7.3 平稳健和协整性
如果一个时间序列不会越来越大地偏离初始值，这个时间序列就是“平稳的”。用专业术语来说，平稳的时间序列就是“零阶自积”的，即I (O ）。（见Alexander, 2001 。）显然，如果证券的价格序列是平稳的，它就很可能适用于均值回归策略。不过，大多数股票的价格序列都不是平稳的，通常表现为几何随机游走，不断地离初始点（如首次公开发行）价值越来越远。尽管如此，你能找到像买入一只股票、卖出一只股票这样的股票配对，配对的市场价值是平稳的。这种情况下，两个独立的时间序列被称为“协整”。之所以这样称呼，是因为两个时间序列是零阶自积的。通常，协整配对中的两个股票来自同一行业。交易员早已很熟悉这种配对交易策略。他们在配对的差价低的时候买入配对组合，在差价高的时候卖出（卖空）配对一一这就是经典的均值回归策略。
一个协整价格序列配对的例子是例3. 6 的黄金ETF (GLD）与采金企业ETF (GDX ）。构建一个组合：一份GLD 多头和1. 6766 份GDX 空头，组合的价格就是平稳的时间序列（见图7-4 ）。GLD 和GDX 的具体份数是通过对两个价格序列回归得到的（见例7. 2 ）。
例 7.2 如何构造协整度商｛均值回归｝的股票配对
正义说过，如果做多一个证券的同时以正确的比例做空另一个同行业证券，组合〈或“差价”〉有时是一个平稳序列。平稳的时间序列是均佳回归策略的绝佳候选。本例将教你如何从www.spatial-econometrics.com免费下载 MATLAB 工具包来检验两个价格序列是否协整， 以及如何找到最优的对冲比丰〈即第二个证券份数与第一个证券份数的比例〉。
协整检验的主要方法是ADF 检验，对应的函数名为cadf。对这一方法的详细描述也可在上面说的网站上找到。
下面的程序同样可以从epchan. com/book/ example7 2. m 下载z
%清除空间已有变量
clear;
%读入” GLD. xis ”到MATLAB.
[num, txt] = xlsread ('GLD’) ;
%第一列〈从第二行开始〉是交易曰，格式为mm/dd/yyyy
tdayl=txt (2: end, 1);
%将时间格式转化为yyyymmdd
tdayl= ...
datestr (datenum (tdayl,'mm/dd/yyyy'),’yyyymmdd');
%将数据字符串转化为单元型交量，再转化为数值型交量
tday 1 = str2double (cells tr ( tday 1> s
%最后一列是调整后的收盘价
adjclsl = num ( : , end);
%读入” GDX. xis”到MATLAB.
[num2, txt2] =xlsread ('GDX');
%第一列〈从第二行开始）是交易日，格式为mmdd/yyyy
tday2 = txt2 ( 2 : end, 1) ;
%将时间格式转化为yyyymmdd
tday2= ...
datestr (datenum (tday2 ,’mm/dd/yyyy'),’yyyymmdd’) ;
%将数据字符串转化为单元型交量，再转化为数位型交量
tday2 = str2double ( cellstr ( tday2>
adjcls2 = num2 们， end);
%找出GLD 或GDX 有数据的所有交易日
tday= union ( tdayl, tday2);
如果你认为同行业中的任意两只股票都是协整的，我可以给出一个反例： KO （可口可乐）与PEP （百事可乐）。用例7. 1 申一样的检验方法，我们可以发现，两只股票协整的可能性小于90% 。（你可以自己试试，并将结果与epchan. com! booνexample7 _3. m 里的结果进行比较。）如果使用线性回归来拟合KO 与PEP ，得到的时间序列图与图7 一5相似。
如果一个价格序列（可以是一只股票、一对股票或是一个投资组合）是平稳的，只要未来继续保持平稳（这未必能保证） ；采用均值回归策略一定能盈利。反之则不然。成功的均值回归策略，并不一定要求一个平稳的价格序列。正如许多交易者所知道的，即使是一个非平稳的价格序列，也可能有很多可以利用的短期回归机会。
许多配对交易员并不熟悉平稳性和协整性的概念。但他们中的大多数人都熟悉“相关性”，并且觉得与协整性似乎是同一个意思。实际上，这两个概念截然不同。两个价格序列的相关性实际上是指在一段时间（比如说1 天）内其收益率的相关性。如果两只股票正相关，其价格变化方向在大多数时间都是相同的。然而，有正相关关系并不反映两只股票的长期行为特征。特别地，正相关无法保证两只股票在长期内价格偏离不会越来越大，即使在大多数时间里它们的变动方向相同。但是，如果两只股票在目前与未来都是协整的，它们的价格（经过合适的权重）就不大可能会偏离，即使它们的日（周或其他时间段）收益率可能不相关。
图7 一6 给出了两只虚构的股票A 和B ，它们之间是协整的，但不相关。显然，股票B 的价格变动与股票A 明显不相关：有时它们的变动方向相同，有时相反。多数时间里，股票B 的价格甚至根本没有变化。但是它们之间的差价总是会在一段时间后回到1 美元左右。
在现实中能找到这种现象的例子吗？当然， KO 与PEP 就是。通过程序“example7 3. m”可以知道，这两只股票不是协整的。然而，如果你对它们的日收益率的相关性进行检验，会发现它们之间的相关系数只有0.4849 ，从统计学上说显然是不相关的。例7. 3 给出了进行相关性检验的程序。
例7.3 检验KO 和PEP 之间的协整性和相关性
KO 和PEP 之间的协整性检验与例7. 2 中GDX 与GLD 之间的协整性检验类似，所以不再重复〈可从epchan. com/book/ example7 _3. rri 下载〉。协整性结果显示， ADF 检验的t 统计量为一2. 14 ，大于10% 的临界佳－ 3. 038 ，意味着这两个时间序列之间的协整概率小于90% 。
下面给出了检验这两个时间序列相关性的代码：
平稳性并不仅限于股票之间的差价，汇率之间也可能存在平稳性。例如，加市澳元（ CAD' AUD）的交叉汇率就非常平稳。许多期货之间以及期货与固定收益证券之间都可能协整。（最简单的例子就是跨期差价组合：同一标的的商品、不同到期月份期货合约的多头和空头。固定收益证券业类似，同一发行人、不同期限债券的多头和空头。）