速通道，最终，一些更具冒险精神的人来到了江河汇入的大海。对于那些涉足遥远地区的旅行者来说，日历、航海和地理是最重要的，而这些因素都需要更加精确的计算。

教士是最早的天文学家，而数学起源于天文学。当人们发现石头上的刻痕以及树枝不够用于计数时，他们开始将数量归为10个或20个一组，这样便于用手指或脚趾计数。

虽然埃及人精通天文学，能够预测尼罗河水涨落的时间，但是他们可能从来没有想过管理或影响未来。变革并不是他们思维进程的一部分，他们的思维已经被习惯、周期性的事物所统治。他们尊重过去。

大约在公元450年，希腊人发明了一种字母数字体系。这个体系由希腊字母表中的24个字母组成。其中的3个字母后来逐渐被荒废掉了。从1～9的每个数字都有相应的字母，每个10的倍数有一个字母。例如，字符"pi"源自希腊字"penta"的第一个字母，这个字是5的意思。"delta"代表10，它是希腊文字“deca（十）”的第一个字母。"alpha"代表1，它是希腊文字"alphabet"的第一个字母。"rho"代表100。这样，115就写为rho-deca-penta，或者是rdp。希伯来人、菲印欧人也使用相同的密码——字母体系。

这些字母数字帮助人们建造出更加坚固的建筑，使人们能够旅行的更远，帮人们记录更准确的时间。但是，这个体系有严重的局限性。你可能没有注意到，当用这些字母进行加、减、乘、除的运算时，会遇到极大的困难。这些数字的替代物仅仅能作为记录计算结果的工具，而这些计算是通过算盘等方法进行的。印度——阿拉伯数字体系出现在公元1000～1200年间，在此之前，数学界一直使用算盘这种历史上最古老的计算工具。

算盘的工作原理是：设定每一栏算珠数目的上限；在做加法运算时，最右边的一栏填满，多余的算珠就挪到其左边的一栏，依此类推。我们的“借一存三”的概念就来源于此。

虽然早期的数学形式有许多局限，但是它们很有可能使知识，特别是几何学（关于形状的语言）得到快速发展。这些数学形式已应用到天文、航海和机械之中。这里最令人难忘的进步是由希腊人和他们在亚历山大的同僚一起完成的，欧几里德最著名的《元素》（Elements）一书。除了《圣经》以外，有关本书的版本和印刷物数量无书能及。

但是，科学的革新并不是希腊人最大的贡献。毕竟，在欧几里德之前，埃及和巴比伦神殿的牧师已经学习几何很久了。甚至早在公元前2000年时最著名的毕达哥拉斯定理——直角三角形斜边的平方等于另外两边平方之和——就已经在底格里斯河和幼发拉底河流域使用了。

希腊精神的独特品质是他们对证明的坚持。他们更关心“为什么”而不是“是什么”。希腊人能够重新构建一些根本的问题，因为希腊文明在历史上第一个摆脱了由强权的神职人员强加的知识禁锢的束缚。这种精神态度使希腊人成为世界上第一批旅行者和殖民者，那时，他们将地中海盆地变为他们自己的领地。

希腊人拒绝接受没有根据的表面价值，认为这些是由旧社会遗传过来的。希腊人对样本不感兴趣，他们的目标是能找到一种观念，这种观念能应用到任何地方、任何事情之中。例如，仅仅通过度量就能证实直角三角形斜边的平方等于另两边平方之和，不论大小，所有的直角三角形都遵循这个原则，无一例外。但是希腊人会问，为什么会出现这种情况？证明是欧几里德的几何学的全部。证明而不是计算会对数学理论永远起支配作用。

这彻底打破了其他文明的分析方法，但也使我们再次怀疑希腊人为什么没有能够发现概率法则，没有发现微积分，甚至没能发现简单的代数学。除了他们所取得的成就外，这些可能是因为他们不得不依赖于以字母为基础的笨拙的数字体系。罗马人也受同样的困扰。就像9这样的简单数字需用两个字母表示：Ⅸ。罗马人不能将32写成ⅢⅡ，因为人们无法知道它到底是代表32、302、3020，还是3、2、0的更大组合。基于这个数字体系是无法进行计算的。

直到公元500年的时候，一种更高级的数字体系被发现了。在那时，印度人发展了我们今天使用的数字体系。是谁设计了这个神奇的发明？它是在什么情况下传遍整个印度大陆的？这至今还是一个谜。作为变更宗教，穆罕默德在公元622年创建了伊斯兰教，并统一了一个强大的国家。他的信徒遍及印度及周边地区。在这之后90年，阿拉伯人第一次接触到了这些新数字。

这个新的数字体系对内陆和西方的知识分子的活动起到了一种镀金的效果。巴格达在当时已经是伟大的文化学习中心，也是数学研究活动的中心。哈里发（Caliph）扣留了一些基督教学者，要求他们翻译托勒密、欧几里德等数学先锋的著作。不久，这些数学家的著作就遍及整个阿拉伯王国。到9、10世纪时，连远在西方的西班牙都使用这些书籍。

实际上，有一位西方人在印度人之前200年时就提出了数字体系。公元250年时，一个名叫丢番图（Diophantus）的亚历山大数学家写了一篇论文，在文中他阐述了用真正的数字体系来替代字母数字体系的好处。

我们对丢番图知道得并不多，但是我们所知的那一点点事情却很有趣。根据数学历史学家赫伯特（Herbert Warren Turnbull）所讲，有一个关于丢番图的一个希腊格言是这样说的：“他的童年时代占了他全部生命的1/6，又过了1/12生命的时间，他长出胡子了。又经过1/7生命的时间，他结婚了，5年后，他的儿子出生了。他儿子的寿命仅仅是他寿命的一半，他的儿子比他早死4年。”那么，丢番图活了多少岁呢？代数迷们能够在本章的最后得到答案。

丢番图长期从事字符代数的研究——字符代数就是使用字符来代替数字。他认为“方程式4=4x+20是荒唐的，是不可能有结果的”。不可能？荒唐？这个方程式要求x等于-4。因为丢番图没有零的概念，所以对他来说，负数在逻辑上是不可能的。

丢番图杰出的革新好像被忽视了。几乎是在1 500年以后，人们才开始注意到他的工作。最终，他的功绩得到了应有的重视。他的论述为代数在17世纪的繁荣发展发挥了核心的作用。像a+bx=c这样的我们今天熟知的代数方程式被称为丢番图方程式。

印度——阿拉伯数字体系的核心是零的发明，印度人称其为sunya，而阿拉伯人把它叫做cifr。这个数字像密码一样出现在我们面前，它代表“空”，在算盘和计数器上代表一个空列。

人们通常用数字记录猎杀的动物、经历的天数以及所经过的地方。因为零在这些方面上无法应用，所以人们很难掌握零这个概念。20世纪的英国哲学家阿尔弗雷德·怀特黑德（Alfred North Whitehead）曾经指出：

关于零的要点是我们在日常的生活中并不需要使用它，不会有人出门去买零条鱼。在所有的基本数字中，零是最近代化的一个。我们只有在改进我们的思维方式时才会使用到它。

怀特黑德“改进思维方式”的格言暗示：零的概念不仅仅是对计数和计算方法的改进，它所带来的是更深远的思维解放。正像丢番图所感觉到的那样，一个合适的数字系统能够将数学发展为抽象科学同时也能发展成为一种度量的技术。零的出现打破了对思想和进步的限制。

零以两种方式对旧的数字系统进行了变革。第一，人们仅仅通过使用0～9这10个数字，就能进行所能想象到的任何计算，也能书写所能想象到的任何数字。第二，像1、10、100这样的数字序列能够明示这个序列中的下一个数将是1 000。零使整个数字系统的结构立刻变得清晰可见。试一下罗马数字I、X、C或者V、L、D，你能知道这两个序列的下一个数是什么吗？

有关阿拉伯算术最早的著作是由阿尔·花拉子米（al-Khowarizm?）编写的。他是生活在825年左右的数学家，比斐波那契早了400多年。虽然许多人从他的著作中获益，但是知道他的人却很少。我们大多是间接知道他的。试着快速地念“al-Khowarizm?”这个字，这样我们就能得到"algo-rithm"这个词，它的意思是计算法则。阿尔·花拉子米率先建立了用印度数字来进行加、减、乘、除运算的法则。在他的另一篇名为《移项和销项》的论文中，阿尔·花拉子米详细说明了处理方程式的过程。代数（有关方程式的科学，algebra）这个词就源自"al-jabr"。

在早期数学家中，最重要、最著名的要数奥马尔·哈亚姆（Omar Khayyam）。他大约生活在1050—1130年，是《鲁拜集》Rubaiyat诗集的作者。他令人难忘的75段四行诗系列在维多利亚时代由英国诗人爱德华·费茨杰拉德（Edward Fitzgerald）翻译成英文（鲁拜集这个词现在已被定义为一种诗的格式），这个译本对数学或科学并没有什么帮助，相反它在饮酒作乐和享受美好生活方面起到了很好的作用。然而实际上，在第27段，奥马尔写道：

当我在青春时分

也曾热访过博士圣人，

炎炎的伟论听了多回，

可我依然出来——由那原径。

根据费茨杰拉德的介绍，奥马尔·哈亚姆曾经和两个像他一样聪明的人一起学习，他们是纳扎姆·穆克和哈桑·萨巴。有一天，哈桑提出，既然他们三人中至少有一个人会大富大贵，那么他们三个应该起誓，不论谁成为那个幸运的人，都要和其他两个人分享荣华，不能自己独享。他们三个都发了誓。最终，纳扎姆成为土耳其皇帝的高官。于是他的两个朋友找到他，要求他兑现他曾经许下的诺言。

哈桑想做官，他的要求得到了满足，但是他对他的升迁并不满意。这导致他最终成为一个狂热宗教的领袖，并在伊斯兰世界传播恐怖。多年后，哈桑最终刺杀了他的老朋友纳扎姆。

奥马尔·哈亚姆既不要头衔，也不要官职。他对纳扎姆说：“你能给我的最大恩惠是，你让我得到你好运的庇护，这样，我就能传播科学的益处，并且能祈求上天保佑你长命百岁，永享富贵。”虽然土耳其皇帝很喜爱奥马尔并且赐予他很多好处，但是“由于奥马尔极其大胆的思想和言论，他在当时仍被视为异类。”

奥马尔·哈亚姆利用新的数字系统开发了一种计算语言。这种语言超越了阿尔·花拉子米的研究，成为更加复杂的代数语言的基础。另外，奥马尔利用技术数学的观察，改革了历法，发明了用三角形法对数字进行重新排列。这种方法方便了平方、立方以及更高级的运算。这个数字三角形是17世纪法国数学家布雷斯·帕斯卡（Blaise Pascal）所发展的数学理论的基础。帕斯卡是选择、机会和概率理论的创始人之一。

阿拉伯人令人难忘的功绩再一次暗示我们：如果没有合乎逻辑的结论，即使思想走得再远，它也会停止的。为什么阿拉伯人有如此先进的数学思维，但他们却没有着手进行概率理论和风险管理的研究？我相信答案和他们生活的观念有关。是谁决定我们的未来？是命运，上天还是我们自己？只有当人们认为自己已经达到某种程度的解放时，风险管理的观念才会出现。希腊人、早期的基督教徒以及宿命的穆斯林都没有做好这一跨越的准备。

公元1000年时，摩尔人的大学在西班牙普及新的数字体系，而萨拉逊人在西西里普及这种数字体系。这个数字系统实际应用的第一个例子是诺曼底人发行的西西里硬币，硬币上铸有"1134 Annoy Domini"的字样。直到13世纪，这些新数字才被广泛应用。

虽然弗雷德里克国王资助了斐波那契的书，并且该书在欧洲广泛发行，但是直到1500年，这个印度——阿拉伯数字体系才引发了激烈、艰苦的反抗。在这里，我们能够解释这种迟滞，至少有两个因素在起作用。

第一，部分抵抗源自惯性的力量。这种力量反对改变任何长久以来一直使用的东西。重新学习新的方法永远不受欢迎。

第二个因素基于更坚实的证据——和老数字相比，新数字更易被用于作假。将0变为6或9是十分容易的，1也很容易被改写成4、6、7或9（这就是欧洲人将7写成7-的原因）。虽然新数字已经在教育水平很高的意大利立足，但是佛罗伦萨在1229年颁布法令，禁止银行家使用“异教徒”的符号。结果，很多人为了学习这个新数字系统，只好把自己装扮成穆斯林人。

15世纪中期活字印刷术的发明成为人们战胜反对力量，全面使用新数字的催化剂。现在虚假的修改已不再可能发生。人人都明白使用罗马数字的复杂性。这个突破，极大地推动了商品交易。现在，阿尔·花拉子米的乘法表已经成为所有学生终生要记住的东西。最终，随着概率的崭露头角，赌博业开始了新的篇章。

关于丢番图字谜的代数解答如下：

假设x代表他去世时的年龄，则

x=x/6+x/12+x/7+5+x/2+4

丢番图活了84岁。