第3章 文艺复兴时期的赌徒

皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡（Piero della Francesca，1420—1492），比斐波那契晚200多年。他生活在文艺复兴的中心时期，是圣母像的作者。他的作品概括了15世纪新思想与中世纪旧思想之间的变化。

弗朗切斯卡的画像作品，即使是圣母本身，代表的也是人类自己。他画像中的人物没有光环，是实实在在地站在地面上。它们是由个人的画像组成的，每个人都有着自己的三维空间。虽然他们看似是在那里迎接圣母和圣婴的降临，但是大部分人好像在关注其他的事情。在建筑领域上用影像来制造神秘的哥特式风格已不复存在，在这里，影像被用来强调结构的比重以及空间的轮廓。就是这些，构成了整幅肖像。

圣母的头上好像悬挂着一枚鸡蛋。但是，仔细研究这幅油画后，我们无法确定这代表天堂的生育标志究竟挂在什么地方。如果这些世俗的男男女女们都是虔诚的，那他们为什么没能注意到头顶上这个奇怪的现象呢？

希腊哲学已经被彻底颠覆了。现在，神秘只在天堂中。世间的男男女女们都是独立的人。他们崇拜神灵的代表，但是他们不是神灵的奴仆。这种思想在文艺复兴期间的作品中反复出现。多纳泰罗（Donatello）迷人的“大卫”雕像是在古典希腊和罗马之后制作出来的第一批裸体男像之一。这个《旧约全书》中伟大的诗人英雄自信地站在我们面前，他并不以他未发育全的身体为耻，歌利亚巨人的头颅就被踏在他的脚下。在佛罗伦萨，布鲁内莱斯基（Brunelleschi）制作的巨大的圆屋顶和大教堂都有着精良的质量和简朴的内饰，这些都宣告了宗教信仰已经自然地来到了世间。

文艺复兴是一个发现的时代。在弗朗切斯卡去世的那年，哥伦布扬帆远航；不久，哥白尼变革了人类关于天堂的观点。哥白尼的成就需要高水平的数学技能的支持，在16世纪，特别是在意大利，数学上的进步十分迅猛而且振奋人心。1450年前后，随着活字印刷术的引进，很多数学方面的经典著作被译为意大利文，并以拉丁文或当地的语言出版。数学家们经常公开争论复杂方程式的解答方法，而围观的人们会为自己支持的一方鼓劲。

1494年出版的卢卡·帕奇奥利（Luca Paccioli）所著的一本著名的书促成了这种争论现象的发生。卢卡·帕奇奥利是圣方济会的修道士，他大约于1445年生于弗朗切斯卡的家乡Borgo San Sepulcro。虽然帕奇奥利的家人希望他长大以后能够经商，但是弗朗切斯卡教授他写作、艺术以及历史，并鼓励他能充分利用附近犹比诺法院的著名图书馆里的藏书。帕奇奥利在那里的研究为他后来成为杰出的数学家奠定了基础。

20岁的时候，帕奇奥利在威尼斯找了份工作，做一个富商儿子的指导教师。在那里，他参加了许多有关哲学和神学的公开讲座，还和一位私人导师学习数学。这个聪明的学生，在威尼斯创作了他的第一部出版的数学著作。他的叔叔贝内代托（Benedetto）是一名军官，当时驻扎在威尼斯。他教授了帕奇奥利有关建筑和军事方面的许多知识。

1470年，帕奇奥利迁居到罗马来继续他的研究。在他27岁的时候，他成为圣方济会的修道士，然而，他仍旧居无定所。在1496年定居米兰之前，他曾在佩鲁贾、罗马、那不勒斯、比萨市以及威尼斯教授数学。最终在米兰，他定居了下来，并成为一名数学教授。在这10年以前，他已经获得了教授的头衔，这等同于博士学位。

帕奇奥利的名著《数学全书》（Summa de arithmetic, geometria et proportionalità）出版于1494年（绝大多数的学术著作都使用拉丁文）。虽然这本书被誉为“最抽象、最精妙的数学书”，但是，《数学全书》还应归功于300多年前由斐波那契创作的《算盘书》的启迪。《数学全书》创建了代数的基本法则，包括了能计算到60×60的乘法运算表——在印刷术推广了新的数字体系后，它变得极为有用。

这本书流传最久的贡献是提供了复式记账方法。虽然帕奇奥利十分详细地讲述了复式记账法，但是他还并不是它的发明者。复式记账法的想法曾经出现在斐波那契的《算盘书》中，而在公元1305年左右，一本由一个意大利商社的伦敦分部出版的书中也介绍了这种记账方法。但是，无论它源自何方，这项在会计方法上的革命性的创新有着重要的经济效益。它的重要意义堪与300年后发明的蒸汽机相媲美。

在米兰时，帕奇奥里遇到了莱昂纳多·达芬奇，他们成为了挚友。帕奇奥利为达芬奇的才华所折服，对他在空间运动学、撞击学、重力学以及其他力学等领域的极为杰出的工作称赞不已。他们两人之间有共同语言，因为帕奇奥利非常喜欢将艺术和数学结合起来。他曾经言道：“如果你认为音乐是悦耳的一种自然感觉的话，那么，透视事物也是视觉的一种自然感觉，但是，它更加重要，因为它是通往智慧的首扇大门。”

虽然达芬奇对比例和几何有自己的直觉感官，但是他在遇到帕奇奥利之前，对数学知之甚少。他笔记本中的草图都是用直规和罗盘绘制的。帕奇奥利却鼓励他去掌握他已经凭直觉在使用的数学概念。达芬奇传记的作者之一马丁·坎普（Martin Kemp）认为是帕奇奥利促使了达芬奇将他的理想突然转变成对数学的研究，使得达芬奇对自己的兴趣重新定位。而这是同时期其他思想家所不能做到的。反之，达芬奇也为帕奇奥利的巨著《比例之神》（De Divine Proportione）提供了复杂的绘图，这本书在1498年出现时有两个书写飘逸的手稿。它的印刷版于1509年问世。

达芬奇就有一本《数学全书》，并且一定仔细研究过它。他的笔记本记录了他曾多次想理解倍数和分数，并以此来应用比例。他还一度劝诫自己“向卢卡大师学习根式的乘法”。但今天，达芬奇也许仅仅能够听懂三年级的算术课。

像达芬奇这样的文艺复兴时期的天才们在基础算术方面遇到了许多困难，这也揭示了在15世纪末期人们对数学的理解状态。那么，数学家们是如何在这种情况下进行风险衡量和控制的起步研究的呢？

帕奇奥利感到数字的神奇力量是能够被释放出来的。在《数学全书》中，他提出了这样一个问题：

A和B进行一场公平的球类赌局。他们约定在一方赢得6局时赌局结束。但实际上，在A赢了5局，B赢了3局时，赌局就结束了。那么，筹码该如何分配呢？

这个谜题反复出现在16～17世纪的数学著作中。虽然在叙述上有许多不同，但是问题总是相同的：如何在一场未完成的赌局中分配筹码？答案千差万别，并引发激烈的争论。

这个被认为是点数的问题，比它所展示的东西更为重要。对于这个问题的解决办法标志着系统研究概率的开端。概率是我们对将要发生的事件的信心度。它将我们带到量化风险的门口。

虽然我们可以理解是古代迷信严重阻碍了对概率理论的研究，但是我们仍旧可以饶有兴趣的再次推测为什么古希腊人和古罗马人对帕奇奥利的谜题没有兴趣呢？

希腊人知道未来可能发生的事情要多于实际发生的事情。他们承认自然科学是“可能的科学”——这是柏拉图的术语。亚里士多德在他的《论天》（De Caelo）一书中写道：“想在许多事上或许多时候都成功是十分困难的，比如掷骰子，连续一万次掷出相同的数是不可能的，但是只想掷对一两次，那就相当容易了。”

只需简单的观察就能确认这些情况。然而，希腊人和罗马人是用我们今天并不知晓的规则来进行投机赌博。这种（没能发展出概率的）失败是十分奇怪的，因为在古时这些赌博活动已经十分流行（希腊人已经熟知六面骰子了），同时它也为几率和概率的研究提供了鲜活的实验室。

这些赌博通常使用紫云英或骨头制成的骰子。这些东西都是长方形的，有两个窄面和两个宽面。在赌博时通常要同时掷4个骰子。宽面着地的几率明显要高于窄面着地的几率，所以人们希望窄面着地时得到的分数要高于宽面着地时所得分数。但实际上，虽然窄面不易着地，但得分分别是1和6；而宽面易于着地，得分却分别是3和4。这样两种情况的总分相同。当4颗骰子分别掷出1、3、4、6时——这被称为“维纳斯掷”，得分最高。虽然掷出6、6、6、6和1、1、1、1的几率和维纳斯掷差不多，但是他们的得分就少些。

这是个常识：长期的赢钱或输钱比短期的可能性要小。正如亚里士多德所指出的——这些预判是定性的，而不是定量的，“一两次的达到是相对容易的”。虽然人们极其热衷于赌博游戏，但是没有人能够坐下来计算一下概率问题。

最有可能的原因是希腊人对做实验并不感兴趣，他们只关注理论和证明。他们显然从来没考虑过通过复制某种现象足可以证实某种假设。这大概是因为他们认为日常事务是按部就班的，没有什么规律性。精确是上帝才要负责的事情。

然而，到了文艺复兴时期，从科学家到探险家，从画家到建筑师，人人都热衷于调查、实验和论证。经常玩骰子的人肯定会对其出现的规律性产生好奇。一位生于16世纪的，名叫吉罗拉莫·卡达诺（Girolamo Cardano）的物理学家就是这样的一个人。虽然卡达诺在其他领域也展示了他杰出的才华，但他是个赌徒，就因为这一点，他在风险史上占据了一席之地。令人惊奇的是卡达诺并不为人所知，但他是文艺复兴时期的典型人物。

卡达诺于公元1500年左右生于米兰，1571年逝世。他正好与本韦努托·切利尼（Benvenuto Cellini）同一时代。卡达诺和切利尼一样，是最早写自传的一批人之一。卡达诺自传的书名是《我的一生》（De Vita Propria Liber）。这是怎样的人生啊！事实上，卡达诺在知识上的好奇心远远超越了他自我。例如，在他的自传中他列举了他所在时代的四大功绩：探险前人未知的其他大陆的新纪元，火器和炸药的发明，罗盘的发明，活字印刷术的发明。

卡达诺骨瘦嶙峋，他的脖子很长，下唇很厚，一只眼睛上长有肿瘤。他的嗓门很大，甚至他的朋友都对此表示抱怨。据他自己描述，他得过痢疾，皮裂，肾病，心悸，甚至得过乳头炎。他还吹嘘道：“他脾气暴躁，头脑简单，沉溺于女色。同时他还狡猾、爱讽刺人，勤劳、鲁莽，忧郁、叛逆，当过魔术师和巫师，招人讨厌，好色，淫秽，说谎，谄媚，喜欢像老人那样啰嗦。

卡达诺是赌徒中的赌徒。他承认他“沉溺于桌上赌博和骰子赌博……很多年来……正如我耻于所说的，我不是经常赌，而是每天无时无刻不在赌”。他参加各种赌博，从骰子、纸牌到象棋。他甚至将赌博当成有益的东西进行介绍：“当我极度烦躁或者悲伤的时候，我发现经常玩骰子可以给我带来很大的安慰。”他讨厌那些乱说话的人。他熟知各种作弊手法。他还特别反对那些在纸牌上抹肥皂的赌徒（因为使用这种方法，他们可以轻易地换牌）。在他对掷骰子的概率的数学分析中，他仔细地评估了自己的结果，但是他仍旧大量输钱，这足以使他得出结论：“赌博的最大收益是根本不去赌博。”他可能是历史上第一位认真分析机会赌博的人。

卡达诺不仅仅是一个赌徒和兼职的数学家，他也是当时最著名的物理学家，甚至教皇、皇室成员及其家庭都渴望得到他的建议忠告。但是他对宫廷密斗并没有兴趣，他拒绝了他们的邀请。他还最早描述了斑疹伤寒的临床症状，记述了梅毒的病症，并提出了进行疝气手术的新方法。而且，他还认为：“人的思维是最重要的。如果它出了问题，那么身体的其他部分都会有毛病；如果思维没有问题，那么身体就会很健康。”他极爱洗澡和淋浴。1552年，他受邀到爱丁堡为苏格兰的总主教治疗哮喘时，他根据自己了解的过敏方面的知识，建议主教使用未经编织的丝制床单被褥而不是用羽毛制成的被褥，建议使用亚麻枕头而不是皮质枕头，并建议使用象牙梳子。在他离开米兰前赴爱丁堡时，签的工作合同是每天10个金币，但是40天后，当他离开爱丁堡时，他的病人（大主教）十分感激他，付给了他1 400个金币，并送给他很多值钱的礼物。

卡达诺一定是一个大忙人。他出版了131部书，据说有170多部书在出版前被烧掉了。在他逝世时，还留有111部书的手稿。他的著作涉猎的领域极为广泛，涉及数学、天文学、物理学、泌尿学、牙病学等领域，还包括圣母玛丽娅的一生，基督耶稣诞生时的星位，道德与非道德，尼禄（残暴统治，Nero），音乐与梦想等主题。其中，最畅销的书是《有关事物的精妙性》（De Subtilitate Rerum），这本书收录了许多论文，分为6章，其内容涉及科学、哲学以及许多神话和离奇的故事。

卡达诺有两个儿子，但是都给他带来了极大的痛苦。在《我的一生》一书中，卡达诺是这样描述他最喜爱的大儿子詹巴蒂斯塔的：“右耳失聪，小小而苍白的眼睛游离不定，左脚只有两个脚趾，如果我没记错的话，他第三第四脚趾由膜皮连在一起，形成了最大的脚趾。他的背有一点驼……”詹巴蒂斯塔娶了一个不检点、不忠于他的女孩。她承认，她的三个孩子都不是詹巴蒂斯塔的。在这个地狱般的婚姻维持了3年之后，卡达诺极其绝望，他命令他的仆人制作了一个放有砒霜的蛋糕，让他的儿媳吃了这个蛋糕。她很快死去了。卡达诺尽一切所能去拯救他的儿子，但是詹巴蒂斯塔承认了谋杀的行为。一切都无法挽回了。在前往断头台的路上，押送詹巴蒂斯塔的士兵砍掉了他的左手，并折磨他。卡达诺的小儿子阿尔多则屡次盗窃他父亲的财物，至少8次被抓进监狱。

卡达诺还有一个年轻的养子洛多维科·费拉里（Lodovico Ferrari），一位杰出的数学家，并一度成为曼图亚（Mantua）主教的秘书。费拉里14岁的时候，和卡达诺开始生活在一起，精心照料这个老者，并把自己视为卡达诺所生。他经常以卡达诺的观点同其他的数学家进行辩论。某些权威认为很多为卡达诺带来声誉的观点其实都是费拉里想出的。然而，费拉里的出现也并没有减轻卡达诺的儿子们给他带来的痛苦。费拉里这个单身汉在一次酒吧争斗中失去了右手的全部手指，并且在43岁时，被他妹妹或是情人毒死了。

卡达诺在数学方面的名著《伟大的艺术》（Ars Magna）于1545年出版。在此时期，哥白尼公布了他在行星体系中的发现，而维萨里正在编写有关解剖学的论文书。《伟大的艺术》这本书是在“+”、“-”号出现5年后出版的。

《伟大的艺术》一书是文艺复兴时期第一部有关代数的专门著作。在书中，卡达诺直接对三次、四次方程式解答方法进行讲述，甚至他还艰难探索了负数的平方根问题，这个概念在新数字系统被引入之前是不为人所知的，对于许多人来说仍然是极为神秘的。虽然当时的代数表示方法十分原始，每个数学家都使用自己的符号，但是卡达诺开创的a、b、c的代数符号，今天的学生都对此极为熟悉。令人感到奇怪的是卡达诺没有能够解出帕奇奥利的关于球的游戏的谜题。他尝试了，但是和他同时期许多杰出的数学家一样，失败了。

卡达诺关于赌博的论文名叫《机会赌博之书》（Liber de Ludo Aleae）。aleae一词指的是玩骰子的赌博，另一个词aleatorius源自同一词根，它统指机会赌博。现在英文中aleatory这个词就来源于这些，它指的是不能确定结果的事件。这样，罗马人用他们优雅的文字，无意中为我们把赌博和不确定性联系在了一起。

《机会赌博之书》好像是人们第一次认真努力地去研究概率的统计原理。但是概率这个词本身并没有在书中出现。卡达诺的书名和许多其他的文章中都有使用“机会”这个词来表示概率的意思。概率的拉丁语词根是由probare和ilis的组合而成的。probare的意思是实验，证明，核准；而ilis的意思是“能够成为”。从可以证明或值得核准的意义来说，卡达诺可能知道这个词。概率和随机性间的联系——也就是机会赌博所涵盖的东西——即使到《机会赌博之书》发表100多年后也没被广泛应用。

根据加拿大哲学家伊恩·哈金（Ian Hacking）的观点，概率的拉丁语词根有些“值得认可的”之意。这个词长时间以来一直表达这个意思。作为例证，他引用了丹尼尔于1724年发表的小说《幸运的主妇》（Roxana）中的一段文字。那个妇人劝说一个普通男人照料她，说道：“生活舒适的确是我的首要想法，而且它也是十分可能的。”这里的意思是她已经找到了一种生活方式，这种生活方式能够使她在富人面前保持自尊。正如哈金指出的，“她已经从卑微的出身中跳了出来。”

哈金还引用了另外一个例子来说明概率这个词意思的多变。伽利略能准确使用probabilità这个词，他指出哥白尼的地球围绕太阳转的理论是“不可能的”，因为它和人们亲眼所见的太阳围绕地球转动的事实相冲突。这个理论之所以不可能是因为它没有被证明。几十年后，德国学者莱布尼茨用该词的另一种意思对哥白尼的理论进行了描述，他认为其理论是“极为可能的”。哈金写道，对于莱布尼茨来说，“概率是由证据和理由来决定的。”事实上在德语中，wahrscheinlich一词很恰当地表达了这个概念的意思：这个词从字面上翻译成英文为“真实的体现”。

概率总是有两层含义，一种代表未来，另一种阐述过去；一个有关我们的看法，另一个有关我们知道的事实。这种不同将在本书中反复出现。

概率的第一层含义是指对信念的认知程度，或是对观点的可证明度。这是概率的一种很实质的解释。学者们用“认识论”这个词来传达这种含义。认识论指的是人类的知识是有限的，它不能分析所有的事物。

第一种含义出现的时间比第二种早得多，而衡量概率的想法是在后来才出现的。这种含义是随着时间的推移从证实的思想中发展而来的。我们能对我们所知的事物接受多少呢？根据伽利略的理解，概率是指我们对被告知的事物能够认可多少。在后来莱布尼茨的用法中，概率指的是我们对证据的信任度。

直到数学家们对过去事件出现的频率有了理论的理解后，有关概率的更新颖的观点才浮出水面。卡达诺可能是首先介绍概率理论中统计方面知识的学者了。但是在他的时代中，这个词的用法一直围绕着事物实质的一面，始终也没能用于概率的衡量方面，尽管他一直想向着这方面努力。

卡达诺已经感到他正在接近一个重大发现。他在他的自传中写道，《机会赌博之书》是他最伟大的成就之一，并认为他已经“发现了成千件奇事的根由”。注意“根由”这个词。事实上，每个赌徒都知道书中所讲的频率，但是书中却没有介绍有关频率的理论。在书中，卡达诺表达了理论家们一贯的悲叹：“……这些事实仅能用于理论的理解，不能用于实际的赌博。”

在自传中，卡达诺表述了他是在1525年创作的《机会赌博之书》，那时他还很年轻。1565年他重新修订了这本书。虽然在书中有许多杰出的创意，但是从很多方面来看，这本书还是一团糟。这本书是卡达诺用草记的笔记整理而成的，所以书中经常会出现相同的问题在不同的地方有着截然不同的答案的情况。而缺乏系统地使用数学符号使得情况变得更加复杂。这本书在卡达诺在世时并没有出版，在他死后，手稿才被人发现。1663年，该书在巴塞尔首次出版。从那时起，概率理论在他人的研究下取得了显著的进展，而他们却不知道卡达诺所起的领航作用。

卡达诺的工作在100年后才被数学家们了解并利用。要不是耽误了这百年的时间，他的有关赌博概率的概括总结肯定会极大地推动数学和概率理论的进步。卡达诺第一次定义了分数：用我们想要的结果数量除以总的结果数量——即可能结果的总数。我们现在习惯用它来表示概率。例如，掷硬币的几率是50-50，即硬币两面中任何一面朝上的可能性是相等的。从一副牌中抽出一张皇后的几率是1/13，因为一副52张的牌中有4张皇后。然而，从一副牌中抽出黑桃皇后的几率是1/52，因为一副牌中只有一张黑桃皇后。

让我们来了解一下卡达诺推理的思路。这可以根据卡达诺对骰子赌博中每一掷的可能性的详细阐述来进行。下面的段落摘自《机会赌博之书》的第15章——关于骰子的投掷，他很清楚地讲述了前人从未提及的总原则。

骰子的任意三个面出现的几率是相等的；因为一个循环需要6次抛掷；所以，在3次抛掷中，任一指定面出现的几率是相等的。或者说，在一次抛掷中，三个指定面中的任意一面都可能出现。例如，我可以很容易的抛出1、3、5，也可以很容易地抛出2、4、6。如果骰子是可信的，就可据此下注。

卡达诺进一步展开了对这个问题的研究。他计算了在以任两个面为一组时（例如1或2），一次投掷出其中一个面的概率。答案是1/3，或者是33%，因为这个问题涉及了骰子6个面中两个。他还计算了连续投中相同数字的概率。

连续两次投中1或2的概率是1/9，它是1/3的平方或者是1/3×1/3。连续3次投中1或2的概率是1/27，或者是1/3×1/3×1/3，而连续4次投中1或2的概率是1/3的4次方。

卡达诺继续计算用两个而不是一个骰子投出1或2的概率。如果用一个骰子掷出1或2的概率是1/3，那么凭直觉我们可以想到用两个骰子掷出1或2的概率将是用一个骰子掷的2倍，也就是67%。但是实际上，正确的答案是5/9，或是55.6%。

当用两个骰子投掷时，掷出的结果既有1又有2时的概率是1/9，而掷出的结果有二者其一的概率我们已经计算过了；因此，我们必须将1/9从由我们直觉预测的结果67%中减出去，因此，结果为1/3+1/3-1/9=5/9。

卡达诺进一步研究了用多个骰子连续更多次的掷出更多点数的概率。最终，通过研究，他概括了机会原理，并将实验转变为理论。

当不再投掷一个，而开始投掷两个骰子时，卡达诺在分析其结果时，迈出了重要的一步。让我们再重新回顾一下他推理的思路，只不过这一次我们更详细些。虽然两个骰子共有12个面，但卡达诺并没有认为掷出1或2的可能性仅仅限于这12种可能的结果。例如，他考虑到掷骰子的人第一个骰子掷的是3，而第二个是4。同样，他第一个可能掷出4，而第二个骰子掷的是3。这两种情况的结果是一样的。

所有可能的组合的数目组成了可能出现的结果总数，其总计要比两个骰子12个面这个数量多得多。卡达诺认识到了数字组合的倍数作用，这使他在发展概率原理方面迈出了关键的一步。

计算概率时，组合应用是十分重要的，而骰子赌博正为此提供了有用的例证。正如卡达诺证明的那样，抛掷两个骰子会产生36种可能性——从蛇眼（两个1点）到棚车（两个6点），而不是11种（从2～12）。

7是骰子赌博中很关键的数字，它最容易被掷出。它的可能性是掷出两个1，或是两个6的可能性的6倍，是掷出另一个关键点11点可能性的3倍。掷出7点可以有6种不同的组合：6+1、5+2、4+3、3+4、2+5、1+6。注意这些配对仅仅是源于下面3个组合：5+2、4+3、1+6。11点仅以两种方式出现，因为它仅是一组数的组合之和：5+6或是6+5。而两个1或两个6仅能以一种方式出现。精明的玩骰子的赌徒们一定会记得下面的表格（见表3-1）。

在另一种叫做双陆棋的赌博中，玩家要掷两个骰子。每个骰子或者叠加计算，或者单独计算。这就意味着，当两个骰子掷出时，出现5点的情况，有以下15种方式：5+1、5+2、5+3、5+4、5+5、5+6、1+5、2+5、3+5、4+5、6+5、1+4、4+1、2+3和3+2。这样，掷出5点的概率是15/36，即大约42%。

语言学在这里很重要。正如卡达诺指出的，一个结果概率指的是这种结果可能出现的数量与总数量之间的比率。而几率指的是这种结果和总量中其他结果的比率。很显然，几率是依赖于概率的，但是我们打赌时，几率更加有用。

如果在双陆棋的赌博中，掷出5点的概率是15/36（36投15中），那么掷出5点的几率就是15:21。如果在骰子赌博中，掷出7点的概率是1/6（6投1中），那么掷出除7以外其他点数的几率是5:1。这意味着，当其他人押5元钱赌骰子掷不出7点时，你最多只能押1元与之对赌（7点会被掷出）。掷硬币时，头像出现的概率是50/50，或者是1/2。既然头像出现的几率是相等的，所以下注时，永远不要多于你的对手。如果最不被看好的赛马获胜的几率是20:1，那么这匹马获胜的概率从理论上看是1/21，或是4.8%，而不是5%。

在现实中，几率往往会小于5%，因为和骰子赌博不一样，赛马不能在起居室中进行。赛马需要跑道，而跑道的所有者和批准赛马赌博的地方政府都能够优先分筹。如果你根据概率，重新计算每匹赛马获胜的几率，例如，20:1的赛马获胜的概率是4.8%，并把这些概率加总。这时你会发现，其总数会超过100%。这超出的数量，就是赛马场主和地方政府抽头的部分。

我们永远也不会知道卡达诺创作《机会赌博之书》的目的是作为赌博人士的启蒙之书呢，还是用做有关概率原理方面的理论著作。考虑到赌博在他一生中的重要性，他工作的主要灵感来源于赌博的规则。但是我们不能仅仅局限于此。赌博是理想的实验室，在其中，我们可以进行量化风险的工作。从卡达诺强烈的求知欲以及他运用复杂的数学原理去解决《伟大的艺术》中的问题的行动中我们可以看出，卡达诺为了能够在赌桌上取胜，探寻了许多方法。

卡达诺创作《机会赌博之书》是以一种实验的方式开始的，但最终是以理论概念的结合收尾。《机会赌博之书》不仅展示了卡达诺在机会赌博中概率作用这一课题上具有独创性的洞察力，还展示了他在解决问题时所具有的杰出数学知识，而且本书还是我们已知的第一本有关风险衡量方面的书籍。卡达诺成功地开展了这项工作，而风险管理就来源于此。无论他的动机是什么，这本书从其独创性及数学的大胆革新来看，都是不朽之作。

但是这个故事的真正英雄不是卡达诺，而是他所生活的时代。能够得出卡达诺所研究成果的机会已经存在了几千年了。至少在卡达诺创作出《机会赌博之书》300年之前，印度——阿拉伯数字体系已经被引进到欧洲。但当时所缺乏的是自由的思想、动手实验的热情以及控制未来的欲望，而这些在文艺复兴时期全部被释放出来。

最后一个仔细研究概率的比较重要的意大利人是伽利略。他出生于1564年，和威廉·莎士比亚同年。那时，卡达诺已经上了年纪。伽利略和他的许多同代人一样，喜欢动手做实验。他注意观察身边的所有事物，他甚至用自己的脉搏来帮助计量时间。

1583年的一天，伽利略在比萨市的一座教堂中参加教会活动。他注意到头顶上盖在天花板上的一盏灯在摆动。随着从教堂通风缝隙中吹来的微风，那盏灯在无规则地摆动，一会儿幅度大些，一会儿幅度小些。通过观察他发现，不管幅度大小，每次摆动所需的时间都是相同的。这次偶然的发现使钟摆被引入到了钟表的生产中去。在30年的时间内，平均的计时误差从一天15分钟缩减到不超过10秒钟。这样，时间和技术联系在了一起。而伽利略就是这样使用他的时间的。

几乎40年之后，伽利略被比萨大学聘为首席杰出数学家，并被托斯卡纳地区的大公爵科西摩二世聘为皇室的数学家。那时，他写了一篇关于赌博的短文，“是为了回复他们交与我的使命，他们要求我写下我对这个问题的看法”。这篇短文的题目是《论玩骰子》（Sopra le scoperte dei Dadi）。文章使用的是意大利语而不是拉丁语，这暗示了伽利略并不喜欢这个论题，他认为，这个论题并不值得认真研究。他似乎在进行一项他并不苟同的杂事，而其目的仅仅是为了能改进其东家——大公爵的赌技。

在本文中，伽利略重新描述了卡达诺的许多工作，但是，卡达诺的关于赌博的文章在40年后才被发表。我们推测伽利略可能很了解卡达诺的成就。历史学家和统计学家弗洛伦斯·奈廷格尔·戴维（Florence Nightingale David）认为，由于卡达诺已经长时间地思索了这些想法，他肯定和他的朋友们讨论过这些问题，况且他还是一位很受欢迎的演说家。所以，即使数学家们没读过《机会赌博之书》，他们可能也十分熟悉该书的内容。

和卡达诺一样，伽利略也研究了掷一个或掷多个骰子的实验，并对不同组合和各类结果的频率得出了概括性的结论。而且，他认为方法论是每个数学家都能模仿的东西。显然，到1623年的时候，概率的偶然性理论已经很完善地建立起来了，并且，伽利略认为没有什么可以再研究的了。

但是仍有许多东西有待发现。在法国、瑞士、德国和英国，人们对这个科目越来越感兴趣，以致有关概率和风险的许多想法快速出现。

17、18世纪时，特别是在法国，数学革新得到了真正的爆发，这远远超越了卡达诺的凭经验掷骰子的实验。在计算和代数学方面的进步致使大量抽象概念产生，而这为概率的许多实际应用奠定了基础。这些应用包括从保险、投资到关联较远的如医药学、遗传学、分子行为、战争行为以及天气预报等科目。

第一步是设计度量技术。它能用来决定在不确定的未来中多大程度地隐藏着有序的成分。从17世纪早期开始，人们试探性地开展发明这些技术的工作。例如在1619年，一个名叫托马斯·盖塔克（Thomas Gataker）的清教徒出版了一本很有影响力的著作《关于自然界以及抽签的使用》（Of the Nature and Use of Lots）。在书中，他坚持认为是自然法则而不是神的法则决定了机会赌博的结果。到17世纪末（这时卡达诺已逝世大约100年，伽利略逝世近50年），概率分析中的主要问题都被解决了。接下来的一步是解决人们如何认识概率，如何应对概率。这最终是有关风险管理及决策制定的所有问题。度量和实质之间的平衡是整个风险故事的焦点。