8.4 BAW定价模型研究

8.4.1 美式期权定价模型方法概述

美式期权是一张具有提前实施条约的合约。由于可以提前实施，持有人拥有比欧式期权更多的获利机会，因此一般来说它比相同条件下的欧式期权更贵一些。持有人花了更多的权利金，能否获得相应的回报取决于持有人能否抓住有利的时机，适时地实施这张合约来获取利润。从数学上来说，美式期权的定价问题是一个自由边界问题(freeboundary problem)，所谓的自由边界是这样一条需要确定的交界线，它把由标的资产价格和到期时间构成的区域{O≦S<∞，0≦t≦T}分成两部分：一部分是继续持有区域(continuation region)，即在该区域内继续持有期权更加划算；另一部分是终止持有区域(stopping region)，即在该区域内应该选择提前行权。这条自由边界在金融领域被称为最佳实施边界(optimal exercise boundary)。对于美式期权的持有人来说，知道曲线的位置可以帮助制定出最佳的实施方案。但令人遗憾的是美式期权与欧式期权不同，它不能得到解的精确表达式，所以对美式期权的定价方法的研究主要集中在数值解、近似解析解以及解本身(特别是自由边界)的一些性质上。

美式期权定价的数值方法主要有二叉树模型、三叉树模型、有限差分方法和最小二乘蒙特卡洛模拟法等，其中部分数值方法在之前的小节中有介绍，具体可以参见前面小节。

除了数值方法，还有部分学者通过美式期权的自由边界所满足的积分表达式来求期权的价格，以及在得到美式期权的最高价和最低价的估计的基础上利用回归技术求得期权的价格，还有的方法就是近似解析解方法。

以上方法各有利弊，适用于不同的定价条件，本文主要研究介绍的是近似解析解方法，这种方法最大的优点是计算速度快，缺点是在不同条件下精确度会有差异，下文会给出相关模型的推导和仿真测试。

8.4.2 BAW定价模型

由于美式期权不存在封闭解，所以一个可行的近似解析解是很有必要的。首先，近似解析逼近在计算上是很有效的；其次，这样的逼近不需要使用上文提到的回归技术求回归系数，回归系数需要不断调整，会导致效率不高。

由Barone-Adesi和Whaley提出的美式期权近似解模型被称为BAW模型，论文截图如图8-40所示。

按照金融意义，美式期权可以分解为两个部分：一部分是欧式期权，另一部分是由于合约增加提前实施条款而需要增付的权利金。考虑一个红利率为q的支付连续红利的股票期权，令e(S，t)表示美式期权和欧式期权的价格之差， 即提前实施金，见下式：

对于BAW美式定价模型，这里有两点需要说明。

1. BAW模型中提前实施金e的形式选取

在BAW模型中，Barone-Adesi和Whaley假设：

2. BAW模型近似解析解的"近似"由来

在BAW模型推导中，可得到如下的微分方程：

8.4.3 BAW 定价模型仿真测试

首先使用BAW定价模型对比一下美式期权和欧式期权价格的区别，如图8-41所示。图中的提前行权临界点S*由BAW模型给出，可以看到对于相同标的、相同到期日的看跌期权，美式期权价格一直大于欧式期权价格，随着标的资产价格的降低，当到达价格临界点S*时，美式期权选择提前行权才是最佳实施方案。

下面对比BAW模型和二叉树CRR模型来测试一下BAW模型的精度，这里以美式看跌期权为例，以10000步二叉树模型给出的价格为对比标准价格，并且变动期权到期时间(到期时间选取5天、10 天、15 天、1个月、2个月…… 12个月)，来测试到期期限对BAW定价模型精度的影响，测试结果如图8-42 至图8-43 所示。

下面考虑极端情况，即在较大范围内变动到期时间(到期时间选取1年、10年、20年……100年)。这里要说明的是，在实际中可能并不会有100年到期的期权，长期期权的最长期限也仅为3年左右，这里边取的到期时间范围仅仅是为了方便测试BAW模型。