8.3.1 期权定价的数值方法概述
在介绍二叉树定价模型之前，先来了解一下常用的期权定价的数值方法。
在金融市场中，只有少数的期权品种可以得到相对简单的解析式定价公式，绝大部分期权的价格无法通过解析方法求得。即使理论上可以得到比较完整的计算模型，但通常由于计算模型过于复杂，实现起来非常困难，有时是不可能实现的，所以数值分析方法就成为解决期权定价问题的重要方法之一。近年来，许多数学家、经济学家针对该问题进行了大量的研究和探讨，得出了很多有效的数值分析方法，大体可以分为三个基本类型：网格分析方法(Lattice Method)、有限差分方法(Finite Difference Method)和蒙特卡罗模拟方法(Monte Carlo Simulation Method)。下面简要介绍这些方法的基本思想与应用。
1. 网格分析方法
网格分析方法的基本原理是在风险中性条件下，首先将期权的标的资产价格的运动过程表示为离散形式，然后再利用动态规划的方法为期权定价，主要包括二叉树模型、三叉树模型等。
1979年，Cox、Ross和Rubinstein提出了二叉树期权定价模型，也记为CRR模型实证研究表明利用CRR模型估计的期权价格，特别是美式期权价格，呈现出震荡收敛的特点，说明二叉树模型进行价格估计收敛速度较慢。近年来，很多学者对传统的二叉树方法进行了大量的改进，改进的思路主要集中在二叉树方法的精度和计算效率两个方面。
在二叉树定价模型中，由于标的资产在一个时间段内的收益状态只有两种可能性，这使得计算结果的误差较大。为了保证计算精度，可采取的方法是把期权的有效期分为更多个时间段以期获得更多的收益状态，这种方法的弊端是导致计算量大增。因此有学者提出将每一个时间段内的可能状态由两种增加为三种，也就是将二叉树模型扩展成三叉树模型，采用这种方法来提高计算精度。相较于二叉树方法，三叉树定价模型的构造更加复杂“第一，从每个节点有三个分支发出，而不再是两个；第二，对于三叉树树图上的不同部分而言，其分支的概率不相同；第三，分支的变化模式可能会发生变化。上述特点使得三叉树方法比二叉树方法复杂很多，如果为同一个期权定价，三叉树模型的计算复杂度大约为O(3/2n2)，这个结果明显高于二叉树方法的计算复杂度。但对于比较复杂的期权如障碍期权，三叉树定价方法求解则更具优势。
二叉树和三叉树等基本定价模型可以为欧式期权和普通的美式期权以及具有多标的变量的期权品种定价，尤其是在一维问题中得到了广泛的应用。但是这两种模型本身也存在局限性，在许多情况下无法得到理想的估计效果。例如利用传统的CRR模型对美式期权或利用普通的三叉树模型对障碍期权定价的时候，定价过程都呈现出明显的震荡。虽然对模型的改进在一定程度上改善了震荡性，但并没有从根本上解决问题。此外，这类网格定价模型在对高维的美式期权定价时，随着处理问题的维数增加，计算工作量和数据处理量都将呈指数型增长。因此网格定价模型对于较低维数期权的价格估计能取得较理想的效果，但解决高维问题还存在非常大的困难。
2. 有限差分方法
有限差分方法的主要原理是：首先将期权满足的微分方程按照一定方式转化为许多个差分方程，接着再利用逐步迭代法求出这些差分方程的解，主要包括内含差分方法和外推差分方法两大类。
有限差分方法能够处理欧式期权和美式期权，但在处理多标的变量的期权定价时也会出现"维数灾难"问题。
3. 蒙特卡罗模拟方法
蒙特卡罗模拟方法的基本原理是:在风险中性条件下，首先模拟出标的资产在期权的有效期内价格变化的一系列样本路径，再对每一条路径的收益进行贴现，最后对每一条路径的贴现收益求平均值，由此求得该期权价格的估计值。
相对于网格分析和有限差分方法而言，蒙特卡罗模拟方法具有两个优点：一是比较灵活，易于实现；二是能更好地解决高维的期权定价问题。蒙特卡罗模拟法的缺点是在处理一些复杂的期权问题时，需要通过多次模拟的方式来增加估计精度，因而将产生较大的估计方差。针对这一问题专家学者们提出了很多有效的改进措施，主要有以下三个方面：一是方差减少技术，主要包括控制变量技术、对偶变量技术、矩匹配方法、重要性抽样技术、分层抽样技术和条件蒙特卡罗模拟等；二是在低偏差率序列的基础上提出的拟蒙特卡罗模拟；三是引入了动态规划理论及图论原理的美式期权定价的蒙特卡罗模拟。这些技术提高了蒙特卡罗模拟方法的估计效率，进一步扩大了其应用范围。
4. 小结
不同的数值方法针对不同的期权定价，在计算精度和计算效率上各有利弊，本章重点介绍二叉树模型和相关的数学过程，以及在二叉树模型下相应希腊字母的估计，并给出二叉树模型与Black-Scholes模型的对比测试、欧式期权与美式期权的相关性质的对比测试等。
8.3.2 二叉树定价模型
二叉树期权定价模型由Cox、Ross和Rubinstein首先提出(论文截图如图8-24所示)，目前已经成为金融界最基本的期权定价方法之一，其优点是比较简单、直观，不需要太多的数学知识就可应用。
1. 二叉树模型的数学过程
直观理解， 二叉树方法就是用离散的模型模拟资产价格的连续运动，利用均值和方差匹配来确定相关参数，然后从二叉树的末端开始倒推即可计算出期权价格。
1) 单步二叉树模型
首先来看一下单步二叉树模型。
假设一只无红利支付的股票，当前时刻t的股票价格为S，基于该股票的某个期权价值是f，期权的有效期是T。在这个有效期内，股票价格或者上升到Su，或者下降到Sd(u>1, d<1) 。当股票价格上升到Su时，假设期权的回报为fu；当股票的价格下降到Sd时， 期权的回报为fd，如图8-25所示。
可以在二叉树模型中应用风险中性定价原理为期权定价。在风险中性世界中，假定股票上涨概率为p， 则股票下跌概率为1-P。由于股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必须等于该股票目前的价格，因此可由下式求出p：
2) 资产价格的树形结构
当时间间隔非常小的时候，比如在每个瞬间，资产价格只有这两个运动方向的假设是可以接受的。但是在较大的时间间隔内，上面的二值运动的假设显然不符合实际。因此，二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动。由统计学原理可知，当n趋于无穷大时(n为二项分布参数)，二项分布就趋近于正态分布，因此将一段时间分割成足够多的小时间间隔时，二项分布就逼近于正态分布。
应用多步二叉树模型来表示资产价格变化的树形结构示意图如图8-26所示。
当时间为0时，资产价格为S。当时间为Δt时，资产价格要么上涨到Su，要么下降到Sd，相应的期权价格估计值为f1.1和f1.0。当时间为2Δt 时，资产价格有三种可能：Su2、Sud(Sud=S, ud=1时)和Sd2，相应的期权价格估计值为f2.2、f2.1 和f2.0。以此类推，一般而言，在iΔt 时刻，资产价格有i+l 种可能，可用如下符号表示：
3) 参数的确定
在建立二叉树的过程中，最重要的是参数P、u和d的确定。衡量资产价格的树形结构的好坏的标准是它能否逼近资产价格的真实分布，因此u和d的确定必须要与资产价格的漂移率(μ)与波动率(σ)相吻合。
在风险中性世界中，若期初的资产价格为S，则在很短的时间间隔Δt末，资产价格的期望值应为SerΔt。因此，参数p、u和d首先必须满足以下要求，即
此时得到的模型为JR二叉树模型(JR模型)，也称为EQP模型(Equal ProbabilitiesModel，等概率模型)。这种方法的优点在于无论σ和Δt如何变化，概率不变；缺点是二叉树图中的中心线上的标的资产价格不会再和初始中心值相等。
本章若无特殊说明，主要使用CRR模型进行测试，下文中二叉树模型均指CRR模型。参数p、u和d确定之后， 就可以得到每个节点的资产价格，这样就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树形结构图的最末端时刻开始往回倒推得出期权定价。
4) 二叉树模型的一般定价过程
下面给出用数学符号表示的二叉树期权定价方法，这里以无收益证券的美式看跌期权为例。假设把该期权有效期划分为N个长度为Δt的小区间，令fij在时间iΔt时第j个节点处的美式看跌期权的价值，其中0≦i≦N，0≦j≦i，将fij称为节点(i,j)的期权价值，同时用Sujdi-j表示节点(i,)处的证券价格。由于美式看跌期权在到期时的价值是max(X-ST,0)，其中X 为期权的执行价格，ST为证券到期时价格，所以有：
假定在风险中性世界中，从节点(i，j)移动到节点(i+1, j+1)的概率为p，移动到节点(i+1，j)的概率为1-P。期权不被提前执行，则节点(i，j)的期权价值为：
其中，0≦i≦N-1，0≦j≦i，该式事实上是欧式期权在节点(i，j)处的期权价值。由于美式期权有可能被提前执行，因此式中求出的fi,j必须与该节点提前执行期权的收益
(X-SuJdi-j)比较，并取二者中的较大者。因此：
按这种倒推法计算，当时间区间的划分趋于无穷大，或者当每一区间Δt趋于0时，就可以求出美式看跌期权的准确价值。若仅求期权价值， 一般将时间区间分成50步及以上就可以得到较理想的结果；但如果还要使用二叉树模型估计相应的风险指标，那么就需要更多的步数才能保证结果更精确，下文会有一些相关测试。
2. 二叉树模型的MATLAB测试
由于二叉树模型过程比较清晰明了，所以很容易编程实现，MATLA8内置函数binprice可以直接实现二叉树模型(CRR模型)。
图8-27给出了二叉树模型的一个树形结构图形展示，其中每个方框内的左边数值为每个节点的标的资产价格，右边数值为每个节点的期权价格，横轴为二叉树模型步数，纵轴为标的资产价格。
通过变动二叉树模型的步长数，可以测试二叉树模型的精度和收敛方式，由于Black-Scholes定价模型可以给出欧式期权的精确解，故这里以Black-Scholes模型给出的欧式看涨期权为对比标准价格，步长设置为1到100步，如图8-28所示。
通过图8-28可以看到，二叉树模型对于实值期权和虚值期权的收敛方式并不与平值一样具备明显趋势性，但整体上当步数足够大时，都以震荡的方式收敛于对比标准价格。
8.3.3 二叉树模型下的希腊字母计算和测试
在上文8.2.2节中介绍过期权价格的敏感性分析可以由希腊值来刻画，在二叉树模型下，可以对常见的希腊字母进行估计。下面详细介绍二叉树模型下不同希腊字母的计算方法，该节所用的数学符号的意义与上文的一样，相关含义可参看上文。
使用类似的方法可以进行Rbo的估计。
下面在相同的参数设置下，对比二叉树模型和B-S模型下的欧式现货期权希腊宇辱的差异。由于在B-S模型下相关希腊字母都有解析解，故将B-S模型下得到的希腊字母作为对比标准，测试中二叉树模型步数采用100步和1000步两组进行对比。各希腊字母的对比测试结果如图8-29~图8-33所示。
通过上面这些测试结果，粗略得出如下结论:
(1) 在二叉树模型下对希腊字母的估计，若想要得到高精度的估计值，需要设置较大的步数(1000步或以上)，否则的话可能估计值不够精确，会导致实际操作中的一些误差，比如在Delta对冲和Gamma对冲中，需要得到精确的Delta和Gamma，这样才能更加细化风险管理。
(2) 对于欧式现货看涨期权，在平值附近，二叉树模型给出的所有希腊字母的估计值的误差都较小。
(3) 对于欧式现货看涨期权，在虚值状态(尤其是深虚状态)时，二叉树模型给出的Delta、Theta 、Rho的估计值的误差会变大：在虚值和实值状态(尤其是深虚和深实状态)时，二叉树模型给出的Gamma、Vega的估计值的误差会变大。
(4) 对于欧式现货看涨期权，二叉树模型给出的Vega的估计值相对对比标准值的震荡较大，如需得到更加精确的估计，需要设置更大的步数(2000 步或以上)。
8.3.4 美式期权与欧式期权的风险指标对比
由于二叉树模型可以实现美式期权定价，本部分将在相同参数设置条件下，对比美式二叉树期货期权的风险指标和欧式期货期权的风险指标，其中欧式期货期权采用的是Black模型实现，二叉树模型的步数设置为1000。
美式期权和欧式期权的区别在于美式期权在到期日前的任何时刻都可以申请执行，而欧式期权必须在到期日当日执行。因此一般认为美式期权权利价格高于欧式期权用以获得提前执行的权利，美式期货期权与欧式期货期权的价格对比如图8-34所示。
下面来看一下美式期权与欧式期权风险指标的对比测试。
(1) Delta对比测试结果如图8-35所示。
由图8-35可知，两个模型得到的Delta基本重合，偏差较小。从定价的角度理解，无论是欧式期权模型还是美式期权模型，其标的价格变动变化对看涨和看跌权利金变化的影响基本一致。
(2) Gamma对比测试结果如图8-36所示。
从图8-36可知，欧式看涨期权和欧式看跌期权的Gamma值是相同的，但美式看涨期权和美式看跌期权的Gamma值不同。两个模型的Gamma指标在看涨期权和看跌期权的深实值区域有区别，其余区域基本一致。对于美式期权，无论是看涨期权还是看跌期权，达到深实值区域后，权利金变为标的价格与执行价格差的绝对值，期权价格和标的资产价格为一次关系，这导致Gamma迅速趋于0。而欧式期权则无此特点，Gamma逐渐趋于0。
(3) Vega对比测试结果如图8-37所示。
由图8-37可知，Vega的对比情况与Gamma类似，但由于二叉树模型步长参数(该图步长数为1000步)的选取原因，导致二叉树模型得到的Vega锯齿状明显，不够平滑。因此，在计算美式期权的Vega时，若需得到高精度估计，则需要增加二叉树模型步长参数。
(4) Theta对比测试结果如图8-38所示。
由图8-38可知，两个模型得到的Theta除了深实值区域外，其他区域走势基本一致。这里需要注意的是，欧式期权在深实值区域Theta值可以为正数值，但美式期权由于可以提前行权，无论期权实值有多深，Theta值只能趋于0，不可能为正数值。
(5) Rho对比测试结果如图8-39所示。
从图8-39可知，美式期权与欧式期权的Rho 差异很大，这是导致美式期权和欧式期权权利金差别的最大原因。