《量化投资：以MATLAB为工具(共14章，未录完)》

18.1 背景介绍

18.1.1 广义极值分布

资产收益率具有尖峰厚尾的性质，早在20世纪60年代由Mandelbrot通过棉花期货收益率的实证而发现。而中国市场的资产收益率历史数据也具有明显的尖峰厚尾性质。而一类重要的收益厚尾和非对称性特征建模即广义极值分布(Generalísed Extreme ValueDistribution，又称GEV分布)，其能够对收益率样本提供更为平滑的尾部描述与更加准确的极端事件发生的可能性进行捕捉。Jenkinson依据极值理论建立了广义极值分布(GEV)，随后GEV分布也在金融领域内得到了广泛的应用，诸如测度资产收益的风险价值(VAR)和条件风险价值(CVAR)等。

1. 广义极值分布简介

假设资产收益率服从广义极值分布，即更加关注收益率的厚尾和非对称的情况。设α(α>0)为尺度参数(Scale Parameter)、β(-∞<β<∞)为位置参数(Location Parameter)、ξ(-∞<ξ,<∞且ξ≠0)为形状参数(Shape Parameter)，则广义极值分布的累积分布函数为：

当ξ,趋近于0时，广义极值分布即为极值分布。极值分布的累积分布函数为：

广义极值分布的参数估计可以利用最大似然估计、最小二乘估计与一些非参数方法。

2. MATLAB的广义极值分布函数

MATLAB拥有自带的GEV分布函数，以下代码具体见Gev_Distribution.m。

(1) gevpdf：GEV分布的密度函数，Y=gevpdf(X，K，SIGMA，MU)，K是形状参数(Shape Parameter), SIGMA是尺度参数( Scale Parameter), MU是位置参数(Location Parameter)。基于不同的GEV参数，可以描绘不同的分布密度曲线。

运行结果如图18-1所示。

(2)gevcdf: GEV分布的累积分布函数。类似于GEV分布的密度函数，同样可以描绘出不同的累积分布曲线。

(3)广义极值分布的随机数生成函数gevrnd。生成单个GEV随机数: gevrnd(K，Sigma，Mu); 生成矩阵随机数: gevmd(K， Sigma，Mu，[M N])。

(4) 广义极值分布的参数估计说明函数gevfit: Paramaters是一个一行三列的向量，第一个参数为K(形状参数)，第二个参数为Sigma(尺度参数)，第三个参数为Mu(位置参数)，如Paramaters=gevfit(x) ;如果加入极大似然估计的迭代算法选项Options设置statset指令，则Para2=gevfit(x，[]，statset('Maxlterγ.. ,'TolX',…,'Robust',…,'TolFun'，...)) 。具体指令如下:

18.1.2 GEV分布与目标价格的突破概率

如果GEV分布的参数己知(资产价格序列统计性质己知)，基期价格S₁己知，那么可以基于这些参数去模拟未来T个资产价格序列(时间区间[2，T+l])。给定一个目标价格K_H且目标价格大于基期价格S₁ (S₁<K_H)，如果模拟序列内的某一价格S_t ( 2<t≤T+l )大于等于K_H (K_H≤S_t)，则称为多头目标突破;给定目标价格K_L且目标价格小于基期价格S₁ (K_L<S₁)，如果模拟序列内的某一价格S₁(2<t≤ T+l)小于等于K_L(S_t≤K_L)，则称为空头目标突破。如果模拟序列内的任何价格均不突破目标价格，则称为目标无法突破。

1. 突破概率

假设资产价格序列统计性质己知，即广义极值分布的参数资产基期价格己知，进而可以依据己知参数模拟N个时间区间为[2， T+l]的价格序列，给定目标价格K_H和K_L，如果分别有M_H个和M_L个序列产生了多头目标突破和空头目标突破，则多头突破概率为M_H/N，空头突破概率为M_L/N。

2. 突破概率的MATLAB模拟

基于以上分析，针对多头突破概率M_H/N与空头突破概率M_L/N的模拟如下：假设尺度参数α为0.0098，位置参数β为0.0023，形状参数ξ为0.8795(王春峰等.基于极值理论的高频条件VaR动态区间估计模型[J].系统工程理论与实践)。设时间区间T分别为100 和200，模拟的价格序列个数N分别为100、1000、10000，基期价格设置为S=10，目标价格设置K_H=l.lxS或者1.05×S，且K_L=0. 9xS或者0.95×S，而服从广义极值分布的收益率模拟可以基于MATLAB的gevmd指令来生成。

基于不同模拟次数下的突破概率(ξ=0.8795、α=0.0098、β=-0.0023):HitProbability_Stat1.m