第7章 探索道德上的确定性

第二次世界大战时期一个冬天的夜晚，在一次德国对莫斯科的空袭中，苏联的一位著名统计学家教授出现在当地的空袭隐蔽所中，他以前从未来过隐蔽所。“莫斯科有700万人口，”他总是这样说，“为什么我就会被炸弹击中？”所以当他的朋友们在隐蔽所见到他时，都十分震惊，询问是什么东西改变了他的主意。“瞧，”他解释道，“莫斯科有700万人口和一头大象，昨天晚上，他们击中了大象。”

这个故事是皇家港修道院《逻辑或思维的艺术》一书中所分析的雷暴恐惧症的现代版本，但是，从非常关键的一点来看，这个故事与书中提到的例子有本质上的不同。在这个故事中，所涉及的人物准确知道被炮弹击中的数学概率。因此，教授的经历真正阐述了与概率相关的事物是具有双重性的：当制定有风险的决策时，过去发生的频率与自己对事件的相信程度是相冲突的。

这个故事不仅仅讲述了这些，它还回应了格朗特、配第、哈雷所关心的事情：当我们不能完全知晓未来甚至过去时，我们所掌握的信息有多大程度的代表性呢？700万人口和一头大象，哪个更具代表性呢？我们应该如何评价新的信息，并且如何将它与从以前信息中建立起的信仰度结合起来呢？概率理论究竟是一个数学玩具，还是一个严肃的预测工具？

毫无疑问，概率理论是一项严肃的预测工具，但是，正如他们所说，在细节中存在致命的东西，这个细节指的是构成概率评估基础的信息质量。本章将讲述18世纪历史进程中一系列重大的进步，这些进步变革了信息的使用方法以及在现代社会中将概率应用到决策和选择当中的方式。

第一个考虑到概率和信息质量间联系的人是另一个岁数长一些的伯努利——雅各布·伯努利（1654—1705），丹尼尔的叔叔。在雅各布还是个孩子时，帕斯卡和费马正在展示他们数学的功绩，当雅各布逝世时，他的侄子丹尼尔只有5岁。雅各布和其他的伯努利家族成员一样拥有很高的天资，他和牛顿生活在同一时代，他有着伯努利家族传统的坏脾气和傲慢的心态，他认为他和牛顿不相上下。

我们先不管问题的答案，仅仅列举雅各布提出的问题，就可看出这些问题本身就是极具聪明智慧的。雅各布在仔细思考了20年后才开始动手进行这项艰巨的工作；直到80岁时，他才完成了这项工作，不久后，他于1705年逝世。

雅各布在1660年查尔斯二世恢复王位后，度过了一段放荡、快活的岁月，但是他在伯努利家族中是一个极度抑郁者，到了晚年就更加如此。雅各布生活的时代有许多杰出的人物，例如约翰·阿布斯诺特（John Arbuthnot），他是皇后安妮的医生，也是皇家学会的会员，同时他还是一位业余数学家。他对概率十分感兴趣，他可以用丰富的病例来阐述他的观点，这也促成了他对概率的兴趣。在他的一篇论文中，他研究了“20岁的妇女是否有处女膜”的几率以及“20岁的花花公子没得淋病”的几率。

1703年雅各布·伯努利率先提出了如何从样本中发现概率的问题。在写给他的朋友莱布尼茨的一封信中，他讲到他发现了一件奇怪的事情：我们能知道用一对骰子掷出7点而不是8点的概率，但是我们却不知道20岁的人比60岁的人活的时间长的概率。他问道，我们能不能通过调查这两个年龄段的人数来找到答案呢？

在给伯努利的回复中，莱布尼茨对这种方法并不明确的赞成。“自然模式的建立起源于对事件本身的反应，”他写道，“但这仅仅对大多数事件而言是成立的。当新的疾病在人类中蔓延时，无论你对尸体做多少次试验，也不可能对事件的自然性强加限定，并以此来使它们在将来不发生变异。”虽然莱布尼茨是用拉丁文写的这封信，但是他用希腊语“ωζ επι το πολυ”来表示“但是这仅仅对大多数事件而言是成立的”这句话。也许他想强调自己的观点：像雅各布提出的有限次数的实验对于想准确测算自然目的来说，实在是太小的样本了。

莱布尼茨的回复并没能阻止雅各布的研究，但是他确实改变了解决这个问题的方法。雅各布显然记住了莱布尼茨用希腊语写下的警句。

雅各布从样本数据中发现概率的工作在他的《猜测的艺术》一书中体现出来，这本著作是由其侄子尼古拉斯二世在他死后8年的1713年替他整理出版的。雅各布的兴趣在于证明思想的艺术——客观分析在何处终止，而猜测的方法又在何处开始。从某种意义说，猜测是从部分中评估出整体的过程。

雅各布的分析始于对概率理论达到程度的观察，并据此来形成对有关事件发生可能性的假设，“有必要计算可能事件的准确数目，然后确定某个事件比另一个事件发生的可能性大多少”。雅各布继续指出，问题的困难在于概率仅仅被限于用在机会赌博上。根据这点来看，帕斯卡的成绩仅仅是一种知识上好奇的体现，并无多少实际意义。

对于雅各布来说这个限制是极为严重的事情，在如下他回应莱布尼茨的观点时的一段话中揭示了这一点：

考虑到所有可能的情况，通过致命的疾病能够确定影响人类健康的疾病数目吗……而且一种疾病比另一种疾病致命的可能性大多少呢？比如瘟疫和水肿相比，或者水肿和发烧相比？我们又如何在此基础上对未来人类生死间的关系做出预测呢？

有谁能伪称已经深入了解了人类思维的本质，或者是了解了人类身体的精妙结构，并通过这些在依靠头脑敏锐和身体敏捷的游戏中，大胆地预测某个游戏者在何时输或赢呢？

雅各布在应用概率理论时，推断出现实和抽象间的重要区别。例如，我们在讨论帕斯卡三角形时所分析的帕奇奥利未完成的球类游戏，还有未结束的假定的世界棒球联赛，都和现实世界不一样。在现实世界中，球类游戏或者世界联赛的选手们的“头脑敏锐和身体敏捷程度”是截然不同的，而这些品质是我在过于简化的例子中所忽视的东西，这些例子是用于讲述如何用概率理论来预测结果的。帕斯卡三角形仅能暗示现实生活中的比赛是如何进行的。

概率理论能够在赌博或博彩中决定它们可能的结果——在这些活动中，不需要通过转动轮盘或是计算彩票的数量来计算结果的本质。但是在现实生活中相关的信息是不可或缺的，而麻烦的是我们无法获得我们想要的所有信息。自然已经建立了模式，但这仅仅适用于大多数情况。就像我在引言中引用的费舍尔·布莱克的话语，从查尔斯河畔的麻省理工学院的校园中看到的世界比从哈德逊河旁的华尔街喧闹中看到的世界要纯洁得多。

我们在讨论帕斯卡假设的球类游戏和我们想象的世界棒球联赛时，长期记录的成绩以及选手们的身体能力和智商水平不是必不可少的，甚至连比赛本身的性质也是无关紧要的——理论完全替代了信息。

在现实生活中，棒球球迷和狂热的股民一样，他们收集大量的统计信息，因为他们需要通过这些信息来判断球员或是球队的实力，就像判断股市中上市公司盈利能力的前景。但是，即使有千百万的事实依据，专家们过去的研究资料还是证明了在体育运动和金融事件中，他们对其最终结果的估计还是不可信和不确定的。

帕斯卡三角形和所有有关概率的早期工作都只回答了一个问题：某某事物结果的概率是多少？这个问题的答案对大多数事件只有有限的价值，因为它不具备普遍性。当我们估计出A选手有60%的几率能在特定的balla游戏中取胜时，我们真正能从这个估计知道些什么呢？这个可能性能否告诉我们A选手的球技足够好，能够以60%的可能性战胜B选手？一个小组的比赛胜利是不能确定这个预期的。那么，选手A和选手B之间要比赛多少次，我们才能据以确定选手A更具优势呢？关于冠军球队不仅仅在这个联赛中，而且在任何时候都是最好球队的概率，今年联赛的结果又告诉我们什么了？吸烟人群中肺癌的高死亡率对于吸烟能够减少人的寿命这一问题的几率又能说明什么呢？一头大象被炸死这一事件对于决定躲入空袭隐蔽所又能有多少影响呢？

但是现实生活中的情况常常要求我们严格地用这种方法来计算概率——从样本到全部事物。在现实生活中，仅有极少数的情况和赌博中的情况相似，在这些情况中，我们在事件发生前就能确定其结果的概率——这就是雅各布·伯努利所说的“未卜先知”。但是在很多情况下，我们不得不根据已发生的事实来估计概率——也就是“后知后觉”。“后知后觉”的观念暗示了实验的进行和信仰的变化。莫斯科有700万人口，但是当一头大象被纳粹的炸弹炸死后，那位教授决定是时候进入空袭隐蔽所了。

雅各布在从有限数量的现实生活信息中发现概率这一问题上具有双重贡献。首先，在其他人认识到对这个问题下定义的必要性之前，他已经用这种方式对其下了定义。其次，他提出了一个只需一个要求的解答方法。这个要求是：我们必须假设“在相似的条件下，未来事物出现（或不出现）的方式要与过去所观察到的方式相同”。

这是一个巨大的假设。雅各布已经抱怨道，在现实生活中，几乎没有案例存在十分完全的信息能使我们仅用简单的概率原则就能预测结果。他还指出，根据已发生的事实来估计概率也是不可能的，因为我们不能假设过去是未来的可靠指南。所以这项工作的困难性是显而易见的。

过去无论我们选择什么样的分析数据，也都仅仅是现实的一个片段而已。在从数据到普遍性的过程中，片段的特质是十分重要的。我们不可能得到我们所需的（或者我们没有能力得到）全部信息以便我们能获得超越疑问的信心。我们知道一个骰子有6面，每条面有不同的数字；或者是欧式轮盘赌的轮盘有37条长格（美式轮盘有38条），同样，每条长格都有不同的数字。现实生活是一系列相互关联的事件，彼此相互依赖，这与机会赌博是截然不同的。在赌博中，每一次的赌博对下一次没有任何影响；在赌博中，任何事情都被简化为一个确实的数字。而在现实生活中，我们并不经常使用准确的数字度量，我常使用的是“一点”，“很多”，或“不太多”这样的度量词汇。

雅各布·伯努利无意中为这本书的余下部分定义了章程。从这点出发，有关风险管理理论的讨论集中在他的三个必不可少的假设的使用上——完全的信息，独立的实验以及价值的适当量化。在决定我们应用度量和信息来预测未来的成功性时，这三个假设间的关联是十分重要的。实际上，雅各布的假设塑造了我们观察历史本身的方式，即在事实发生之后，我们能够解释所发生的事情吗？或者我们将这个事件归结为简单的运气吗？（这仅仅是我们无法解释所发生的事件的另一种说法）

虽然存在这些困难，但实践只是有时候要求我们清晰地假设，更多时候是要求我们隐含地假设雅各布的必要条件成立，哪怕当时我们已经知道理想和现实存在着差异。我们的答案可能是无条理的，但是雅各布发展的方法学和本章提到的其他数学家们为我们提供了一套强有力的工具，通过它我们可以在有限的历史数据的基础上计算出未来结果的概率。

雅各布·伯努利的计算“事后”概率的法则现在被熟知为大数定律。与大众的观点相反，这个定律并没有为验证观察到的事实提供方法，因为那些事实仅仅是整个事实的不完全体现，而且，它也不代表增加观察次数就能够提高你所见即所得的概率。这个定律不是为提高实际测试的质量而设计的；雅各布接受了莱布尼茨的建议，放弃了他最初想通过实际实验来找到确切答案的想法。

雅各布在寻找一种不同的概率。设想你一次又一次地抛掷硬币，大数定律不会告诉你，随着你抛掷次数的增加，你抛掷的平均数会更接近50%；而简单数学会告诉你这点，使你省去一次次抛掷硬币的乏味工作。但是这个定律能够告诉我们增加掷币次数能够相应地增加某种概率。在这种概率下，硬币头像出现的次数和总抛掷次数的比率在50%左右的某一特定范围内变动，而不管这个特定的范围有多小。“变动”这个词很重要。我们要找的不是实际意义上的50%，而是观察平均值和真实平均值间的误差小于——例如2%的概率，换言之，增加抛掷硬币的次数可以增加观测均值和实际均值间的差异小于2%的概率。

这并不意味着如果无限次地抛掷，就不存在误差了，雅各布明确地排除了这种情况。而且，这也不意味着，误差一定要小到可以忽略的地步。这个定律所要告诉我们的是：和少量的抛掷所得的观察均值相比，大量的抛掷次数所得的观察均值与实际均值间的误差更可能在小范围内变动，而且总有一种概率是存在的，即观察所得的结果与实际结果间的差异要比特定的范围大。由此看来，莫斯科700万人口对那个统计学教授来说显然是不够的。

大数定律和平均数定律并不相同。数学知识告诉我们，在任意一次抛掷硬币时，头像向上的概率是50%。但是，每次抛掷的结果是独立于其他抛掷结果的，它既不受前一次结果的影响，也不会影响随后的抛掷结果。因此，在抛掷100次，或100万次后，头像朝上的概率是40%的情况下，大数定律不能保证在未来的任何一次抛掷时，头像朝上的概率会大于50%。大数定律也不能保证使持续损失的你摆脱困境。

为了说明大数定律，雅各布假设了一个装满3 000枚白鹅卵石和2 000枚黑鹅卵石的瓶子，从那以后，这个瓶子成为概率理论家们钟爱的例子，并且成为投资家们绞尽脑汁想解决的难题。他规定，我们不知道每个颜色的鹅卵石的数目。我们从瓶子中按不断增加的数目取出鹅卵石，并在将它们放回瓶子之前，记住每枚鹅卵石的颜色。如果我们取出越来越多的鹅卵石，最终我们会得到“接近必然的可能性”，也就是说，在实际事件上是必然的，但又不是绝对的必然——鹅卵石两种颜色的比率是3:2。雅各布总结道，如果我们能“先知”的话，那么我们几乎能很准确地判断“事后”的事例的数目。他的计算显示，从瓶子中取出25 550枚鹅卵石后，则有大于1 000/1 001的几率使其结果与真实结果（3:2）间的差异在2%之内。也就是所谓的“接近必然的可能性”。

雅各布没有轻易使用“接近必然的可能性”这个词。他是从概率的定义中衍生出来的，而概率的定义则来自于莱布尼茨早期的工作。“概率，”他认为，“是确定的程度，是绝对确定的差异度，这就如同部分和整体的差异一样。”

但是雅各布在考虑“确定性是什么”的方面上比莱布尼茨更胜一筹。我们每个人对确定性的不同判断吸引了雅各布的注意，当我们“几乎”完全肯定某事时，就存在了接近必然可能性的条件。当莱布尼茨介绍这个概念的时候，他将它定义为“无限的可能”。雅各布自己很满意1 000/1 001这个比率，因为它已经很接近事实了，但是他希望更加灵活应用：“如果官方人士能够建立‘接近必然的可能性’的固定界限，那将是十分有用的东西。”

雅各布是成功的。现在，他宣称，我们可以对任何不确定的数量进行科学的预测了，就像是在机会赌博中所做的预测一样。他将概率理论领域的研究应用到了现实世界：

如果我们不用瓶子而用其他事物，例如大气或者人体。在它们之中，包含着大量的极其多变的进程和疾病，就像瓶子中包含着鹅卵石一样。对于这些，我们也能通过观察来判定哪个事件发生的频率更高。

然而，看来雅各布的鹅卵石瓶子也给他带来了一些麻烦。他计算得出的25 550次实验是建立在“确实可靠性”的必要条件上的，但是这个计算使他陷入了难以忍耐的大数困难之中——那时他的家乡巴塞尔的全部人口也不足25 550人。我们不得不猜测他不知道下一步该做什么，因为他的书到这里就结束了。接下来就没有什么内容了，只有一个忧闷的评论，就是在现实生活中很难找到一个所有观察都符合各自独立要求的案例：

如果所有事物能够经历来生而被重复的话，那么某人就会发现世上所有事物都会在确定的原因下发生，并遵循确定的原则，我们被迫假设明显出于偶然的事件都是一种确定的必然，或者就是所说的命运（fate）。

然而，雅各布的鹅卵石瓶子是值得人们称誉的。那些鹅卵石成为一种媒介物，通过它来第一次尝试度量不确定的事物——实际上是定义不确定性，并且计算凭经验得出的数据和真实数值间接近程度的概率，虽然我们并不知道真实的数值。

雅各布·伯努利于1705年逝世。他的侄子尼古拉斯二世继续他叔叔的工作——进行从已知的观察中推算出概率的工作。与此同时，他缓慢地向《猜测的艺术》一书的完成努力着。尼古拉斯的成果在1713年发表，同一年雅各布的著作也最终面世。

雅各布首先着手研究的概率是观察值与真实值之间的差异会达到某一特定范围之内的概率；接着他继续计算出得到这个概率所需的观察次数。尼古拉斯则试图转变他叔叔的概率释义。根据已知的观察数量，他计算出了差异达到特定范围内的概率。他引用了一个例子，在例子中他假设男女出生的比率是18:17，那么当出生总人数为14 000人时，预期的男孩人数为7 200人。接着，他计算出实际出生的男孩数目在7 200+163和7 200-163即7 363～7 037的范围内的概率是43.58:1。

1718年，尼古拉斯邀请一位名叫亚伯拉罕·穆瓦夫尔的法国数学家和他一起进行研究，但是穆瓦夫尔回绝了他的邀请：“我希望我能将机会学说应用到经济和政治中去。但是，我愿把这个机会让给更适合的人来完成。”穆瓦夫尔对尼古拉斯的回应，恰恰揭示了在短短的几年中，概率和预测理论的应用已经有了很大的发展。

穆瓦夫尔于1667年出生在法国，比雅各布晚了13年。他是一名新教徒，当时法国对非天主教者的敌对情绪日益增加，新教徒数量也在增加。1685年，穆瓦夫尔18岁的时候，路易十四国王撤销了南特法令（Edict of Nantes），这个法令是1598年时由清教徒出身的亨利四世国王颁布的，主要是为了使被称为雨格诺（Huguenots）教徒的清教徒和天主教徒享有同等的政治权利。法令撤销后，推行改革的宗教是被禁止的，孩子们必须被教育成天主教徒，移民也是禁止的。穆瓦夫尔因为他的信仰被监禁了两年，他从此憎恨法国以及与之相关的一切东西，在1688年，他设法逃到了伦敦，那里的光荣大革命刚刚扫除了官方天主教的最后余势。此后，他永远也没回到他的祖国。

穆瓦夫尔在英国的生活是抑郁而充满挫折的。虽然经过了许多努力，但是他也没能得到应有的学术地位。他靠教授数学和为赌徒、保险经纪人提供概率理论应用方面的咨询为生。由于工作需要，他在圣马丁巷的斯劳特（Slaughter）咖啡屋留有一个非正式的办公室，在零碎的教学工作完成后，他会几乎整个下午都待在那里。虽然他和牛顿是朋友，并在30岁时就被选入皇家学会，但是他仍然是个痛苦、内向、孤僻的人。他于1754年逝世，双目失明，穷困潦倒，终年87岁。

1725年，穆瓦夫尔出版了一本书，名为《生命的年金》（Annuities upon Lives）。这本书包括了哈雷有关布雷斯劳《死亡清单》的分析。虽然这本书主要是一部数学方面的著作，但是他也提及了一些和伯努利试图解决的谜题有关的重要问题，并且穆瓦夫尔后来对此进行了详细的研究。

斯蒂芬·施蒂格勒（Stephen Stigler）是一名统计学历史学家，他提供了概率问题的有趣例子，这些概率问题是穆瓦夫尔在进行有关生命年金的工作中提到的。哈雷的表格显示，在布雷斯劳，50岁的人有346人，其中仅有142人，即41%的人活到了70岁。但那仅是一个很小的样本，我们能在多大程度上利用这个结果来概括出50岁人的预期寿命呢？穆瓦夫尔不能用这些数字来判定50岁人以不到50%的几率活到70岁的概率，但是他能回答这个问题——如果真正的几率是1/2，那么观察所得的比率不大于142/346的概率是多少呢？

《命运的度量》（De Mensura Sortis）一书是穆瓦夫尔第一次直接研究概率这个课题。这本著作于1711年在皇家学会的出版物《哲学的交易》（Philosophical Transations）上发表。1718年，穆瓦夫尔出版了一本增补很多的英文版本，名为《机会学说》（The Doctrine of Chances）。他将这本书献给了他的好友牛顿。这本书受到了极大的认可和欢迎，1738年和1756年又再版了两次。牛顿也时常对他的学生们说：“去问穆瓦夫尔先生，他在这方面知道得比我多。”《命运的度量》一书可能是最早明确地将风险定义为损失的机会：“损失任何数目的金钱的风险都是和预期相反的；对风险的真实度量是用冒险产品的数量乘以可能损失的概率而得出的。”

1730年，穆瓦夫尔最终转向研究伯努利的课题，研究确定事实的样本如何更好地代表它所源自的整体。1733年，他发表了有关这个问题的全部研究结果，并将其收录在《机会学说》一书的第2版和第3版中。在文中起始部分，他承认了雅各布和尼古拉斯·伯努利“已经展示了其熟练的技能……但是他们还欠缺一些东西”。他说，特别是他们所采用的方法显然是“极其费力、极其困难的，很少有人能完成这项工作”。

需要做25 550次实验，这显然是一个障碍。即使像詹姆斯·纽曼所暗示的那样，雅各布·伯努利想解决在一场公平的赌博中“非确实可靠性”的问题——50/100的概率——其结果将在真实比例3:2的2%的幅度内变化，但这也需要8 400个的观察实例。雅各布所选的1 000/1 001的概率以今天的标准来看，本身就是很奇特的，如今大多数统计学家以1/20的几率就已经足以证明该结果是有意义的（现在对确实可靠性的行话），而不是偶然的事件。

穆瓦夫尔在解决这些问题方面上的进步被列为数学领域最重要的成就之一。利用微积分和帕斯卡三角形的内部结构——被称为二项式定理，穆瓦夫尔显示了一组随机抽取的样本是如何分布在它们的平均值周围的，这就像是雅各布的鹅卵石瓶子实验一样。例如，假设你从雅各布的瓶子中连续抽拿100枚鹅卵石，并且每枚石头都要放回瓶中，同时注意黑白两种鹅卵石的比例。然后假设你进行了一系列这样的实验，每次都抽拿出100枚鹅卵石。据此，穆瓦夫尔能事先告诉我们在100次实验中，大概有多少个比例接近抽取总数的平均比例，还能告诉我们这些比例是如何分布在总平均数周围的。

穆瓦夫尔所研究的分布，现在被称为标准曲线，或者因为它的曲线的形态像个钟，所以又被称为钟形曲线。当被描绘为一条曲线时，这个分布显示了大量的观察结果聚集在中心周围，接近观察总数的平均值。然后，这条曲线的两边对称地向下倾斜，每边有相同数量的观察数量；开始时曲线下斜的角度比较陡峭，到末端时趋于平缓。换句话说，离均值远的观察值出现的频率比离均值近的观察值出现的频率要高。

穆瓦夫尔的曲线图形使他计算出有关均值周围观察值离差的统计度量。这个度量现在被称为标准偏差，在判断一组观察实例中是否包含对整体（这组观察实例是整体的一部分）有足够代表性的样本时，标准偏差是非常重要的。在正常分布中，大约68%的观察值会在所有观察值均值的一个标准差的范围内变动，而95%的观察值会在均值的两个单位的标准差范围内变动。

标准偏差能够告诉我们是否在处理一个“头在火炉，脚在冰箱”的个例——这个可怜人的平均条件无法正确告诉我们他的感受。绝大多数读者对其感受的观点和其中间的平均感受相差甚远。标准偏差还能够告诉我们，雅各布进行的25 550次抽拿鹅卵石的实验能够提供瓶中黑白鹅卵石比例的极为准确的估计值，因为只有非常少的观察值会远离均值而游离在外层。

随着不相关的、随机的观察值数量的增加，标准曲线的形态也随之产生。穆瓦夫尔对这个规律十分感兴趣；他将这个规律归结为“万能的主的安排”。这个规律表明了在适当的条件下，度量实际上可以克服不确定性，并且能控制风险。为了强调他所讲内容的重要性，穆瓦夫尔用斜体字总结了他的研究成果：“虽然偶然性会产生无规律性，但是成败的可能性确实是无限大的。在时间的进程中，那些不规律性将不会对规律性事物的重新出现产生影响，而规律性的事物将是自然的原始设计（original design）。”

穆瓦夫尔对数学方面的贡献是提供了一种手段，通过它就能够评估指定观察值在真实比例的某一特定范围内变动的概率。这个贡献指导了许多实际应用。

例如，所有的制造商都担心有瑕疵的产品会通过生产线并最终到达客户的手中。对大多数事情来说，100%的完美实际上是不可能的——我们所知的世界似乎有一个无法改变的习惯，那就是拒绝完美。

假设一个大头针工厂的经理想降低产品的残次率，希望每100 000个产品中的残次品不超过10个，也就是总数的0.01%。为了看看事情进行的情况，他随机选取了100 000个刚刚生产出来的大头针作为样本，结果发现有12个没有针头——比他希望达到的平均10个残次品的目标多了2个。这个差异有多重要呢？如果平均来说这个工厂每生产100 000个大头针的残次品是10个，那么在这100 000个大头针的样本中发现12个残次品的概率是多少呢？穆瓦夫尔的正态分布和标准偏差能为这些问题提供答案。

但是这并不是人们通常想知道的问题。更多的时候，在事前他们并不确切知道工厂平均生产的残次品是多少。但如果先不去考虑好的目标，实际的残次率很可能最终会高于每100 000个产品中有10个残次品的平均率。对于残次品的平均比率超过总数0.01%的可能性，这100 000个大头针的样本又能说明什么呢？从一组200 000个大头针的样本中，我们又能多知道些什么呢？平均残次率达到0.009%～0.011%之内的概率又是多少？在0.007%和0.013%之内的概率呢？任意抽取一枚大头针就是残次品的概率又是多少呢？

在这个例子中，数据是给定的——10个、12个和1个，相关的概率是未知的。以这个方式提出的问题形成了一个新的课题，就是反转概率（inverse probability）：100 000个大头针中出现12个残次品，那么实际瑕疵率达到总数0.01%的概率是多少呢？

对上述问题最有效的解决方法之一是由一位叫托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）的牧师提出来的。贝叶斯出生于1701年，住在肯特镇。贝叶斯不信奉英国国教；他反对宗教仪式典礼，而英国教派在亨利八世时从天主教中分离出来后，一直保留了这些仪式典礼。

虽然贝叶斯是皇家学会的成员，但是我们对他知道得并不多。一本枯燥的公共统计学课本将其描述为“谜一般的人”。他有生之年在数学方面没有发表任何文章，仅留下的两本书都是在他逝世以后出版的，都没能引起人们的注意。

然而在他的文章中，有一篇名为《解决机会学说中一个问题的文章》的论文非常杰出新颖，引人注目。它也使得贝叶斯在统计学家、经济学家和其他社会科学家中流芳百世。这篇文章为现代统计推论法奠定了基础，而统计推论最初是由雅各布·伯努利提出的。

贝叶斯于1761年逝世，在之前的一年，他将这篇文章的草稿连同100英镑都遗赠给了理查德·普赖斯（Richard Price）——“现在我猜想他是纽灵顿-格林的传教士。”奇怪的是贝叶斯并不清楚理查德·普赖斯的居住地址，因为普赖斯不仅仅是伦敦北部伊斯灵顿的一个传教士。

理查德·普赖斯是一个道德高尚的人，他信仰人类普遍自由，特别是宗教自由。他坚信自由是上天赋予的，因此它是道德行为的根本；他宣称，如果自由，即使犯罪也比成为别人的奴隶好得多。18世纪80年代，他写了一本关于美国革命的书，这本书有着一个很长很长的名字——《关于美国革命重要性的观察和使世界从中受益的方法》，在书中他表达了他的信仰——革命是上天注定的。冒着个人的风险，他照顾了押解到英国集中营的美国战俘。本杰明·富兰克林是他的挚友，亚当·斯密也是他的旧识。普赖斯和富兰克林都阅读和评论过亚当·斯密所著的《国富论》。

有一种自由一直困扰着普赖斯：借债的自由。他十分关心正处在萌芽时期的国债，而国债正因为英法战争和英国对北美殖民地的战争而日益膨胀。他抱怨国债是“无底的集资”，并将其称为“主要的国家罪恶”。

但是普赖斯不仅仅是一个传教士和人类自由的坚定的维护者，他也是一名数学家。由于在概率领域的杰出工作，他赢得了皇家学会会员的资格。

1765年，3名Equitable Society保险公司的职员找到普赖斯，请他帮助设计一种死亡率的表格，使他们根据这个表格可以计算寿险和年金的保费。在研究了哈雷、穆瓦夫尔和其他学者的工作成果后，普赖斯在《哲学的交易》上发表了两篇关于这个问题的文章。根据他的传记作者卡尔·科恩（Carl Cone）记载，由于全神致力于第二篇文章，他一夜间满头白发。

普赖斯从伦敦保存的死亡记录开始着手研究，但是从这些记录中得出的寿命预期比从实际死亡率得出的数据低很多。随后他转而去研究北安普顿郡的记录，那里的记录比伦敦的记录更认真详细。1771年他在《继承支付的观察》（Observations on Reversionary Payments）一书中发表了他的研究成果，在19世纪之前，这个研究成果被视为该领域的圣经。这项工作还使他赢得了保险精算科学之父的称号——保险精算是概率学中一种复杂的数学计算，今天被所有保险公司用做计算保费的基础。

然而普赖斯的这本书中也含有严重的、代价很大的错误，部分是因为该书所依据的数据不够充分，遗漏了大量未注册的出生数字。而且，他过高估计了年轻人的死亡率，过低估计了年老者的死亡率，并且他在流出和流入北安普顿的人口估计方面也存在瑕疵。更重要的是，他似乎低估了预期寿命，根据这个结果计算所得的人寿保险保费比实际所需的高很多。Equitable Society保险公司因为这个错误发达起来；而英国政府因为使用同样的表格来计算退休者年金的支付，结果损失惨重。

贝叶斯去世两年后，普赖斯将贝叶斯“极具创造性的”文章副本交给了另一位皇家学会的成员——约翰·坎顿（John Canton），他在所附的信件上详细阐明了贝叶斯写这篇论文的目的。随后，1764年皇家学会在《哲学的交易》上发表了贝叶斯的论文，但是即使这样，贝叶斯的创新工作还是被搁置了20年。

下面是贝叶斯如何提出他想解决的问题的：

问题

已知未知事件发生和失败的次数：求某一次发生的概率值在两个可知的概率值间的概率。

这里提出的问题与60年前雅各布所定义的问题恰好相反。贝叶斯问道，我们在对某事一无所知的情况下如何知道这件事情的概率呢；这里我们仅知道这件事出现过的确切次数和失败过的确切次数。换言之，一个大头针要么是残次品，要么是正品。如果我们从100个大头针的样本中发现了10个残次品，那么大头针总产量中——不是任何的100个大头针的样本——残次品率在9%～11%之间的概率是多少？

普赖斯附给坎顿的信中的内容显示了在仅仅100年中，概率分析在现实世界中决策制定的应用上发展到了多么深远的地步。“所有头脑精明的人，”普赖斯写道，“都能明晰我们所谈及的问题绝不是机会学说中一个古怪的投机行为，但是我们有必要解决它，这样才能为我们所有过去的推论和对未来的预期提供确定的基础。”他继续写道，雅各布和穆瓦夫尔都没能准确地以这样的方式提出这个问题，而穆瓦夫尔曾经将解决这个问题的困难描述为“机会学科中最难的问题”。

贝叶斯使用了一个奇特的设计来证明他的观点——特别是对于一个异教的牧师来说更加奇特——一个台球台。第一个球可以在台中滚动，并可以自由地停在台中的任何地方，然后就待在原地。接下来，第二个球以相同的方式在台中滚动，然后记下它停在第一个球右侧的次数，这个次数是“未知事件发生的次数”，而第二个球停在第一个球左边的次数就是失败的次数，即该事件没有发生的次数。这样在单独实验中，第一个球所停位置的概率可以从第二个球“成功”或“失败”的次数中推算出来。

贝叶斯推断体系的主要应用是：使用新的信息来校正基于旧信息所得出的概率，或者用统计术语来说是先验概率和后验概率的比较。在台球的例子中，第一个球代表先验概率，第二个球反复滚动，并持续校正其位置的估计，这代表后验概率。

当新信息出现时，对旧信息进行修正推断的程序源自于一种哲学的观点，这使得贝叶斯的贡献很具现代特征——在动态的世界中，在不确定的条件下，没有唯一的答案。数学家A.F.M.史密斯曾经很好地总结了这个观点：“对我来说，在面对复杂的不确定性时，用科学推理的方法来寻求合理的唯一答案的行为都是对意欲合理进行学习者的一种极权主义的效仿。”

虽然贝叶斯推断体系十分复杂，以致无法详细引述，但是在本章末尾的附录中介绍了贝叶斯推断体系中一个典型的应用例子。

本章所提到的所有成就中最令人兴奋的一个特点是有关不确定性是可以度量的想法。不确定性意味着未知的可能性；为了转变哈金关于确定性的描述，我们可以说在这种情况下某事是不确定的：即当我们的信息是正确的时候，事情却没有发生；或是当我们的信息是错误的时候，事情却发生了。

雅各布·伯努利、亚伯拉罕·穆瓦夫尔和托马斯·贝叶斯为我们展示了如何从现实的事实经验中推断出预先未知的概率。这些杰出的成就令人赞叹，因为它们需要敏捷的思维和对未知事物的大胆探索精神。当穆瓦夫尔援引“原始设计”时，他丝毫不掩饰对自己成就的惊叹。他喜欢引用这样的词语；在另一个观点上，他写道：“如果我们被形而上学的迷雾蒙蔽了双眼，那么我们就会以短浅、表面的方式承认伟大造物者和万物统领者的存在。”

我们现在已进入19世纪，在这个时期，启蒙运动将探求知识作为人类活动的最高形式。这个时期是科学家们拨开眼前形而上学迷雾的时候了。这个时期也没有任何限制探求知识和创造新事物的禁锢。随着新世纪的到来，1 800年前在控制风险工作方面的许多巨大进步获得了不断增加的动力，并且维多利亚时代将提供进一步的推动力。

附录7A：贝叶斯推断体系的一个应用实例

我们回到那个大头针制造公司。这个公司有两个工厂，其中较老的工厂产量占总产量的40%。这意味着随机抽取一枚大头针，不管有没有残次，它有40%的概率是生产自老厂；这是先验概率。但我们发现老厂产品的残次率是新厂的2倍。如果顾客打电话投诉说发现了残次大头针，那么经理应该找哪个厂子负责呢？

先验概率会显示残次品更可能出自新厂，因为它的产量占总量的60%。另一方面，新厂生产的残次品仅占残次品总量的1/3。当我们通过修正先验概率来反映这个附加信息时，新厂生产残次大头针的概率仅为42.8%；而老厂残次品的概率是57.2%。这个新的评估就是后验概率。