第15章 期权市场与或有索取权市场
给予合约方按照预先设定的行权价格买卖某种物品的权利的任何合约都是一项期权。这里存在与所买卖物品种类同样多的不同类型期权。股期权、利率期权、外汇期权和商品期权在全世界的组织化交易所内外进行交易。本章说明怎样使用这些期权管理风险，以及怎样对它们进行定价。
期权是被称为或有索取权( contingent claim)的这一更广泛资产类型的一项例证。或有索取权是支付依某些不确定事件的结果而定(也就是说，取决于某些不确定事件的结果)的任何资产。例如，公司债券是或有索取权，因为如果发行债券的公司破产，那么债券持有者将得到少于发行者承诺的全部本金和利息的数量。本章说明对期权进行价值评估的相同方法可以被应用于公司债券和其他或有索取权的价值评估。
对期权进行定价的最流行的模型是在20世纪70年代早期被发现的布莱克斯科尔斯模型。芝加哥期权交易所( Chicago Board Options Exchange，CBOE)，是第家公开的期权交易所，它在1973年4月开始运作。到1975年，芝加哥期权交易所的交易者应用布莱克-斯科尔斯计算公式对他们在期权中持有的头寸进行定价和对冲。这种从理论到实践的大规模迅速转移在金融理论的历史中是空前的。
从那时开始，期权定价技术已经被用于其他或有索取权的定价，同时它在支持全球范围内的新金融产品和市场的产生方面发挥基础性作用。对学习金融学的学生而言，期权定价原理的知识极其重要。
我们通过阐明期权怎样运作，以及怎样创设来自潜在风险资产的各种支付模式开始本章的学习。然后应用一价定律推导出买入期权、卖出期权、股票和债券的价格之间的平价关系，同时解释双头期权定价模型和布莱克斯科尔斯模型。接着，我们说明公司的债务性证券和权益性证券怎样用与期权类似的术语进行描述，并且相应地对它们进行定价。我们通过讨论或有索取权定价技术已经得到应用的范围结束本章。
15.1期权怎样运作
期权是给予其所有者按照预设价格买卖某些资产的权利的合约。它不同于远期合约，远期合约要求多头持有者购买而空头持有者出售。
这里有一些与期权相关的特殊术语：
·按照固定价格购买指定物品的期权被称为买入期权；按照固定价格出售指定物品的期权被称为卖出期权。
·期权合约中指定的固定价格被称为该项期权的执行价格或行权价格。
·在其后一项期权不再被执行的日期被称为终止日或到期日。
·美式期权可以在终止日前的任何时间，包括终止日当日执行。欧式期权只能在终止日当日执行。
在交易所交易的期权拥有由期权交易所设定的标准化条款。期权交易所将期权的买者与卖者进行匹配，而且在任何一方违约的条件下保证支付。不在交易所内进行交易的期权被称为柜台交易型期权( over-the-counter options)。
除了期权的类型(买人期权或卖出期权)以及标的资产的名称之外，期权还可以由行权价格和终止日期认定。对于在交易所交易的期权而言，行权价格和终止日期由交易所的规则决定。因此，在芝加哥期权交易所中，一项单一的买入期权合约给予其拥有者购买100股标的股票的权利，同时它是一项美式期权。芝加哥期权交易所的原始到期期限从3个月到3年不等，而且所有期权都在到期当月的第三个星期五终止。表15-1显示了在艺加哥期权交易所中交易的家得宝公司股票期权价格的行情表。
表15-1列出了家得宝公司股票在2006年6月26日屋期一的收盘价，为每股36.64。在该表中，第一个数据行列出了32.5的行权价格以及7月的到期月份。6月26日，这一7月到期的家得宝公司股票买入期权还剩下不到一个月到期。以“最后笔售价”标记的这一列中的输入值给出了7月到期的股票买入期权的交易价格是4.3，该数值意味着每份合约的这项价格为430美元。以“未平仓数量”标记的下列是芝加哥期权交易所6月26日依然存在的这类合约的总数量。最后两列给出了7月到期且行权价格为32.5的卖出期权的收盘价和未平仓数量。
如果一项期权立即到期，此时的假定价值被称为内在价值(或有形价值)。如果7月到期同时行权价格为32.5的家得宝公司股票买入期权立即终止，它价值多少？由于家得宝公司股票的价格为每股36.64，同时期权的行权价格为32.5，因此如果立即执行，该项买人期权的价值将为每股4.14。因此，4.3的期权价格比其内在价值高0.16。一项期权的价格与其内在价值之间的差额被称为期权的时间价值。
美式期权到期前的剩余时间越长，它的时间价值越大。例如，在表15-1中观察行权价格为35，0的家得宝公司股票买入期权在7月终止和在8月终止的价格。两者拥有同样的内在价值1.64，但是买入期权的价格分别为2.40和2.65。行权价格为350的家得宝公司股票卖出期权也拥有同样的模式。
当期权的内在价值为0的时候，它被称为是虚值的( out of the money)。例如，行权价格为32.5的家得宝公司股票卖出期权就是虚值的。另一方面，行权价格为.5的家得宝公司股票买入期权是实值的( in the money)。无论何时，只要一项买入期权是实值的，那么相应的卖出期权就是虚值的，反之亦然。行权价格等于标的资产价格的期权被称为是平值的( at the money)。
买入期权的价格与其行权价格之间存在相反的关系。对于卖出期权而言，这关系被翻转。为了对其进行说明，观察表15-1中将于7月终止的期权。随着行权价格从32.5上升到40，买入期权的价格从4.3降至0.05，同时卖出期权的价格从0.15上升到3.4。
快速测查15-1
使用表15-1，计算8月到期且行权价格为37.5的家得宝公司股票买入期权的内在价值和时间价值。针对卖出期权进行同样的运算。
15.1.1指数型期权
除了针对诸如家得宝公司股票等单个证券的期权之外，还存在指数型期权。例如，芝加哥期权交易所提供符号为SPX的针对标准普尔500指数的买入期权和卖出期权交易。SPX期权实际上是一项虚拟指数基金的买入期权与卖出期权，该基金投资于由组成标准普尔500指数的股票构成的投资组合，500家公司中的每一家以其流通股的总价值在指数中占据比例。
表15-2显示了2006年6月26日星期一SPX期权的价格以及交易活动的列表SPX期权是欧式期权，因此只能在终止日执行。除了末未平仓数量的那一列之外，该表还显示了当日的交易规模。
SPX期权合约特别规定如果买入期权被执行，那么该期权的所有者将得到一笔现金金额，其数量等于100美元乘以指数价值与行权价格之间差额的乘积。例如，假设表15-2中列示的7月到期且行权价格为1260的买人期权在2006年7月24日到期，指数的价值为1275。一旦终止，持有者将得到1500美元。
100×(1275-1260)=1500
指数型期权的现金清算过程不同于在芝加哥期权交易所单个股票期权情形中发生的清算过程。例如，假设家得宝公司股票的价格为35美元，其买入期权的所有者可以以32.5美元的行权价格执行期权。她支付了3250美元，并且得到了价值3500美元的100股家得宝公司股票。如果家得宝公司股票买入期权像指数型期权那样以现金进行清算，那么出售者将向买入期权的持有者支付250美元(3500-3250)，而不是移交家得宝公司的股票并得到3250美元的现金。
快速测查15-2
假设你按照丧15—2中列示的价格在2006年6月26日购买了7月到期且行权价格为1260的SPX买入期权，如果在2006年7月24日到期时，该指数的价值结果是1300，那么你的收益率是多少？
15.2使用期权进行投资
期权使得投资者调整针对标的资产的风险暴露成为可能。可能的调整类型可以用刻画期权价值(在纵轴上衡量)与标的资产价格(在横轴上衡量)之间关系的支付框架图进行描述。图15-1显示了当前价值为100的股票买入期权在终止日的支付，行权价格为10。
在终止日，来自买入期权的支付为max(Sr-100，0)，这里Sr为期权终止日的股票价格。在图15-1中，买人期权的价值在100的右边随股票价格同步增加，但是在100的左边，该期权是没有价值的。
现在考察来自卖出期权的支付，该支付为max(100-Sr，0)。卖出期权的支付框架图显示在图15-2中。如果终止日的股票价格低于执行价格，那么卖出期权的价值随着价格的降低而同步增加(直至最大值100)；另一方面，如果股票价格超过行权价格，那么卖出期权将会无价值而终止。
除了使用期权调整刚才描述的风险暴露，买卖期权还是不拥有标的资产者持有头寸的另一种替代方法。我们考察这种方法怎样运作。因为买入期权的价格仅是标的资产价格的分数，所以在买入期权中投资与股票中相同的数量提供了一项杠杆。例如，假定你看涨股票，而且拥有10万美元进行投资,假设无风险利率为每年5%，同时股票不提供任何红利,比较一年持有期内三种不同投资策略的资产组合收益率：
1.将全部10万美元投资于股票。
2.将全部10万美元投资于买入期权。
3,在买入期权中投资1万美元并将剩余资金投资于无风险资产。
假设股票价格为100美元,同时买入期权的价格为10美元。这意味着在投资策略1下你购买1000股股票,而在投资策略2下你购买针对1万股股票的买入期权现在考察支付，它被刻画在图15-3中。
图15-3沿着横轴标出股系价格,同时沿着纵轴标出资产组合的收益率。对于投资策略1而言,即图15-3中的点状虚线,支付图形是一条拥有100美元盈亏平衡价格的直线。按照这一指数化价值,你的收益率为0。如果价格结果高于100美元，那么对于每1个百分点的股票价格增长，收益率将增加1%。如果价格低于100美元，那么对于每1个百分点的股票价格增长，收益率将降低1%。
在投资策略2下，即图15-3中的线状虚线，盈亏平衡的价格为110美元。在该结点的右边，它的斜率为10乘以策略1的斜率。这是因为买入期权提供了和股票同样的增长潜力，同时在策略2下你拥有10倍于策略1下股票数量的期权。然而如果股票价格低于100美元，那么实线说明你在策略2下损失了全部投资，并且收益率为-100%。
策略3的支付图形是图15-3中弯折的直线。在100美元行权价格的右边，这条实线拥有和100%投资于股票的投资策略(点状虚线)相同的斜率，但是在该股票价格左边，策略3位于一55%的收益率水平。因此，策略3提供了期权怎样被用于提供有保证最小收益率产品的例证。
所有这三种处于考虑之中的投资策略都是看涨的，因为只有在认为股票价格可能上升的条件下，你才会选择它们。但是，为了决定这三种投资策略的哪一种对你而言是最好的，你必须更精确地界定你对股票价格的预期和你的风险耐受力例如，假设你拥有表15-3中所示三种可能经济状态的假想预测值。你认为经济繁荣同时股票价格在该年内上升50%的概率为02，经济正常同时股票价格在该年内上升10%的概率为0.6，经济衰退同时股票价格在该年内下降30%的概率为0.2。
专栏15.1
衍生工具与风险
企业通常使用以衍生工具闻名的那一类金融工具对冲风险，即使某些交易者只是对衍生工具抱有纯粹的投机兴趣。这些金融资产的最“奇异”形式因为损客了市场的稳定性而受到攻击。但是什么使得这种复杂的衍生工具如此危险？为了回答这一问题，我们必须从基础知识开始。
一般而言，衍生工具是其价值以某些其他资产，也就是标的资产的价值为基础的任何金融资产。一些经常被使用的衍生工具是本章中所讨论的期权、期货和互换合约。在实践中，新形式衍生工具的可能性是无穷尽的；考虑针对不同股票或商品的期货合约、期权合约和支付互换合约进行组合的所有途径。
所渭的奇异型衍生工具可能是超常复杂的。某些这样的衍生工具要求由效学家和计算机组威的团队筒单确定：在标的资产集合中的价格发生变动后，该衍生工具是赢取还是损失价值。批评者担心这些衍生工具鼓励上市公司的财务主管用其股持有者的财产进行赌博，这种资产风险大大不宜持有，争论在持续着。这种抱怨是具有讽刺意味的：在实践中，当被正确利用的时侯，正是复杂性衍生工具的力量使得企业可以对冲日益增长的特定类型风险。
这些资产的一项特定子集由信用型衍生工具构成。信用型衍生工具是当给定企业违约时向其持有者承诺一定支付的任何合约。在这种情形下，信用型衍生工具可以充当保险合约的角色。例如，假定一位特定蚋投资者持有由企业Z发行的债券，那么如果企业发现自已无法清偿负债，持有针对企业Z的信用型衍生工具可以保护交易者。这类衍生工具在过去数年内迅猛增加，而且在美国基本不受管制。
这种情况已经引起攻策制定者的关注。政策制定者担心，如果基于某些理由存在连串的造约，那么这种衍生工具可能动摇市场。另一些人注意到，聪明的投资者正在便用复杂性衍生工具逃避税收；衍生工其有时可以将资本所得作为短期损失隐藏起来，或者将其伪装成面临更低税率的其他形式收入。像许多金融工具一样，最复杂的衍生工具的使用可以是欺骗性的。但是这种惰形明显很少，而且衍生工具的大部分非公司交易者只是针对这些金融工具进行投机。实际上，企业暂时使用衍生工具对冲真正的经济风险，同时衍生工具可能是极适合该目的的有用工具。
表15-3显示了每个假设场景中每一项投资策略的收益率。观察对应于经济状况繁荣的那一行。在投资策略1下(100%的股票)，收益率将是50%。在投资策略2下(100%的买人期权)，期权在终止时将价值50万美元，同时收益率将是400%在投资策略3下(10%的买入期权)，期权将价值5万美元，同时债券价值9.45万美元，于是收益率将是：
我们将所有三种假设场景中的三项投资策略的概率分布进行比较。注意，没有任何一种投资策略从业绩上能在所有三种假设场景中都超过其他投资策略。投资策略2(100%的买人期权)在繁荣状态下表现最好，但是在其他假设场景中却是最糟糕的。投资策略3在衰退状态下表现最好，同样在其他假设场景中也是最糟糕的。投资策略1在正常状态下表现最好，在其他假设场景中表现却是第二好的。
因此，没有任何一项投资策略能够完全胜过其他投资策略。根据投资者的风险耐受力，他或她可能选择任何一项投资策略。实际上，一位极度风险厌恶的投资者可能从理性角度宁愿选择将全部10万美元投资于无风险资产，从而确定赚取5%的投资策略。
快速测查15-3
投资策略4是将9.6万美元投资于无风险资产，同时将4000美元投资于期权。有保证的最小收益率是多少？在执行价格的右边，支付线的斜率是多少？
15.3卖出期权与买入期权的平价关系
在前面几节，我们看到将部分资金投资于无风险资产，同时将另一部分资金投资于买入期权的投资策略可以提供一项资产组合，这项资产组合拥有得到保证的最低价值和向上倾斜的斜率，该斜率等同于投资标的股票的斜率。这里存在产生相同支付模式的另一种途径：购买股票和买入期权。
专栏15.2
卖空……露式的
对投资者而言，卖空是一项合法且得到广泛应用的工具。但是当卖空者不准备履行承诺的时候，卖空的做法则被证明是具有破坏性的。就像我们已经看到的那样，卖空从根本上说是打赌股票价格会下降。卖空者借入股粟并按照当前价格出售该股票，目的是以后按照更低的价格将其购回，因此赚得利润。然面，投资者有时候在不首先借入处于考虑中的股票，或者在不确定这些股票事实上能否被借到的条件下实篇卖空。这种活动已经被戏称为“裸卖空”( naked short selling)，它可能引发金融市场中的问趣。
想象一位在没有首先获得所需股票的条件下实施卖空的投资者。当合约要求这位投资者交付已出售股票的时候，假设她无法找到这些股票的来源。也就是说，她没有入该股票的地方：这位投资者无法履行承诺。这种被普遍猕为“无法履行承诺”(fai-todeliver)的情形，可能是诉讼或市场不稳定的源泉。
在美国，管倒者已经对裸卖空产生兴趣。犹他州的法规现在包括一项试图使裸卖空极其不具有吸引力的法体。在国家的层面，美国证券交易委员会( Securities and Exchange Commission)也加入了竞争。2005年1月，它创设了一套管措施要求投资着在实施卖空之前获得股采的来源。然而，这并没有结東。2006年夏天，美国联邦司法部( Senate Judiciary Committee)举行听证会调查卖空活动，同时更多的立法将在来来出现。
“卖空”的批评者抱怨这一活动对股累正在被出售的企业不公平。某些人认为过度的卖空驱使这些企业的股票价格下降；另一些人则因为某些理由反对卖空。一项批评认为，当一位交易者持有裸卖空的头寸，同时无法履行承谐的时候，市场效率会受到妨碍诉讼阻塞了法律体系，同时投资者可能因为担心成为“无法履行承诺”的损失方而丧失对市场的信心。
但是投资者确实欢迎某些裸卖空。例如，当给定股票的求超过股票的供给时，为了保证流动性，交易环境中的中介有时持有裸卖空的头寸。一就而言，卖空被看做是股票交易者的非常合理的工具。然而，当这些交易者在没有首先确认可以履行承诺的条件下实施卖空的时侯，将会导致对平稳运行市场的阻碍以及来自诉讼的攻击。
表15-4a和图15-4a描述了两项来自保护性卖出期权策略的相互分离组成部分的支付，并且说明了它们怎样在股票中增加保险性头寸。这项资产组合的最小价值为执行价格100。表15—4b和图15-4b描述了两项来自债券加上买入期权策略的相互分离组成部分的支付，并且说明了它们怎样在股票中增加保险性头寸。因此由股票加上欧式卖出期权(执行价格为E)构成的资产组合，等同于无违约风险的纯粹折现偾券(面值为E)加上欧式买入期权(执行价格为E)。由一价定律得知，它们必然拥有相同的价格。
这里S为股票价格，E代表执行价格，P为卖出期权的价格，r为无风险利率T为期权的到期期限，同时C是买入期权的价格。
方程15.1以卖出期权一买入期权平价关系式得名。除了从其他三项变量的数值中决定第四种证券的价格的应用之外，方程15.1也可以被用作从其他三种证券中合成出第四种证券的“秘诀”。例如,通过重新整理方程15.1，我们得出买入期权等同于持有股票、借入执行价格的现值(也就是说,卖空面值为E的无违约风险纯粹折现债券),同时购买一项卖出期权：
方程15.2给予我们针对买入期权本质的部分洞察力。实际上，它表明一项买入期权的特征可以被分解成三个组成部分：
1.购买股票。
2.借人部分资金进行这一活动(杠杆)。
3.购买保险抵御价格下降的风险(卖出期权)。
方程15.2也可以被看成是将卖出期权转换成买入期权的计算公式，反之亦然。例如,假设方程15.2右边的值为
S=100美元,E=100美元,T=1年,r=0.08,P=10美元
那么买入期权的价格C必然为17.41美元,计算如下：
C=100-100/1,08+10=17.41(美元)
为了考察因何如此，假设C为18美元，同时不存在套利限制。于是买入期权的价格过高，套利者出售买入期权，同时通过运用复制策略购买这项买入期权的等价物是值得的。换句话说，贵卖贱买。购买股票的初始必要开支为100美元减去所偕的92.59美元，因此在股票中持有杠杆化头寸的初始必要开支的净值是7.41美元。抵御价格下降风险的保险(卖出期权)花费10美元，于是合成型买入期权的总成本为17，41美元。套利者将按照18美元的价格出售买入期权，同时将买入期权的价格与合成型买入期权的成本17.41美元之间的差额059美元作为利润。表15-5显示了所涉及的交易。通过重新整理方程15.2中的各项，我们可以获得关于卖出期权买人期权、股票和债券之间关系本质的一些额外了解，如下所示：
在这一形式中，卖出期权一买入期权平价关系式暗指：
·如果股票价格等于期权执行价格的现值,那么买入期权的价格等于卖出期权的价格。
·如果股票价格超过期权执行价格的现值,那么买入期权的价格超过卖出期权的价格。
·如果股票价格低于期权执行价格的现值,那么卖出期权的价格超过买入期权的价格
15.4波动性与期权价格
股票价格的波动性越高,针对该股票的卖出期权和买入期权的价格也就越高。为了说明因何如此,考察这样一种情形,其中股票价格一年后只能是两项数值之要么是120美元,要么是80美元,同时每项数值的概率为0.5。
现在考察项执行价格为100美元且在一年后终止的股票买人期权。在终止日，如果股票价格为120美元，这项股票买入期权将价值20美元。或者如果股票价格为80美元，这项股票买入期权将没有任何价值。因此，这项买入期权的预期价值为0.5×20+0.5×0=10(美元)。
假设在年末预期价格没有变化的条件下，股票变得更加具有波动性。例如，假定年末股票价格的两项可能数值现在是200美元和0，每项数值拥有0.5的概率年末股票价格的预期值依然为100美元(0.5×200+0.5×0)，但是波动性更大。买入期权支付的预期价值现在为50美元(0.5×100+0.5×0)，高出40美元明显地，买入期权的价格将会上升。于是，我们看到波动性的增加(保持当前股票价格不变)导致股票买入期权支付的预期价值增加，并且因此提升了股票买入期权支付的当前价格。同样的结论在卖出期权的条件下也是正确的
同样的推理过程可以应用于标的股票价格呈现连续概率分布的更一般情形。终止日的支付不能为负。在最糟糕的情形下，期权是没有价值的，而且可以不执行该期权。因此，期权支付的概率分布被缩小至0。在保持股票预期支付固定的条件下，这一缩小过程使得期权预期支付成为标的股票价格波动性的增函数。
总而言之，在保持股票当前价格和预期收益率不变的条件下，股票波动性的增加导致该股票的卖出期权和买入期权的预期收益率上升，因此，卖出期权和买入期权的价格将随着股票波动性的增加而上升。进一步地，卖出期权一买入期权平价关系暗指股票价格波动性的增加导致买入期权和相应的卖出期权(也就是说，与买入期权拥有相同到期期限和行权价格的卖出期权)恰好同步上升。
快速测查15-5
假设在给定股票价格波动性的水平上，S=100美元，E=100美元，T=1年，r=0.08，C=17.41美元，同时P=10美元。现在波动性上升，同时买入期权的价格上升到20美元，如呆S、E、T和r保持不变，卖出期权的新价格必然是多少？
15.5二项式期权定价
就像我们在15.2节看到的那样，卖出期权一买入期权平价关系允许我们从标的资产价格、无风险利率和相应的卖出期权价格的角度表述买入期权。但是，我们希望能够在不知道卖出期权价格的条件下，拥有计算买入期权价格的途径。为了进行这种运算，我们不得不做出针对未来股票价格概率分布的某些假设。
在本部分，我们假定股票价格在期权终止日只能是两项可能值中的一项。即使这一假设是不现实的，二项式模型也构成广为人知的二项式期权定价模型这一更现实的期权定价模型的基础，后者在实践中得到了广泛应用。从二项式模型中引申得出的直觉理解也应用于布莱克-斯科尔斯模型之中。
这种方法类似于我们用来推导卖出期权一买入期权平价关系的方法。我们仅用股票和无风险借贷建构一项合成型买入期权。然后依照一价定律，买入期权的价格必然等于我们构造的合成型买入期权的成本。
考察一项行权价格为100美元的1年期期权。我们假设标的股票的价格现在是100美元，同时在该年内可能上涨或下跌20%。因此，在一年后的期权终止日，股票价格可能是120美元或80美元，无风险利率为每年5%。
股票和期权的支付可以通过下述树状结构图进行描述：
现在将买入期权的支付结果与由股票构成的资产组合的支付结果进行比较，这项资产组合部分由无风险借贷提供融资。因为贷款的抵押物是股票本身，所以投资者可以按照无风险利率借入的最大金额是一年后股票的最低价格的现值。最低价格为80美元，于是现在借入的金额为80美元/1.05=76.19(美元)。这一资产组合的支付结果依赖于如下所示的一年后股票价格：
接下来我们需要得出，为了复制来自买入期权的支付，需要的股票比例是多少这项股票比例被称为该期权的对冲比率。更为一般地，二项式模型中的期权对冲比率是该期权的两种可能支付之间的差值除以标的股票的两种可能最终价格之间的差值。在我们的例子中，期权对冲比率为：
因此,如果我们计划购买1/2股股票,同时仅借入38.095美元，那么将拥有项合成型买入期权。借入数量是可以确定用终止日的利息偿付的最大金额。因为在我们的例子中,1/2股股票的最差结果是40美元的价值，所以借入数量是按照5%的无风险利率进行折现的40美元的现值,该现值为38.095美元。
表15-6概括了来自买入期权本身以及通过这项复制型资产组合创设的合成型买入期权的支付。
由一价定律得知，买入期权与其复制型资产组合(合成型买入期权)必须拥有相同的价格，于是这项买入期权的价格必然是：
C=0.5S-38.095
=50-38.095
=11.905(美元)
快速测查15-6
假设标的股票比上述例子中的标的股票更具有波动性,它可能在该年内上升或下降30%,使用二项式模型推导这项期权的价格。
15.6动态复制与二项式模型
股票在一年后仅拥有两种可能价格的假设明显是不现实的。因此，为了向更大的现实性移动，我们将为期一年的时期划分成两个为期6个月的时期，同时假设股票价格在每个子时期内可能上涨或下跌10美元。于是，在该年内价格可能变化的最大数量是上升或下降20美元。该年末将存在三种可能的股票价格(120美元、100美元和80美元)，同时买入期权的相应支付为20美元、0美元和0美元。
现在，该方法由寻找一项能够复制买入期权支付结构的自我融资性投资策略( self-financing investment strategy)构成。这项策略是一项动态投资策略，要求按照6个月后实现的股票价格在那时调整股票数量和借贷数量。在初始必要现金开支之后，投资者没有加入或者提取额外资金。
在每个时点上，复制型投资策略都归结为我们已经在前面部分的二项式模型中考察的投资策略。图15-5用决策树的形式显示了涉及的状况。
股票价格从100美元处出发(点A)。起初，你用50美元购买了1/2股股票同时借人45美元。因此，初始必要现金开支净额为5美元。在第一个为期6个月的子时期期末，股票价格是110美元(点B)，或者是90美元(点C)。如果发现自己位于点B，那么你将多借入55美元购买另外的1/2股股票。但是如果你位于点C那么你将出售原来的1/2股股票，同时用出售所得偿还45美元的负债。这项策略在该年末产生了正好与期权相同的支付。
在初始必要现金开支之后，该策略是完全自我融资的。也就是说，在期权终止日之前，投资者没有投入或撒出任何额外的资金。结论是，因为复制买入期权支付的动态自我融资性资产组合策略的初始成本为5美元，所以由一价定律得知，5美元必然是这项买入期权的价格。
我们刚刚推导的期权定价模型完善了二项式模型，它被称为二项式期权定价模型。通过将为期一年的时期划分成越来越细的时间间隔，二项式模型获得了更大的现实性和准确性。二项式期权定价模型在实践中得到了广泛应用。所使用的时间间隔数量取决于任一特定应用中所要求的准确程度。
15.7布莱克-斯科尔斯模型
业内人士经常用来对股票期权进行定价的一项更加现实的模型是布莱克斯科尔斯模型。它的推导过程遵从与我们刚才展现的类似的推理过程，但是假设复制型资产组合随着时间推移得到连续调整。
欧式股票买入期权的原始布莱克斯科尔斯计算公式有五项变量，其中四项是直接观测值：股票价格S、行权价格E、无风险利率r(与该期权拥有相同到期期限的项安全资产的连续复利年利率)和该期权的到期期限T计算公式为：
这里：
C=买入期权价格;
S=股票价格;
E=行权价格;
r=无风险利率〔与该期权到期期限相同的一项安全资产的连续复利年利率);
T=以年度表示的期权到期期限;
a=股票连续复利年收益率的标准差;
ln=自然对数;
e=自然对数函数的底(大约为2.71828);
N(d)=从标准正态分布中抽取的随机变量小于d的概率。
注意，股票收益率并没有明确地显示在这项期权定价运算公式中。股票收益率的影响由股票价格传导：任何有关未来股票价格的预期变动以及所要求股票预期收益率的变动将导致股票价格发生变化，并且将因此改变买入期权的价格。但是按照任意给定的股票价格，期权价格可以在不知道股票收益率的条件下推导得出。给定当前观测到的股票价格，无法就股票预期收益率达成一致的分析人士将在正确的股票价格上达成一致。
在真实世界里，波动性(a)和分红收益率(a)都无法确知，而且实证表明两者都随时间推移随机变化。结合这些随机变化的模型已经得到发展，同时在实践中得到应用。使用电子化的试算平衡表很容易计算方程15.5中经过红利调整的期权定价模型。我们教材的附录中包含一项电子化的试算平衡表。
为了方便起见，我们将信息按照表格的形式进行处理，这种表格形式类似于我们在第4章中计算现值所使用的表格。例如，假设我们希望计算执行价格为100美元的6个月期买入期权的价格，它的标的股票价格为100美元，红利收益率为每年3%，同时波动性是0.20。无风险利率为每年8%，期权定价程序的输入值和输出值显示在表15-7中。
表15-8总结了方程15.5中所反映的六项输入变量对买入期权价格和卖出期权价格的影响。
该表格可以被解释如下：
·标的股票价格的上升导致买入期权价格的上升以及卖出期权价格的下降。
·行权价格的上升导致买入期权价格的下降以及卖出期权价格的上升。
·波动性的上升导致买入期权价格和卖出期权价格同时上升。
·距离截止日的时间增加导致买入期权价格的上升和卖出期权价格的上升。
·利率的上升导致买入期权价格的上升以及卖出期权价格的下降。
·红利收益率的上升导致买入期权价格的下降以及卖出期权价格的上升。
15.8隐含波动性
隐含波动性被定义为使得观测到的期权价格与使用期权定价计算公式计算出来的价格相等的σ值。因此，在前面的例子中，假设我们观测到表格左边的价值(包括7.97美元的买入期权价格)。
如果将这些结果代入方程15.5并且求解σ，那么就会得到由这项期权价格隐含的波动性。在这个例子中，隐含波动性为0.2。
芝加哥期权交易所已经建构了一项针对标准普尔100股票价格指数的隐含波动性指数,该指数被用来作为创设针对隐含波动性自身的新型期货和期权合约的基础。与此同时,使用来自到期期限大约为30天的8项标准普尔100指数型期权的价格信息,2005年7月,为了最小化统计误差，已经设计出了一项隐含波动性指数。
图15-6显示了从2005年7月到2006年6月这段时期内隐含波动性指数的数值。很明显,股票价格指数的隐含波动性向上波动，拥有几乎为100%的波动范围从2005年7月的起始低点到2006年6月早期的顶峰数值。图15-6下部的图表跟踪了同一时期所交易的期权合约的相应规模。
专栏15.3
关于期权的丑闻
一项期权一 按照给定价格买卖金融资产的权利， 可能随着标的资产价格的变化极为迅速地赢取或损失价值。例如，当胶票拥有低于期权执行价格的价格时，购买针对该股票的期权不存在任何内在价值。然而，如果所考察的股票价格迅速上涨，从而超过了期权的执行价格，那么期权立即开始获得价值。
明显地，期权可以赚取丰厚收益。这是为什么尤其近年来股票期权已经变成管理层薪金额外补偿的最普遍形式的一项理由。然而，这些工具同样很容易监控;在2006年，大量美国企业因为给予其管理层股票期权的不当行为受到指控。
涉及卷入接重而来的丑闻的企业被指控“回溯”期权，这些期权作为薪酬奖励给该企业的管理人员。指控坚持认为，在这种企业股票迅猛增长的任何时候，管理者都被记录给好在股票意外上涨之前发行期权，同时企业将行权价格设定在股票的当前真实价格之下。被回溯的期权从实际发行时起就保持着良好的价值。
在数位经济学家，其中主要是衣阿华大学的埃里克。利(Eriklie)针对期权的研究中发现了一项趋势之后，这种丑闻首次被曝光。明显地，大多数期权拥有恰好位于标的版果显著上涨之前的正式发行日期。回溯似乎是最可能的解释。在这些研究成果被公布以后， 当局表示了关注。至少20家企业立即被发现存在不法行为，其中包括水星互动公司(Mercury Interactive)、联合健康集团(UnitedHealth Group)和麦咖生公司 (McAfee)。
回想一下，一项期权的价值发生变动所需要的时间仅仅与标的资产的价值发生变动所臀要的时间同样长，例如，我们知道股票可能在极短时间内剧烈上升成下降。正是这项事实使得期权如此有盈利能力，而且明显使得期权的运用如此具有诱惑力。
15.9 公司负债与权益的或有索取权分析
或有索取权分析(contingent claims analysis， CCA)是在期权定价的过程中使用的复制方法在其他证券的价值评估方面的应用。在本部分里，我们将展示在给定有关企业总价值相关信息的条件下，怎样运用这种复制方法对一家企业的负债和权益进行价值评估。
我们的虚拟企业戴布特科(Debtco) 公司是一家房地产企业。它已经发行了两类证券： 普通股(100万股)和总面值为8000万美元的零息债券(每份拥有1 000美元面值的8万份债券)。藏布特科公司的债券将于一年后到期。如果我们知道戴布特科公司的市场总价值为1亿美元，它的股票和债券的市场价值分别是多少?
V为戴布特科公司的当前市场价值(1 亿美元);
E为戴布特科公司权益的当前市场价值;
D为戴布特科公司负债的当前市场价值。
我们知道，这家企业负债和权益的总市场价值为1亿美元：
V=D+E=1亿美元
我们希望分别得到每一项数值： E和D。
当债券一年后到期时，考察戴布特科公司证券持有者的可能支付。支付框架图显示在图15-7和图15-8中。如果这家企业的资产价值超过负债的面值(也就是说，如果V1>8 000万美元)，那么股票持有者得到两者之间的差额(V1-8 000万美元)。然而，如果资产价值达不到8 000万美元，那么该公司将拒付负债，同时股票持有者将得不到任何东西，债券持有者将得到该企业的全部资产。
图15-7显示了就小于8 000万美元的企业价值而言，债券持有者得到全部资产价值。同时，就大于8 000万美元的企业价值而言，债券持有者得到8 000万美元。图15-8显示了就小于8000万美元的企业价值而言，股票持有者一无所获。同时，就大于8 000万美元的企业价值而言，股票持有者得到企业价值减去8000万美元的差额。
注意，戴布特科公司权益的支付框架图等同于标的资产为企业自身的买人期权的支付框架图，同时期权的行权价格是负债的面值。因此，我们可以在变化符号的条件下运用计算公式15.5。结果这家企业权益价值的计算公式为：
这里：
V=企业价值;
E=企业中权益的价值；B=纯粹折现债券的面值;
r=无风险利率;
T=以年度表示的债务到期期限;
0=企业资产连续复利年收益率的标准差;
ln=自然对数，
e=自然对数函数的底(大约为2.718 28)
N(d)=从标准正态分布中抽取的随机变量小于d的概率。
由定义得知，负债的价值D等于V-E。因此，负债的有保证的连续复利利率R等于:
在运算方程15. 6的过程中，我们可以使用一项等同于按照方程15.5对期权进行定价的过程中使用的计算程序，只是我们不得不改变对输人值和输出值的解释。令无风险利率为每年8%，同时这家企业资产价值的波动性为0.3.于是表15-7变为表15-7a。
负债的价值等于V-E;
D=1亿-2824万=7 176万(美元)
因此，债券的有保证的连续复利利率R等于:
R=ln(80/71.76)-0.1087或10.87%
于是，当无风险利率为每年8%时，我们得到藏布特科公司的债券必须提供10. 87%的有保证的收益率。
现在考察一种企业资产的价值等于使用无风险利率评估的负债面值的现值的特殊情形。也就是说，
15.10 信用担保
抵御信用风险的担保在金融体系里无处不在，而且在公司金融和公共财政领城扮演着重要的角色。母公司例行公事地为其分支机构担保负债。商业银行和保险公司从一连串广泛的金融工具中收取了费用，作为回报，它们向其提供担保，这些金融工具包括从传统的信用证到利率互换和货币互换。
几乎可以肯定，金融扭保的最大提供者是政府和政府机构。即使在美国，那里的流行哲学之一是私人部门中的有限政府参与，联邦政府和本地政府也提供-系列广泛的金融担保，其中在经济上和政治上都最重要的金融担保是存款保险。然而，担保也广~泛运用于其他地方。在企业部门，政府为小型企业的负债提供担保，而且有时也为大型企业的负债提供担保。养老金收益担保公司(The Pension Benefit Guarantee Corporation, PBGC)提供针对公司养老金计划收益的有限保险。居民抵押贷款、农业贷款和学生贷款是政府已经担保的非公司负债的例证。美国政府也以对外援助的形式提供针对其他国家负债的担保。
但是，担保本身甚至比这项明确的担保清单所提供的担保更加广泛。在发放贷款的任何时候，都涉及针对这笔贷款的隐含性担保。为了理解这个说法，考察从功能和价值角度均成立的基础恒等式：
风险贷款+贷款担保=无风险贷款
风险贷款=无风险贷款一贷款担保
因此，在贷款者向除美国政府以外的其他主体发放以美元计价的贷款的任何时候，这些贷救者同时隐含地出售贷款担保。因此，信贷活动包括在功能上截然不同的两项活动:纯粹的无违约风险信贷活动和贷款者对违约风险的承担。
为了更清晰地理解这~点，考察依照两项步骤实施的信贷活动或许是有帮助的：(1)担保的购买，(2) 贷教的发放。假设担保者与贷款者是两个不同的主体。第一步，借款者用10美元从担保者那里购买担保。第=步，借款者将这笔担保交给贷款者，同时按照每年10%的无违约风险利率借人100美元。作为-年后偿还110美元承诺的回报，借款者最终得到了90美元(100-10) 的净额。
当然，贷教者和担保者经常是同一个主体，例如一家商业银行，而且为了交换一年后偿还110美元的承诺，借款者仅从这家银行获得了90美元的净额。于是，这笔贷款的承诺利率被表述为22.22%，即(110-90)/90。 这项承诺利率反映了无风险利率以及担保的费率。为了理解这两项活动是相互分离的活动，注意风险负债的持有者可以用10美元购买一项第三方担保。于是，这位持有者进行了100美元(90+10)的投资，并且得到110美元的确定支付。
因此，购买真实世界里的一笔贷款在功能.上等同于购买一笔纯粹的无违约风险贷款，同时发行针对这笔贷款的担保。实际上，与此同时，债权人也偿付了这笔无违约风险贷款，同时得到针对贷款担保的“折扣”。相对于无违约风险贷款部分的价值而言，担保价值的大小变动显著。一只高等级的债券(被定级为AAA)几乎就是拥有极小担保部分的完全无违约风险贷款;另一方面，一只低投资等级债券或“垃圾”债券通常拥有较大的担保部分。
包括贷款在内的其他金融合约也涉及担保。例如，在互换合约中，针对互换合约双方业绩表现的担保经常由第三方金融中介提供。如果没有购买这项担保，那么事实上，当前每一方都在提供针对其对手方业绩表现的担保。随着非金融性企业越来越多地使用这类合约，它们的管理层需要更好地理解怎样有效管理与这些合约相关的显性担保和隐性担保。
期权理论可以被用于分析这种担保的有效管理。担保与卖出期权相似。如果金融合约的发行者无法支付所承诺的数额，那么担保者必须支付所承诺的数额。扭保者的损失等于被担保合约的承诺支付数额与出售资产所得到的价格之间的差顿，这些资产是作为负债抵押物从合约发行者那里得到的。0这种差额被称为缺口(short-fall)。通常假设只有在该缺口为非负的条件下，发行者才会违约。
例如，考察来自出售简单担保的利润。如果有抵押资产的价值V超过承诺支付数额E，那么担保者保留这项滥价，面且不支付任何东西。但是，如果有抵押资产的价值V小于承诺支付数额E,那么担保者必须支付它们的差颗E-V.担保者的最大利润等于溢价加上利息，这些利息在对偿付损失或终止担保之前的溢价进行投资的过程中赚取。缺口以及来自发行者违约行为的损失减少了最大利润。最大的损失风险暴露就是所承诺的支付教项。因此，担保者的利润函数由P-max[0,E-V]给出，这里P是溢价加上从对该溢价进行投资的过程中赚取的利息。
15.10.1 一项虚拟的例证
我们回到前面部分引人的戴布特科公司的例子。假设银行、保险公司或政府承诺为戴布特科公司的债务违约提供担保。这种担保的公平市场价值是什么?计算担保价值的一种途径是，算出无风险债券的现值与无担保条件下戴布特科公司债券价值之间的差顿，这种无风险债券承诺提供与戴布特科公司债券相同的现金流。
因为无风险利率是连续复利的每年8%，而且这项负债承诺-年后到期时支付8 000万美元，所以作为无风险债务，它的价值是，
15.11 期权定价方法的其他应用
许多金融合约包含嵌入式期权.来自家庭金融的例证是预先付款的权利，如果利率下跌，这项权利给予房屋所有者重新谈判支付给贷教者的利率的权利;还有汽车租赁，它给于客户在租赁期末按照预先商定的价格购买汽车的权利，但不是义务。
许多针对期权定价的应用并不涉及金融工具，这种应用的谱系被称为实物期权。实物期权应用的最发达领城是企业的投资决策。然而，实物期权分析也被应用于房地产投资和开发的决策。这里使用的期权定价的基本要素与前述例证相同。未来是不确定的(如果不是这样，那么不存在创设期权的需要，因为我们现在知道以后将做什么)，而且在不确定的环境里，当某些不确定性得到解决之后，拥有决定做什么的自由度确实是有价值的。期权定价理论提供了对这种价值进行评估的手段。
在项目投资评估范围之内，主要的期权类型是启动或扩张项目的期权，放弃或收缩项目的期权，等待开发、减缓开发或者加速开发的期权。这里还存在针对增长的期权，它包括形成作为扩张期权结果的过剩生产能力以及进行研发活动，研发活动创设生产新产品甚至开发新业务的机会。但是，如果这些活动在经济上不是切实可行的，针对增长的期权并不是必须从事这些活动的义务。
实物期权技术应用的一项例证存在于电力生产过程。电力企业可以被建造成使用诸如石油或天然气等单一燃料的企业，也可以被建造成使用两种燃料中的任一种进行生产的企业。这项选择的价值是有能力在每一个时点上使用可资利用的最低成本燃料，而成本则体现在比相应专业化设备更高的建造成本，以及与使用相应专业化设备相比更低效的能源转换上。
另一项例证来自娱乐行业并且涉及拍摄系列电影的决策。选择是要么同时拍摄原始电影及其续集，要么等待并且在已经得知原始电影成功或失败后拍摄续集。一个人不需要成为电影专家就能猜测到，如果遵从第种路径，拍摄续集的额外成本将更小。虽然是这样，但人们通常选择后者，更高预算的电影尤其如此。经济方面的理由是，第二种路径提供了不拍摄电影续集的选择权(例如，如果原始电影不成功)。如果制片人(几乎确定地)知道将拍摄续集，那么为更多信息而等待的选择权价值不大，同时独立拍摄续集的成本可能超过收益。于是，我们再一次看到不确定性的大小对决策而言是至关重要的，同时，期权定价模型提供了量化处理成本一收益权衡取舍的手段。
关于获取职业教育程度的个人决策也可以作为期权价值评估问题进行计算，其中最优的行权条件反映了何时结束培训并且开始工作。在古典的劳动闲暇之间的权衡取舍中，依照相对更短的考察时限，由于相对于可利用工作时数被固定的那些人而言，其工作提供了增加或减少工作时数的自由，因此他或她的总薪酬拥有一项更有价值的期权。工资、福利以及提供最小补偿的退休金计划的底线均拥有与期权相似的体系。
健康防护保险包含不同程度的灵活性，一项主要的灵活性是消费者是否预先同意仅使用预先指定的医生和医院集合(健康保健组织计划，Health Maintenance Organization plan, HMO plan),或者保留挑选计划之外的医生和医院的权利。在选择哪一种决策的过程中，消费者求解针对灵活性价值的期权定价问题。几乎同样的价值评估体系出现于有线电视服务的每次观看付费和固定费用支付之间的选择过程中。
期权价值可能是由政府授予的近海钻探权和污染权的总价值的显著部分。期权定价分析量化了政府的经济决策。是否在人口稀少的地区修路依赖于如果乡间公路没有被充分利用，政府是否拥有放弃乡间公路的政策选择权。
各种不同的法律和税收问题涉及已经使用期权模型解决的政策和行为。其中包括对当事人诉讼选择权利的价值评估，对包含有限责任条款的破产法律的价值评估，作为一项放弃财产或者通过支付欠款收回该项财产的选择权利，针对房地产以及其他财产的税收滞纳的价值评估，对税收规避的价值评估，以及只有在投赘损失和投资收益的实现触发了应税事件时，针对资本所得税的纳税时机选择权进行价值评估。
期权理论被证明是项内容丰富的战略决策分析框架。早期的战略性应用是在能源和动力生产行业中，这些行业需要长期地规划时间跨度，而且拥有与相当巨大的不确定性成比例的主要固定成本部分。因为能源和动力生产在每个经济中都是基础性的，所以術生工具的这种运用在发达国家和发展中国家中都提供了主流的应用。最终，期权模型可能变成贯彻战略目标的标准化工具。
小 结
.期权可以被用于改普投资者的投资风险暴露程度。通过将无风险资产与股票指数买入期权进行组合，投资者可以获得-项有保证的最低收益率以及在看涨条件下参与(upside participation)股票市场的价值的巨大机会。
.由股票和欧式卖出期权构成的一项资产组合等同于面值与期权行权价格相等的无风险债券加上欧式买入期权。因此，通过一价定律，我们得到卖出期权一买入期权平价关系式，
这里S为股票价格，E代表执行价格，P为卖出期权的价格，r为无风险利率，T为期权的到期期限，同时C是买入期权的价格。
通过一项动态复制策略可以创设来自标的股票和无风险资产的合成型期权，这种动态复制策略在树始投资之后是自我融资的。依照一价定律，期权价格由下述运算公式给出:
C=买人期权价格;
S=股票价格;
E=行权价格;
R=无风险利率(与该期权到期期限相同的一项安全资产的连续复利年利率)
T=以年度表示的期权到期期限;
0=股票连续复利年收益率的标准差;
In=自然对数;
e=自然对数函数的底(大约为2.718 28);
N(d)=从标准正态分布中抽取的随机变量小于d的概率。
.用于对期权进行定价的相同方法可以被用来对其他众多或有索取权进行价值评估，这些或有索取权包括公司股票和公司债券、贷歉担保以及针对投资的实物期权，这些投费内置于研发活动以及能适应新情况的制造技术。
关键术语
或有索取权实值期权 买入期权 平价期权 卖出期权 指数期权 行权价格 现金清算 执行价格 支付框架图 终止日 卖出期权一买入期权平价关系式 美式期权 对冲比率 欧式期权 自我融资性投资策略 通过交易所交易的期权 决策树 通过柜台交易的期权 二项式期权定价模型 内在价值 布莱克斯科尔斯模型 有形价值 隐含波动性 时间价值 虚值期权
快速测查题答案
快速测查15-1 使用表15-1，计算8月到期且行权价格为37.5的家得宝公司股票买人期权的内在价值和时间价值。针对卖出期权进行同样的运算。
答案：因为8月到期且行权价格为37.5的家得宝公司股票买入期权当前为虚值期权，所以它的内在价值为0，同时它的时间价值等于其价格1.40， 8月到期且行权价格为37.5的家得宝公司股票卖出期权拥有0.86 (37. 50-36. 64)的内在价值。因为它的价格是1. 65，所以它的时间价值为0.79 (1. 65-0.86).
快训测查15-2 假设你按照表15-2中列示的价格在2006年6月26日购买了7月到期且行权价格为1 260的SPX买入期权，如果在2006年7月24日到期时，该指数的价值结果是1 300，那么你的收益率是多少?
答案：卖出期权投资的收益率由下述等式给出：
1 300-1 260/10.80=3.704=370. 4%
快速测查15-3 投资策略4是将9.6万美元投资于无风险资产，同时将4 000美元投资于期权。有保证的最小收益率是多少?在执行价格的右边，支付线的斜率是多少?
答案：通过按照10美元的价格将4 000关元投资于1年期买人期权，你可以购买400份期权。得自这项期权的支付将是400max(Sr-100，0)。如果这项期权无价值而终止，那么你将拥有来自无风险资产投资的100 800美元。这里存在针对10万美元的0.8%收益率。支付框架图形向上倾斜部分的斜率为0.004。资产组合总体收益率的计算公式为：
快速测查15-4 说明怎样通过使用卖出期权、买入期权和面值为E的纯粹折现债券合成股票?
答案：通过重新整理方程15.1从而股票价格位于左边，我们得到：
这项表达式暗指通过购买面值为E的纯粹折现债券，同时购买买人期权并出售卖出期权可以创设合成型股票。
借入数量是完全确定可以按照终止日的利率偿还的最大金额。因为在我们的例子中，1/2股股票的最差可能产出结果为35美元的价值，所以借人数量是按照5%无风险利率对35美元进行折现的现值，该数值为33. 33美元。
买入期权的价格等于复制资产组合的成本，这项成本等于对冲比率乘以当前股票价格减去所借入金额的差值。按照一价定律，这就是买入期权的价格:
C=0, 5S-33.33
=50- 33.33
=16.67(英元)
快速测查15-7 假设标的股票的波动性是0.3，而不是上述例子中的0.2，买入期权的估计价格是多少?
答案：C=0.4X0.3X100=12 (美元)
快速测查15-8 在刚才考察的特殊情形中，戴布特科公司负债的到期收益率是多少?
答案：使用1200万美元的估计值作为权益的价值：
D=1亿-1200万=8800万(美元)
因此，负债的有保证的连续复利利率R等于，R=In( 108.33/88)=0.2078或20, 78%
问题与疑难
期权怎样运作?
1.在买人期权中的多头或空头里，哪一种拥有无限的看跌风险?卖出期权中的多头或空头兜?
解释你的答案。
2.描述针对任意资产的卖出期权和买入期权的关键定义性特征。
3.描绘下述情形发生时欧式卖出期权的支付，这项欧式卖出期权拥有50美元的执行价格(E),按照5美元期权费出售，同时针对价值为S的股票，当a你处于多头地位(也就是说，你购买这项卖出期权)。b你处于空头地位(也就是说，你出售这项卖出期权)。
4.描绘由欧式买人期权和耿式卖出期权构成的资产组合的支付。每种期权拥有相同的终止日，而且拥有25美元的行权价格。两种期权都针对价值为S的股票。如果股票的价格在终止日为40美元，那么这项资产组合的支付是什么?如果股票的价格是20美元呢?
使用期权进行投资
5.如果为了在行权价格为47美元的卖出期权中获得多头地位，一位投资者支付了4.75美元的期权费，那么标的资产的盈亏平衡点对应于何种价格?面出多头的示意图。
6. 1年期无风险利率是4%，局时高博莱克斯(Globalex) 股票推数位于100处。行权价格为104的1年期针对高博莱克斯股票指数的欧式买人期权的价格是该指数当前价格的8%。假设高博莱克斯股票指数中的股票的预期收益率为0.你在下一年拥有100万美元进行投资。你计划在1年期短期国库券里投人充足的资金以保证至少收回原来的100万美元，同时你用剩余的资金购买针对高博莱克斯股票指数的买人期权。如果你认为一年后存在0.5的可能性该股票指数上涨12%，存在0.25的可能性-年后该股票指数上涨40%,同时存在0. 25的可能性-年后该股票指数下降12%。你的资产组合收益率的概率分布是什么?
卖出期权与买入期权的平价关系
7.给定下述变量: S=55美元，E=75美元，T-1年，r=5%,同时P=20美元，如果买人期权正在以10美元出售(C=10美元)，存在何种套利机会?描述套利策略以及将实现的利润。
8.使用卖出期权一买人期权平价关系:
说明怎样使用股票，卖出期权和买人期权复制面值为100美元的1年期纯粹折现债券。b舰设E-100美元，S-100美元，P-10美元，C=15美元，1年期利率必然是客少?c说明如果1年期无风险利率低于b部分的答案，那么将存在一项套利机会。
9.威曼多(Wimendo)公司股票的90天期欧式买人期权当前正在按照20欧元交易，与此同时，该股票自身的当前价格为24欧元。法国政府发行的90天期零息证券的每100歌元面值正在按照98.55美元出售.如果买人期权和卖出期权拥有同样的20欧元行权价格，推断该股票的90天期欧式卖出期权的价格。
10.戈顿。盖克(Gordon Geko)已经构建了一项资产组合，这项资产组合包括10份90天期美国国库券以及200份90天期欧式买人期权，每份美国国库券拥有1 000美元的面值和990.10美元的当前价格，每份期权针对派拉蒙(Paramoumt) 公司的1股股票，同时拥有50美元的行权价格。盖克主动提出用这项资产组合和你交换300股派拉蒙公司的股票，派拉蒙公司股票当前被估值为每股215美元，如果行权价格为50美元的派拉蒙公司股票90天期欧式卖出期权当前被估值为25美元.
a.推导针对普克的资产组合的买人期权的价值。b决定你是否应当接受羞克的出价。
11.一家热门的金枪鱼分销商卡克科恩南(Kakkonen) 公司的股票当前以每股50美元的价格发行上市，与此同时，行权价格为20美元的该股票1年期欧式卖出期权以40类元出售，同时，拥有相同终止期限与行权价格的卖出期权以8.457美元出售。
a在推导今天出售的1年期不息美国政府债券的收益率。
b.如果该收益率实际为9%，利用套利潜力构造-项有利润的交易。波动性与期权价格
12.哪一项拥有更多的价值: (1)由针对10种不同股票的买人期权构成的资产组合1 (2)针对由同样10种股菜构成的资产组合的单-期权?假设第二项的行权价格等于第一项中买人期权的行权价格的总和，并且所有期权的终止8期是相同的。解杯你的答案。
二项式期权定价
13.德拉蒙德·格里芬，麦克纳布(Drummond, Griffin and McNebb)出版社的股票价值当前正在按照100美元的价格交易，而且可望在90天以后上涨至150美元，或者降至50美元，上涨还是下跌依赖于对埃兹拉。庞得(Ezra Pound)的新自传的批评性评论。假设在即将到来的90天里无风险利率为1%，如果针对得拉装德。格里芬。麦克纳布出版社股票的欧式买人期权拥有85美元的行权价格，你能否对该项期权进行价值评估?
14.具有挑战性的问题:令8为一项固定的百分比变动，在给定时期里殷票价格按照它上升成下降。使用一期二项式模型推导卖出期权价格的计算公式。参考前述问题(问题13),使用-期二项式模型对拉蒙德。格里芬。麦克纳布出版社股票的卖出期权进行定价，该卖出期权拥有与买人期权相同的到期期限和行权价格。
动态复制与一项式定价模型
15.使用二项式买人期权模型得出一项买人期权的当前价值，这项买人期权的当前价格为50美元，行权价格为40美元。假设这项期权在两期的期末终止，无风险利率为每期5%，同时股票价格将每期上升或下降10%,对冲比率是多少?
16.具有挑战性的问题:在上述问题(问题15)的特殊情形中，相对于到期剩余时间内可能的有限价格变动而言，这种期权的实值程度是如此之高，以至于我们确信这项期权将在到期当日被执行。在这种情形里，买人期权的当前价值拥有一项以三项交量表示的简单表达式:标的股票的当前价格(S)、 行权价格(E)和无风险利率(r). 请计算出这项表达式，对它进行解释，同时用它推导在上述问题中得出的买人期权价格。
布莱克-斯科尔斯模型
17.使用布莱克-斯科尔斯模型得出--项买人期权的期权费，这项期权针对当前价格为40美元的股票，同时行权价格为35美元。假设无风险利率为每年10%，同时这种期权将于6个月后终止。该股票的风险由数值0.25衡量.将期权费分解为内在价值和时间价值。
18.使用布莱克斯科尔斯计算公式得出-项3个月期取式买入期权的价格，这项期权针对当前价格为50美元的无红利支付股票.假设行权价格为51美元，连续复利的无风险利率为每年8%。
a这一买人期权的初始复制型资产组合的组成部分是什么?
b使用卖出期权一买人期权平价关系得出相应卖出期权价格的布莱克斯科尔斯运算公式，19.作为叶氏事务所(Yew and Associates)一一家新加坡投资咨询公司的金融分析师，客户向你询问她是否应当购买针对拉特恩(Rattan) 公司股票的欧式买人期权，这项期权当前按照30美元的价格出售，拥有50美元的行权价格。拉特恩公司股票当前显示了55美元的价格，同时该股票收益率的估计方差为0.04。如果这项期权在25天后终止，同时在该时期内无风险利率为每年5%，你将建议客户做什么?
隐含波动性
20.使用布莱克-斯科尔斯模型推导不支付任何红利的标的股票收益率的波动性。假设存在下述变量: S=90美元，E=100美元，r=10%, T=1/2.如果期权费为3.05美元，那么a是什么?期权费为5.52美元呢?
公司负债与权益的或有索取权分析
21.具有挑战性的问题，5年前，你按照面值购买了苏黎世保险公司(Zurich Insurance Corporration)新发行的固定利率债券，该债券拥有5%的年息票率以及6年的到期期限，该债券被精心组织成具有卖出期权的特征，允许你在到期的1年之前按照98美元的行权价格执行该期权，也就是说，你拥有按照行权价格将该债券重新出售给苏集世保险公司的选择。拥有相同风险的1年期短期债券的收益率当前为8%，同时如果你执行该期权，你可以拿走出售所得并将其投资于短期债券。解释你是否应当执行这项期权(也就是说，按照98美元的价格重新将债券出售给苏集世保险公司，同时按照8%的利率将这笔资金投资一年)，或是将该债券保留至到期。给定你的决策，怎样计算你在为期6年的投资上赚取的有效收益率?怎样计算苏黎世保险公司在6年期内为其借人资金融资的年有效成本?苏黎世保险公闭的借贷和期权交易的现金流量示意图可供使用。
22.假设诺特伯依克(Notaboek)药剂公司有一张以当前市场价值计算的资产负债表，总额为2.5亿美元，假定这家高度杠杆化的公司使其全部负债由直接发行总而值为2.4亿美元的零启债券提供融资。这些债券将于一年后到期。如果无风险利率为8%，同时这家公司资产收益率的标准差为10%，使用布莱克斯科尔斯模型计算该公司权益的总市场价值。
23.参考上述问题(问题22),假设该公司惊悉政府刚刚中止了一项主要的供货合约。这立即降低了该公司资产的市场价值，与此同时，增加了该公司资产收益率的标准差。你预期这一事件将怎样影响这家公司权益的价值?
24.假设沃利的世界(Wally's World)是一家资产总市值10万美元的小型房地产开发商。这些资产由提供5万美元面值且于90天到期的商业票据(短期零息债券)提供融资。一项针对该公司的房地产组合的评估估计，如果房地产规划变化在90天内得到批准，那么该资产将价值17万美元。如果房地产规划变化没有通过，该资产格价值4.5万美元。实际上，该公司股票持有者拥有一项针对该公司资产的90天期欧式买人期权，这项期权的执行价格等于负债的面值。假设90天期无风险利率为2.5%。使用二项式期权定价模型对该公司的权益进行价值评估。
信用担保
25.给定来自上述问题(问题24)的信息，为该公同商业系据的持有者提供担保的支付的市场价格是多少?