第4章 跨期配置资源
就像我们在第1章中看到的那样,金融决策涉及对不同时期的成本与收益进行分摊。居民户和企业中的金融决策者都不得不对未来预期收益是否证实了现在进行投资的合理性做出评价,因此,他们必须比较不同时期的资金数量的价值。进行这一工作需要对本章所提出的货币时间价值概念和折现现金流技术有透彻的理解。
货币时间价值(TVM)指的是今天所持货币(1美元、1欧元或是1日元)比未来预期所获得的相同数量更有价值的事实。这里至少存在这一事实为何正确的三条理由:一是你可以投资赚取利息,结果是未来获得更多。二是由于通货膨胀,资金的购买力可能随时间发生变化。三是未来预期所获资金通常是不确定的。
本章我们学习怎样考察第一条理由:利息。我们将怎样应对通货膨胀以及不确定性的学习留待以后章节进行。
4.1复利
我们从复利的概念——从今天的价值或现值(PV)到未来价值(FV)的过程开始货币时间价值和折现现金流分析的学习。未来价值是一项投资按照某种复利利率赚取利息的方式增长至未来某一日期的资金数量。举个例子,假定你将1000美元存入一个账户,该账户每年赚取10%的利率。假定在那时之前你没有从该账户中取出任何金钱,5年后将拥有的数量就被称为1000美元在5年内按照10%的年利率计算的未来价值。
我们更精确地对术语进行定义：
PV=现值或账户的初始数量。在这里为1000美元。
i=利率,通常以每年的百分比表示。在这里为10%(或是小数形式的0.1)。
n=该账户赚取利息的年数。
FV=n年期末的未来价值。
现在我们按时间一步一步地计算本例中的未来价值。首先,第1年后你将拥有多少?你将拥有初始的1000美元加上100美元的利息(10%×1000美元或0.11000美元)。因此,第1年末的未来价值为1100美元
FV=1000×1.10=1100(美元)
如果你将全部的1100美元重新在另一年进行储蓄,那么第2年末你将拥有多少?第2年期间你将在全部的1100美元上得到10%的利息,因此,获得的利息是0.1×1100美元或110美元,所以在第2年末你将拥有1210美元。
为了更好地理解复利的本质,我们可以将1210美元的未来价值分成三个组成部分:一是1000美元的本金。二是该本金得到的利息—第1年的100美元和第2年的另外100美元。本金所得到的利息被称为单利(在我们的例子中是200美元)。三是第2年在100美元利息上所得到的10美元利息。在已经支付的利息上所得到的利息被称为复利。所赚得的全部利息(210美元)是单利(200美元)加上复利(10美元)的总和。
从实际操作的角度来看,你不用关心210美元的总利息中多少是单利,多少是复利。你确实要关心的是未来你的账户中将拥有多少资金,也就是未来价值是多少计算第2年末未来价值的最直接方法是,认识到未来价值是本金乘以1.1(为了缩短方程,我们在这里从1.10中舍去了0),然后再乘以1.1的结果：
FV=1000×1.1×1.1=1000×1.12=1210(美元)
3年后我们将拥有
F=1000X1.1×1.1×1.1=1000×1.13=1331(美元)
遵照这种推理链条,我们可以通过重复相乘得到5年后的未来价值:
FV=1000×1.1×1.1×1.1×1.1×1.1=1000×1.15=1610.51(美元)
因此,我们得到初始问题的答案。在年利率为10%的条件下,100美元在5年后的未来价值是1610.51美元。5年中所得到的利息总额是610.51美元,其中500美元是单利,而110.51美元为复利。
快速测查
如果在前面的倒子中利率仅为每年5%,那么终值是多少?单利和复利各是多少?
为了有助于理解复利的影响,参阅表4-1,表4-1显示了5年间你账户中金额的增长。它清晰地表明了每年赚取的利息总额等于该年初始金额乘以利率10%。当该表中的信息用图41表示时,就显示了该账户中归因于单利的增长部分和归因于复利的增长部分,虽然累积的单利总额每年按照相同的100美元增长,但是累积的复利总额每年却按照越来越大的数量增长。这是因为复利是所有之前赚取的利息总和的10%。
更一般地,如果i为利率,同时n为年数,那么1000美元的未来价值由下述公式给出:
4.1.1计算未来价值
目前也存在可资利用的专用金融计算器,这种计算器是为使计算过程变得更容易而设计的。通过按下恰当标识的按键,你输入(按照任何你愿意的顺序)年数(n)、利率()和投资金额(PV)的数值,然后计算未来价值(FV)。就像魔术一样,答案很快显示在计算器的显示屏上。与之相类似,试算平衡表( spreadsheet程序有一种简捷而又方便的途径计算未来价值。在一个 Excel格式的电子制表软件中,未来价值使用内置的未来价值函数:FV(i,n,0,一PV)计算得出。在 Excel中,现金流入与流出分别用正号与负号表示。这要求现值的输人值是负的。在一项单个的试算平衡表单元中,可以通过输入=FV(10%,5,0,-1000)直接运用内置的Excel函数。而且为了能够进行敏感性分析和快速重新计算,1610.51美元将会被显示或者以图表的形式显示。例如,将A1单元中的利率从10%变为15%,就会在A4单元中得到数值为201.36美元的新未来价值。
于是按照1%的年利率,使你的金钱翻番大约需要7.2年。如果你从1000美元开始,7.2年后你将拥有2000美元,14.4年后拥有4000美元,21.6年后拥有8000美元,依此类推。
从此时开始,我们将使用一项直接的符号帮助货币时间价值的计算。为了计算一项现时数量的未来价值,我们将使用复利因子( compound amount factor),这项复利因子被定义为:
FVE(PV, i,n)=PV(1+i)n
该符号表明,在知道现值(PV)规模、当期利率和复利时期的数量(n)的情况下,我们可以通过现值(FVP)计算未来价值。复利数量因子是这项现值与未来价值因子的简单乘积,同时代表全部未来价值。例如,FVPv(1000,10%,5)=1610.51(美元),而FVpv(1000,12%,5)=1762.34(美元)。
4.1.2储蓄防老
你现在20岁,同时正在考虑将100美元存入一个账户,该账户在45年里每年支付8%的利率。在65岁时,这个账户的余额是多少?多少是单利?多少是复利如果你可以找到一个每年支付9%的利率的账户,65岁时你在该账户中的余额是多少?
使用复利因子,我们得到：
FVPv(100,8%,45)=100×1.0845=3192.04(美元)
因为初始本金为100美元,所以所赚利息总额为3092.04美元。单利为450.08×100美元或者360美元,与此同时,复利则是2732.04美元。
按照9%的年利率,我们得到:
FVpv(100,9%,45)=100×1.094=4832.73(美元)
因此,看上去利率只增加1%,却将导致在65岁时拥有额外的1640.69美元(4832.73-3192.04),增长率超过50%(1640.69/3192.04=0.514)。
这项例证的关键点是,长期内利率的微小差异可以导致未来价值的巨大差异。注意,“72法则”可以帮助我们得到这个问题的大致答案。按照8%的年利率你的100美元将大约每9年翻一番。于是45年后,它将翻5番,得到3200美元的近似未来价值:
100×2×2×2×2×2=100×25=3200(美元）
这项未来价值与精确答案的3192.04美元相差并不是太远。
按照9%的年利率,你的资金将大约每8年翻一番。在45年里,它将大约翻5.5番。因此,未来价值应当比年利率为8%时多出大约50%:再一次地,这项未来价值与精确答案的4832.73美元相差并不是太远。
4.1.3按照不同利率进行再投资
你正面临下述投资决策:你拥有在2年内进行投资的1万美元。你已经决定将资金投资于银行大额可转让定期存单(CDs)。2年期银行定期存单每年支付7%的利率,同时1年期银行定期存单每年支付6%的利率,你应当做什么?
为了进行这项决策,你必须首先决定你认为1年期银行定期存单的利率在下年将是多少。这种利率被称为再投资利率,也就是说,在计划时间跨度期末之前所获得的资金用于再投资的利率。假设你肯定它每年将是8%。
现在你可以运用未来价值概念进行这项投资决策。你在可以相互替代的每项投资选择框架下计算未来价值,同时选择2年期期末回报最多的。就2年期银行定期存单而言,未来价值将是:
FVpv(10000,7%,2)=10000×1.072=11449(美元）
就两项1年期银行定期存单的系列而言,未来价值将是:
FV=10000×1.06×1.08=11448(美元）
因此,如果你投资于2年期银行定期存单,境况就会稍微变好。
4.1.4偿还贷款
毕业后的第50年,你收到一封来自曾经就读大学的信件,这封信件告知你,他们刚发现你没有支付最后的100美元学生活动费用。因为这是大学的疏漏，所以它已经决定收取仅为6%的年利率。你的大学希望你能在即将到来的毕业班50周年纪念聚会时偿还这项费用。作为一位忠诚的校友,你觉得有义务进行偿还,那么你欠大学多少呢?
使用前面讨论的任意方法,我们得到
FVpv(100,6%,50)=100×1.0650=1842.02(美元)
快速测查4-2
1626年，彼得·米纽伊特以大约价值24美元的靡价首饰从美洲土著人那里购买了曼哈顿岛。如采该部落得到的是现金,并且将其进行投资赚取每年6%的年复利收益,那么他们本该在380年后的2006年得到多少?
4.2复利的频率
贷款和储蓄账户的利率通常采用拥有特定复利频率(例如按月进行)的以年百分比率表示的利率( annual percentage rate,APR)形式(例如每年6%)。因为复利的频率可能不同,所以掌握一种使得利率可以相互进行比较的方法是重要的。这可以通过计算有效年利率( effective annual rate,EFF)实现,有效年利率被定义为如果每年仅复利一次时的等价利率。
例如,假设你的资金按照月复利的6%这一固定APR赚取利息,这意味着利息每月按照固定APR的1/12归集进你的账户。因此真实的利率实际上是每月1/2%(或者用小数表示为每月0.005)。
我们通过计算年初投资的1美元在该年末的未来价值得出有效年利率。在本例中,我们得到:
FV=1.00512=1.0616778
有效年利率正是这项数字减去1:
EFF=1.0616778-1=0.0616778,或每年6.16778%
有效年利率的一般计算公式为;
这里,APR是以年百分比率表示的利率,同时m是复利时间的数量。表4-3显示了不同复利频率条件下对应于6%APR的有效年利率。
如果复利按照每年一次进行,那么有效年利率和以年百分比表示的利率是相同的。随着复利频率增加,有效年利率变得越来越大,但是趋近于一项极限。在这种修正的条件下,复利数量因子变为FVm( PV.APR,m,n)=PV·(1+APR/m)m,这里AP是每一个复利期问的利率,同时mn是n年内复利期间的总数量。随着m无限增大,(1+i/m)m趋近于em,这里e是常数2.71828(四舍五入至第五个小数位)。于是在无限复利的条件下,按照公式FVam(PV,i,n)=PV·ei·n计算未来价值。在上述例子中,e0.06=1.0618365。因此,如果利息按照6%无限复利,那么有效年利率=0.0618365,或每年6.18365%
在 Excel中,有效年利率可以运用内置的效用函数( effect function)计算。该函数的论证形式为EFFECT(APR,m)。在Excel的一个单元中,输入=EFFECT(10%,4)将得到0.1038129,这表明按季度复利的10%APR对应于10.38129%的有效年利率。与之对称的Excl内置名义( NOMINAL)函数计算的是对应于给定有效年利率和每年复利时期数量的APR。函数结构为 NOMNAL(EFF,m),因此,在Excel的一个单元格里输入= NOMINAL(12%,12)将得到0.1138655。这被解释为,为了在月复利的条件下得到12%的有效年利率,每年的APR必须是1.38655%。
快速测查4-3
你在月复利的条件下按照12%的APR获得一笔贷款。这笔贷款的有效年利率是多少?
4.3现值与折现
当我们计算未来价值的时候,我们正在询问类似于“如果我们现在按照年利率8%投资1000美元,那么10年后我们将拥有多少”的问题(答案是:FV＝2158,92美元,检查一下!)。
但是,假设我们希望知道为了在未来某个日期达到某一目标数量,现在需要投资多少。举个例子,如果我们需要在8年后拥有15000美元用于孩子的大学教育,那么现在不得不投资多少?为了得到此类问题的答案,我们需要计算未来给定数量的现值。
订算现值是计算未来价值的逆运算。也就是说,它告诉我们,为了在未来拥有特定数量而应当现在投资的数量。我们一步一步地考察计算现值的过程。
假设我们希望1年后拥有1000美元,同时可以每年赚取10%的利息。我们现在必须投资的数量就是100美元的现值。因为利率是10%,所以我们知道对于现在投资的每一单位美元而言,我们将拥有1.1美元的未来价值。因此,我们可以写出下述关系式:
PV×1.1=1000(美元)
那么现值由下式给出:
PV=1000/1.1=909.09(美元)
于是,如果利率为每年10%,为了在1年后拥有1000美元,我们现在需要投资909.09美元。
现在假设直到2年后才需要这笔1000美元。明显地,在利率为10%的条件下我们现在需要投资的数量小于909.09美元,因为909.09美元将按照年利率10%在2年内赚取利息。为了找出这项现值,我们运用怎样得到未来价值的相关知识。
1000=PVX1.12=PVx1.21
在我们的例子中,现值为：
PV=1000/1.12=826.45(美元)
因此,在年利率为10%的条件下,现在投资的826.45美元将在2年后增至1000美元
计算现值的过程被称为折现,同时计算过程中使用的利率通常指的是折现率。因此,金融领域中的折现明显不同于零售行业里的折扣。在零售行业里,折扣意味着为了出售更多商品而降低价格;在金融领域中,折现指的是计算未来金额的现值为了在商业世界中对折现和折扣进行区分,现值的计算过程被称为折现现金流(discounted cash flow,DCF)分析。
在(每期)折现率为i的条件下,将于n期后得到的1美元的现值的一般计算公式为:
这被称为在利率为i的条件下,n期内1美元的现值。
在年利率为10%的条件下,5年后得到的1美元的现值是:
PV=1/1.15=0.62092(美元）
为了得到在年利率为10%的条件下,5年后得到的1000美元的现值,我们简单地用这项因子乘以1000美元得到620.92美元
因为折现仅是复利的逆运算,所以我们可以运用与之前为计算未来价值因子使用的相同表格(见表4-2)得出1美元的现值。不是乘以该因子,我们将除以该因子。因此,我们可以通过表4-2查到1.6105的未来价值因子,同时用1000除以1.6105得出按照10%的年利率在5年后获得的1000美元的现值:
为了方便起见,存在如表4-4所示的1美元现值的表格,这张表格包含表4-2中因子的对应物。在表4-4中,查阅10%年利率及5期条件下1美元的现值,并且证实这项现值为0.62092。
这里i是以小数形式表示的利率,同时n是时期的数量。
沿表4-4中任意一列向下,可以注意到该账户中的现值怎样随着1美元被取出的未来时限延长而进一步下降。举个例子,按照10%的年利率,1年后得到的1美元的现值为0.9091美元,但是20年后得到的1美元的现值仅为0.1486美元。
与前述货币时间价值计算的符号相一致,我们可以使用现值因子计算未来金额的现值,现值因子被定义为:
该符号表明,在知道未来价值(FV)的规模、时期性利率(i)和复利时期数值(n)的条件下,我们可以通过未来价值计算现值。现值因子是未来价值与1美元现值的简单乘积并且代表总现值。例如,PV(1000,10%,5)=620.92(美元),同时PVFV(1000,12%,5)=567.43(美元)。
4.3.1当价值100美元的礼物并不是真正价值100美元时
今天是你弟弟的10岁生日,同时他收到了一张5年后到期的100美元储藏债券,这种类型的债券在到期日之前没有任何偿付。为了增加这份礼物的价值,他错误地认为这张债券目前价值100美元。如果折现率为8%同时这张债券在从现在开始的5年内并未到期,那么它实际上价值多少?你怎样向你的兄弟解释他的错误,从而能够使他理解?
我们正在试图得出按照每年8%的折现率,5年后得到的100美元的现值。这里存在计算现值的数种途径,计算公式为：
在一只普通计算器上,我们可以通过将1.08用100美元除五次得到这项现值是68美元。在金融计算器上,我们将输入n、i和FV的数值,然后通过敲击标识为PV的按键计算现值,或者我们可以使用表4-4中1美元的现值因子得出现值。在表4-4里,对应于8%的利率和5个时期的记录值为0.6806。用100乘以这项因子得到68美元的现值。
向你的弟弟解释这个答案是一项艰巨的任务。或许解释答案的最好方法是运用未来价值的观点,而不是现值的观点。你可以向他解释,他的100美元储蓄券仅价值68美元,因为为了在5年后得到100美元,他所能做的全部事情就是,在一项每年支付8%利息的储蓄账户中存入68美元。
快速测查4-4
按照每年6%的利率,4年后得到的100美元的现值是多少?
4.3.2按照比年度更频繁的频率进行折现
4.4其他折现现金流决策规则
在本章中,截至目前我们已经学习的折现现金流概念提供了进行金融决策的系列强有力的工具。在与未来价值、现值、利率和时期数值相关的方程中捕捉到了基本的观点;
FV=PV (1+i)n (4.4)
给定这个方程中的任意三项变量,我们可以得到第四项变量,同时基于这项变量制定投资决策的规则。最普通的决策规则是净现值规则。净现值规则不但被广泛使用,同时在各种情况下得到应用(也就是说,正确使用净现值规则永远不会导致错误的选择),而且也是直觉性的。简而言之,净现值规则听起来差不多是明晰的:接受未来现金流的现值超过初始投资的任何项目。唯一令人起疑的事情是,保证人们不将苹果与橘子进行比较。于是,在计算未来现金流(发生在从现在开始的某时间)的时候,为了使未来现金流可以相互比较,我们必须使用未来现金流的现值。
净现值规则正式地表述了下面的意思:
净现值是所有未来现金流入的现值与现在和未来全部现金流出的现值之间的差额。如果项目的净现值为正,那么就接受该项目;如果项目的净现值为负,则拒绝项目。
例如,假设一张5年到期的100美元储蓄债券现在正按照75美元的价格出售你进行投资的下一个最好替代选择是利率为8%的银行账户。储蓄债券是一项良好投资吗?让我们说明在评价这项投资的过程中怎样运用净现值规则。购买储债券的初始投资为75美元(初始投资发生在现在,无须折现)。这只债券产生的现金流人的现值是多少?这正是5年后得到的100美元的现值。与之相关的利率是这笔钱如果没有被投资于债券那么应当赚取的利率。
一般而言,针对任何投资的净现值计算,我们使用资本的机会成本,也被称为通过市场进行资本化的利率( market capitalization rate)作为利率。资本的机会成本就是如果我们不把资本投入目前正在评价的项目,而是投资于其他地方所赚取的利率。在这个例子中,投资于储蓄债券的资本的机会成本是如果我们将这笔资金存入银行可以得到的利率—在本例中为8%。
为了便于跟踪计算过程(尤其是在计算过程通过试算平衡表或者金融计算器完成时),我们将信息组织在下表中：
将68.06美元与获得该债券必需的75美元进行比较,我们得出结论:投资于债券是不值得的。换句话说,这项投资的净现值是负的。
净现值是衡量当前财富变化的一项标准,这种变化是选择的结果。明显地,如果净现值为负,那么实施这项投资是不值得的。在本例中,如果你投资于债券,那么你的当前财富将减少大约7美元。
得出相同结论的另一项途径是使用略微不同的未来价值规则( future value rule)。简而言之,未来价值规则说明,如果项目未来价值大于在次优选择中所获得的未来价值,那么投资该项目。这项规则实际上稍微更具直觉性(同时导致和净现值规则相同的选择)。未来价值规则在实践中没有得到经常使用的原因是在许多场合里(就像本书后面将展示的那样)无法计算投资的未来价值。与此同时,净现值规则仍然可以得到运用。我们在刚才用于说明净现值规则的相同例证中说明未来价值规则怎样运作。
投资于储著债券(初始投资是75美元,5年后现金流的未来价值为100美元)明显导致100美元的未来价值。在8%的利率水平上将这笔钱存入银行是我们运用这笔资金的次优用途。储蓄债券是否拥有比我们从银行得到的未来价值更多的未来价值?再一次地,我们在下表中处理信息。
该数字明显大于储蓄债券的100美元未来价值,我们再次发现储蓄债券是一项较差的投资。
这里存在同样在实践中使用的其他决策规则。每一项决策规则都有自己的直觉性,同时每一项规则对于特定问题都是有用的。然而,应当注意没有任何一项决策规厕可以像净现值规则那样在各种场合里都是适用的。这里是另外一项广泛应用的规则,该规则在许多场合中同样等价于净现值规则:
如果一項投资的收益大于资本的机会成本,那么接受这项投资。
这一规则(明显)以收益率的概念为基础。回顾在我们的例子中,来自将资金存入银行的资本机会成本是每年8%。
通过现在将75美元投资于储蓄债券,你可以在5年后得到100美元。你将得到的利率是多少?换句话说,我们希望得出满足下述方程的利率i：
这项利率被称为该债券的到期收益率( yield to maturity),或是内部收益率internal rate of return,IRR)。内部收益率是使未来现金流入现值等于现金流出现值的折现率。换句话说,内部收益率恰好是净现值为零时的利率。因此,如果净现值为零时的利率(RR)高于资本的机会成本,那么我们知道资本机会成本自身的净现值必然是正的。换句话说,如果内部收益率为(比如说)10%(也就是说,利率为10%时的净现值为零),那么资本的机会成本(比如说)为8%时的净现值必然为正。为什么?我们知道净现值的计算过程对未来现金流进行了折现,我们同样知道当折现率较小的时候未来现金流的现值更大。因此,如果在利率为10%时净现值为零,那么在利率为8%时净现值就是正的。所以拥有10%的内部收益率和8%的资本机会成本等于说净现值必然是正的。
为了在金融计算器上得出i(内部收益率),输人现值、未来价值和时期数值计算利率:
因此,该债券的到期收益率(内部收益率)为5.92%。这项到期收益率应当与通过将资金存入银行而赚取的8%年利率进行对比。显然,将你的资金存入银行境况将会变好。
在对一项不存在负未来现金流的简单投资进行评价的过程中,收益率决策规则等同于净现值规则。甚至在那种情况下,通常也不会在数项投资机会间产生从最好到最差的相同排序。
当你不得不在一些可以相互替代的投资之间进行选择的时候,选择拥有最高净现值的投资。
在这个例子中存在另外一项变量:n(年数),为了达成决策,我们可以使用金融计算器求解它。我们使用金融计算器求解储蓄债券的年数。我们知道未来价值为100美元,现值为75美元,同时资本的机会成本为8%年数是多少?
我们得到n为3.74年。现在,这意味着什么?这一数字表明,如果我们将资金存入银行(按照8%的利率),那么75美元增长为100美元需要花费3.74年。对于储薔债券而言,75美元增长为100美元需要5年。这项观察结果已经为如下的规则提供了某些建议：
选择拥有最短偿付时期的投资替代选择。
换句话说,选择你可以在最短时期“回收资金”,或者在最短时期满足增长目标比如说,将75美元投资变成100美元)的投资。
然而,这项规则仅在特殊场合应用。就像内部收益率规则那样,对一般的投资决策目的而言,“偿付”规则并不是一项可靠的规则。虽然有时候它可以作为替代的其他规则在实践中得到使用,但是应当坚持将净现值规则作为安全且普遍适用的决策规则。
4.4.1投资于土地
你拥有一项以1万美元购买一片土地的机会。你确信5年后这片土地将价值2万美元。如果通过将资金投资于银行,你可以赚取每年8%的利率,那么对这片土地的投资是否是值得的?
如果项日的净现值为正,那么授资该项目。如采净现值为负,不要进行投资。
5年后拥有2万美元(未来现金流)的现值是多少?在这个例子中,我们输入未来价值、年数和利率,同时计算现值。然后我们将计算得出的现值与1万美元初始必要开支进行比较,同时以较大的数值为基础进行决策。
4.4.2其他人的资金
在前面的例子中,我们考察了一项投资,该投资需要你现在支出资金,同时在某些未来日期获得现金。但是金融决策经常仅涉及相反的事情。举个例子,假设你需要借入5000美元购买汽车。你求助于一家银行,他们按照12%的年利率向你提供一笔贷款。然后你求助于一位朋友,他说如果你在4年后偿还9000美元,那么他将借给你5000美元。你该怎么办？
首先,我们确定需要评估的项目。你希望评估的现金流是你(现在)可以从朋友那里借到的5000美元(一项现金流入)。你必须进行的投资是4年后的9000美元还款(一项现金流出)的现值。
行进路线是计算该项目的净现值。资本的机会成本是12%(银行贷款利率,你的次优选择)。现金流是给定的。净现值是多少?
我们得到该利率为每年15.83%。向银行借钱你的境况会变好。
注意,你刚才计算的利率是向你朋友借钱的内部收益率,它是15.83%。现在,在上述例子中我们已经指出,内部收益率在下述条件下起作用:如果内部收益率高于资本机会成本,那么投资该项目。这项规则对具有一次性投资特征的项目(也就是说,初始现金流为负,同时未来现金流为正)起作用。
然而,很明显,对于那些具有借入资金特征(也就是说,初始现金流为正,而未来现金流为负)的项目而言,该原则将反转:如果贷款的内部收益率小于资本机会成本,那么从某些来源借入资金。
就像前面所提醒的那样,无论何时,只要存在复合的现金流,内部收益率规则的项重大的潜在问题就会出现。在这种情形里,内部收益率可能不是唯一的(例如,存在众多的内部收益率),或者内部收益率可能并不存在。后面将更多地讨论这个问题。
4.5复合现金流
至此,我们已经考察了在未来仅存在单一现金流的情形。如果未来不只存在一项现金流,将会发生什么?举个例子,假设你希望通过每年在一个付息账户中存入特定金额为孩子的大学教育或者自己的退休生活进行储蓄;或者你正在对诸如提供系列未来支付流的债券等投资进行评估;或是正在考虑接受一笔贷款,该贷款要求你定期分期付款。为了应对所有这些更复杂的情形,我们仅需要对已经提出的概念进行扩展。
4.5.1时间线
分析现金流时机选择的一项有用工具是以时间线( time lines)闻名的一项框架时间线被描述在图4-3中。
现金流前面的负号意味着你投入该金额的资金(现金从你这里流出),而没有符号表明你取出该金额的资金(现金向你流入)。在我们的例子中,你在第0期投入100美元,并且在第1期期末取出20美元,在第2期期末取出50美元,同时在第3期期末取出60美元。
4.5.2一项现金流的未来价值
我们从一项储蓄决策和未来价值的概念出发。每年你将1000美元存入一个账户,该账户立即开始支付10%的年利率。如果你在2年期满之前没有取出任何资金,那么2年后你将拥有多少钱?
初始的1000美元在第1年末增至1100美元。然后,你加入另一笔1000美元,于是在第2年开始时该账户里有2100美元。到第2年末账户中有2100×1.1美元,或是2310美元。
得出这项2310美元未来价值的另一种方法是分别计算每一笔1000美元储蓄的未来价值然后将其加总。第一笔储蓄的未来价值为:
1000×1.12=1210(美元)
第二笔储蓄的未来价值是:
1000×1.1=1100(美元)
将两项数值相加,我们得到和通过用每年累计值乘以1.1得出的数值相同的2310美元。
快速测查4-7
假设你现在储蓄1000美元,然后1年后储蓄2000美元。如果利率为每年10%,2年后你将拥有多少?
4.5.3一系列现金流的现值
我们经常需要计算一系列现金流的现值,而不是它们的未来价值。举个例子假设你希望1年后拥有1000美元,同时2年后拥有2000美元。如果利率为每年10%,为了满足这种需求,你现在不得不存入账户的资金是多少？
在这个场合,我们不得不计算图4-4中描述的两项现金流的现值。正如一系列现金流的未来价值是每一项现金流的未来价值的加总那样,现值也是如此。
4.5.4在复合现金流的条件下进行投资
假设你得到机会投资于一个项目,该项目1年后向你支付1000美元,同时2年后向你支付另一笔2000美元。该项目要求你现在投资2500美元。你相信这个项目完全没有风险。如果你可以通过将资金存入银行赚取每年10%的利率,那么这项投资是否是一项值得的投资?
注意,这一问题和前述问题有着令人诧异的相似性。该项目产生的现金流与图44所描述的现金流是相同的:1年后是1000美元,同时2年后是2000美元。我们已经知道如果你把资金存人银行,那么需要2562美元产生相同的未来现金流。因为该项目所需要的初始必要开支仅为2500美元,所以该项目有62美元的净现值。如同我们在本章前面看到的那样,具有正净现值的投资应当实施。
4.6年金
储蓄计划、投资项目或贷款偿还安排中的未来现金流每年经常是相同的。我们将这种相同现金流或相同支付流称为年金( annuity)。这一术语来源于寿险行业,在寿险行业中,年金合同是在某些时期向购买者承诺一系列偿付流的合同。在金融学领域,年金不仅得到了更加普遍的应用,而且应用于任何相同的现金流。因此,笔分期偿还的贷款或者按揭贷款的偿付流也被称为年金。
如果现金流动立即开始,就像在储蓄计划或租赁中那样,则被称为即期年金( immediate annuity)。如果现金流开始于本期末而不是期初,则被称为普通年金( ordinary annuity)。按揭贷款是普通年金的一项例证。这里存在一些计算年金现值和未来价值的简便公式、图表和计算器内置函数,当现金流动在多个时期持续时,它们会起作用。
4.6.1年金的未来价值
举个例子,假设你打算在未来3年内每年储蓄100美元。如果年利率为10%,那么你在该期末累积的金额是多少?如果你立即开始储蓄,你将拥有:
FV=100×1.13+100×1.12+100×1.1
提出不变的100美元年现金流公因子,我们得到：
FV=100×(1.1+1.12+1.13)
结果是364.10美元的未来价值。与100美元相乘的因子是每年1美元还款在3年里的未来价值。虽然包含针对不同利率和年数的未来价值因子表可资利用,但是现在大部分人使用金融计算器。用于输入定期缴款数额的计算器按键在大部分模型中被标识为PMT(即 payment,支付的缩写)。
在我们的例子中,我们知道利率、年数和定期缴款数额,同时希望计算未来价值。我们在表中合适的单元格中输入给定数值,同时为我们希望计算的项目输入个问号(?)。
虽然在两种情形中均存在相同的支付次数,但是在即期年金的模式下,所有金额都在额外的一年里赚取了利息。因此,即期年金将拥有等于普通年金未来价值乘以(1+i)的未来价值。对于每年1美元的普通年金而言,未来价值的计算公式是:
我们发现,如果第一笔储蓄立即进行(一项即期年金),那么3年里每年储100美元的储蓄计划的未来价值为36410美元。同时,如果第一笔储蓄推迟到第年末进行(一项普通年金),那么未来价值为331美元。
为了让计算器知道年金支付开始于第1期的期初还是期末,某些金融计算器有个特殊按键。
4.6.2年金的现值
我们经常希望计算一项年金流的现值,而不是未来价值。例如,为了能够在随后3年里每年取出100美元,你不得不在一只赚取10%年利率的基金中投入多少?答案是三项现金流的现值。
年金的现值是三项100美元的支付中每一项的现值之和：
4.6.3期买一项年金
你现在65岁,同时正在考虑是否值得从保险公司购买一项年金。针对1万美元的成本,这家保险公司将在你的余生里每年向你支付1000美元。如果你可以在银行账户中的资金上赚取每年8%的利率,同时预期活到80岁,那么是否值得购买这项年金?保险公司向你支付的隐含利率是多少?你必须生存多长时间才能使年金成为值得的?
做出这项极资决策的最直接方法是计算来自于年金支付的现值,同时将这项现值与1万美元的年金成本进行比较。假设该年金是一项普通年金,那么从66岁开始到80岁结束可望进行15次每笔1000美元的支付。按照每年8%的年折现率,这15次支付的现值为8559.48美元。
从不同的角度对这一问题进行考察,如果你生存21年而不是15年,那么保险公司最终将向你支付每年8%的隐含利率。
4.8.4授受一笔按揭贷款
现在我们考察一项金融决策的例证。你刚刚决定购买一栋别墅,同时需要借入10万美元。一家银行向你提供一笔以360次月供的形式在30年内偿还的按揭贷款如果年利率是12%,月供的金额是多少(虽然利率按照年百分比率的形式被报价,但它实际上就是每月1%)?另一家银行向你提供月供为I100美元的15年期按揭贷款。哪一笔贷款更划算?
30年期按揭贷款的月供通过使用按月计算的期间(n=360月)以及1%的月利率进行计算。支付为每月1028.61美元。计算如下:
4.7永续年金
一类重要而特殊的年金是永远持续的年金或称永续年金( perpetual annuities)永续年金是永远持续的现金流。经典的例证是英国政府在19世纪发行的“永续”债券,这种债券每年按照明示的面值支付利息,而且没有到期日。另一项或许更加有意义的例证是每期(通常为每季度)支付固定现金红利且永不到期的优先股。
任何永续年金的一项令人困惑的特征是,你无法计算现金流的未来价值,因为它是无限的。然而,永续年金拥有完全得到恰当界定而且可以确定的现值。乍看起来,一系列永远持续的现金流当前可能拥有有限价值似乎是矛盾的。但是考虑一项每年100美元的永续现金流,如果利率为每年10%,这项永续年金现在价值多少?
答案是1000美元。为了考察因何如此,考虑为了能够永远每年取出100美元,你将不得不在每年提供10%利率的银行账户中存入多少资金。如果你存入1000美元,那么在第1年年末,你将在该账户中拥有1100美元。你可以取出100美元,将1000美元留至第2年。显然,如果利率停留在每年10%,而且你青春永驻,那么你可以永续地做这件事情。
更为一般地,相同支付永续年金的现值计算公式是:
相同支付永续年金约现值=C/i
这里C是定期支付的数量,而i是以小数形式表示的利率。这是n=∞的条件下普通年金的现值。
4.7.1投资于优先股
假设你正在用你的资金赚取每年8%的名义利率。波土顿天然气及电力公司Boston gas and electric Co.)的优先股提供每年10美元的现金红利,同时这种优先股正在按照每股100美元的价格出售。你是否应当将部分资金投资于波士顿天然气及电力公司的优先股。
第一步是计算该优先股的收益率。为了进行这种计算,我们仅需要用10美元的现金分红除以100美元的价格：
优先股的收益率=年度红利/价格
在本例中,该收益率为每年10%(也就是说,10%的优先股收益率超过了你正在赚取的8%的利率)。然而,为了做出投资决策,你必须同时考虑风险,风险是我们将在本教材后面详尽考察的主题。
我们经常遇到来自投资的现金流按照固定比率增长的情形。举个例子,假设你正在考虑投资一项资产,就其而言,你预期第1年的现金流为1000美元,同时你预期这一现金流将永久按照每年4%的比率增长。为了对这项投资进行评估,你需要计算增长型永续年金现值的计算公式。该公式为:
4.7.2投资于普通股
你有机会购买一家公司股票,已知该公司支付每年增长3%的现金红利。下期红利将是每股1美元,而且在1年后支付。如果你要求10%的年收益率,那么你愿意付多少钱购买这只股票?
答案是你应该愿意支付按照10%的年折现率对预期未来现金流进行折现所得到的现值。预期的未来现金红利流是一项增长型永续年金。使用增长型永续年金计算公式:
4.8贷款的分期偿还
许多贷款以等额定期分期还款的形式进行偿还,例如住房按揭贷款和汽车消费贷款。每笔还款的一部分是该贷款尚未偿还余额的利息,另一部分则是本金的偿还。在每笔支付完成以后,尚未偿还的余额按照等同于已偿还本金数量的金额减少。因此,用于利息支付的还款部分比上期利息低,同时用于偿还本金的还款部分比上期本金支付部分高。
例如,我们假定你按照年利率9%获得了一笔10万美元的房屋按揭贷款,该贷款以三笔年度分期付款的形式偿还本金及利息。首先,我们通过找出定期缴款数额计算每年的支付,在3年内按照9%的折现率对这一定期缴款数额进行折现时,它拥有10万美元现值。
于是每年的还款额为39505.48美元。在第1年里,39505.48美元中有多少是利息,同时有多少是本金?因为利率是每年9%,所以首次还款的利息部分必然是10万美元乘以0.09或是9000美元。39505.48美元的剩余部分,或是30505.48美元是对初始本金的偿付。因此,首次还款后的余额是10万美元30505.48美元或是69494.52美元。在贷款期限内逐步清偿贷款本金的过程被称为贷款的分期偿还。
在第2年里,39505.48美元中有多少是利息,同时有多少是本金?因为年利率是9%,所以第二次还款的利息部分必然是69494.52美元乘以0.09,或是6254.51美元。39505.48美元的剩余部分,或是33250.97美元用于首次还款后剩余的6949452美元未偿余额的偿付。因此,第二次还款后的余额为69494.52美元3325097美元,或是36243.55美元。
第三次同时也是最后的还款足以偿付剩余的36243.55美元的本金和利息(也就是说,表4-6包括了分期偿还时间表中的所有信息)。分期偿还的分解说明了在持续每次还款39505.48美元的条件下,偿付利息的部分怎样减少,同时偿还本金的部分怎样增加。
4.8.1一笔划算的汽车消费货款?
你正打算购买一部汽车,并且考虑按照每年12%的APR(每月1%)获得一笔1年期1000美元的分期还款贷款,该货款以12笔等额月供的形式偿还。月还款额为88.85美元。
销售员试图向你出售汽车:
虽然这笔贷款的APR为每年12%,事实上这一利率确实被证明是一项更低的利率。因为在该年内利息支付的总额仅为66.19美元,同时这笔贷款为1000美元,所以你将仅支付6,62%的“真实”利率。
销售员推理过程中的错误是什么?
错误是就你的首次月供(以及随后的每一笔还款)而言,你不仅正在支付未偿余额的利息,而且也在支付部分本金。第1个月末的到期应偿还利息偿付额为1000美元的1%,或是10美元。因为你的月供是88.85美元,所以剩下的78.85美元是本金的偿付额。完整的分期偿还时间表显示在表4-7中。
4.9汇率以及货币的时间价值
假设你正在考虑将1万美元投资于以美元计价提供每年10%利率的债券,或者投资于以日元计价提供每年3%利率的债券。下一年的更好投资是什么,以及为什么是这样？
答案依赖于在该年内美元兑日元的汇率将会变化多少。假设该汇率现在是1美元兑100日元,因此你的1万美元现在值100万日元。如果你投资于日元债券,那么1年后你将拥有103万日元。如果你投资于美元债券,1年后你将拥有1.1万美元。哪一项投资是更值得的?
如果美元的日元价值每年下跌8%,那么1年后的汇率将是1美元兑92日元日元债券将拥有11196美元以美元计价的价值。11196美元比你从美元债券中得到的11000美元多出196美元。
另一方面,如果美元的日元价值每年仅下跌6%,那么1年后的汇率将是1美元兑94日元。日元债券将拥有10957美元以美元计价的价值,10957美元比你从美元债券屮得到的11000美元少了43美元。
按照何种未来汇率水平,你在这两种债券之间是无差异的?为了得到盈亏相抵的汇率,用103万日元除以110000美元。结果是93.636日元/美元。因此,我们断定,如果美元的日元价值在该年内下跌超过6.364%,那么日元券将是项更好的投资。
快速测查4-8
如果美元和英镑之间的汇率是1英镑兑2美元,同时美元的利率为每年6%并且英镑的利率为每年4%,那么1年后美元兑英镑未来汇率的“盈亏相抵”值是多少?
4.9.1在不同货币条件下计算净现值
为了避免在不同货币条件下做出金融决策时产生混淆,必须注意一项简单规则:在任何货币时间价位的计算过程中,现金流和利率必须以相同的货币进行计价。
因此,为了计算以日元计价的现金流的现值,你必须使用日元利率进行折现同时为了计算以美元计价的现金流的现值,你必须使用美元利率进行折现。如果你使用美元利率计算以日元计价的支付现值,那么你将得到一项存在误导性的数字。
举个例子,假设你正试图决定应当投资日本项目,还是应当投资美国项目,两者都需要1万美元的初始必要开支。日本项目将在5年内每年向你支付57.5万日元,而美国项目将在5年内每年向你支付6000美元。美元的利率为每年6%,日元的利率则是每年4%,同时1美元的当前日元价格是1日元兑0.01美元。哪个项目拥有更高的净现值?
首先,我们使用6%的美元利率计算美国项目的净现值:
然后,我们按照1日元兑0.01美元的当前汇率将日本项目的现值从日元转换成美元,从而得到数额为25598美元的现值。减去1万美元的初始必要开支,我们发现净现值等于15598美元。因此,日本项日拥有更高的净现值,而且是你应当选择的项目。
然而,注意如果你使用每年6%的美元利率错误计算日本项目的现值,那么你将得到仅有14221美元的净现值。因此,你将被引导选择美国项目。
4.10通货膨胀和折现现金流分析
针对通货影胀的处理导致了一组规则的产生,这组规则类似于解决不同货币问题时所采用的规则。我们考虑为退休进行储蓄的问题。在20岁的时候,你节省了100美元,同时按照每年8%的利率将这笔资金进行投资。好消息是在65岁的时侯你的100美元投资将增至3192美元。坏消息是那时购买和今天相同的东西将花费更多。举个例子,如果所有你希望购买的商品和劳务的价格在未来45年间以每年8%的比率上涨,那么你的3192美元所能买到的东西将无法超过今天100美元所能买到的东西。在“实际”意义上,你根本没有得到任何利息。因此,为了做出真正有意义的长期储菩决策,你必须考虑通货膨胀率和利率。
为了将通货影胀率和利率纳入考虑范围,我们在名义利率和实际利率之间进行区分。名义利率以美元或其他货币计价,而实际利率则以消费品的单位进行计价实际利率与名义利率之间的这项区别在第2章中已经得到讨论(参看2.6,5节)。
将实际利率与名义利率和通货膨胀率进行关联的一般计算公式为：
使用连续复利条件下的APR可以简化名义利率与实际利率之间的代数关系。在连续复利的条件下,APR之间的关系成为：
实际利率＝名义利率一通货膨胀率
于是,如果我们假定存在一项6%的名义APR,它是连续复利的,以及一项每年4%的通货膨胀率,它也是连续复利的,那么实际利率正好是连续复利的每年2%。
4.10.1通货影账与未来价值
从财务规划的角度而言,知道实际利率是一项巨大的优势。这是因为,你最终关心的是用累积储蓄在未来可以购买到的东西。回到20岁时储蓄100美元,同时这笔钱在65岁之前不被取出的特定例证,实际上我们希望知道的是,当你65岁的时候,从实际购买力的角度而育,已经在该账户中累积的数量是多少?这里有两种可以相互替代的计算方法:简单方法和复杂方法。简单方法是使用每年2.857%的实际利率计十算100美元在45年间的未来价值。我们将其定义为实际未来价值:
实际来来价值=100×1.0285745=355(美元)
另外,我们可以分阶段得到相同的数字。首先,我们使用每年8%的名义利率计算名义未来价值:
45年后的名义未来价值=100×1.0845=3192(美元)
接下来,我们计算如果通货影胀率为每年5%,那么45年后的价格水平将是多少：
45年后的价格水平=1.0545=8.985
最后,用名义未来价值除以未来价格水平得到实际未来价值：
最终的结果是相同的。我们发现通过现在储蓄100美元(在20岁的时候),同时在45年里进行投资,有望在65岁时拥有足够的金钱购买按照当前价格将花费355美元的东西。
因此,我们看到有两种计算355美元实际未来价值的等价方法:
1.使用实际利率计算实际未来价值。
2.使用名义利率计算名义未来价值,然后平减名义未来价值得到实际未来价值。
采用两种等价方法中的哪一种取决于特定的背景。
4.10.2为大学教育进行储蓄:1
你的女儿现在10岁,同时你正在计划开立一个账户为她的大学教育提供费用。一年的大学学费现在是15000美元,同时可望按照每年5%的速度增加。如果你在一个每年支付8%利率的账户中存入8000美元,你是否有足够的金钱在8年后支付她的第一年学费?如果你按照每年8%的利率计算8年后这笔8000美元的未来价值,那么你将得到:
FV=8000×1.088=14807(美元）
因为14807美元和15000美元极为接近,所以它可能表明现在储蓄8000美元足够提供第一年的大学学费。但是学费的水平是一项变动指标。过去的大学学费至少按照通货膨胀率的一般水平增加。例如,如果通货影胀率被证实为每年5%,那么第一年大学学费的成本将是15000美元×1.05或22162美元。于是你的14807美元将会短缺大约1/3。
4.10.3投资于通货膨胀保护型大额可转让定期存单
你正计划在下一年里投资1万美元。你面临传统的1年期每年支付8%利率的大额可转让定期存单和每年支付3%利率加上通货膨胀率的大额可转让定期存单之间的选择。我们将前者称为名义大额可转让定期存单,同时将后者称为实际大额可转让定期存单。你将选择哪一种?
你的选择取决于对下一年通货膨胀率的预测。如果你确信通货膨胀率将大于5%,那么你更喜欢实际大额可转让定期存单。举个例子,假定你认为通货膨胀率是6%,那么实际大额可转让定期存单的名义利率为9%。但是如果你确定通货膨胀率为每年4%,那么实际大额可转让定期存单的名义利率将仅为7%,于是投资于名义大额可转让定期存单将使你的境况变好。
当然,因为你无法确知通货膨胀率是多少,所以决策更为复杂。我们将在后面讨论怎样将确定性纳入投资决策的考虑范围时回到这一问题。
4.10.4为什么负债方能够从不可预期的通货膨断中获益
假设你按照每年8%的利率借人1000美元,同时不得不在1年后偿还本金和利息。如果通货膨胀率在该年内被证实是8%,那么这笔货款的实际利率为0。虽然你必须偿还1080美元,但是1080美元的实际价值仅为1000美元。80美元的利息正好抵消了1000美元本金的购买力下降。另一种表述该思想的方法是你正在使用比所借美元更“便宜”的美元偿还这笔贷款。难怪在利率被预先固定的时候,负债者喜欢不可预期的通货膨胀,而债权人则不是这样。
4.10.5通货膨胀与现值
在许多计算现值的金融问题中,未来金额并没有固定在美元上。举个例子,假设你计划4年后购买一部汽车,同时希望为了购买它现在投资足够的金钱。比如说你中意的那部汽车现在需要花费1万美元,同时你的资金可以赚取的利率为每年8%。
在尝试计算现在所需投资数量的过程中,自然要计算在8%的利率水平上,4年后将得到的1万美元的现值。
使用任何一种方法,我们都得到了相同的结果:为了在4年后付得起该车的已增长的价格,你必须现在投资8934美元。我们起初错误地计算出需要投资的数量只有?315美元的理由是,我们按照每年8%的名义利率对1万美元的实际未来价值进行折现。
4.10.6为大学教育进行储蓄:2
回想你女儿现在10岁,同时你正计划开立一个账户为她的大学教育提供费用。1年的大学学费现在是1.5万美元。如果你认为可以赚取超过通货膨胀率3%的利率,为了有足够的资金在8年后支付她的第1年学费,你现在必须投资多少?
在本例中,你不拥有通货膨胀率的精确估计值。但是,你是否需要有人在你面前回答那个实际间题(投资多少)?答案是不常要。如果你认为无论惯常的通货膨胀率是多少,大学学费都按照这一比率上涨。按照这项假设,8年后大学学费的实际成本将与今天的15000美元相同。通过假定你可以每年赚取在通货影胀率基础上增加3%的利率,实际上你认为实际的折现率是每年3%。于是,你应当通过8年内按照3%的利率折现15000美元计算现值:
结果是,你没有足够的资金在8年后支付学费。
注意:在对实际现金流进行折现时永远不要使用名义利率,或者在对名义现金流进行折现时永远不要使用实际利率。
4.10.7通货膨胀和储蓄计划
在考察项长期储蓄计划时,将通货膨胀纳入考虑范围是必要的。你每年可以用于储的金额可能随一般生活成本上升,因为你的收入同样也可能上涨。在不需要对通货膨胀率进行精确预测的条件下,一种考虑长期储蓄计划的简单方法是从不变实际支付和实际利率的角度出发制订你的计划。
4.10.8为大学教育进行储蓄:3
设想你的女儿现在10岁,同时你正计划开立一个账户,从而为她的大学教育提供费用。一年的大学学费现在是15000美元。为了在8年后有足够资金支付她的第1年学费,你希望在未来8年以每年分期付款的方式进行储蓄,分期付款是等额的,而且以实际购买力计算金额。如果你认为可以赚取3%的实际利率,那么每年你必须储蓄多少?如果通货膨胀率是每年5%,那么实际上你每年应在账户中存入多少(从名义的角度)?
为了得出实际角度的每年储蓄数量,我们首先求解定期缴款数额:
在这项储蓄计划中,为了和通货膨胀率保持一致,每年储蓄的名义数量不得不向上调整。结果是8年间这个账户的累积数量足以支付学费。因此,如果通货膨胀率被证实是每年5%,那么8年后该账户中的名义数量结果是22162美元。8年后所需学费从实际角度是15000美元,从名义角度则是22162美元。
为了证明如果通货膨胀率是每年5%,那么该储蓄计划的名义价值将是22162美元,我们可以计算表4-9的最后一列中名义现金流的未来价值。首先,注意如果实际利率是每年3%,那么名义利率必然是8.15%。
按照8.15%的名义利率对每年的名义支付前向复利,就像表4-9显示的那样我们发现名义未来价值的总额确实是22162美元。
注意如果你的收入按照每年5%上升,那么名义支付将保持在收入的一个固定比例水平上。
如果通货膨胀率被证实为每年10%,同时你按照这项比率在储蓄计划中增加名义支付,那么8年后该账户中的名义数量结果为15000美元×1.18或是32154美元2154美元拥有从当前美元角度而言的15000美元实际价值,刚好足够支付学费。
4.10.9通货膨胀与投资决策
在投资决策中考虑通货膨胀就像在储蓄计划中考虑通货膨胀一样是必要的。在将资金投资于诸如房地产或者厂房和设备等真实资产时,来自于该投资的未来现金流可能因为通货膨胀而导致名义价值上升。如果没有做出恰当调整,那么你倾向于错过值得的投资机会。
为了理解适当考虑通货膨胀是如何重要,考察下述例证。你当前正在使用石油为你的房屋取暖,同时每年的取暖费用是2000美元。通过换成天然气加热器,你估计今年可能减少500美元的取暖费用,而且你认为,天然气和石油的成本差异在许多年里可能保持相同。安装一套天然气取暖系统的成本为1万美元。如果这笔资金的机会成本是存人每年赚取8%利率的银行账户,换成天然气加热器是值得的吗?
注意这一决策不存在天然的时间跨度( time horizon)。因此,我们假定500美元的成本差异永远存在。同时,我们假定取暖设备转换的未来必要开支在石油和天然气之间是相同的,从而你可以基于进行这项决策的目的忽略这笔未来必要开支。因此,这项投资是一项永续年金—你现在支付1万美元并且永远每年得到500美元天然气取暖器投资的内部收益率是每年5%,也就是说,500/10000=5%。
将这项每年5%的收益率和每年8%的替代选择进行比较,你可能倾向于拒绝采用天然气取暖的投资机会。但是稍微等一下。银行储蕃的名义利率是每年8%,采用天然气取暖投资的每年5%收益率是什么呢?
如果你认为天然气与石油之间的500美元成本差异将随着时间推移与惯常的通货膨胀率同步增加,那么该投资的5%收益率就是实际收益率。因此,你应当将5%的收益率和银行储蓄的预期实际收益率进行比较。如果你预期通货膨胀率为每年5%,那么银行储蓄的预期实际利率为2.857%(也就是说，0.08-0.05/1.05=2.857%)。采用天然气取暖的5%年实际投资收益率超过了这个数字,所以从根本上说,或许这项投资是值得的。
这个例子将我们导向下述规则:
比较不同投资选择时永远不要将实际收益率与货币的名义机会成本进行比较。
这一规则只是我们在本章早些时候所提出的忠告的稍许不同版本：
在对实际现金流进行折现时永远不要使用名义利率,或者在对名义现金流进行折现时永远不要使用实际利率
4.11税收与投资决策
到此为止,我们的讨论忽略了所得税。但是,你的未来开销多少取决于在向政府支付了所得税后剩余多少。举个例子,假设你必须为赚取的任意利息支付30%的税收。你将1000美元存入每年提供8%利率的银行账户中,这是税前利率。你的税后利率被定义为支付了所得税后所得到的利率。
我们计算税后利率是多少。你不得不申报所得税收益的利息收入为0.08×1000美元或是80美元。这笔利息收入的税收为0.3×80美元或24美元。因此,支付税收后,你将只剩下56美元的利息收入。你的税后利率为56美元除以1000美元的初始投资,或是5.6%。计算税后利率的一个简便方法,就是用税前利率乘以1和税率的差值：
税后利率=(1一税率)×税前利率
=（1-0.3)×8%=0.7×8%=5.6%
投资规则是:
为了最大化税后现金流的净现值而进行投资。
注意这项规则并不必然等同于为了最小化税收支付而进行投资。为了理解这个说法,考察下述例证。
4.11.1投资于免税债券?
在美国,市政债券免征收入所得税。如果你处于足够高的税收等级,可能愿意将资金投资于市政债券。举个例子,市政债券的税率是每年6%,同时它们也恰好与支付每年56%税后利率的银行储蓄同样安全,那么你将愿意投资于市政债券。你的税收等级越高,对你而言,投资于免税证券的利益越大。
假设你处于20%的税收等级。如果你可以从银行每年赚取8%的利率,那么投资于每年支付6%利率的市政债券是否有道理?答案是否定的,因为即使在为银行利息支付了收入所得税后,你将仍然拥有高于市政债券免税利率的税后利率:
银行储蓄纳税后利率=(1-0.2)×8%=6.4%
因此,如果你遵从最小化税收的原则,你将被引导做出错误的投资决策!
个人在投资应税证券与免税证券之间恰好无差异的税收等级是多少?在我们的例子中,答案是25%。按照25%的税率,银行储蓄的税后利率为6%(也就是说0.75×8%=6%),这与免税市政债券的利率是相同的。
小结
·复利运算是从现值(PV)得到未来价值(FV）的过程。n期内按照每期利率i赚取利息的1美元的未来价值为(1+i)m。
·折现是找出某些未来金额的现值。n期内按照每期利率i进行折现的1美元的现值为1/(1+i)n。
·人们可以通过比较源自于不同做法的预期未来现金流的现值进行金融决策。现金流入的现值减去现金流出的现值被称为净现值。如果一种做法拥有正净现值,那么它值得采用。
·在任何货币时间价值的计算过程中,现金流和利率必须使用同种货币进行计价。
·在对实际现金流进行折现时永远不要使用名义利率,或者在对名义现金流进行折现时永远不要使用实际利率。
·总是从扣除所得税后的净收益角度比较不同的投资选择。
关键术语
货币时间价值 经过折现的现金流 复利计算 现值 未来价值 单利 复利 未来价值因子 72数字法则 复利因子 再投资的利率 以年百分比表示的利率 有效年利率 1美元的现值 现值因子 净现值 资本机会成本 到期收益率 内部收益率 时间线 年金 即期年金 普通年金 永续年金 增长型年金 分期偿还 分期偿还时间计划表 实际未来价值 名义未来价值 税前利率 税后利率
快速测查题答案
快速测查4-1如果在前面的例子中利率仅为每年5%那么终值是多少?单利和复利各是多少?
答案
1000X1.055=1276.28(美元〕
单利:1000×0.05X5=250(美元
复利:276.28-250=26.28(美元)
快速测查4-2 1626年,彼得·米纽伊特以大约价值24美元的廉价首饰从美洲土著人那里购买了曼哈顿岛。如果该部落得到的是现金,同时将其进行投资赚取每年6%的年收益,那么他们本该在380年后的2006年得到多少?
答案:为了回答这个问题,学生们应当使用下述公式(答案数字太大,从而大部分金融计算器无法显示)：
24X1.06380=99183639918(美元）
快速测查4-3你在每月复利的条件下按照12%的APR获得一笔贷款。这笔货款的有效年利率是多少?
快速测查4-6说明前边提到的可替代决策标准将导致相同的结果—投资是值得的。
答案:
1.如果一项投资的未来价值大于从次优选择中获得的未来价值,则进行投资。
首先,我们计算如果投资于银行的1万美元的未来价值：
PV=10000×1.085=14693(美元）
将计算得出的14693美元未来价值和来自土地的2万美元进行比较,我们得出结论,投资于土地是值得的。
2.如果内部收益率大于资本的机会成本则进行投资。现在我们准备考察这项投资的内部收益率,现在将1万美元投资于土炮,你可以在5年后得到2万美元。你赚取的利率是多少?换句话说,我们希望找出满足下述方程的i：
快速测查4-7假设你现在储蓄1000美元,然后1年后储蓄2000美元。如果利率为每年10%，2年后你将拥有多少?
答案:
初始1000美元的未来价值=1000×1.12=1210(美元〕
2000美元的未来价值=2000×1.l=2200(美元
未来价值总额=3410美元
快速测查4-8如果美元和英傍之间的汇率是1英傍兑2美元,同时美元的利率为每年6%,并且英镑的利率为每年4%,那么1年后美元兑英镑未来汇率的“盈亏相抵”值是多少？
答案:你可以在以美元计价的债券上现在投资1美元,同时1年后拥有106美元。或者你可以现在将1美元换成1/2英镑并投资于以英镑计价的债券,从而在1年后拥有0.52英饼。为了盈亏相抵,0.52英镑将不得不在价值上等于1年后的1.06美元,于是盈亏平衡的汇率为:1.06/0.52，或是1英傍兑2,03846美元。
问题与疑难
1.如果你现在按照每年10%的利率投资1000美元,假设在20年间没有取款,20年后你将拥有多少?
2.a.如果你在从1年后开始的20年内每年投资100美元,而且每年赚取10%的利息,在第20年年末你将拥有多少?
b.如果你希望在第20年年末拥有5万美元,你必须每年投资多少?
3.按照每年10%的利率,下述现金流的现值是多少?
a.5年后获得的100美元。
b.60年后获得的100美元。
c.在1年后开始10年后结束的期间内,每年获得的100类元。
d.10年内每年获得的100美元。
e.在1年后开始并永远持续的期间内,每年获得的100美元(提示:你不需要使用金融计算器,仅依据所学知识)。
4.你希望成立一个“维斯汀”( wasting)基金,这项基金将在4年里每年向你提供1000美元,在第4年末该基金将被清算。如果你可以赚取每年10%的利率,那么现在必须向该基金投入多少?
5.你按照每年12%的利率(每月1%)获得一笔100美元1年期分期偿还贷款,这笔贷款使用12次等额月供偿还。
a.月供是多少？
b.在贷款的12个月偿还期内所偿还的利息总额是多少?
6.你得到了一笔金额为10万美元,同时在25年内以300次月供的方式偿还的按揭贷款。
a.如果利率为每年16%,月供的金额是多少?
b.如果你每月仅可以支付1000美元,你可以获得的贷款规模有多大?
c.如果你每月可以支付1500美元,同时酱要借入10万类元,还清这笔贷款需要花费多少个月?
d.如果你每月可以支付1500美元,并且需要借入10万美元,同时希望得到一笔为期25年的按揭贷款,你可以支付的最高利率是多少?
7.1626年,彼得·米纽伊特以大约价值24美元的廉价首饰从美洲土著人那里购买了曼哈顿如果该部落得到的是现金并以年复利6%进行投资。那些印第安人本该在380年后的2006年得到多少?
8.你赢得了100万美元的彩票,这张彩票在20年里每年向你支付5000美元。假定利率为每年8%,你的奖金实际上价值多少?
9.你的祖母在去世时留给你2万美元。你可以将这笔钱进行投资从而赚取每年12%的利率如果你从这笔遗产中每年花费3540美元,这笔钱可以持续多长时间?
10.你按照10.5%的APR从银行借人偿还期为30年的10万美元。每月的支付是多少?如果你必须支付两个百分点的预付,意味着你仅从银行得到98000美元,这笔按揭贷款的实际APR是多少?
11.假设问题10中描述的按揭贷款是笔1年期利率可调的按揭贷款( adjustable rate morage,ARM,这意味着10.5%的利率只适用于第1年。如果利率在贷款期的第2年上升到12%新的每月支付是多少?
12.你刚从祖母那里收到作为礼物的500美元,同时正在考虑将这笔钱储蓄起来以备4年后毕业之需。你拥有在银行A和银行B之间的选择,银行A为1年期储蓄支付7%的利率,银行B为1年期储蓄支付6%的利率。每家银行都按年对利息进行复利。
a.如果你将这笔钱存入银行A,1年后你的储蓄的未来价值是多少?将这笔钱存入银行B呢哪一项是更好的决策?
b.大部分人做出的储晝决策是什么?银行B的可能反应是什么?
13.雇主刚刚给咨询师休一笔2500美元的奖金,她正考虑用这笔钱开始为未来进行储蓄。她可以将这笔钱进行投资从而赚取每年10%的利率。
a.按照“72法则”,休将其财畜增加到5000美元大约需要多长时间？
b.她将其财富增加到5000美元实际需要的精确时间是多少？
14.拉里的银行账户拥有针对特定储蓄的“浮动”利率。每年利率进行调整。拉里3年前储蓄了2万美元,利率在当时为7%(按年复利)。利率在去年仅为6%,而且今年利率再次下跌至5%本年末他的账户中有多少资金?
15.你拥有不同银行储蓄账户之间的选择,一项是投资于支付8%利率同时按年复利,另一项是投资于支付7.5%利率而且按日复利。
a.基于有效年利率,你更愿意选择哪家银行?
b.假设按年复利的储蓄账户仅提供1年期的存单,而且如果你提前取钱将损失全部利息。在进行决策的时候,你怎样评价这条额外信息?
16.下述APR的有效年利率是多少?
a.按月复利的12%APR;
b.按年复利的10%APR;
c.按日复利的6%APR。
17.哈里承诺在他企业中的一项投资将在6年内翻番。利息被假定按季支付,而且进行再投资。该事实所表明的有效年收益率是多少?
18.假设你知道为了对一辆汽车进行首付,2年后将需要2500美元。
a.银行1正在为2年期账户提供4%的利率(按年复利),同时银行2正在为2年期账户提供45%的利率(按年复利)。如果你知道2年后需要2500美元,为了实现目标,你将需要在银行1中投资多少?另外你将需要在银行2中投资多少?你更愿意选择哪一种银行账户?
b.现在假设你在3年内不需要这笔资金。此时,你需要在银行1中投资多少?在银行2中呢?
19.幸运的琳恩拥有1年后从姬祖父那里得到1000美元,或者现在从她祖母那里得到900美元之间的选择。她相信可以按照12%的年收益率投资这笔900美元。
a.一旦得到来自她祖父的礼物,其未来价值是多少?来自她祖母的礼物呢？
b.她应当选择哪种礼物?
c如果你认为她仅能按照10%的利率投资来自她祖母的900美元,你的答案怎样变化?按照何种利率水平,她在两种选择之间是无差异的?
20.作为一位短期项目的管理者,你正试图决定是否投资一项1年后支付1000美元现金流的短期项目。该项目的总成本是950美元。你的另外一项替代选择是将这笔钱储蓄于1年期银行大额定期存单,该存单将支付4%的年复利。
a.假设1000美元的现金流是得到保证的(不存在得不到这笔钱的风险),那么用于决定该项目现金流现值的合理折现率是多少?
b.如果你按照每年4%的利率对现金流进行折现,那么该项目的现值是多少?这项投资的净现值是多少?你是否应当投资该项目?
c.如果银行将1年期大额存单的票面利率增至5.5%,你将做什么?
d.按照何种1年期大额存单的利率水平,你在两项选择中是无差异的?
21.计算下述现金流的净现值;你现在投资2000美元并在1年后收到200美元,在2年后得到800类元,并且在4年后开始的10年内每年得到1000美元.
22.你的表亲向你征询建议,是应当以995美元的价格购买5年后一次性支付1200美元的券,还是投资于一家本地银行的账户。
a.债券现金流的内部收益率是多少?为了做出决策你需要何种额外信息?
b.如果你了解到该银行在5年内支付每年35%(按年复利)的利率,你将给她什么建议?
c.如果银行在5年内每年支付5%的利率,你的建议将发生什么变化?如果债券价格是900美元,同时该银行每年支付5%的利率,你的建议将发生什么变化?
23.你和你的妹妹刚从你爷爷那里继承了300美元和一张储蓄债券,他将它们放在一个保险箱里。因为你年长,你者手选择需要现金还是债券。该债券距到期期限只有4年,到期时它将支付给持有者500美元。
a.如果你现在拿走300美元现金,并且按照每年6%的利率进行投资,你的300美元增至500美元需要多长时间(以年为单位)?(提示:你希望求解n或时期数量。)给定这些条件,你将选择现金还是债券?
b.如果你可以按照10%的年利率投资300美元,你的答案是否会变化?为了分析这项决策,可以使用的其他决策规则是什么?
24.假设你欠朋友伊丽莎自三笔未清偿的个人贷款。1000关元的偿付今天到期,500美元的偿付1年后到期,250美元的偿付2年后到期。你希望将这三笔贷款合并成36次等额月付的一笔贷款,这笔贷款从一个月后开始偿还。假设商定的利率〔有效年利率)为每年8%。
a.你将支付的APR是多少?
b.新的月付额度是多少?
25.作为 ToysRFun公司的首席执行官,你被给于在无初始费用的条件下参与一个项目的机会,该项目在第一期末产生5000美元的现金流,在接下来的期末产生400美元的现金流,在第三期也就是最后一期产生11000美元的亏损。
a.如果相关的折现率(该公司的资本成本)是10%,那么净现值是多少?
b.你是否接受这项出价?
c.内部收益率是多少?你能解释为什么要拒绝内部收益率大于资本成本的项目吗?
26.从现在起1年后,你必贺向债权人支付600美元,2年后向权人支付5000美元,3年后向债权人支付4000美元,4年后向债权人支付2000美元,同时5年后向债权人支付最后的100美元。你希望将这笔贷款重新构造成在每年期末到期的五次等额年度支付。如果商定的利率是按年复利的6%,那么年度支付是多少?
27.得出下述普通年金(支付从现在起1年后开始,同时所有利率按年复利)的未来价值:
a.按照9%的利率,10年内每年100美元。
b.按照15%的利率,8年内每年500美元。
c.按照7%的利率,20年内每年800美元。
d.按照0%的利率,5年内每年1000美元。
e.现在得出a~d中年金的现值。
f.现值与未来价值的关系是什么?
28.假设你在10年后需要5万美元。你计划3年后开始在一个按年复利同时收益率为11%的账户中进行7次每年一次的等额储蓄,每年一次的储蓄数量应当是多大?
29.假设一项投资1年后开始,而且在5年内每年按照5%的利率提供100美元。
a.现值是多少?如果现在加入一次额外的支付,现值的计算过程将怎样变化?
b.这项普通年金的未来价值是多少?如果现在加人一次额外的支付,未来价值将怎样变化?
30.你正试图决定是在3年内按照针对2万美元总购买价格的4%APR购买一辆汽车,还是接受一项1500美元现金返还购买该汽车,同时按照95%的银行利率对购买价格的剩余部分进行融资。两项贷款在3年内都实行月付,你选择哪一项?
31.你正留意购买一部运动型汽车,该汽车花费23000美元。第一位销售商为新车销售提供了一笔月付条件下的3午期贷款,特定的优惠融资利率为2.9%APR。第二位销售离提供现金折扣。当然,任何获得现金折扣的客户将没有资格享受特殊的贷款利率,而且不得不按照9%的年利率向本地银行借入购买价格的余额。为了将消费者从提供特定29%优惠融资利率的销售商那里吸引过来,针对这辆花费23000美元的汽车,现金折扣必须是多大?
32.证明按照10%的利率现在投资475.48美元,可以使你在接下来的4年里每年末取出150美元,同时没有任何余额。
33.作为一位退休金管理者,你正考虑投资于从1年后开始永远每年支付500万美元的优先股。如果你的替代选择是每年产生10%收益率的投资,那么优先股投资的现值是多少?你愿意为优先殷投资支付的最高价格是多少?优先股投资的红利收益率是多少?
34.一种新的彩票游戏为大奖获得者提供了一项选择权利。要么你可以立即获得100万美元的巨额资金,要么你可以每年得到一项10万美元的支付直至永远,同时现在是第一次支付的年金（如果你去世,你的遗产将继续得到支付)。如果相关的利率是按年复利的95%,两项奖金之间在价值上的差异是多少?
35.在下述复利时期内找出100美元一次性投资的未来价值(提示:算出有效年利率,或者
随着复利时期缩短而变动的时期数量和利率)：
a.10年间按年复利的7%利率;
B.10年间按半年复利的7%利率;
c.10年间按月复利的7%利率;
d.10年间按日复利的7%利率;
e.10年间连续复利的7%利率
36.萨米·乔一年前使用万事达卡为价值1000美元的商品付费,该卡拥有按月复利同时APR为18%的确定利率。她已经在每月末进行了12次定期月付,每次50美元,然而在去年被禁止使用该卡,她仍然欠多少钱?
37.假设你正在考虑借入12万美元为你梦想的别墅融资.APR为9%,同时还款按月进行。
a.如果这笔按揭贷款拥有30年期的分期偿还时间计划表,月供是多少?
b.你将支付的有效年利率是多少?
c.如果这笔货款是在15年内而不是30年内分期偿还,你的a部分答案和b部分答案会怎样变化?
38.假设在去年你获得了问题37a描述的贷款。利率现在倾向于是每年8%。假设此处不存在再融资费用。
a.12次还款以后,你现有的按揭贷款的余额是多少(提示:找出未来价值)?
b..如果你在29年内按照更低的利率对按揭贷款进行重新融资,你的支付将会是多少?
汇率以及货币的时问价值
39.英镑与美元之间的江半现在是1英镑兑1.50美元,类元的利率是每年7%,而英镑的利率是每年9%。你在1年期账户中拥有10万美元,这个1年期账户允许你在两种货币中做出选择而且按照相应的利率支付。
a.如果你预期1年后美元兑英镑的汇率为1英傍兑1.40美元,而且对风险而言是无差异的,那么你应当选择哪种货币?
b.1年后美元兑英锁汇率的盈亏相抵值是多少?
实际利率与名义利率
40.传统的10年期国库券的利率是每年7%,同时10年期财政部通货膨胀保护型债券( treasury inflation protected securities)的利率是每年35%。你拥有1万美元,可以投资于两者之一。
a.如果你预期平均通货膨胀率为每年4%,哪一种债券提供更高的预期收益率?
b.你更愿意投资于哪一种债券?
41.你距离退休还有20年时间,同时可望在退休后再生存20年。如果你现在开始储蓄,针对每年储蓄的每一单位美元,你每年可以取出多少?假设有效年利率为:
a.0、1%、2%、3%、3.5%、4%、6%、8%、10%?
b.如果你预期通货膨胀率为每年4%,答案将怎样变化?
附录
按照点数调整按揭贷款
许多银行提供包含点数的按揭贷款。点数实质上是预先支付给银行的一笔额外费用。因此,如果你得到包含两个点的3年期1万美元按揭贷款,你不得不开始就向银行支付按揭金额的2%。换旬话说,你开始并没有从银行得到1万美元,实际上你仅得到9800美元。我们考察点数对按揭贷款的实际利率产生何种影响。假设你在月供的条件下按照12%的APR从银行得到包含两个点的3年期1万美元按揭货款。12%的APR对应于1%的月利率。
第一步是计算银行每个月所需要的真实支付数量。这一计算过程以1万美元按揭贷款总额为基础完成。
这项月利率对应于12×1.11757%=1341%的APR。
因此,如果一家银行为前述3年期按揭贷款向你提供13%的APR,而且不索要任何点数,而另一家银行在两个点的条件下向你提供12%的APR,你现在知道哪一家银行提供了更划算的交易。(提示:不是第二家银行。)