《量化投资：以MATLAB为工具(共14章，未录完)》—8.2 Black-Scholes定价模型及希腊字母研究

8.2 Black-Scholes定价模型及希腊字母研究

8.2.1 Black-Scholes微分方程的推导

在推导B-S微分方程前，先进行如下假设。

(1) 标的资产的价格服从几何布朗运动，即

dS=μSdt + σSdz

其中，S为标的资产价格，μ为标的资产的预期收益率，σ为标的资产价格的波动率，且μ和σ均为常数，由是标准的维纳过程。

(2) 在期权到期日之前，标的资产是无收益的。

(3) 证券交易是连续的，价格也是连续的。

(4) 存在卖空机制，并且收入是可以使用的。

(5) 买卖证券不需要任何交易费和税收，并且所有证券均可以无限分割。

(6) 不存在无风险套利的机会。

(7) 在期权的存续期内，无风险利率r是个常数。

按照假设，标的资产的价格服从几何布朗运动，即

假定f为依赖于S的衍生品的价格，变量f必定是关于S和t的函数，由伊藤引理可得：

式1和式2的离散形式为

可以看到式7的右端不含Δz项，该组合在Δt时间内一定是无风险的，即该组合在Δt时间内的收益率等于无风险收益率，即套利者可以无风险套利。在无套利机会的情况下有：

其中，K为期权的行权价格，T为到期时间。式10结合边界条件式11或式12，经过适当的数学变换可以转换为热传导方程，进而求出欧式看涨期权或看跌期权的解析解。其详细的数学推导过程过于复杂，感兴趣的读者可以参看相关资料。

1. Black-Scholes期权定价公式

Black-Scholes期权定价公式可以给出无连续股息支付的股票欧式看涨期权和看跌期权的价格。在风险中性的前提条件下，无连续股息支付的股票欧式看涨期权的Black-Scboles 定价公式为：

Black-Scholes期权定价公式的推导有多种方法：一种方法是直接运用数学方法求解微分方程；另一种方法是利用风险中性定价的方法巧妙地给出期权定价公式，这里不作赘述。

由股票期权的性质可知无连续股息支付的股票期权看跌一看涨期权平价关系式(Put-Call Parity)：

其中，c和P分别为欧式看涨期权和看跌期权的价格，S₀为标的资产的价格，K为执行价格，r为连续复利的无风险利率， σ为标的资产的波动率，T为期权的期限，函数N(x)为标准正态分布变量的累积概率分布函数。

2. Black-Scholes-Merton期权定价公式

莫顿将B-S公式推广，给出有连续股息支付的股票欧式期权定价公式。

BLack-Scholes-Merton期权定价公式可以给有连续股息收益率q的股票欧式期权、股指期权和货币期权定价。其实有连续股息收益率q的股票欧式期权、股指期权和货币期权可以作如下简化处理：

(1)当对期限为T且支付股息收益率为q的股票欧式期权定价时，可以将标的资产的价格由S₀降至S₀e^-qT，然后将期权按无股息股票期权来处理。

(2) 股指可以看作支付己知息票收益率的股票。

(3) 外币与支付连续股息的股票类似，一个外币支持有者收入的股息收益率等于外币无风险利率，即q=r_f(以外币计)。

这样就可以直接由B-S公式得到关于有连续股息收益率q的股票欧式期权的平价公式：

式19~式22便是Black -Scholes-Merton期权定价公式。其中，c和P分别为欧式看涨期权和看跌期权的价格，S₀为标的资产的价格，K为执行价格，r为连续复利的无风险利率，σ为标的资产的波动率，T为期权的期限，函数N(x)为标准正态分布变量的累积概率分布函数。

3. Black期权定价公式

布莱克在1976年针对期货期权给出Black期权定价公式。Black期权定价公式可以给期货欧式期权定价。

在风险中性世界里，期货价格的行为等价于支付连续股息收益率为无风险利率r的股票。这样由Black-Scholes-Merton 期权定价公式可以得到对于期货欧式期权的平价公式：

式24~式27便是Black期权定价公式。其中，c和P分别为欧式看涨期权和看跌期权的价格，F₀为标的资产(期货)的价格， K为执行价格，r为连续复利的无风险利率，σ为标的资产的波动率，T为期权的期限，函数N(x)为标准正态分布变量的累积概率分布函数。

4. 期权定价模型的MATLAB实现

由于上面的期权定价公式都是解析解，所以很容易通过编程实现。MATLAB内置函数blsprice可以实现Black-Scholes、 Black-Scholes-Merton和Black期权定价公式，其函数语法为：

[Call, Put]=blsprice(Price, Strike, Rate, Time, Volatility, Yield)

输入参数如下。

● Price：标的资产价格。

● Strike：期权到期执行价格。

● Rate：无风险利率(年化) 。

● Time：距离到期时间(以年为单位)。

● Volatility：标的资产价格波动率(年化)。

● Yield：(可选)资产连续贴现利率，默认为0。

输出参数如下。

● Call：欧式看涨期权价格。

● Put：欧式看跌期权价格。

假设某欧式股指期权两个月后到期，期权到期执行价格为2100点，指数当前为2200点，股指年化波动率为20%，无风险利率为5%，则相应的欧式股指期权的价格可以使用blsprice函数进行计算，如下：

还可以分析期权价格与影响期权价格因素(标的资产价格、行权价格、到期时间、无风险利率、标的资产波动率)之间的关系。比如分析期权价格与标的资产价格的关系，如图8-4所示。

8.2.2 希腊字母研究及MATLAB仿真测试

了解了期权定价公式后，下面分析期权价格的敏感性。期权敏感性分析或强度测试是在基本变量变动一个单位的情况下观察结果的变化，即期权价格关于参数的变化率的分析。这些过程的计算都隐含一个假定，即影响期权价格的其他因素都保持不变。

期权价格的敏感性分析可以由希腊值来刻画，常用的希腊字母包括Delta、Gamma、Theta、Vega和Rho，其含义如表8-1所示。

希腊值可以通过某一特定的期权定价模型推导得出，对希腊字母的分析不仅有助于理解期权价格的变化，而且对期权策略的运用和构建有极大的帮助。下面分别介绍每个希腊字母的数学推导和性质分析，以及不同期权定价模型中希腊字母解析式的对比和测试等。

1. Delta的定义与性质

Delta刻画的是期权标的物价格的变化对期权价格的影响程度，其数学本质是期权价格与标的资产价格变化曲线的一阶导数(切线斜率)。

1) Delta的数学解析式

通过上文得知，Black-Scholes定价模型为：

其中，c和p分别为欧式看涨期权和看跌期权的价格，S₀为标的资产的价格，K为执行价格，r为连续复利的无风险利率， σ为标的资产的波动率，T为期权的期限，函数N(x)为标准正态分布变量的累积概率分布函数，其密度函数N(x)解析式为

同理可以求出Black-Scholes-Merton定价模型及Black定价模型下相应的Delta的解析式，整理结果如表8-2所示。

2) Delta 的性质和特征分析

在Black-Scholes模型中，0≤Δ_c≤1，-1 ≤Δ_p≤0，即Delta的绝对值在0~1之间。从统计概率来看，Delta的绝对值可以表示期权到期时收在价内的可能性，Delta的绝对值越大，其收在价内的可能性越大；Delta绝对值接近1，期权收在价内的概率接近100%；Delta绝对值接近0，期权收在价内的概率接近0。通常实值期权(In The Money,ITM) Delta的绝对值大于0.5，虚值期权(Out of The Money, OTM) Delta的绝对值小于0.5，平值期权（At The Money，ATM) Delta的绝对值在0.5附近。

对于Black-Scholes模型，从d₁的定义可知，Delta的值取决于标的资产价格(S₀)、行权价格(K)、无风险利率(r)、到期时间(T)、标的资产波动率(σ)。其中，Delta相对于标的资产价格是递增函数，相对于行权价格是递减函数，相对于无风险利率是递增函数。它们之间的关系如图8-5~图8-7所示。

注：由图8-5可知当标的资产价格越大，看涨期权的Delta绝对位越接近1，看跌期权的Delta绝对值越接近0，即标的资产价格越大，看涨期权收在价内的可能性越大，看跌期权收在价内的可能性越小。

在图8-6中行权价格与标的资产价格正好相反，当行权价格越大，看涨期权的Delta绝对位越接近0，看跌期权的Delta绝对值越接近1，即行权价格越大，看涨期权收在价内的可能性越小，看跌期权收在价内的可能性越大。

在图8-7显示利率不同于其他参数变量，利率的变化往往是一次性的，利率变化的同时往往会引起其他参数的联动变化。

Delta相对于到期时间、标的资产波动率的关系稍显复杂，这与期权的虚实值情况相关，其与到期时间和标的资产波动率的关系分别如图8-8和图8-9所示。直观来看，到期时间越远，期权到期时收在价内还是价外就越不确定，即Delta就越接近于0.5。同时看涨期权和看跌期权平值时Delta并不严格等于0.5，而是在0.5附近。对于波动率也可得出类似直观理解。

3) Delta对冲

由于标的资产和相应的衍生品可取多头或空头，因此其Delta可正可负。若组合内标的资产和期权及其他衍生品数量配合适当，整个组合的Delta值就可能等于0，此时称Delta值为0的组合处于Delta中性状态(Delta对冲)。

当组合处于Delta中性状态时，组合的价值显然不受标的资产价格波动的影响，从而实现相对于标的资产价格的套期保值。需要强调的是除了现货资产和远期合约的Delta值恒等于1，期权及其他衍生品的Delta值可能随时不断变化。因此组合处于Delta中性状态只能维持一个很短的时间，该组合价值在一个"短时间"内不受标的资产价格波动的影响，从而实现"瞬时"套期保值。

当手中拥有某种投资组合时，可以通过相应的标的资产、期货、期权等进行相互套期保值，使整体组合的Delta等于0，这种套期保值方法称为Delta中性保值法。因为Delta中性保值只是在瞬间完成的，随着标的资产价格、到期时间、无风险利率、标的资产波动率等变化，Delta值也在不断变化，需要不断调整保值头寸以使保值组合重新处于Delta中性状态，这种调整称为再均衡(rebalancing)，属于"动态套期保值"。

2. Gamma的定义与性质

Gamma描述的是期权标的物价格的变动对期权的Delta值的影响程度，其数学本质是期权价格与标的资产价格变化曲线的二阶导数。

(1) Gamma的数学解析式

以Black-Scholes定价模型为例，根据定义可以推导看涨期权的Gamma解析式：

类似可以求出看跌期权的Gamma解析式：

同理可以求出Black-Scholes-Merton定价模型和Black定价模型下相应的Gamma的解析式，整理结果如表8-3所示。

2) Gamma的性质和特征分析

以Black-Scholes模型为例，Gamma的值会随着标的资产价格(S₀)、行权价格(K)，无风险利率(r)、到期时间(T)、标的资产波动率(σ)的变化而变化。图8-10展示了Gamma与标的资产价格的关系。

下面再变动一下到期时间，观察Gamma的变化，如图8-11和图8-12所示。

对比可以看出，越接近到期日，Gamma峰值越高，尾部越扁。对于波动率也有类似的情况(波动率越小，Gamma峰值越高，尾部越扁)，如图8-13和图8-14所示。

3) Gamma对冲

由于期权多头的Gamma值总是正的，而期权空头的Gamma值总是负的，因此，若期权多头和空头数量配合适当，组合的Gamma值就等于0，称Gamma值为0的组合处于Gamma中性状态(Gamma对冲)。

计算组合的Gamma值对于套期保值的重要意义体现在可用于衡量Delta中性保值法的保值误差。这是因为期权的Delta值仅仅衡量了标的资产价格微小变动时期权价格的变动量，而期权价格与标的资产的关系是非线性的，当标的资产价格变动较大时，用Delta估计出的期权价格的变动量与期权价格的实际变动量就会有偏差。

为了消除Delta中性保值的误差，应使保值组合的Gamma中性化。由于组合的Gamma会随时间变化而变化，因此需要不断调整期权头寸和标的资产头寸，才能使保值组合处于Gamma中性状态。需要指出的是，保持Gamma中性只能通过期权头寸的调整获得，实现Gamma中性的结果往往是Delta非中性，因此常常还需要进行标的资产调整，才能使组合同时实现Gamma中性和Delta中性。

3. Theta的定义与性质

Theta衡量到期时间变动对期权价格的影响程度，其数学本质是期权价格关于时间的一阶导数，Theta也因此被称为时间损耗。

1) Theta的数学解析式以Black -Scholes定价模型为例，根据定义可以推导期权Theta的解析式：

同理可以求出Black-Scboles-Merton定价模型和Black定价模型下相应的Theta的解析式，整理结果如表8-4所示。

2) Theta的性质和特征分析

对于Black-Scholes定价模型，由看涨期权和看跌期权的Theta解析式可以看出看涨期权的Theta一般为负值，看跌期权比相应的看涨期权的Theta值多了一个rKe^-rT的数量，看跌期权的The阳也基本都为负值，Theta与标的资产价格的关系如图8-15所示。

Theta与到期时间的关系跟在值程度有很大关系，如图8-16所示。

4. Delta、Gamma和Theta之间的关系

由上文可知B-S微分方程如下：

5. Vega的定义与性质

Vega指的是标的资产波动率的变化对期权价格的影响程度。

1) Vega的数学解析式

以Black-Scholes定价模型为例，根据定义可以推导期权Vega的解析式：

这里需要特别说明的是，厦门大学的郑振龙和陈蓉在《金融工程)) (第三版)中指出"由于B-S公式假定σ是常数，因此不能通过B-S公式对σ求偏导来求Vega，因为当σ是随机变量时，B-S公式不再成立。"其实，在B-S公式中，σ仅仅是一个参数，Vega考察的是B-S公式对σ敏感性的分析。在其他参数不变的情况下，对于给定的σ*，可以给其一个微小变化Δσ，进而使用离散化方式求出Vega：