第3章 多元资产投资组合的市场表现
弗雷德叔叔提供的另一种选择
时光飞逝，你又为弗雷德叔叔工作了好多年，现在你已经对每年例行的掷硬币程序产生了深深的恐惧感。概率论使你获得的硬币正面和背面的次数一样多。不幸的是，你不断增加的业绩和工龄意味着你押在每一次掷硬币上的赌注都在日渐增长。记住，弗雷德叔叔在每年年末给你的退休金中增加5000 美元，并通过掷硬币来决定你今年究竟会获利30% (硬币正面朝上)还是亏损10% (硬币背面朝上)。你的钱是否会增多取决于每次掷硬币的结果，弗雷德叔叔也感到了你内心日渐增长的不满情绪。
他给了你另一种选择。在每年的年末，他会把你的养老金分成两个数额相等的部分，每个部分分别掷一次硬币。
你狡猾的叔叔安的是什么心呢? 你的第一反应是恐惧一一如果掷一次硬币已经使你饱受折磨，那么掷两次硬币肯定会更糟糕。但是，你懂得理性分析，开始仔细分析他的建议。你意识到掷两次硬币会产生四种可能的结果，每种结果都有着相同的概率:
结果1 和结果4 与掷一次硬币时的结果相同，分别产生了最初的30%和10% 的收益率。然而，还存在着一次正面一次背面的两种结果，这两种结果的总收益率是10% (一半资产收益率为+30% ，另一半为-10% )。
既然四种结果发生的概率相同，且在一个有代表性的四年时间中，这四种结果各会发生一次，你会发现自己的养老金会进行如下增长:
1.3 x 1.1 x 1.1 x 0.9 = 1.4157
精通数学的你计算出来掷两次硬币的年化收益率是9.08% ，比掷一次硬币时8.17%的收益率高出了近一个百分点。更神奇的是，你发现你的风险降低了一一在多了两个均值为10% 的收益率后，你的标准差现在只有14.14% ，而掷一次硬币时的标准差为20% 。
聪明的老弗雷德叔叔已经介绍给你了投资组合理论中最重要的概念:
将你的投资组合分布于几种不相关的资产，这样可以在提高收益的同时降低风险。
这似乎好得令人难以置信。这里的关键词是不相关，第一次掷硬币的结果无法影响第二次投掷的结果。试想一下一一如果两次掷硬币是完全相关的，即第二次投掷总会得到与第一次相同的结果，那我们将只能得到最初的+30% 和-10% 的收益率。
数学细节
有深厚投资背景的人应该知道，一份标的资产为证券或期货合约的看跌期权与其标的资产的收益有着强烈的负相关性。然而，这种情况中两种头寸会产生相反的回报，最终会使投资组合的收益接近于0 。更精确的说法是，两种拥有正收益的资产不会持续保持强烈的负相关性。
我们再回到低收益高风险的掷一次硬币的情况中来。如果第二次投掷与第一次完全负相关，即总是产生完全相反的结果，那我们获得的收益率将总是10% 。这样，我们就能在无风险的前提下拥有每年10% 的长期收益!将收益彼此不相关的资产棍合起来可以降低风险，因为当一种资产贬值时，另一种资产很有可能正在增值，但这种说法并不是绝对的。
在真实的投资世界中，偶尔会发现两种股票或债券不具有相关性，产生几个百分点的额外收益，并适度降低了风险。但可以确信的是，在长期中从不存在完全负相关性一一因为这实在太不现实了。
简单投资组合市场表现的建模分析
掷硬币的例子应该已经使你相信分散化投资的好处了。在真实世界中，你似乎能找到无限的资产，并可以用其建立无穷无尽的投资组合。但是，对于每一个级别的风险，能够带来最高投资收益率的投资组合只有一个。更糟糕的是，正确的或最优的资产配置策略只有在回顾过去时才会被发现; 未来20 年的最优配置和过去20 年的最优配置毫无关系。那到底怎样才能找到未来的最佳资产配置策略呢?
为了探究答案，我们建立一个"实验室"来模拟复杂投资组合的市场表现。为了更好地理解这个实验，我们先从一些最简单的例子开始。
例3-1 这个模型仅由两种资产组成: 第一种是与弗雷德叔叔投掷硬币的收益率分布相同的资产。它会以相等的概率带来+ 30% 或-10% 的收益率，在这个例子中我们称之为股票;第二种资产会以相等的概率带来0% 或+10% 的收益率，我们称之为债券。这里所说的股票长期收益和风险与真正的股票很相似，债券的长期收益和风险也和5年期国债相似。这个组合的收益有四种可能的结果:
你可以按任意比例对这两种资产进行长期投资，在每年年末你必须将组合重新调平到这个比例。我们假设你选择了股票和债券各一半的比例，换句话说，在每年年末，你的一半资产进行了。或+10%(债券)的硬币投掷，另一半则进行了+30% 或-10% (股票)的硬币投掷。如果某一年债券收益为+10% 但股票收益为-10% ，在年末你就拥有了更高价值的债券和更低价值的股票，你必须卖掉一些债券并用这些钱去填补股票价值的缺额。类似的，在那些股票获得30% 收益的年份，你必须将足够的股票转变为债券以使组合的比例重新变为50/50 。这样做有几个原因: 第一，调平可以在增加投资组合长期收益的同时降低风险; 第二，不对组合比例进行调平最终将会导致整个组合全部变成了股票，股票的高收益会使你的风险收益比达到更高的水平;最后，调平的习惯有助于培养投资者低买高卖的投资思路。
还是这个例子，现在假设你选择了25%的债券和75%的股票。Rb和Rs 代表了债券和股票各自的收益率，在任意时间段该投资组合的收益率为:
(0.25 x Rb ) + (0.75 x Rs)
因此，如果某一时期股票的收益率为+ 30% ，债券的收益率为+10% ，那么投资组合的收益率是:
(0.25 x 10) + (0.75 x 30) = 25%
收益率的四种可能的结果如下:
该投资组合的年化收益率是7.70% ，标准差是15.05% 。首先，注意这个组合的收益率仅仅比全部投资股票时要低0.47%，但它的风险(标准差)降低了5%。 (换句话说，降低1/4 风险所付出的代价仅仅是收益减少了1/ 17。 ) 这是对分散化投资的好处的又一个例证。这个例子提供了一种简单而又强有力的方法去研究最常见的分散化投资工具一一股票和债券组合的风险和收益特征。熟悉电子表格操作的人会发现，建立一个简单的工作表去分析上面例子的收益和风险只需要几分钟时间。图3-1 用与图2-9 和图2-10 相同的形式在图中画出了这些数值。记住，收益随着纵坐标的上升而增加，风险随着横坐标的右移而增大。
图的右侧部分不是很出人意料。当你在股票组合中加入少量债券时，整个组合的风险大幅下降，收益却损失不多。然而，图的左侧部分却值得注意。当你向一个债券组合中加入少量股票时，收益如预期般增加了，但同时风险也略微降低了。"最低风险"的组合包含大约7% 的股票，一个股票占12% 的投资组合风险与全债券组合相同。因此，以最小化风险为目标的投资者必须在其组合中持有一定量的股票。这种现象在我们对技资组合市场表现的研究中还会再次遇到。
例3-2 让我们以本章开头的弗雷德叔叔掷硬币的例子来做与例子1 类似的计算。本例中两种资产的收益率为+30% 或-10% ，且两种资产的收益相互独立。总结如下:
像例子1一样，图3-2 画出了由资产A 和B 组成的投资组合的收益和风险。既然两种资产有着相同的收益率和标准差，你只需要画出一半的点，因为比例为75/25 与比例为25/75 投资组合的市场表现是相同的。结果很明确，当你向着50/50 的比例移动时，风险降低(向左移动)且收益增加(向上移动)。曲线上的每一点都代表了5% 的比例变化，你会发现大部分收益都产生于由全部为某一种资产向75/25 比例转化的过程中，而从75/25 到50/50 的过程中产生的收益大大减少。65/35 的比例的收益和风险与50/50 的比例相比并无显著区别，仅相差不足0.1% 的收益率和0.5% 的标准差。这个例子启示我们:
(1) 如果两种资产有着相似的长期收益和风险，并且不是完全相关，那投资于这两种资产的固定比例、定期调平的投资组合不仅能降低风险，事实上也能增加收益。你已经知道是两种资产的不完全相关性造成了风险的降低，一种资产表现差劲很可能伴随着另一种资产表现卓越，从而减轻了你的损失。收益的增加同样可以归类于这种现象: 如果一种资产表现卓越而另二种表现差劲，那么调平规则会要求你卖出一些优质资产(高卖)来买入更多差劲资产(低买)。没有调平规则就无法获得本例中的超额收益。
(2) 如果两种相关性很小的资产拥有相似的收益和风险，那最合适的比例大致为50/50。
(3) 资产配置策略中存在着很多误差。如果你的比例比事后发现的最优组合低了10%~20% ，你应该也不会亏得太多。像我们将要看到的一样，毫无畏惧地坚持你的资产配置策略要比挑选"最好的"配置策略重要得多。
两种以上的完全不相关资产
上述模型对于论证分散化投资对两种相似资产(例3-2 )和两种不相关的不同资产(例3-1 )的风险和收益的作用非常有用。不幸的是，上述例子仅仅能在理论上论证分散化投资的好处，而在真实的投资世界中，我们必须面对各种各样的资产类型，每一种都有着不同的收益和风险。更糟糕的是，这些资产的收益很少会完全不相关，并且这些资产的收益、风险和相关性都会随时间进行大幅波动。为了弄懂真实的投资组合，我们需要运用更复杂的投资技巧。
迄今为止我们仅讨论了包含两种不相关资产的投资组合。两种不相关的资产可以用4 个时间段来表示，就像弗雷德叔叔掷硬币的例子一样。三种资产可以表示为8 个时间段，四种资产可以表示为16 个时间段，以此类推。然而，在真实的投资世界中，很难找到两种不相关的资产，想找到三种两两不相关的资产是几乎不可能的，超过三种就更不可能了。原因很简单，拥有两种资产的投资组合只有1 个相关性，三种资产有3 个相关性，四种资产则有6 个相关性。(大办公室有比小办公室更复杂的办公室政治也是这个原因。一个三人的办公室有3对人际关系，而十人的办公室则有45 对。)
真实的资产几乎总是不完全相关的。换句话说，一种资产获得超额收益可能会使另一种资产也获得超常收益。相关程度用相关系数来表示，它的值在-1 到+1 间变动。完全相关的资产的相关系数是+1 ,不相关的资产的相关系数是0，完全反相关(或负相关)的资产的相关系数是-10 理解相关系数最简单的方法就是在一张图上画出两种资产很多期的收益，就像图3-3 、图3-4 和图3-5 一样。
每张图都画出了从1975 年1 月到1998 年12 月的24 年中两种资产总共288 个月的月收益。图中每一个点都表示两种资产某一个月的收益，x 轴(横轴)和y 轴(纵轴)分别代表其中一种资产的收益率。如果这两种资产是完全相关的，那所有点都会落在一条直线上。(如果相关系数为正，那所有点会组成一条从左下向右上延伸的曲线; 如果相关系数为负，那所有点会组成一条从左上向右下延伸的曲线。)如果两种资产不相关，那这些点将会分散在整个图上。
图3-3 画出了标准普尔500 指数和美国小型公司股票在1975-1998年期间的月收益。大多数点都落在了一条直线上，一种资产收益差则另一种资产也好不到哪去。这两种资产的相关系数是0.777 ，这已经很高了。这张图表明向美国大型公司股票(也就是标准普尔500 指数所代表的股票)的投资组合中加入小型公司股票并没有降低太多风险，因为前者收益差的话，那后者也不会太好。
图3-4 画出了两种弱相关的资产一一美国大型公司股票(标准普尔500 指数)和外国大型公司股票(EAFE 指数)。尽管这两种资产弱相关，但远没有达到完全不相关。二者的相关系数是0.483。
最后，圈3-5 画出了两种相关性很小的资产(相关系数只有0.068) :日本小型公司股票和REITs 。这张图是一张看不出任何相关性的"散点图"，它们之中的一种资产市场表现的好坏与另一种毫无关系。
为什么这些图形如此重要呢? 我们已经讨论过，分散化投资的最大收益是在各个资产不相关时获得的。以上的分析表明，美国小型公司股票和大型公司股票的组合无法获得较多收益，而投资于REITs 和日本小型公司股票的组合则会赚得盆盈钵满。在真实的投资世界中，事实的确如此。
数学细节 怎样计算相关系数
在本书的前几版中，我加入了一个章节来讲授如何手工计算相关系数。在个人电脑普及化的时代，用手工计算相关系数纯粹是自己找罪受，最简单的方法是用电子表格来计算。假设你有A 、B 两种资产36个月的月度收益，将二者的收益输入进表格中相邻的两列，每一列数值都从第1 行排列到第36 行。
如果使用Excel 软件，在两列数据以外的任一单元格中输入公式=CORREL( A1: A36 , B1: B36)
如果使用Quattro Pro 软件，公式为@ CORREL( A1. . A36 , Bl.. B36)
对于多于两种资产的情况，两种软件都有各自的工具可以生成各个资产数据的"相关性矩阵"。如果想了解更多有关计算相关系数的具体步骤的解释，你应该去阅读正式的统计学教材。
总结
1. 资产的相关性这个概念是投资组合理论的核心一一相关性越低，投资组合的市场表现就越好。
2. 将你的投资组合分散化投资于几种不相关的资产中可以降低风险并增加收益。你必须通过定期调平你的投资组合来获得增加的收益。